Тензорное произведение алгебр

Тензорное произведение алгебр над полем; сама по себе другая алгебра

В математике тензорное произведение двух алгебр над коммутативным кольцом R также является R-алгебра. Это дает тензорное произведение алгебр . Когда кольцо представляет собой поле , наиболее частым применением таких продуктов является описание произведения представлений алгебры.

• 1 Определение
• 2 Дополнительные свойства
• 3 Приложения
• 4 Примеры
• 5 См. Также
• 6 Примечания
• 7 Ссылки

Пусть R будет коммутативным кольцом и пусть A и B будут R-алгебрами. Поскольку A и B оба могут рассматриваться как R-модули, их тензорное произведение

$A\; \otimes \; RB\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \backslash \; otimes\; \_\; \{R\}\; B\}$

также является R -модуль. Тензорному произведению можно придать структуру кольца, определив произведение на элементах вида a ⊗ b как

$(a\; 1\; \otimes \; b\; 1)\; (a\; 2\; \otimes \; b\; 2)\; =\; a\; 1\; a\; 2\; \otimes \; b\; 1\; b\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; (a\_\; \{1\}\; \backslash \; otimes\; b\_\; \{1\})\; (a\_\; \{2\}\; \backslash \; otimes\; b\_\; \{2\})\; =\; a\_\; \{1\}\; a\_\; \{2\}\; \backslash \; otimes\; b\_\; \{1\}\; b\_\; \{2\}\}$

и затем распространяясь по линейности на все A ⊗ R B. Это кольцо является R-алгеброй, ассоциативной и унитальной с единичным элементом, заданным как 1 A ⊗ 1 B. где 1 A и 1 B являются тождественными элементами A и B. Если A и B коммутативны, то тензорное произведение также коммутативно.

Тензорное произведение превращает категорию R-алгебр в симметричную моноидальную категорию.

Существуют естественные гомоморфизмы из A и B в A ⊗ R B, заданное

$a\; \mapsto \; a\; \otimes \; 1\; B\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; \backslash \; mapsto\; a\; \backslash \; otimes\; 1\_\; \{B\}\}$

$b\; \mapsto \; 1\; A\; \otimes \; b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; \backslash \; mapsto\; 1\_\; \{A\}\; \backslash \; otimes\; b\}$

Эти отображения делают тензорное произведение копроизведением в категории коммутативных R-алгебр. Тензорное произведение не является копроизведением в категории всех R-алгебр. Здесь копроизведение дается более общим свободным произведением алгебр. Тем не менее тензорное произведение некоммутативных алгебр можно описать универсальным свойством, аналогичным свойству копроизведения:

$Hom\; (A\; \otimes \; B,\; X)\; \cong \; \{(f,\; g)\; \in \; Hom\; (A,\; X)\; \times \; Hom\; (B,\; X)\; \mid \; \forall \; a\; \in \; A,\; b\; \in \; B:\; [f\; (a),\; g\; (b)]\; =\; 0\},\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{Hom\}\}\; (A\; \backslash \; otimes\; B,\; X)\; \backslash \; cong\; \backslash \; lbrace\; (f,\; g)\; \backslash \; in\; \{\backslash \; text\; \{Hom\}\}\; (A,\; X)\; \backslash \; times\; \{\backslash \; text\; \{Hom\}\}\; (B,\; X)\; \backslash \; mid\; \backslash \; forall\; a\; \backslash \; in\; A,\; b\; \backslash \; in\; B:\; [f\; (a),\; g\; (b)]\; =\; 0\; \backslash \; rbrace,\}$

где [-, -] обозначает коммутатор . естественный изоморфизм задается путем определения морфизма $\varphi :\; A\; \otimes \; B\; \to \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi:\; A\; \backslash \; otimes\; B\; \backslash \; to\; X\}$с левой стороны с парой морфизмов $(f,\; g)\; \{\backslash \; displaystyle\; (f,\; g)\}$в правой части, где $f\; (a):\; =\; \varphi \; (a\; \otimes \; 1)\; \{\; \backslash \; displaystyle\; f\; (a):\; =\; \backslash \; phi\; (a\; \backslash \; otimes\; 1)\}$и аналогично $g\; (b):\; =\; \varphi \; (1\; \otimes \; b)\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (b):\; =\; \backslash \; phi\; (1\; \backslash \; otimes\; b)\}$.

Тензорное произведение коммутативных алгебр постоянно используется в алгебраической геометрии. Для аффинных схем X, Y, Z с морфизмами из X и Z в Y, поэтому X = Spec (A), Y = Spec (B) и Z = Spec (C) для некоторых коммутативных колец A, B, C, схема расслоенного произведения - это аффинная схема, соответствующая тензорному произведению алгебр:

$X\; \times \; YZ\; =\; Spec\; \; (A\; \otimes \; BC).\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \backslash \; times\; \_\; \{Y\}\; Z\; =\; \backslash \; operatorname\; \{Spec\}\; (A\; \backslash \; otimes\; \_\; \{B\}\; C).\}$

В более общем смысле, расслоенное произведение схем определяется склеиванием аффинных расслоенных произведений этого форма.

• Тензорное произведение может использоваться как средство взятия пересечений двух подсхем в схеме : рассмотрим $C\; [x,\; y]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; [x,\; y]\}$-алгебры $C\; [x,\; y]\; /\; f\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; [x,\; y]\; /\; f\; \}$, $C\; [x,\; y]\; /\; g\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; [x,\; y]\; /\; g\}$, то их тензорное произведение равно $C\; [x,\; y]\; /\; (е)\; \otimes \; С\; [Икс,\; Y]\; С\; [Икс,\; Y]\; /\; (г)\; \cong \; С\; [Икс,\; Y]\; /\; (е,\; г)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; [х,\; у]\; /\; (е)\; \backslash \; otimes\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{C\}\; [x,\; y]\}\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; [x,\; y]\; /\; (g)\; \backslash \; cong\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; [x,\; y]\; /\; (f,\; g)\}$, который описывает пересечение алгебраических кривых f = 0 и g = 0 в аффинной плоскости над C.
• Тензорными произведениями, можно использовать как средство изменения коэффициентов. Например, $Z\; [x,\; y]\; /\; (x\; 3\; +\; 5\; x\; 2\; +\; x\; -\; 1)\; \otimes \; ZZ\; /\; 5\; \cong \; Z\; /\; 5\; [x,\; y]\; /\; (x\; 3\; +\; x\; -\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; [x,\; y]\; /\; (x\; ^\; \{3\}\; +\; 5x\; ^\; \{2\}\; +\; x-1)\; \backslash \; otimes\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{Z\}\}\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; 5\; \backslash \; cong\; \backslash \; mathbb\; \{\; Z\}\; /\; 5\; [x,\; y]\; /\; (x\; ^\; \{3\}\; +\; x-1)\}$и $Z\; [x,\; y]\; /\; (f)\; \otimes \; ZC\; \cong \; C\; [x,\; y\; ]\; /\; (е)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; [x,\; y]\; /\; (f)\; \backslash \; otimes\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{Z\}\}\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; \backslash \; cong\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; [x,\; y]\; /\; (f)\}$.
• Тензорные произведения также могут использоваться для взятия произведений аффинных схем над полем. Например, $C\; [x\; 1,\; x\; 2]\; /\; (f\; (x))\; \otimes \; CC\; [y\; 1,\; y\; 2]\; /\; (g\; (y))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; [x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\}]\; /\; (f\; (x))\; \backslash \; otimes\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{C\}\}\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; [y\_\; \{1\},\; y\_\; \{2\}]\; /\; (g\; (y))\}$изоморфен алгебре $C\; [x\; 1,\; x\; 2,\; y\; 1,\; y\; 2]\; /\; (f\; (x),\; g\; (y))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{C\; \}\; [x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\},\; y\_\; \{1\},\; y\_\; \{2\}]\; /\; (f\; (x),\; g\; (y))\}$, что соответствует аффинной поверхности в $AC\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{A\}\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{C\}\}\; ^\; \{4\}\}$, если f и g не равны нулю.

• Расширение скаляров
• Тензорное произведение модулей
• Тензорное произведение полей
• Линейно непересекающееся
• Полилинейное обучение подпространству

• Kassel, Christian (1995), Квантовые группы, Тексты для выпускников по математике, 155, Springer, ISBN 978-0-387-94370-1 CS1 maint: ref = harv (ссылка ).
• Лэнг, Серж (2002) [впервые опубликовано в 1993 году]. Алгебра. Тексты для выпускников по математике. 21 . Springer. ISBN 0- 387-95385- X. CS1 maint: ref = harv (ссылка )