Ранг абелевой группы

редактировать

В математике, ранг, ранг Прюфера, или ранг без кручения абелевой группы A - это мощность максимального линейно независимого подмножества. Ранг A определяет размер наибольшей свободной абелевой группы, содержащейся в A. Если A без кручения, то она встраивается в векторное пространство над рациональные числа размерности ранга A. Для конечно порожденных абелевых групп ранг является сильным инвариантом, и каждая такая группа определяется с точностью до изоморфизма своим рангом и торсионной подгруппой. Абелевы группы без кручения ранга 1 полностью засекречены. Однако более сложна теория абелевых групп более высокого ранга.

Термин ранг имеет другое значение в контексте элементарных абелевых групп.

Содержание

1 Определение
2 Свойства
3 Группы более высокого ранга
4 Обобщение
5 См. Также
6 Ссылки

Определение

Подмножество {a α } абелевой группы является линейно независимым (более Z ), если единственная линейная комбинация этих элементов, равная нулю, тривиальна: если

∑ α n α a α = 0, n α ∈ Z, {\ displaystyle \ sum _ {\ alpha} n _ {\ alpha} a _ {\ alpha} = 0, \ quad n _ {\ alpha} \ in \ mathbb {Z},}

\ sum _ {\ alpha} n _ {\ alpha} a _ {\ alpha} = 0, \ quad n _ {\ alpha} \ in \ mathbb {Z },

где все, кроме конечного числа коэффициентов n α равны нулю (так что сумма, по сути, конечна), тогда все слагаемые равны 0. Любые два максимальных линейно независимых множества в A имеют одинаковую мощность, которая называется рангом . из A.

Ранг абелевой группы аналогичен размерности векторного пространства . Основное отличие от случая векторного пространства - наличие кручения. Элемент абелевой группы A классифицируется как кручение, если его порядок конечен. Набор всех элементов кручения представляет собой подгруппу, называемую подгруппой кручения и обозначаемую T (A). Группа называется без кручения, если в ней нет нетривиальных элементов кручения. Фактор-группа A / T (A) является единственным максимальным фактором без кручения группы A, и ее ранг совпадает с рангом A.

Понятие ранга с аналогичными свойствами может быть определено для модули над любой областью целостности, случай абелевых групп, соответствующих модулям над Z . Для этого см. конечно порожденный модуль # Общий ранг.

Свойства

Ранг абелевой группы A совпадает с размерностью Q -векторного пространства A ⊗ Q . Если A не имеет кручения, то каноническое отображение A → A ⊗ Q является инъективным и рангом A является минимальная размерность Q -векторного пространства, содержащего A как абелева подгруппа. В частности, любая промежуточная группа Z< A < Qимеет ранг n.
Абелевы группы ранга 0 - это в точности периодические абелевы группы.
Группа Q рациональных чисел имеет ранг 1. Абелевы группы без кручения ранга 1 реализуются как подгруппы в Q и существует их удовлетворительная классификация с точностью до изоморфизма. Напротив, не существует удовлетворительной классификации абелевых групп без кручения ранга 2.
Ранг аддитивен по коротким точным последовательностям : если

0 → A → B → C → 0 {\ displaystyle 0 \ to A \ to B \ to C \ to 0 \;}

от 0 \ до A \ до B \ до C \ до 0 \;

- короткая точная последовательность абелевых групп, тогда rk B = rk A + rk C. Это следует из плоскостности из Q и соответствующий факт для векторных пространств.

Rank аддитивен по произвольным прямым суммам :

rank ⁡ (⨁ j ∈ JA j) = ∑ j ∈ J rank ⁡ (A j), {\ displaystyle \ operatorname {rank} \ left (\ bigoplus _ {j \ in J} A_ {j} \ right) = \ sum _ {j \ in J} \ operatorname {rank} (A_ { j}),}

\ operatorname {rank} \ left (\ bigoplus_ {j \ in J} A_j \ right) = \ sum_ {j \ in J} \ operatorname {rank} (A_j),

, где сумма в правой части использует кардинальную арифметику.

Группы более высокого ранга

Абелевы группы ранга больше 1 являются источниками интересных примеров. Например, для каждого кардинала d существуют абелевы группы без кручения ранга d, которые неразложимы, т. Е. Не могут быть выражены как прямая сумма пары своих собственных подгрупп. Эти примеры демонстрируют, что абелевы группы без кручения ранга больше 1 не могут быть просто построены прямыми суммами из абелевых групп без кручения ранга 1, теория которых хорошо изучена. Более того, для любого целого числа $n ≥ 3 {\ displaystyle n \ geq 3}$ $n \ geq 3$ существует абелева группа без кручения ранга $2 n - 2 {\ displaystyle 2n-2}$ $2n-2$ , который является одновременно суммой двух неразложимых групп и суммой n неразложимых групп. Следовательно, даже количество неразложимых слагаемых в группе четного ранга, большего или равного 4, точно не определено.

Другой результат о неединственности разложения прямой суммы принадлежит А.Л.С. Угол: для заданных целых чисел $n ≥ k ≥ 1 {\ displaystyle n \ geq k \ geq 1}$ ${\ displaystyle n \ geq k \ geq 1}$ существует абелева группа A без кручения ранга n такая, что для любого разбиения $n = r 1 + ⋯ + rk {\ displaystyle n = r_ {1} + \ cdots + r_ {k}}$ ${\ displaystyle n = r_ {1} + \ cdots + r_ {k}}$ на k натуральных слагаемых, группа A является прямой суммой k неразложимых подгрупп рангов $r 1, r 2,…, rk {\ displaystyle r_ {1}, r_ {2}, \ ldots, r_ {k}}$ ${\ displaystyle r_ {1}, r_ { 2}, \ ldots, r_ {k}}$ . Таким образом, последовательность рангов неразложимых слагаемых в некотором разложении на прямую сумму абелевой группы без кручения конечного ранга очень далека от инварианта A.

Другие удивительные примеры включают группы без кручения ранга 2 A n, m и B n, m такие, что A изоморфна B тогда и только тогда, когда n делится на m.

Для абелевых групп бесконечного ранга существует пример группы K и подгруппы G, такие что

K неразложима;
K порождается G и одним другим элементом ; и
Любое ненулевое прямое слагаемое группы G разложимо.

Обобщение

Понятие ранга может быть обобщено для любого модуля M на область целостности R, как размерность над R 0, поле частного, тензорного произведения модуля с полем:

rank (M) = dim R 0 ⁡ M ⊗ RR 0 {\ displaystyle {\ text {rank}} (M) = \ dim _ {R_ {0}} M \ otimes _ {R} R_ {0}}

\ text {rank} (M) = \ dim_ {R_0} M \ otimes_R R_0

Это имеет смысл, поскольку R 0 - это поле, и, следовательно, любой модуль (или, точнее, векторное пространство ) над ним свободен.

Это обобщение, поскольку любая абелева группа является модулем над целыми числами. Отсюда легко следует, что размерность продукта над Q является мощностью максимального линейно независимого подмножества, поскольку для любого элемента кручения x и любого рационального q

x ⊗ Z q = 0 {\ displaystyle x \ otimes _ {\ mathbf {Z}} q = 0}

x \ otimes _ {\ mathbf Z} q = 0

См. также

Ранг группы

Ссылки