Ранг группы

Для ранга без кручения см. Ранг абелевой группы ; для измерения подгруппы Картана см. Ранг группы Ли.

В математике предмете теории групп, ранг группы G, обозначаемый рангом (G), может относиться к наименьшей мощности из порождающего множества для G, то есть

$ранга\; \; (G)\; =\; min\; \{|\; X\; |\; :\; X\; \subseteq \; G,\; ⟨X⟩\; =\; G\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{rank\}\; (G)\; =\; \backslash \; min\; \backslash \; \{|\; X\; |:\; X\; \backslash \; substeq\; G,\; \backslash \; langle\; X\; \backslash \; rangle\; =\; G\; \backslash \}.\}$

Если G - конечно порожденная группа, то ранг G - целое неотрицательное число. Понятие ранга группы является теоретико-групповым аналогом понятия размерности векторного пространства. Действительно, для p-групп ранг группы P - это размерность векторного пространства P / Φ (P), где Φ (P) - подгруппа Фраттини.

Ранг группы также часто определяется таким образом, чтобы гарантировать, что ранг подгрупп меньше или равен всей группе, что автоматически имеет место для размерностей векторных пространств, но не для таких групп, как аффинные группы. Чтобы различать эти разные определения, этот ранг иногда называют ранг подгруппы . Явно ранг подгруппы группы G равен максимуму рангов ее подгрупп:

$sr\; \; (G)\; =\; max\; H\; \le \; G\; min\; \{|\; X\; |\; :\; X\; \subseteq \; H,\; ⟨X⟩\; =\; H\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{sr\}\; (G)\; =\; \backslash \; max\; \_\; \{H\; \backslash \; leq\; G\}\; \backslash \; min\; \backslash \; \{|\; X\; |:\; X\; \backslash \; substeq\; H,\; \backslash \; langle\; X\; \backslash \; rangle\; =\; H\; \backslash \}.\}$

Иногда ранг подгруппы ограничен абелевыми подгруппами.

Содержание

• 1 Известные факты и примеры
• 2 Проблема ранжирования
• 3 Обобщения и связанные с ними понятия
• 4 См. Также
• 5 Примечания

Известные факты и примеры

• нетривиальная группа G, ранг (G) = 1 тогда и только тогда, когда G является циклической группой. Тривиальная группа T имеет ранг (T) = 0, поскольку минимальное порождающее множество T является пустым множеством.
• Для свободной абелевой группы $Z\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; ^\; \{n\}\}$имеем $rank\; (Z\; n)\; =\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; rm\; \{rank\}\}\; (\backslash \; mathbb\; \{Z\}\; ^\; \{n\})\; =\; n.\}$
• Если X - множество, а G = F (X) - свободная группа со свободным базисом X, то rank (G) = | X |.
• Если группа H является гомоморфным образом (или факторгруппой ) группы G тогда rank (H) ≤ rank (G).
• Если G - конечная неабелева простая группа (например, G = A n, то знакопеременная группа, для n>4), то rank (G) = 2. Этот факт является следствием классификации конечных простых групп.
• Если G конечно порожденная группа и Φ (G) ≤ G - это подгруппа Фраттини группы G (которая всегда нормальна в G, так что фактор-группа G / Φ (G) определена), то rank (G) = rank (G / Φ (G)).
• Если G является фундаментальной группой замкнутого (то есть компактного и без границы) связного 3-многообразия M, то rank (G) ≤g (M), где g (M) - род Хегора группы M.
• Если H, K ≤ F (X) - конечно порожденные подгруппы свободной группы F (X) такой, что пересечение $L\; =\; H\; \cap \; K\; \{\backslash \; di\; splaystyle\; L\; =\; H\; \backslash \; cap\; K\}$нетривиально, тогда L конечно порождено и

rank (L) - 1 ≤ 2 (rank (K) - 1) (rank (H) - 1).

Этот результат принадлежит Ханне Нойман. Гипотеза Ханны Нойман утверждает, что на самом деле каждый всегда имеет ранг (L) - 1 ≤ (ранг (K) - 1) (ранг (H) - 1). Гипотеза Ханны Нойман была недавно решена Игорем Минеевым и независимо анонсирована Джоэлем Фридманом.

• Согласно классической теореме Грушко, ранг ведет себя аддитивно по отношению к взятию бесплатные продукты, то есть для любых групп A и B у нас есть

ранг (A $\ast \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ast\}$B) = ранг (A) + ранг (B).

• Если $G\; =\; ⟨x\; 1,\dots ,\; xn\; |\; r\; =\; 1⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; =\; \backslash \; langle\; x\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; x\_\; \{n\}\; |\; r\; =\; 1\; \backslash \; rangle\}$- это группа с одним соотношением такая, что r не является примитивным элементом в свободной группе F (x 1,..., x n), то есть r не принадлежит свободный базис F (x 1,..., x n), тогда ранг (G) = n.

Проблема ранга

Имеется алгоритмическая проблема, изучаемая в теории групп, известная как проблема ранга . Задача спрашивает для конкретного класса конечно представленных групп, существует ли алгоритм, который, учитывая конечное представление группы из этого класса, вычисляет ранг этой группы. Проблема ранга - одна из наиболее сложных алгоритмических проблем, изучаемых в теории групп, и о ней известно относительно мало. Известные результаты включают:

• Проблема ранга алгоритмически неразрешима для класса всех конечно представленных групп. В самом деле, согласно классическому результату Адяна – Рабина, не существует алгоритма, позволяющего решить, является ли конечно представленная группа тривиальной, поэтому даже вопрос о том, является ли rank (G) = 0, неразрешимым для конечно представленных групп.
• Проблема ранга разрешима для конечных групп и для конечно порожденных абелевых групп.
• Проблема ранга разрешима для конечно порожденных нильпотентных групп. Причина в том, что для такой группы G подгруппа Фраттини группы G содержит коммутаторную подгруппу группы G и, следовательно, ранг группы G равен рангу абелианизации из G.
• Проблема ранга неразрешима для гиперболических групп слов.
• Проблема ранга разрешима для клейновых групп без кручения.
• Проблема ранга открыта для конечно порожденные виртуально абелевы группы (содержащие абелеву подгруппу конечного индекса ), для виртуально свободных групп и для групп 3-многообразий.

Обобщения и связанные с ними понятия

Ранг конечно порожденной группы G может быть эквивалентно определен как наименьшая мощность множества X такого, что существует гомоморфизм на F (X) → G, где F (X) - свободная группа со свободным базисом X. Существует двойственное понятие со-ранга для конечно порожденной группы G, определяемой как наибольшая мощность элемента X такая, что существует гомоморфизм на G → F (X). В отличие от ранга, соранг всегда алгоритмически вычислим для конечно представленных групп, используя алгоритм Маканина и Разборова для решения систем уравнений в свободных группах. Понятие соранга связано с понятием числа отсечений для 3-многообразий.

. Если p является простым числом, то p- ранг числа G - наибольший ранг элементарной абелевой p-подгруппы. секционный p- ранг - это наибольший ранг элементарной абелевой p-секции (факторподгруппы).

См. Также

• Ранг абелевой группы
• Ранг Прюфера
• Теорема Грушко
• Свободная группа
• Эквивалентность Нильсена

Примечания