Свободная абелева группа

редактировать
Не путать с группой Free.

В математике, свободная абелева группа является абелевой группой с основой. Абелева группа означает, что это набор с ассоциативной, коммутативной и обратимой операцией сложения. Базис, также называемый интегральным базисом, - это подмножество, в котором каждый элемент группы может быть однозначно выражен как целочисленная комбинация конечного числа базисных элементов. Например, двумерная целочисленная решетка образует свободную абелеву группу с покоординатным сложением в качестве операции и с двумя точками (1,0) и (0,1) в качестве основы. Свободные абелевы группы обладают свойствами, которые делают их похожими на векторные пространства, и могут быть эквивалентно названы свободными -модулями Z {\ Displaystyle \ mathbb {Z}}, свободными модулями над целыми числами. Теория решеток изучает свободные абелевы подгруппы вещественных векторных пространств. В алгебраической топологии свободные абелевы группы используются для определения цепных групп, а в алгебраической геометрии они используются для определения дивизоров.

Элементы свободной абелевой группы с базисом можно описать несколькими эквивалентными способами. К ним относятся формальные суммы по, которые являются выражениями формы, где каждое является ненулевым целым числом, каждое является отдельным базисным элементом, а сумма имеет конечное число членов. В качестве альтернативы, элементы свободной абелевой группы можно рассматривать как знаковые мультимножества, содержащие конечное число элементов, с кратностью элемента в мультимножестве, равным его коэффициенту в формальной сумме. Другой способ представить элемент свободной абелевой группы - это функция от целых чисел с конечным числом ненулевых значений; для этого функционального представления групповая операция представляет собой поточечное сложение функций. B {\ displaystyle B} B {\ displaystyle B} а я б я {\ textstyle \ sum a_ {i} b_ {i}} а я {\ displaystyle a_ {i}} б я {\ displaystyle b_ {i}} B {\ displaystyle B} B {\ displaystyle B}

Каждое множество имеет свободную абелеву группу, основу которой составляет. Эта группа уникальна в том смысле, что любые две свободные абелевы группы с одним и тем же базисом изоморфны. Вместо того, чтобы строить ее путем описания ее отдельных элементов, свободная группа с базисом может быть построена как прямая сумма копий аддитивной группы целых чисел, с одной копией на член. В качестве альтернативы свободная абелева группа с базисом может быть описана представлением с элементами в качестве ее образующих и с коммутаторами пар членов в качестве ее относителей. Ранг свободной абелевой группы является кардинальным базисом; каждые две базы одной и той же группы дают один и тот же ранг, и любые две свободные абелевы группы с одинаковым рангом изоморфны. Каждая подгруппа свободной абелевой группы сама является свободной абелевой; этот факт позволяет понимать общую абелеву группу как фактор свободной абелевой группы по «отношениям» или как коядро инъективного гомоморфизма между свободными абелевыми группами. Единственными свободными абелевыми группами, которые являются свободными группами, являются тривиальная группа и бесконечная циклическая группа. B {\ displaystyle B} B {\ displaystyle B} B {\ displaystyle B} B {\ displaystyle B} B {\ displaystyle B} B {\ displaystyle B}

СОДЕРЖАНИЕ

  • 1 Примеры
  • 2 конструкции
    • 2.1 Продукты и суммы
    • 2.2 Целочисленные функции и формальные суммы
    • 2.3 Презентация
  • 3 Как модуль
  • 4 свойства
    • 4.1 Универсальное свойство
    • 4.2 Ранг
    • 4.3 Подгруппы
    • 4.4 Кручение и делимость
    • 4.5 Отношение к другим группам
  • 5 приложений
    • 5.1 Алгебраическая топология
    • 5.2 Алгебраическая геометрия и комплексный анализ
    • 5.3 Групповые кольца
  • 6 Ссылки

Примеры

Решетка на евклидовой плоскости. Добавление любых двух синих точек решетки дает еще одну точку решетки; группа, образованная этой операцией сложения, является свободной абелевой группой

Эти целые числа, в соответствии с операцией сложения, образуют свободную абелеву группу с базисом. Каждое целое число представляет собой линейную комбинацию базисных элементов с целыми коэффициентами, а именно с коэффициентом . Точно так же положительные рациональные числа при умножении образуют свободную абелеву группу с простыми числами в качестве основы. По основной теореме арифметики каждое положительное рациональное число может быть однозначно разложено на произведение конечного числа простых чисел или их обратных. В этом примере целочисленные коэффициенты являются показателями каждого простого числа в факторизации и положительны для простых делителей числителя данного рационального числа и отрицательны для делителей знаменателя. { 1 } {\ displaystyle \ {1 \}} п {\ displaystyle n} п знак равно п × 1 {\ Displaystyle п = п \ раз 1} п {\ displaystyle n}

Эти многочлены одной переменной, с целыми коэффициентами, образуют свободную абелеву группу по сложению, с силами, как ее образующих. Фактически, это изоморфная группа мультипликативной группе положительных рациональных чисел с показателем th простого числа в мультипликативной группе рациональных чисел, соответствующим коэффициенту в соответствующем полиноме. Икс {\ displaystyle x} Икс {\ displaystyle x} я {\ displaystyle i} Икс я - 1 {\ Displaystyle х ^ {я-1}}

Двумерная целочисленная решетка, состоящая из точек на плоскости с целочисленными декартовыми координатами, образует свободную абелеву группу при векторном сложении с базисом. Например, обозначив эти базисные векторы и, элемент можно записать Z 2 {\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {2}} { ( 1 , 0 ) , ( 0 , 1 ) } {\ Displaystyle \ {(1,0), (0,1) \}}   е 1 знак равно ( 1 , 0 ) {\ Displaystyle \ е_ {1} = (1,0)}   е 2 знак равно ( 0 , 1 ) {\ Displaystyle \ е_ {2} = (0,1)} ( 4 , 3 ) {\ Displaystyle (4,3)}

( 4 , 3 ) знак равно 4 е 1 + 3 е 2 {\ displaystyle (4,3) = 4e_ {1} + 3e_ {2}} где «умножение» определяется так, что в этом базисе нет другого способа записи. Однако с другим основанием, например, где и, его можно записать как   4 е 1 знак равно е 1 + е 1 + е 1 + е 1 . {\ displaystyle \ 4e_ {1}: = e_ {1} + e_ {1} + e_ {1} + e_ {1}.} ( 4 , 3 ) {\ Displaystyle (4,3)} { ( 1 , 0 ) , ( 1 , 1 ) } {\ Displaystyle \ {(1,0), (1,1) \}}   ж 1 знак равно ( 1 , 0 ) {\ Displaystyle \ f_ {1} = (1,0)}   ж 2 знак равно ( 1 , 1 ) {\ displaystyle \ f_ {2} = (1,1)} ( 4 , 3 ) знак равно ж 1 + 3 ж 2 . {\ displaystyle (4,3) = f_ {1} + 3f_ {2}.}

В более общем смысле каждая решетка образует конечно порожденную свободную абелеву группу. - Мерная целочисленная решетка имеет естественный базис, состоящий из положительных целого числа единичных векторов, но она имеет много других оснований, а также: если является целым число матрица с определителем, то строки образуют базис, и, наоборот, каждый базис целочисленной решетки имеет такую ​​форму. Для получения дополнительной информации о двумерном случае см. Фундаментальную пару периодов. d {\ displaystyle d} Z d {\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {d}} M {\ displaystyle M} d × d {\ displaystyle d \ times d} ± 1 {\ displaystyle \ pm 1} M {\ displaystyle M}

Конструкции

Свободная абелева группа для данного базисного набора может быть построена несколькими различными, но эквивалентными способами: как прямая сумма копий целых чисел, как семейство целочисленных функций, как знаковое мультимножество или путем представления группы.

Продукты и суммы

Прямое произведение групп состоит из кортежей элемента из каждой группы в продукте, с точечно дополнением. Прямое произведение двух свободных абелевых групп само является свободным абелевым, базис которого представляет собой несвязное объединение базисов этих двух групп. В более общем смысле прямое произведение любого конечного числа свободных абелевых групп является свободным абелевым. - Мерное целое число решетки, например, изоморфна прямому произведению копий целой группы. Тривиальная группа также считается свободной абелевой с базисом в пустом множестве. Это может быть истолковано как прямой продукт нулевых копий . d {\ displaystyle d} d {\ displaystyle d} Z {\ Displaystyle \ mathbb {Z}} { 0 } {\ displaystyle \ {0 \}} Z {\ Displaystyle \ mathbb {Z}}

Для бесконечных семейств свободных абелевых групп прямое произведение не обязательно является свободным абелевым. Например, группа Бэра – Шпекера, несчетная группа, образованная как прямое произведение счетного числа копий, в 1937 году было показано Райнхольдом Бэром как не свободная абелева группа, хотя Эрнст Спекер доказал в 1950 году, что все ее счетные подгруппы являются свободными абелевыми подгруппами.. Вместо этого, чтобы получить свободную абелеву группу из бесконечного семейства групп, следует использовать прямую сумму, а не прямое произведение. Прямая сумма и прямое произведение одинаковы, когда они применяются к конечному числу групп, но различаются для бесконечных семейств групп. В прямой сумме элементы снова являются наборами элементов из каждой группы, но с ограничением, что все эти элементы, кроме конечного числа, являются идентичными для своей группы. Прямая сумма бесконечного числа свободных абелевых групп остается свободной абелевой. Он имеет основу, состоящую из кортежей, в которых все элементы, кроме одного, являются идентичными, а оставшаяся часть элемента составляет основу для своей группы. Z N {\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {\ mathbb {N}}} Z {\ Displaystyle \ mathbb {Z}}

Каждую свободную абелеву группу можно описать как прямую сумму копий, по одной копии на каждого члена ее основы. Эта конструкция позволяет любому множеству стать базисом свободной абелевой группы. Z {\ Displaystyle \ mathbb {Z}} B {\ displaystyle B}

Целочисленные функции и формальные суммы

Для данного набора можно определить группу, элементы которой являются функциями от до целых чисел, где скобка в верхнем индексе указывает, что включены только функции с конечным числом ненулевых значений. Если и - две такие функции, то это функция, значения которой являются суммами значений в и: то есть,. Эта операция поточечного сложения дает структуру абелевой группы. B {\ displaystyle B} Z ( B ) {\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {(B)}} B {\ displaystyle B} ж ( Икс ) {\ displaystyle f (x)} грамм ( Икс ) {\ displaystyle g (x)} ж + грамм {\ displaystyle f + g} ж {\ displaystyle f} грамм {\ displaystyle g} ( ж + грамм ) ( Икс ) знак равно ж ( Икс ) + грамм ( Икс ) {\ Displaystyle (е + г) (х) = е (х) + г (х)} Z ( B ) {\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {(B)}}

Каждый элемент из данного набора соответствует члену, функция для которого и для которого для всех. Каждая функция в уникально является линейной комбинацией конечного числа базисных элементов: Икс {\ displaystyle x} B {\ displaystyle B} Z ( B ) {\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {(B)}} е Икс {\ displaystyle e_ {x}} е Икс ( Икс ) знак равно 1 {\ Displaystyle е_ {х} (х) = 1} е Икс ( у ) знак равно 0 {\ displaystyle e_ {x} (y) = 0} у Икс {\ displaystyle y \ neq x} ж {\ displaystyle f} Z ( B ) {\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {(B)}}

ж знак равно { Икс ж ( Икс ) 0 } ж ( Икс ) е Икс {\ displaystyle f = \ sum _ {\ {x \ mid f (x) \ neq 0 \}} f (x) e_ {x}} Таким образом, эти элементы составляют основу и являются свободной абелевой группой. Таким образом, каждое множество можно превратить в базис свободной абелевой группы. е Икс {\ displaystyle e_ {x}} Z ( B ) {\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {(B)}} Z ( B ) {\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {(B)}} B {\ displaystyle B}

Элементы могут также быть записаны как формальные суммы, выражения в форме суммы конечного числа членов, где каждый член записывается как произведение ненулевого целого числа на отдельный член. Эти выражения считаются эквивалентными, если они имеют одинаковые термины, независимо от порядка терминов, и они могут быть добавлены путем формирования объединения терминов, добавления целочисленных коэффициентов для объединения терминов с одним и тем же базовым элементом и удаления терминов, для которых эта комбинация дает нулевой коэффициент. Их также можно интерпретировать как подписанные мультимножества конечного числа элементов. Z ( B ) {\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {(B)}} B {\ displaystyle B} B {\ displaystyle B}

Презентация

Презентация группы представляет собой набор элементов, которые генерируют группу (все элементы группы являются продуктами конечного числа образующих), вместе с «реляторами», продуктами генераторов, которые дают единичный элемент. Свободная абелева группа с базисом имеет представление, в котором образующие являются элементами, а отношения отношения - коммутаторами пар элементов. Здесь коммутатор двух элементов и - произведение ; установка этого продукта на идентичность приводит к равенству, так что и коммутирую. В более общем смысле, если все пары образующих коммутируют, то коммутируют и все пары произведений образующих. Следовательно, группа, порожденная этим представлением, является абелевой, и относители представления образуют минимальный набор относителей, необходимый для обеспечения его абелевой принадлежности. B {\ displaystyle B} B {\ displaystyle B} B {\ displaystyle B} Икс {\ displaystyle x} у {\ displaystyle y} Икс - 1 у - 1 Икс у {\ displaystyle x ^ {- 1} y ^ {- 1} xy} Икс у {\ displaystyle xy} у Икс {\ displaystyle yx} Икс {\ displaystyle x} у {\ displaystyle y}

Когда набор образующих конечно, представление свободной абелевой группы также конечно, потому что есть только конечное число различных коммутаторов, которые нужно включить в представление. Этот факт вместе с тем фактом, что каждая подгруппа свободной абелевой группы является свободной абелевой ( см. Ниже), может использоваться, чтобы показать, что каждая конечно порожденная абелева группа конечно представима. В самом деле, если он конечно порожден набором, он является фактор-группой свободной абелевой группы по свободной абелевой подгруппе, подгруппа, порожденная соотносителями представления. Но поскольку эта подгруппа сама является свободной абелевой, она также конечно порождена, и ее базис (вместе с коммутаторами над) образует конечный набор отношений отношения для представления. грамм {\ displaystyle G} B {\ displaystyle B} B {\ displaystyle B} грамм {\ displaystyle G} B {\ displaystyle B} грамм {\ displaystyle G}

Как модуль

В модулях над целыми числами определяются аналогично векторные пространства над вещественными числами или рациональных числами : они состоят из систем элементов, которые могут быть добавлены друг к другу, с операцией для скалярного умножения на целых числах, которые совместимы с этой операцией сложения. Каждую абелеву группу можно рассматривать как модуль над целыми числами со скалярной операцией умножения, определяемой следующим образом:

0 Икс знак равно 0 {\ Displaystyle 0 \, х = 0}
1 Икс знак равно Икс {\ Displaystyle 1 \, х = х}
п Икс знак равно Икс + ( п - 1 ) Икс , {\ Displaystyle п \, х = х + (п-1) \, х, \ квад} если п gt; 1 {\ displaystyle \ quad ngt; 1}
п Икс знак равно - ( ( - п ) Икс ) , {\ Displaystyle п \, х = - ((- п) \, х),} если п lt; 0 {\ Displaystyle \ четырехъядерный п lt;0}

Однако, в отличие от векторных пространств, не все абелевы группы имеют базис, отсюда и особое название для тех, которые имеют. Свободный модуль является модулем, который может быть представлен в виде прямой суммы над его базовым кольцом, так что свободные абелевы группы и свободные -модулями эквивалентные понятия: каждая свободная абелева группа (с операцией умножения выше) свободного - модуля, и каждый free -модуль происходит таким образом из свободной абелевой группы. Так же, как прямая сумма, другой способ объединить свободные абелевые группы является использование тензорного произведения из модулей. Тензорное произведение двух свободных абелевых групп всегда является свободным абелевым, с базисом, который является декартовым произведением базисов двух групп в произведении. Z {\ Displaystyle \ mathbb {Z}} Z {\ Displaystyle \ mathbb {Z}} Z {\ Displaystyle \ mathbb {Z}} Z {\ Displaystyle \ mathbb {Z}}

Многие важные свойства свободных абелевых групп могут быть обобщены на свободные модули над областью главных идеалов. Например, подмодули свободных модулей над главными идеальными доменами свободны, факт, который пишет Хэтчер (2002), позволяет «автоматически обобщать» гомологический механизм на эти модули. Кроме того, теорема о том, что каждый проективный -модуль является свободным, обобщает таким же образом. Z {\ Displaystyle \ mathbb {Z}}

Характеристики

Универсальная собственность

Свободная абелева группа с базисом имеет следующее универсальное свойство : для каждой функции от к абелевой группе, существует единственный гомоморфизм группы из к которой проходит. По общему свойству универсальных свойств это показывает, что «» абелева группа базы единственна с точностью до изоморфизма. Следовательно, свойство универсальности можно использовать как определение свободной абелевой группы базы. Уникальность группы, определяемой этим свойством, показывает, что все другие определения эквивалентны. F {\ displaystyle F} B {\ displaystyle B} ж {\ displaystyle f} B {\ displaystyle B} А {\ displaystyle A} F {\ displaystyle F} А {\ displaystyle A} ж {\ displaystyle f} B {\ displaystyle B} B {\ displaystyle B}

Именно из-за этого универсального свойства свободные абелевы группы называются «свободными»: они являются свободными объектами в категории абелевых групп, а отображение из базиса в его свободную абелеву группу является функтором от множеств к абелевым группам, присоединенным к забывчивому функтору из абелевых групп в множества. Однако свободная абелева группа не является свободной группой, за исключением двух случаев: свободная абелева группа, имеющая пустой базис (нулевой ранг, дающий тривиальную группу ) или имеющая только один элемент в базисе (ранг один, дающий бесконечную циклическую группу ). Другие абелевы группы не являются свободными группами, потому что в свободных группах они должны отличаться от if и являются разными элементами базиса, тогда как в свободных абелевых группах два продукта должны быть идентичны для всех пар элементов. В общей категории групп это требование является дополнительным ограничением, тогда как это необходимое свойство в категории абелевых групп. а б {\ displaystyle ab} б а {\ displaystyle ba} а {\ displaystyle a} б {\ displaystyle b} а б знак равно б а {\ displaystyle ab = ba}

Классифицировать

Каждые два базиса одной и той же свободной абелевой группы имеют одинаковую мощность, поэтому мощность базиса образует инвариант группы, известный как ее ранг. Две свободные абелевы группы изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют один и тот же ранг. Свободная абелева группа конечно порождена тогда и только тогда, когда ее ранг является конечным числом, и в этом случае группа изоморфна. п {\ displaystyle n} Z п {\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {п}}

Это понятие ранга можно обобщить от свободных абелевых групп до абелевых групп, которые не обязательно являются свободными. Ранг абелевой группы определяется как ранг свободной абелевой подгруппы из, для которых фактор - группа является группа кручения. Эквивалентно, это мощность максимального подмножества, которое порождает свободную подгруппу. Опять же, это групповой инвариант; это не зависит от выбора подгруппы. грамм {\ displaystyle G} F {\ displaystyle F} грамм {\ displaystyle G} грамм / F {\ Displaystyle G / F} грамм {\ displaystyle G}

Подгруппы

Каждая подгруппа свободной абелевой группы сама является свободной абелевой группой. Этот результат Ричарда Дедекинда был предшественником аналогичной теоремы Нильсена – Шрайера о том, что каждая подгруппа свободной группы свободна, и является обобщением того факта, что каждая нетривиальная подгруппа бесконечной циклической группы бесконечна циклическая. Для доказательства нужна аксиома выбора. Доказательство с помощью леммы Цорна (один из многих эквивалентных предположений к аксиоме выбора) можно найти в Serge Lang «s алгебры. Соломон Лефшец и Ирвинг Каплански заявили, что использование принципа хорошего порядка вместо леммы Цорна приводит к более интуитивному доказательству.

В случае конечно порожденных свободных абелевых групп доказательство проще, не требует аксиомы выбора и приводит к более точному результату. Если является подгруппой конечно порожденной свободной абелевой группы, то она свободна и существует базис из положительных целых чисел (то есть каждое из них делит следующее) такой, что является базисом Кроме того, последовательность зависит только от и и не на том основании, которое решает проблему. Конструктивное доказательство существования части теоремы обеспечивается любой алгоритм, вычисляющий Смита нормальную форму матрицы целых чисел. Единственность следует из того факта, что для любого, то наибольший общий делитель миноров ранга матрицы не изменяется при нормальной форме расчета Смита и является продуктом в конце вычислений. грамм {\ displaystyle G} F {\ displaystyle F} грамм {\ displaystyle G} ( е 1 , , е п ) {\ Displaystyle (е_ {1}, \ ldots, е_ {п})} F {\ displaystyle F} d 1 | d 2 | | d k {\ displaystyle d_ {1} | d_ {2} | \ ldots | d_ {k}} ( d 1 е 1 , , d k е k ) {\ displaystyle (d_ {1} e_ {1}, \ ldots, d_ {k} e_ {k})} грамм . {\ displaystyle G.} d 1 , d 2 , , d k {\ displaystyle d_ {1}, d_ {2}, \ ldots, d_ {k}} F {\ displaystyle F} грамм {\ displaystyle G} ( е 1 , , е п ) {\ Displaystyle (е_ {1}, \ ldots, е_ {п})} р k {\ displaystyle r \ leq k} р {\ displaystyle r} d 1 d р {\ Displaystyle d_ {1} \ cdots d_ {r}}

Поскольку каждая конечно порожденная абелева группа является фактор- группой конечно порожденной свободной абелевой группы по подмодулю, основная теорема о конечно порожденных абелевых группах является следствием приведенного выше результата. Эта теорема утверждает, что каждая конечно порожденная абелева группа является прямой суммой циклических групп.

Кручение и делимость

Все свободные абелевы группы не имеют кручения, что означает, что не существует такого группового элемента (неединичного) и ненулевого целого числа, что. Наоборот, все конечно порожденные абелевы группы без кручения являются свободными абелевыми. Икс {\ displaystyle x} п {\ displaystyle n} п Икс знак равно 0 {\ displaystyle nx = 0}

Аддитивная группа рациональных чисел представляет собой пример абелевой группы без кручения (но не конечно порожденной), которая не является свободной абелевой. Одна из причин, по которой не является свободным абелевым, состоит в том, что он делится, что означает, что для каждого элемента и любого ненулевого целого числа можно выразить как скалярное кратное другого элемента . Напротив, ненулевые свободные абелевы группы никогда не делятся, потому что любой из их базисных элементов не может быть нетривиальным целым числом, кратным другим элементам. Q {\ displaystyle \ mathbb {Q}} Q {\ displaystyle \ mathbb {Q}} Икс Q {\ Displaystyle х \ в \ mathbb {Q}} п {\ displaystyle n} Икс {\ displaystyle x} п у {\ displaystyle ny} у знак равно Икс / п {\ Displaystyle у = х / п}

Отношение к другим группам

Если свободная абелева группа является фактором двух групп, то является прямой суммой. А / B {\ displaystyle A / B} А {\ displaystyle A} B А / B {\ Displaystyle B \ oplus A / B}

Для произвольной абелевой группы всегда существует свободная абелева группа и сюръективный групповой гомоморфизм из в. Один из способов построения сюръекции на данную группу - позволить быть свободной абелевой группой над, представленной в виде формальных сумм. Тогда сюръекция может быть определена путем отображения формальных сумм в соответствующие суммы членов. То есть карты сюръекций А {\ displaystyle A} F {\ displaystyle F} F {\ displaystyle F} А {\ displaystyle A} А {\ displaystyle A} F знак равно Z ( А ) {\ Displaystyle F = \ mathbb {Z} ^ {(A)}} А {\ displaystyle A} F {\ displaystyle F} А {\ displaystyle A}

{ Икс а Икс 0 } а Икс е Икс { Икс а Икс 0 } а Икс Икс , {\ displaystyle \ sum _ {\ {x \ mid a_ {x} \ neq 0 \}} a_ {x} e_ {x} \ mapsto \ sum _ {\ {x \ mid a_ {x} \ neq 0 \} } а_ {х} х,} где - целочисленный коэффициент базисного элемента в данной формальной сумме, первая сумма - в, а вторая сумма - в. Эта сюръекция представляет собой уникальный групповой гомоморфизм, расширяющий функцию, и поэтому его конструкция может рассматриваться как пример универсального свойства. а Икс {\ displaystyle a_ {x}} е Икс {\ displaystyle e_ {x}} F {\ displaystyle F} А {\ displaystyle A} е Икс Икс {\ displaystyle e_ {x} \ mapsto x}

Когда и такие же, как указано выше, ядро сюръекции из в также является свободным абелевым, поскольку оно является подгруппой (подгруппы элементов, отображаемых в единицу). Следовательно, эти группы образуют короткую точную последовательность F {\ displaystyle F} А {\ displaystyle A} грамм {\ displaystyle G} F {\ displaystyle F} А {\ displaystyle A} F {\ displaystyle F}

0 грамм F А 0 {\ Displaystyle 0 \ к G \ к F \ к A \ к 0} в котором и являются свободными абелевыми и изоморфны фактор-группе. Это свободное разрешение от. Более того, в предположении выбранной аксиомы свободные абелевы группы являются в точности проективными объектами в категории абелевых групп. F {\ displaystyle F} грамм {\ displaystyle G} А {\ displaystyle A} F / грамм {\ Displaystyle F / G} А {\ displaystyle A}

Приложения

Алгебраическая топология

Основная статья: Цепь (алгебраическая топология)

В алгебраической топологии формальная сумма -мерных

симплексов называется -цепью, а свободная абелева группа, имеющая в качестве основы набор -симплексов, называется цепной группой. Симплексы обычно берутся из некоторого топологического пространства, например, как множество -симплексов в симплициальном комплексе или как множество особых -симплексов в многообразии. Любой -мерный симплекс имеет границу, которая может быть представлена в виде формальной суммы мерных симплексов, а универсальное свойство свободных абелевых групп позволяет этой граница оператору продолжается до гомоморфизма групп от -цепей до -цепей. Система цепных групп, связанных таким образом граничными операторами, образует цепной комплекс, а изучение цепных комплексов составляет основу теории гомологии. k {\ displaystyle k} k {\ displaystyle k} k {\ displaystyle k} k {\ displaystyle k} k {\ displaystyle k} k {\ displaystyle k} ( k - 1 ) {\ Displaystyle (к-1)} k {\ displaystyle k} ( k - 1 ) {\ Displaystyle (к-1)}

Алгебраическая геометрия и комплексный анализ

Основная статья: Дивизор (алгебраическая геометрия) Рациональная функция имеет нуль четвертого порядка в точке 0 (черная точка в центре сюжета), и простые полюса в четырех комплексных числах и (белые точки на концах четырех лепестков). Он может быть представлен (с точностью до скаляра ) делителем, где - базисный элемент для комплексного числа в свободной абелевой группе над комплексными числами. z 4 / ( z 4 - 1 ) {\ displaystyle z ^ {4} / (z ^ {4} -1)} ± 1 {\ displaystyle \ pm 1} ± я {\ displaystyle \ pm i} 4 е 0 - е 1 - е - 1 - е я - е - я {\ displaystyle 4e_ {0} -e_ {1} -e _ {- 1} -e_ {i} -e _ {- i}} е z {\ displaystyle e_ {z}} z {\ displaystyle z}

Каждой рациональной функции над комплексными числами можно сопоставить знаковое мультимножество комплексных чисел,

нулей и полюсов функции (точки, где ее значение равно нулю или бесконечности). Кратность точки в этом мультимножестве - это ее порядок как нуля функции или отрицание ее порядка как полюса. Тогда сама функция может быть восстановлена ​​из этих данных с точностью до скалярного множителя, как c я {\ displaystyle c_ {i}} м я {\ displaystyle m_ {i}} ж ( q ) знак равно ( q - c я ) м я . {\ displaystyle f (q) = \ prod (q-c_ {i}) ^ {m_ {i}}.} Если эти мультимножества интерпретируются как члены свободной абелевой группы над комплексными числами, то произведение или частное двух рациональных функций соответствует сумме или разности двух членов группы. Таким образом, мультипликативная группа рациональных функций может быть разложена на мультипликативную группу комплексных чисел (связанные скалярные множители для каждой функции) и свободную абелеву группу над комплексными числами. Рациональные функции, имеющие ненулевое предельное значение на бесконечности ( мероморфные функции на сфере Римана ), образуют подгруппу этой группы, в которой сумма кратностей равна нулю.

Эта конструкция была обобщена в алгебраической геометрии до понятия дивизора. Существуют разные определения дивизоров, но в целом они образуют абстракцию подмногообразия коразмерности один алгебраического многообразия, множество точек решения системы полиномиальных уравнений. В случае, когда система уравнений имеет одну степень свободы (ее решения образуют алгебраическую кривую или риманову поверхность ), подмногообразие имеет коразмерность один, когда оно состоит из изолированных точек, и в этом случае дивизор снова является знаковым мультимножеством точек из разнообразия. Мероморфные функции на компактной римановой поверхности имеют конечное число нулей и полюсов, и их делители снова могут быть представлены как элементы свободной абелевой группы с умножением или делением функций, соответствующими сложению или вычитанию элементов группы. Однако в этом случае существуют дополнительные ограничения на делитель помимо нулевой суммы кратностей.

Групповые кольца

Групповое кольцо, для любой группы, это кольцо, аддитивная группа является свободной абелевой группой над. Когда конечна и абелева, мультипликативная группа

единиц в имеет структуру прямого произведения конечной группы и конечно порожденной свободной абелевой группы. Z [ грамм ] {\ Displaystyle \ mathbb {Z} [G]} грамм {\ displaystyle G} грамм {\ displaystyle G} грамм {\ displaystyle G} Z [ грамм ] {\ Displaystyle \ mathbb {Z} [G]}

использованная литература

Последняя правка сделана 2023-03-21 10:29:28
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте