В математике, алгебра над полем (часто называемая просто алгебра ) - это векторное пространство, снабженное билинейным произведением. Таким образом, алгебра - это алгебраическая структура, состоящая из множества вместе с операциями умножения и сложения и скалярного умножения на элементы поля и удовлетворяет аксиомам, подразумеваемым «векторным пространством» и «билинейным».
Операция умножения в алгебре может быть или не быть ассоциативной, что приводит к понятиям ассоциативности алгебры и неассоциативные алгебры. Учитывая целое число n, кольцо вещественных квадратных матриц порядка n является примером ассоциативной алгебры над полем действительных чисел <223.>при сложении матриц и умножении матриц, поскольку умножение матриц является ассоциативным. Трехмерное евклидово пространство с умножением, заданным векторным векторным произведением , является примером неассоциативной алгебры над полем действительных чисел, поскольку векторное векторное произведение неассоциативно и удовлетворяет Личность Якоби вместо этого.
Алгебра является унитарной или унитарной, если она имеет элемент идентичности по отношению к умножению. Кольцо вещественных квадратных матриц порядка n образует унитальную алгебру, поскольку единичная матрица порядка n является единичным элементом по отношению к умножению матриц. Это пример ассоциативной алгебры с единицей, (с единицей) кольца, которое также является векторным пространством.
Многие авторы используют термин «алгебра» для обозначения ассоциативной алгебры, или ассоциативной алгебры с единицей, или в некоторых предметах, таких как алгебраическая геометрия, ассоциативная коммутативная алгебра с единицей.
Замена поля скаляров коммутативным кольцом приводит к более общему понятию алгебры над кольцом. Алгебры не следует путать с векторными пространствами, снабженными билинейной формой , например внутренними пространствами произведения, поскольку для такого пространства результат произведения не находится в пространстве, а скорее в области коэффициентов.
Любое комплексное число можно записать как a + bi, где a и b - действительные числа, а i - мнимая единица. Другими словами, комплексное число представлено вектором (a, b) над полем действительных чисел. Таким образом, комплексные числа образуют двумерное вещественное векторное пространство, где сложение задается формулой (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d), а скалярное умножение задается формулой c (a, b) = (ca, cb), где все a, b, c и d - действительные числа. Мы используем символ · для умножения двух векторов вместе, что мы используем комплексное умножение для определения: (a, b) · (c, d) = (ac - bd, ad + bc).
Следующие утверждения являются основными свойствами комплексных чисел. Если x, y, z- комплексные числа, а a, b - действительные числа, то
Этот пример вписывается в следующее определение, принимая поле K как действительные числа, а векторное пространство A как комплексные числа.
Пусть K будет полем и пусть A будет векторным пространством над K, снабженным дополнительной двоичной операцией из A × A в A, обозначается здесь · (т.е. если x и y - любые два элемента A, x· yявляется произведением x и y ). Тогда A является алгеброй над K, если для всех элементов x, y, z∈ A и всех элементов (часто называемых скалярами ) a и b из K выполняются следующие тождества:
Эти три аксиомы - еще один способ сказать, что двоичная операция билинейна. Иногда алгебру над K также называют K-алгеброй, а K называется базовым полем A. Бинарную операцию часто называют умножением в A. Соглашение, принятое в этой статье, состоит в том, что умножение элементов алгебры не обязательно ассоциативно, хотя некоторые авторы используют термин алгебра для обозначения ассоциативной алгебры.
. Обратите внимание, что когда двоичная операция в векторном пространстве коммутативна, как в приведенном выше примере комплексных чисел, он является левым распределительным, когда он правым распределительным. Но в ge Обычно для некоммутативных операций (таких как следующий пример кватернионов) они не эквивалентны и, следовательно, требуют отдельных аксиом.
вещественные числа можно рассматривать как одномерное векторное пространство с совместимым умножением и, следовательно, одномерную алгебру над собой. Точно так же, как мы видели выше, комплексные числа образуют двумерное векторное пространство над полем действительных чисел и, следовательно, образуют двумерную алгебру над действительными числами. В обоих этих примерах каждый ненулевой вектор имеет обратный, что делает их обе алгебрами с делением. Хотя не существует трехмерных алгебр с делением, в 1843 году были определены кватернионы , которые предоставили теперь известный 4-мерный пример алгебры над действительными числами, где можно не только умножать векторы, но и делить. Любой кватернион может быть записан как (a, b, c, d) = a + b i + c j + d k . В отличие от комплексных чисел, кватернионы являются примером некоммутативной алгебры: например, (0,1,0,0) · (0,0,1,0) = (0,0, 0,1), но (0,0,1,0) · (0,1,0,0) = (0,0,0, −1).
За кватернионами вскоре последовали несколько других систем гиперкомплексных чисел, которые были ранними примерами алгебр над полем.
Предыдущие примеры являются ассоциативными алгебрами. Примером неассоциативной алгебры является трехмерное векторное пространство, снабженное перекрестным произведением . Это простой пример класса неассоциативных алгебр, который широко используется в математике и физике, алгебрах Ли.
Для K-алгебр A и B гомоморфизм K-алгебры - это K- линейное отображение f: A → B такое, что f (xy ) = f (x ) f (y ) для всех x, yв A. Пространство всех гомоморфизмов K-алгебры между A и B часто записывается как
K-алгебра изоморфизм является биективным Гомоморфизм K-алгебр. Для всех практических целей изоморфные алгебры различаются только обозначениями.
Подалгебра алгебры над полем K - это линейное подпространство, обладающее тем свойством, что произведение любых двух его элементов снова находится в подпространство. Другими словами, подалгебра алгебры - это непустое подмножество элементов, замкнутое относительно сложения, умножения и скалярного умножения. В символах мы говорим, что подмножество L в K-алгебре A является подалгеброй, если для любых x, y в L и c в K мы имеем, что x · y, x + y и cx принадлежат L.
В приведенном выше примере комплексных чисел, рассматриваемых как двумерная алгебра над действительными числами, одномерная действительная прямая является подалгеброй.
Левый идеал K-алгебры - это линейное подпространство, обладающее тем свойством, что любой элемент подпространства, умноженный слева на любой элемент алгебры, дает элемент подпространства. В символах мы говорим, что подмножество L K-алгебры A является левым идеалом, если для любых x и y в L, z в A и c в K выполняются следующие три утверждения.
Если бы (3) заменить на x · z в L, то это определило бы правый идеал. Двусторонний идеал - это подмножество, которое одновременно является левым и правым идеалом. Сам по себе термин идеал обычно означает двусторонний идеал. Конечно, когда алгебра коммутативна, все эти понятия идеала эквивалентны. Обратите внимание, что условия (1) и (2) вместе эквивалентны тому, что L является линейным подпространством в A. Из условия (3) следует, что каждый левый или правый идеал является подалгеброй.
Важно отметить, что это определение отличается от определения идеала кольца тем, что здесь требуется условие (2). Конечно, если алгебра унитальна, то из условия (3) следует условие (2).
Если у нас есть расширение поля F / K, то есть большее поле F, содержащее K, тогда есть естественный способ построить алгебру над F из любой алгебры над K. Это та же конструкция, которую используют для создания векторного пространства над большим полем, а именно тензорное произведение . Итак, если A - алгебра над K, то - алгебра над F.
Алгебры над полями бывают разных типов. Эти типы задаются путем настаивания на некоторых дополнительных аксиомах, таких как коммутативность или ассоциативность операции умножения, которые не требуются в широком определении алгебры. Теории, соответствующие различным типам алгебр, часто очень разные.
Алгебра унитальная или унитарная, если она имеет единицу или единичный элемент I с Ix = x = xI для всех x в алгебре.
Алгебра называется нулевой алгеброй, если uv = 0 для всех u, v в алгебре, не путать с алгеброй с одним элементом. Он по своей природе неунитален (за исключением случая только одного элемента), ассоциативен и коммутативен.
Можно определить алгебру унитальных нулей, взяв прямую сумму модулей поля (или, в более общем смысле, кольца) K и K-векторного пространства ( или модуль) V, и определяя произведение каждой пары элементов V равным нулю. То есть, если λ, μ ∈ K и u, v ∈ V, то (λ + u) (μ + v) = λμ + (λv + μu). Если e 1,... e d является базисом V, алгебра нулей с единицей является фактором кольца многочленов K [E 1,..., E n ] идеалом , порожденным E iEjдля каждой пары (i, j).
Примером алгебры единичных нулей является алгебра двойных чисел, алгебра единичных нулей R, построенная из одномерного вещественного векторного пространства.
Эти нулевые алгебры с единицей могут быть более полезными, поскольку они позволяют переводить любое общее свойство алгебр в свойства векторных пространств или модулей. Например, теория базисов Грёбнера была введена Бруно Бухбергером для идеалов в кольце многочленов R = K [x 1,..., x n ] над полем. Построение алгебры унитальных нулей над свободным R-модулем позволяет расширить эту теорию как базисную теорию Гребнера для подмодулей свободного модуля. Это расширение позволяет для вычисления базиса Гребнера подмодуля использовать без каких-либо изменений любой алгоритм и любое программное обеспечение для вычисления базисов идеалов Гребнера.
Примеры ассоциативных алгебр включают
Неассоциативная алгебра (или дистрибутивная алгебра) над полем K - это K-векторное пространство A, снабженное K- билинейное отображение . Использование термина «неассоциативный» здесь означает, что ассоциативность не предполагается, но не означает, что она запрещена. То есть означает «не обязательно ассоциативный».
Примеры, подробно описанные в основной статье, включают:
Определение ассоциативной K-алгебры с единицей также часто дается альтернативным способом. В этом случае алгебра над полем K представляет собой кольцо A вместе с кольцевым гомоморфизмом
где Z (A) - центр кольца A. Поскольку η - гомоморфизм колец, то должно быть либо, что A - нулевое кольцо, или что η инъективно. Это определение эквивалентно приведенному выше, со скалярным умножением
, задаваемым
Для двух таких ассоциативных унитальных K-алгебр A и B гомоморфизм унитальной K-алгебры f: A → B является гомоморфизмом колец, который коммутирует со скалярным умножением, определяемым η, которое можно записать как
для всех и . Другими словами, следующая диаграмма коммутирует:
Для алгебр над В поле билинейное умножение из A × A в A полностью определяется умножением базисных элементов A. Наоборот, после выбора базиса для A произведения базисных элементов могут быть установлены произвольно, а затем уникальным образом расширен до билинейного оператора на A, т. е. полученное умножение удовлетворяет законам алгебры.
Таким образом, для поля K любая конечномерная алгебра может быть указана от до изоморфизма, задав ее размерность (скажем, n) и задают n структурных коэффициентов c i, j, k, которые являются скалярами. Эти структурные коэффициенты определяют умножение в A по следующему правилу:
где e1,..., enобразуют основу A.
Обратите внимание, однако, что несколько различных наборов структурных коэффициентов могут привести к изоморфным алгебрам.
В математической физике структурные коэффициенты обычно записываются с верхним и нижним индексами, чтобы различать их свойства преобразования при преобразованиях координат. В частности, нижние индексы являются ковариантными индексами и преобразуются посредством откатов, в то время как верхние индексы являются контравариантными, преобразующимися под продвижением вперед. Таким образом, структурные коэффициенты часто записываются c i, j, а их определяющее правило записывается с использованием нотации Эйнштейна как
Если вы примените это к векторам, записанным в индексной нотации, тогда это станет
Если K - только коммутативное кольцо, а не поле, то тот же процесс работает, если A является свободным модулем над K. Если это не так, умножение по-прежнему полностью определяется его действием на множество, охватывающее A; однако структурные константы не могут быть указаны произвольно в этом случае, и знание только структурных констант не определяет алгебру с точностью до изоморфизма.
Двумерные, трехмерные и четырехмерные ассоциативные алгебры с единицей над полем комплексных чисел были полностью классифицированы с точностью до изоморфизма автор Эдуард Штюч.
Существуют две двумерные алгебры. Каждая алгебра состоит из линейных комбинаций (с комплексными коэффициентами) двух базисных элементов, 1 (единичный элемент) и a. Согласно определению элемента идентичности,
Осталось указать
существует пять трехмерных алгебр. Каждая алгебра состоит из линейных комбинаций трех базисных элементов, 1 (единичный элемент), a и b. Принимая во внимание определение элемента идентичности, достаточно указать
Четвертая алгебра некоммутативна, а другие коммутативны.
В некоторых областях математики, таких как коммутативная алгебра, принято рассматривать более общую концепцию алгебры над кольцом, где коммутативное кольцо с единицей R заменяет поле K. Единственная часть определения, которая изменяется, состоит в том, что A предполагается R-модулем (вместо векторного пространства над К).
A кольцо A всегда является ассоциативной алгеброй над своим центром и над целыми числами. Классическим примером алгебры над ее центром является алгебра расщепленных бикватернионов, которая изоморфна , прямое произведение двух алгебр кватернионов. Центр этого кольца - это , и, следовательно, оно имеет структуру алгебры над своим центром, которая является не поле. Обратите внимание, что алгебра расщепленных бикватернионов также естественно является 8-мерной -алгеброй.
В коммутативной алгебре, если A является коммутативным кольцом, то любой гомоморфизм кольца с единицей определяет Структура R-модуля на A, и это то, что известно как структура R-алгебры. Таким образом, кольцо имеет естественную структуру модуля , поскольку можно взять уникальный гомоморфизм . С другой стороны, не всем кольцам может быть дана структура алгебры над полем (например, целые числа). См. Поле с одним элементом, чтобы попытаться дать каждому кольцу структуру, которая ведет себя как алгебра над полем.