Sedenion

редактировать

Sedenions
Symbol	$S {\ displaystyle \ mathbb {S}}$ ${\ mathbb S}$
Тип	неассоциативный алгебра
Единицы	e0... e 15
Мультипликативное тождество	e0
Основные свойства	ассоциативность мощности. распределительность
Общие системы
$N {\ displaystyle \ mathbb { N}}$ $\ mathbb N$ Натуральные числа $Z {\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z }$ Целые числа $Q {\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ Рациональные числа $R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ Действительные числа $C {\ displaystyle \ mathbb {C}}$ $\ mathbb {C}$ Комплексные числа $H {\ displaystyle \ mathbb {H}}$ $\ mathbb {H}$ Кватернионы Меньше общие системы Octonions ( $O {\ displaystyle \ mathbb {O}}$ $\ mathbb {O}$ ) Sedenions ( $S {\ displaystyle \ mathbb {S}}$ ${\ mathbb S}$ )

In абстрактной алгебры, сегменты образуют 16- размерную некоммутативную и неассоциативную алгебру над вещественные числа ; они получаются с помощью конструкции Кэли-Диксона в октонионы, и, как таковые, октонионы являются подалгеброй седенионов. В отличие от октонионов, седенионы не являются альтернативной алгеброй. Применение конструкции Кэли-Диксона к седенионам дает 32-мерную алгебру, которую иногда называют 32-ионными или тригинтадуонионами. К седенионам можно применять конструкцию Кэли – Диксона сколько угодно раз.

Термин «седенион» также используется для других 16-мерных алгебраических структур, таких как тензорное произведение двух копий бикватернионов или алгебра матриц 4 на 4 над вещественными числами, или изученное Смитом (1995).

Содержание

1 Арифметика
- 1.1 Седенионные свойства
  - 1.1.1 Антиассоциативные
- 1.2 Кватернионные подалгебры
2 Приложения
3 См. Также
4 Примечания
5 Ссылки

Арифметика

Визуализация четырехмерного расширения кубического октониона, показывающего 35 триад в виде гиперплоскостей через real

(e 0) {\ displaystyle (e_ {0})}

{\ displaystyle (e_ {0})}

вершина приведенного примера sedenion. Обратите внимание, что единственное исключение - тройка

(e 1) {\ displaystyle (e_ {1})}

{\ displaystyle (e_ {1})}

(e 2) {\ displaystyle (e_ {2})}

{\ displaystyle (e_ {2 })}

(e 3) {\ displaystyle (e_ {3})}

{\ displaystyle (e_ {3 })}

не образует гиперплоскость с

(e 0) {\ displaystyle (e_ {0})}

{\ displaystyle (e_ {0})}

Как октонионы, умножение значений не является ни коммутативным, ни ассоциативным. Но в отличие от октонионов седенионы даже не обладают свойством быть альтернативой. Однако они обладают свойством ассоциативности мощности, которое можно сформулировать так для любого элемента xиз $S {\ displaystyle \ mathbb {S}}$ $\ mathbb {S}$ , степень $xn {\ displaystyle x ^ {n}}$ $x ^ {n }$ хорошо определена. Кроме того, они гибкие.

Каждое значение - это линейная комбинация единиц измерения $e 0 {\ displaystyle e_ {0}}$ $e_ {0}$ , $e 1 {\ displaystyle e_ {1 }}$ $e_ {1}$ , $е 2 {\ displaystyle e_ {2}}$ $e_ {2}$ , $e 3 {\ displaystyle e_ {3}}$ $e_ {3}$ ,..., $e 15 {\ displaystyle e_ {15 }}$ ${\ displaystyle e_ {15}}$ , которые образуют базис векторного пространства сегментов. Каждое значение может быть представлено в виде

x = x 0 e 0 + x 1 e 1 + x 2 e 2 +… + x 14 e 14 + x 15 e 15, {\ displaystyle x = x_ {0} e_ {0} + x_ {1} e_ {1} + x_ {2} e_ {2} + \ ldots + x_ {14} e_ {14} + x_ {15} e_ {15}, \,}

x = x_ {0} e_ {0} + x_ {1} e_ { 1} + x_ {2} e_ {2} + \ ldots + x _ {{14}} e _ {{14}} + x _ {{15}} e _ {{15}}, \,

Сложение и вычитание определяются сложением и вычитанием соответствующих коэффициентов, а умножение является распределительным над сложением.

Подобно другим алгебрам, основанным на конструкции Кэли – Диксона, седенионы содержат алгебру, из которой они были построены. Таким образом, они содержат октонионы (сгенерированные $e 0 {\ displaystyle e_ {0}}$ $e_ {0}$ до $e 7 {\ displaystyle e_ {7}}$ ${\ displaystyle e_ {7}}$ в таблицу ниже), а также кватернионы (сгенерированные $e 0 {\ displaystyle e_ {0}}$ $e_ {0}$ до $e 3 {\ displaystyle e_ {3}}$ $e_ {3}$ ), комплексные числа (сгенерированные с помощью $e 0 {\ displaystyle e_ {0}}$ $e_ {0}$ и $e 1 {\ displaystyle e_ {1}}$ $e_ {1}$ ) и вещественных чисел (создается с помощью $e 0 {\ displaystyle e_ {0}}$ $e_ {0}$ ).

Седенионы имеют мультипликативный элемент идентичности $e 0 {\ displaystyle e_ {0}}$ $e_ {0}$ и мультипликативные обратные, но они не являются делением алгебра, потому что у них есть делители нуля. Это означает, что два ненулевых числа можно умножить, чтобы получить ноль: пример: ( $e 3 {\ displaystyle e_ {3}}$ $e_ {3}$ + $e 10 {\ displaystyle e_ {10}}$ ${\ displaystyle e_ {10}}$ )( $e 6 {\ displaystyle e_ {6}}$ ${\ displaystyle e_ {6} }$ − $e 15 {\ displaystyle e_ {15}}$ ${\ displaystyle e_ {15}}$ ). Все системы гиперкомплексных чисел после разделения, основанные на конструкции Кэли – Диксона, содержат делители нуля.

Таблица умножения sedenion показана ниже:

таблица умножения

		multiplier $ej {\ displaystyle e_ {j}}$ $e_ {j}$
	$eiej {\ displaystyle e_ {i} e_ {j} }$ $e_ie_j$	$е 0 {\ displaystyle e_ {0}}$ $e_ {0}$	$e 1 {\ displaystyle e_ {1}}$ $e_ {1}$	$e 2 {\ displaystyle e_ {2}}$ $e_ {2}$	$e 3 {\ displaystyle e_ { 3}}$ $e_ {3}$	$е 4 {\ displaystyle e_ {4}}$ $e_4$	$e 5 {\ displaystyle e_ {5}}$ ${\ displaystyle e_ {5}}$	$e 6 {\ displaystyle e_ {6}}$ ${\ displaystyle e_ {6} }$	$e 7 {\ displaystyle e_ {7}}$ ${\ displaystyle e_ {7}}$	$e 8 {\ displaystyle e_ {8}}$ ${\ displaystyle e_ {8}}$	$e 9 {\ displaystyle e_ {9}}$ ${\ displaystyle e_ {9}}$	$e 10 {\ displaystyle e_ {10}}$ ${\ displaystyle e_ {10}}$	$e 11 { \ displaystyle e_ {11}}$ ${\ displaystyle e_ {11}}$	$e 12 {\ displaystyle e_ {12}}$ ${\ displaystyle e_ {12}}$	$e 13 {\ displaystyle e_ {13}}$ ${\ displaystyle e_ {13}}$	$e 14 {\ displaystyle e_ {14}}$ ${\ displaystyle e_ {14}}$	$e 15 {\ displaystyle e_ {15}}$ ${\ displaystyle e_ {15}}$
множимое $ei {\ displaystyle e_ {i}}$ $e_ {i}$	$e 0 {\ displaystyle e_ {0}}$ $e_ {0}$	$e 0 {\ displaystyle e_ {0} }$ $e_ {0}$	$е 1 {\ displaystyle e_ {1}}$ $e_ {1}$	$e 2 {\ displaystyle e_ {2}}$ $e_ {2}$	$e 3 {\ displaystyle e_ {3}}$ $e_ {3}$	$e 4 {\ displaystyle e_ { 4}}$ $e_4$	$е 5 {\ displaystyle e_ {5}}$ ${\ displaystyle e_ {5}}$	$e 6 {\ displaystyle e_ {6}}$ ${\ displaystyle e_ {6} }$	$e 7 {\ displaystyle e_ {7}}$ ${\ displaystyle e_ {7}}$	$e 8 {\ displaystyle e_ {8}}$ ${\ displaystyle e_ {8}}$	$e 9 {\ displaystyle e_ {9}}$ ${\ displaystyle e_ {9}}$	$e 10 {\ displaystyle e_ {10}}$ ${\ displaystyle e_ {10}}$	$e 11 {\ displaystyle e_ {11}}$ ${\ displaystyle e_ {11}}$	$e 12 {\ displaystyle e_ {12}}$ ${\ displaystyle e_ {12}}$	$e 13 {\ displaystyle e_ {13}}$ ${\ displaystyle e_ {13}}$	$e 14 {\ displaystyle e_ {14}}$ ${\ displaystyle e_ {14}}$	$e 15 {\ displaystyle e_ {15}}$ ${\ displaystyle e_ {15}}$
	$e 1 {\ displaystyle e_ {1}}$ $e_ {1}$	$e 1 {\ displaystyle e_ {1}}$ $e_ {1}$	− $e 0 {\ displaystyle e_ {0}}$ $e_ {0}$	$е 3 {\ displaystyle e_ {3}}$ $e_ {3}$	− $e 2 {\ displaystyle e_ {2}}$ $e_ {2}$	$e 5 {\ displaystyle e_ {5}}$ ${\ displaystyle e_ {5}}$	− $e 4 {\ displaystyle e_ {4}}$ $e_4$	− $е 7 {\ displaystyle e_ {7}}$ ${\ displaystyle e_ {7}}$	$e 6 {\ displaystyle e_ {6}}$ ${\ displaystyle e_ {6} }$	$e 9 {\ displaystyle e_ {9}}$ ${\ displaystyle e_ {9}}$	− $e 8 {\ displaystyle e_ {8} }$ ${\ displaystyle e_ {8}}$	− $е 11 {\ displaystyle e_ {11}}$ ${\ displaystyle e_ {11}}$	$e 10 {\ displaystyle e_ {10}}$ ${\ displaystyle e_ {10}}$	− $e 13 {\ displaystyle e_ {13}}$ ${\ displaystyle e_ {13}}$	$e 12 {\ displaystyle e_ { 12}}$ ${\ displaystyle e_ {12}}$	$е 15 {\ displaystyle e_ {15}}$ ${\ displaystyle e_ {15}}$	− $e 14 {\ displaystyle e_ {14}}$ ${\ displaystyle e_ {14}}$
	$e 2 {\ displaystyle e_ {2}}$ $e_ {2}$	$e 2 {\ displaystyle e_ {2}}$ $e_ {2}$	− $e 3 {\ displaystyle e_ {3}}$ $e_ {3}$	− $e 0 {\ displaystyle e_ {0}}$ $e_ {0}$	$e 1 {\ displaystyle e_ {1}}$ $e_ {1}$	$e 6 { \ displaystyle e_ {6}}$ ${\ displaystyle e_ {6} }$	$e 7 { \ displaystyle e_ {7}}$ ${\ displaystyle e_ {7}}$	− $e 4 {\ displaystyle e_ {4}}$ $e_4$	− $e 5 {\ displaystyle e_ {5}}$ ${\ displaystyle e_ {5}}$	$e 10 {\ displaystyle e_ {10}}$ ${\ displaystyle e_ {10}}$	$e 11 {\ displaystyle e_ {11}}$ ${\ displaystyle e_ {11}}$	− $e 8 {\ displaystyle e_ {8}}$ ${\ displaystyle e_ {8}}$	− $e 9 {\ displaystyle e_ {9}}$ ${\ displaystyle e_ {9}}$	− $e 14 {\ displaystyle e_ {14}}$ ${\ displaystyle e_ {14}}$	− $е 15 {\ displaystyle e_ {15}}$ ${\ displaystyle e_ {15}}$	$e 12 {\ displaystyle e_ {12}}$ ${\ displaystyle e_ {12}}$	$e 13 {\ displaystyle e_ {13}}$ ${\ displaystyle e_ {13}}$
	$e 3 {\ displaystyle e_ {3}}$ $e_ {3}$	$е 3 {\ displaystyle e_ {3}}$ $e_ {3}$	$e 2 {\ displaystyle e_ {2}}$ $e_ {2}$	− $e 1 {\ displaystyle e_ {1}}$ $e_ {1}$	− $e 0 {\ displaystyle e_ {0 }}$ $e_ {0}$	$е 7 {\ displaystyle e_ {7}}$ ${\ displaystyle e_ {7}}$	− $e 6 {\ displaystyle e_ {6}}$ ${\ displaystyle e_ {6} }$	$e 5 {\ displaystyle e_ {5}}$ ${\ displaystyle e_ {5}}$	− $e 4 {\ displaystyle e_ {4}}$ $e_4$	$e 11 {\ displaystyle e_ {11}}$ ${\ displaystyle e_ {11}}$	− $e 10 {\ displaystyle e_ {10}}$ ${\ displaystyle e_ {10}}$	$e 9 {\ displaystyle e_ {9}}$ ${\ displaystyle e_ {9}}$	− $e 8 {\ displaystyle e_ {8}}$ ${\ displaystyle e_ {8}}$	− $e 15 {\ displaystyle e_ {15}}$ ${\ displaystyle e_ {15}}$	$e 14 {\ displaystyle e_ {14}}$ ${\ displaystyle e_ {14}}$	− $e 13 {\ displaystyle e_ {13}}$ ${\ displaystyle e_ {13}}$	$e 12 {\ displaystyle e_ {12}}$ ${\ displaystyle e_ {12}}$
	$e 4 {\ displaystyle e_ {4}}$ $e_4$	$e 4 {\ displaystyle e_ {4}}$ $e_4$	− $e 5 {\ displaystyle e_ {5}}$ ${\ displaystyle e_ {5}}$	− $е 6 {\ Displaystyle е _ {6}}$ ${\ displaystyle e_ {6} }$	− $е 7 {\ displaystyle e_ {7}}$ ${\ displaystyle e_ {7}}$	− $e 0 {\ displaystyle e_ {0}}$ $e_ {0}$	$e 1 {\ displaystyle e_ {1}}$ $e_ {1}$	$e 2 { \ displaystyle e_ {2}}$ $e_ {2}$	$e 3 {\ displaystyle e_ {3}}$ $e_ {3}$	$e 12 {\ displaystyle e_ {12}}$ ${\ displaystyle e_ {12}}$	$e 13 {\ displaystyle e_ {13}}$ ${\ displaystyle e_ {13}}$	$e 14 {\ displaystyle e_ {14}}$ ${\ displaystyle e_ {14}}$	$e 15 {\ displaystyle e_ {15}}$ ${\ displaystyle e_ {15}}$	− $e 8 {\ displaystyle e_ {8}}$ ${\ displaystyle e_ {8}}$	− $e 9 {\ displaystyle e_ {9}}$ ${\ displaystyle e_ {9}}$	− $е 10 {\ displaystyle e_ {10}}$ ${\ displaystyle e_ {10}}$	− $e 11 {\ displaystyle e_ {11}}$ ${\ displaystyle e_ {11}}$
	$e 5 {\ displaystyle e_ {5}}$ ${\ displaystyle e_ {5}}$	$e 5 {\ displaystyle e_ {5}}$ ${\ displaystyle e_ {5}}$	$е 4 {\ displaystyle e_ {4}}$ $e_4$	− $e 7 {\ displaystyle e_ {7}}$ ${\ displaystyle e_ {7}}$	$e 6 {\ displaystyle e_ {6}}$ ${\ displaystyle e_ {6} }$	− $e 1 {\ displaystyle e_ {1 }}$ $e_ {1}$	− $е 0 {\ displaystyle e_ {0}}$ $e_ {0}$	− $e 3 {\ displaystyle e_ {3}}$ $e_ {3}$	$e 2 {\ displaystyle e_ {2}}$ $e_ {2}$	$e 13 {\ displaystyle e_ {13}}$ ${\ displaystyle e_ {13}}$	− $e 12 {\ displaystyle e_ {12}}$ ${\ displaystyle e_ {12}}$	$e 15 {\ displaystyle e_ {15}}$ ${\ displaystyle e_ {15}}$	− $e 14 {\ displaystyle e_ {14}}$ ${\ displaystyle e_ {14}}$	$e 9 {\ displaystyle e_ {9}}$ ${\ displaystyle e_ {9}}$	− $e 8 {\ displaystyle e_ {8}}$ ${\ displaystyle e_ {8}}$	$e 11 {\ displaystyle e_ {11}}$ ${\ displaystyle e_ {11}}$	− $e 10 {\ displaystyle e_ {10}}$ ${\ displaystyle e_ {10}}$
	$e 6 {\ displaystyle e_ {6}}$ ${\ displaystyle e_ {6} }$	$e 6 {\ displaystyle e_ {6}}$ ${\ displaystyle e_ {6} }$	$e 7 {\ displaystyle e_ {7}}$ ${\ displaystyle e_ {7}}$	$e 4 {\ displaystyle e_ {4}}$ $e_4$	− $e 5 {\ displaystyle e_ {5}}$ ${\ displaystyle e_ {5}}$	− $е 2 {\ displaystyle e_ {2}}$ $e_ {2}$	$e 3 {\ displaystyle e_ {3}}$ $e_ {3}$	− $e 0 {\ displaystyle e_ {0}}$ $e_ {0}$	− $e 1 {\ displaystyle e_ {1}}$ $e_ {1}$	$е 14 {\ displaystyle e_ {14}}$ ${\ displaystyle e_ {14}}$	− $e 15 {\ displaystyle e_ {15}}$ ${\ displaystyle e_ {15}}$	− $e 12 {\ displaystyle e_ {12}}$ ${\ displaystyle e_ {12}}$	$e 13 {\ displaystyle e_ {13} }$ ${\ displaystyle e_ {13}}$	$е 10 {\ displaystyle e_ {10}}$ ${\ displaystyle e_ {10}}$	− $e 11 {\ displaystyle e_ {11}}$ ${\ displaystyle e_ {11}}$	− $e 8 {\ displaystyle e_ {8}}$ ${\ displaystyle e_ {8}}$	$e 9 {\ displaystyle e_ { 9}}$ ${\ displaystyle e_ {9}}$
	$е 7 {\ displaystyle e_ {7}}$ ${\ displaystyle e_ {7}}$	$e 7 {\ displaystyle e_ {7}}$ ${\ displaystyle e_ {7}}$	− $e 6 {\ displaystyle e_ {6}}$ ${\ displaystyle e_ {6} }$	$e 5 {\ displaystyle e_ {5}}$ ${\ displaystyle e_ {5}}$	$e 4 {\ displaystyle e_ {4}}$ $e_4$	− $e 3 {\ displaystyle e_ {3}}$ $e_ {3}$	− $e 2 {\ displaystyle e_ {2}}$ $e_ {2}$	$e 1 { \ displaystyle e_ {1}}$ $e_ {1}$	− $e 0 {\ displaystyle e_ {0}}$ $e_ {0}$	$e 15 {\ displaystyle e_ {15}}$ ${\ displaystyle e_ {15}}$	$e 14 {\ displaystyle e_ {14}}$ ${\ displaystyle e_ {14}}$	− $e 13 {\ displaystyle e_ {13}}$ ${\ displaystyle e_ {13}}$	− $e 12 {\ displaystyle e_ {12}}$ ${\ displaystyle e_ {12}}$	$e 11 {\ displaystyle e_ {11}}$ ${\ displaystyle e_ {11}}$	$e 10 {\ displaystyle e_ {10}}$ ${\ displaystyle e_ {10}}$	− $е 9 {\ Displaystyle e_ {9}}$ ${\ displaystyle e_ {9}}$	− $e 8 {\ displaystyle e_ {8}}$ ${\ displaystyle e_ {8}}$
	$e 8 {\ displaystyle e_ {8}}$ ${\ displaystyle e_ {8}}$	$e 8 {\ displaystyle e_ {8}}$ ${\ displaystyle e_ {8}}$	− $e 9 { \ displaystyle e_ {9}}$ ${\ displaystyle e_ {9}}$	− $e 10 {\ displaystyle e_ {10}}$ ${\ displaystyle e_ {10}}$	− $e 11 {\ displaystyle e_ {11}}$ ${\ displaystyle e_ {11}}$	− $e 12 {\ displaystyle e_ {12}}$ ${\ displaystyle e_ {12}}$	− $e 13 {\ displaystyle e_ {13}}$ ${\ displaystyle e_ {13}}$	− $e 14 {\ displaystyle e_ {14}}$ ${\ displaystyle e_ {14}}$	− $e 15 {\ displaystyle e_ {15}}$ ${\ displaystyle e_ {15}}$	− $e 0 {\ displaystyle e_ {0}}$ $e_ {0}$	$е 1 {\ displaystyle e_ {1}}$ $e_ {1}$	$e 2 {\ displaystyle e_ {2}}$ $e_ {2}$	$e 3 {\ displaystyle e_ {3}}$ $e_ {3}$	$e 4 {\ displaystyle e_ {4}}$ $e_4$	$е 5 {\ displaystyle e_ {5}}$ ${\ displaystyle e_ {5}}$	$e 6 {\ displaystyle e_ {6}}$ ${\ displaystyle e_ {6} }$	$e 7 {\ displaystyle e_ {7}}$ ${\ displaystyle e_ {7}}$
	$e 9 {\ displaystyle e_ {9 }}$ ${\ displaystyle e_ {9}}$	$е 9 {\ displaystyle e_ {9}}$ ${\ displaystyle e_ {9}}$	$e 8 {\ displaystyle e_ {8}}$ ${\ displaystyle e_ {8}}$	− $e 11 {\ displaystyle e_ {11}}$ ${\ displaystyle e_ {11}}$	$e 10 {\ displaystyle e_ {10}}$ ${\ displaystyle e_ {10}}$	− $e 13 {\ displaystyle e_ {13}}$ ${\ displaystyle e_ {13}}$	$e 12 {\ displaystyle e_ {12}}$ ${\ displaystyle e_ {12}}$	$e 15 {\ displaystyle e_ {15}}$ ${\ displaystyle e_ {15}}$	− $e 14 {\ displaystyle e_ {14}}$ ${\ displaystyle e_ {14}}$	− $e 1 {\ displaystyle e_ {1}}$ $e_ {1}$	− $e 0 {\ displaystyle e_ {0}}$ $e_ {0}$	− $e 3 {\ displaystyle e_ {3}}$ $e_ {3}$	$e 2 {\ displaystyle e_ {2}}$ $e_ {2}$	− $e 5 {\ displaystyle e_ {5}}$ ${\ displaystyle e_ {5}}$	$e 4 {\ displaystyle e_ {4}}$ $e_4$	$e 7 {\ displaystyle e_ {7}}$ ${\ displaystyle e_ {7}}$	− $e 6 {\ displaystyle e_ {6}}$ ${\ displaystyle e_ {6} }$
	$е 10 {\ displaystyle e_ {10}}$ ${\ displaystyle e_ {10}}$	$e 10 {\ displaystyle e_ {10}}$ ${\ displaystyle e_ {10}}$	$e 11 {\ displaystyle e_ {11}}$ ${\ displaystyle e_ {11}}$	$e 8 {\ displaystyle e_ {8}}$ ${\ displaystyle e_ {8}}$	− $е 9 {\ displaystyle e_ {9}}$ ${\ displaystyle e_ {9}}$	− $e 14 {\ displaystyle e_ {14}}$ ${\ displaystyle e_ {14}}$	− $e 15 {\ displaystyle e_ {15}}$ ${\ displaystyle e_ {15}}$	$e 12 {\ displaystyle e_ {12} }$ ${\ displaystyle e_ {12}}$	$е 13 {\ displaystyle e_ {13}}$ ${\ displaystyle e_ {13}}$	− $e 2 {\ displaystyle e_ {2}}$ $e_ {2}$	$e 3 {\ displaystyle e_ {3}}$ $e_ {3}$	− $e 0 {\ displaystyle e_ { 0}}$ $e_ {0}$	− $е 1 {\ displaystyle e_ {1}}$ $e_ {1}$	− $e 6 {\ displaystyle e_ {6}}$ ${\ displaystyle e_ {6} }$	− $e 7 {\ displaystyle e_ {7}}$ ${\ displaystyle e_ {7}}$	$e 4 {\ displaystyle e_ {4}}$ $e_4$	$e 5 {\ displaystyle e_ {5}}$ ${\ displaystyle e_ {5}}$
	$e 11 {\ displaystyle e_ {11}}$ ${\ displaystyle e_ {11}}$	$e 11 {\ displaystyle e_ {11}}$ ${\ displaystyle e_ {11}}$	− $e 10 { \ displaystyle e_ {10}}$ ${\ displaystyle e_ {10}}$	$e 9 {\ displaystyle e_ {9}}$ ${\ displaystyle e_ {9}}$	$e 8 {\ displaystyle e_ {8}}$ ${\ displaystyle e_ {8}}$	− $e 15 {\ displaystyle e_ {15}}$ ${\ displaystyle e_ {15}}$	$e 14 {\ displaystyle e_ {14}}$ ${\ displaystyle e_ {14}}$	− $e 13 {\ displaystyle e_ {13}}$ ${\ displaystyle e_ {13}}$	$e 12 {\ displaystyle e_ {12}}$ ${\ displaystyle e_ {12}}$	− $e 3 {\ displaystyle e_ {3}}$ $e_ {3}$	− $e 2 {\ отображает tyle e_ {2}}$ $e_ {2}$	$e 1 {\ displaystyle e_ {1}}$ $e_ {1}$	− $e 0 {\ displaystyle e_ {0}}$ $e_ {0}$	− $e 7 {\ displaystyle e_ {7}}$ ${\ displaystyle e_ {7}}$	$e 6 {\ displaystyle e_ {6}}$ ${\ displaystyle e_ {6} }$	− $e 5 {\ displaystyle e_ {5}}$ ${\ displaystyle e_ {5}}$	$e 4 {\ displaystyle e_ {4}}$ $e_4$
	$e 12 {\ displaystyle e_ {12}}$ ${\ displaystyle e_ {12}}$	$е 12 {\ displaystyle e_ {12}}$ ${\ displaystyle e_ {12}}$	$e 13 {\ displaystyle e_ {13}}$ ${\ displaystyle e_ {13}}$	$e 14 {\ displaystyle e_ {14}}$ ${\ displaystyle e_ {14}}$	$e 15 {\ displaystyle e_ {15}}$ ${\ displaystyle e_ {15}}$	$е 8 {\ displaystyle e_ {8}}$ ${\ displaystyle e_ {8}}$	− $e 9 {\ displaystyle e_ {9}}$ ${\ displaystyle e_ {9}}$	− $e 10 {\ displaystyle e_ {10}}$ ${\ displaystyle e_ {10}}$	− $e 11 {\ displaystyle e_ {11} }$ ${\ displaystyle e_ {11}}$	− $е 4 {\ displaystyle e_ {4}}$ $e_4$	$e 5 {\ displaystyle e_ {5}}$ ${\ displaystyle e_ {5}}$	$e 6 {\ displaystyle e_ {6}}$ ${\ displaystyle e_ {6} }$	$e 7 {\ displaystyle e_ { 7}}$ ${\ displaystyle e_ {7}}$	− $е 0 {\ displaystyle e_ {0}}$ $e_ {0}$	− $e 1 {\ displaystyle e_ {1}}$ $e_ {1}$	− $e 2 {\ displaystyle e_ {2}}$ $e_ {2}$	− $e 3 {\ displaystyle e_ {3}}$ $e_ {3}$
	$e 13 {\ displaystyle e_ {13}}$ ${\ displaystyle e_ {13}}$	$e 13 {\ displaystyle e_ {13}}$ ${\ displaystyle e_ {13}}$	− $e 12 {\ displaystyle e_ {12}}$ ${\ displaystyle e_ {12}}$	$e 15 { \ displaystyle e_ {15}}$ ${\ displaystyle e_ {15}}$	− $e 14 {\ displaystyle e_ {14}}$ ${\ displaystyle e_ {14}}$	$e 9 {\ displaystyle e_ {9}}$ ${\ displaystyle e_ {9}}$	$e 8 {\ displaystyle e_ {8}}$ ${\ displaystyle e_ {8}}$	$e 11 {\ displaystyle e_ {11}}$ ${\ displaystyle e_ {11}}$	− $е 10 {\ displaystyle e_ {10}}$ ${\ displaystyle e_ {10}}$	− $e 5 {\ displaystyle e_ {5}}$ ${\ displaystyle e_ {5}}$	− $e 4 {\ displaystyle e_ {4}}$ $e_4$	$e 7 {\ displaystyle e_ {7} }$ ${\ displaystyle e_ {7}}$	− $е 6 {\ displaystyle e_ {6}}$ ${\ displaystyle e_ {6} }$	$e 1 {\ displaystyle e_ {1}}$ $e_ {1}$	− $e 0 {\ displaystyle e_ {0}}$ $e_ {0}$	$e 3 {\ displaystyle e_ { 3}}$ $e_ {3}$	− $е 2 {\ displaystyle e_ {2}}$ $e_ {2}$
	$e 14 {\ displaystyle e_ {14}}$ ${\ displaystyle e_ {14}}$	$e 14 {\ displaystyle e_ {14}}$ ${\ displaystyle e_ {14}}$	− $e 15 {\ displaystyle e_ {15}}$ ${\ displaystyle e_ {15}}$	− $e 12 {\ displaystyle e_ {12}}$ ${\ displaystyle e_ {12}}$	$e 13 {\ displaystyle e_ {13}}$ ${\ displaystyle e_ {13}}$	$e 10 {\ displaystyle e_ {10}}$ ${\ displaystyle e_ {10}}$	− $e 11 { \ displaystyle e_ {11}}$ ${\ displaystyle e_ {11}}$	$e 8 {\ displaystyle e_ {8}}$ ${\ displaystyle e_ {8}}$	$e 9 {\ displaystyle e_ {9}}$ ${\ displaystyle e_ {9}}$	− $e 6 {\ displaystyle e_ {6}}$ ${\ displaystyle e_ {6} }$	− $e 7 {\ displaystyle e_ {7}}$ ${\ displaystyle e_ {7}}$	− $e 4 {\ displaystyle e_ {4}}$ $e_4$	$e 5 {\ displaystyle e_ {5}}$ ${\ displaystyle e_ {5}}$	$e 2 {\ displaystyle e_ {2}}$ $e_ {2}$	− $е 3 {\ displaystyle e_ {3}}$ $e_ {3}$	− $e 0 {\ displaystyle e_ {0}}$ $e_ {0}$	$e 1 {\ displaystyle e_ {1}}$ $e_ {1}$
	$e 15 {\ displaystyle e_ {15}}$ ${\ displaystyle e_ {15}}$	$е 15 {\ displaystyle e_ {15}}$ ${\ displaystyle e_ {15}}$	$e 14 {\ displaystyle e_ {14}}$ ${\ displaystyle e_ {14}}$	− $e 13 {\ displaystyle e_ {13}}$ ${\ displaystyle e_ {13}}$	− $e 12 {\ displaystyle e_ {12 }}$ ${\ displaystyle e_ {12}}$	$e 11 {\ di splaystyle e_ {11}}$ ${\ displaystyle e_ {11}}$	$e 10 {\ displaystyle e_ {10}}$ ${\ displaystyle e_ {10}}$	− $e 9 {\ displaystyle e_ {9}}$ ${\ displaystyle e_ {9}}$	$e 8 {\ displaystyle e_ {8}}$ ${\ displaystyle e_ {8}}$	− $e 7 {\ displaystyle e_ {7}}$ ${\ displaystyle e_ {7}}$	$e 6 {\ displaystyle e_ {6}}$ ${\ displaystyle e_ {6} }$	− $e 5 {\ displaystyle e_ {5}}$ ${\ displaystyle e_ {5}}$	− $e 4 {\ displaystyle e_ {4}}$ $e_4$	$е 3 {\ displaystyle e_ {3}}$ $e_ {3}$	$e 2 {\ displaystyle e_ {2}}$ $e_ {2}$	− $e 1 {\ displaystyle e_ {1}}$ $e_ {1}$	− $e 0 {\ displaystyle e_ {0}}$ $e_ {0}$

Свойства Sedenion

Из приведенной выше таблицы мы видим, что:

e 0 ei = eie 0 = ei для всех i, {\ displaystyle e_ {0} e_ {i} = e_ {i } e_ {0} = e_ {i} \, {\ text {для всех}} \, i,}

{\ displaystyle e_ {0} e_ {i} = e_ {i} e_ {0} = e_ { i} \, {\ text {для всех}} \, i,}

eiei = - e 0 для i ≠ 0, {\ displaystyle e_ {i} e_ {i} = -e_ {0} \, \, {\ text {for}} \, \, i \ neq 0,}

e_ {i} e_ {i} = - e_ {0} \, \, {\ text {for}} \, \, i \ neq 0,

eiej = - ejei для i ≠ j и i, j ≠ 0. {\ displaystyle e_ {i } e_ {j} = - e_ {j} e_ {i} \, \, {\ text {for}} \, \, i \ neq j \, \, {\ text {and}} \, \, i, j \ neq 0.}

e_ {i} e_ {j} = - e_ {j} e_ {i} \, \, {\ text {for}} \, \, i \ neq j \, \, {\ текст {и}} \, \, i, j \ neq 0.

Антиассоциативный

Седенионы не полностью антиассоциативны. Выберите любые четыре генератора, $i, j, k {\ displaystyle i, j, k}$ $i, j, k$ и $l {\ displaystyle l}$ $l$ . Следующий 5-цикл показывает, что хотя бы одно из этих отношений должно ассоциироваться.

$(ij) (kl) = - ((ij) k) l = (i (jk)) l = - i ((jk) l) = i (j (kl)) = - (ij) (kl) Знак равно 0 {\ Displaystyle (ij) (kl) = - ((ij) k) l = (i (jk)) l = -i ((jk) l) = i (j (kl)) = - (ij) (kl) = 0}$ ${\ displaystyle (ij) (kl) = - ((ij) k) l = (i (jk)) l = -i ((jk) l) = я (j (kl)) = - (ij) (kl) = 0}$

В частности, в приведенной выше таблице с использованием $e 1, e 2, e 4 {\ displaystyle e_ {1}, e_ {2}, e_ {4}}$ ${\ displaystyle e_ {1}, e_ {2}, e_ {4}}$ и $e 8 {\ displaystyle e_ {8}}$ ${\ displaystyle e_ {8}}$ связывает последнее выражение. $(e 1 e 2) e 12 = e 1 (e 2 e 12) = - e 15 {\ displaystyle (e_ {1} e_ {2}) e_ {12} = e_ {1} (e_ {2 } e_ {12}) = - e_ {15}}$ ${\ displaystyle (e_ {1} e_ {2}) e_ {12} = e_ {1} (e_ {2} e_ {12}) = - e_ {15}}$

Кватернионные подалгебры

35 триад, составляющих эту конкретную таблицу умножения седенионов с 7 триадами октонионов, используемых в создание седениона с помощью конструкции Кэли-Диксона, выделенной жирным шрифтом:

Двоичные представления индексов этих троек xor равны 0.

{{1, 2, 3}, {1, 4, 5}, {1, 7, 6}, {1, 8, 9}, {1, 11, 10}, {1, 13, 12}, {1, 14, 15},. {2, 4, 6}, {2, 5, 7}, {2, 8, 10}, {2, 9, 11}, {2, 14, 12}, {2, 15, 13}, {3, 4, 7},. {3, 6, 5}, { 3, 8, 11}, {3, 10, 9}, {3, 13, 14}, {3, 15, 12}, {4, 8, 12}, {4, 9, 13},. {4, 10, 14}, {4, 11, 15}, {5, 8, 13}, {5, 10, 15}, {5, 12, 9}, {5, 14, 11}, {6, 8, 14},. {6, 11, 13}, {6, 12, 10}, {6, 15, 9}, {7, 8, 15}, {7, 9, 14}, { 7, 12, 11}, {7, 13, 10}}

Список из 84 наборов делителей нуля { $ea {\ disp Laystyle e_ {a}}$ $e_ {a}$ , $eb {\ displaystyle e_ {b}}$ ${\ displaystyle e_ {b}}$ , $ec {\ displaystyle e_ {c}}$ $e_c$ , $ed {\ displaystyle e_ {d}}$ ${\ displaystyle e_ {d}}$ }, где ( $еа {\ displaystyle e_ {a}}$ $e_ {a}$ + $eb {\ displaystyle e_ {b}}$ ${\ displaystyle e_ {b}}$ ) $∘ {\ displaystyle \ circ}$ $\ circ$ ( $ec {\ displaystyle e_ {c}}$ $e_c$ + $ed {\ displaystyle e_ {d}}$ ${\ displaystyle e_ {d}}$ ) = 0:

Приложения

Морено (1998) показали, что пространство пар сегментов норма-единица, умножающихся на ноль, равно гомеоморфна компактной форме исключительной группы Ли G2. (Обратите внимание, что в его статье «делитель нуля» означает пару элементов, которые умножаются до нуля.)

Нейронные сети Sedenion предоставляют средства эффективного и компактного выражения в приложениях машинного обучения и использовались при решении нескольких проблемы прогнозирования временных рядов.

См. Также

Примечания

Ссылки

Imaeda, K.; Imaeda, M. (2000), «Sedenions: алгебра и анализ», Applied Mathematics and Computing, 115 (2): 77–88, doi : 10.1016 / S0096 -3003 (99) 00140-X, MR 1786945
Баэз, Джон К. (2002). «Октонионы». Бюллетень Американского математического общества. Новая серия. 39 (2): 145–205. arXiv : math / 0105155. doi : 10.1090 / S0273-0979-01-00934-X. MR 1886087. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
Biss, Daniel K.; Christensen, J. Daniel; Dugger, Daniel; Isaksen, Daniel C. (2007). "Большие аннигиляторы в алгебрах Кэли-Диксона II". Boletin de la Sociedad Matematica Mexicana. 3 : 269– 292. arXiv : math / 0702075. Cite имеет пустой неизвестный параметр: | 1 =()
Kinyon, MK; Филлипс, Дж. Д.; Войтеховский, П. (2007). «C-петли: расширения и конструкции». Журнал алгебры и ее приложений. 6 (1): 1–20. arXiv : math / 0412390. CiteSeerX 10.1.1.240.6208. doi : 10.1142 / S0219498807001990.
Kivunge, Бенард М.; Смит, Джонатан Д. Х (2004). «Подциклы sedenions» (PDF). Комментарий. Math. Univ. Carolinae. 45 (2): 295– 302.
Морено, Гильермо (1998), "Делители нуля алгебр Кэли – Диксона над действительными числами", Bol. Soc. Mat. Mexicana, Series 3, 4 ( 1): 13–28, arXiv : q-alg / 9710013, Bibcode : 1997q.alg.... 10013G, MR 1625585
Смит, Джонатан Д.Х. (1995), «Левая петля на сфере из 15», Journal of Algebra, 176 (1): 128–138, doi : 10.1006 / jabr.1995.1237, MR 1345298
L. С. Сауд и Х. Аль-Марзуки, «Нейронная сеть с метакогнитивным значением Sedenion и ее алгоритм обучения», в IEEE Access, vol. 8, стр. 144823-144838, 2020, doi: 10.1109/ACCESS.2020.3014690.