Теория инвариантов

редактировать

Математическое исследование инвариантов при симметриях

Теория инвариантов - это ветвь абстрактной алгебры. с действиями из групп на алгебраических разновидностях, таких как векторные пространства, с точки зрения их влияния на функции. Классически теория занималась вопросом явного описания полиномиальных функций, которые не изменяются или инвариантны относительно преобразований из данной линейной группы. Например, если мы рассмотрим действие специальной линейной группы SLnна пространстве матриц n на n умножением слева, то определитель является инвариантом этого действия, поскольку определитель AX равно определителю X, когда A находится в SL n.

Содержание

1 Введение
2 Примеры
3 Истоки XIX века
4 Теоремы Гильберта
5 Геометрическая теория инвариантов
6 См. Также
7 Ссылки
8 Внешние ссылки

Введение

Пусть $G {\ displaystyle G}$ $G$ будет группой и $V {\ displaystyle V}$ $V$ конечномерное векторное пространство над полем $k {\ displaystyle k}$ $к$ (который в классической теории инвариантов обычно считался комплексными числами ). представление из $G {\ displaystyle G}$ $G$ в $V {\ displaystyle V}$ $V$ является гомоморфизмом группы $π: G → GL (V) {\ displaystyle \ pi: G \ to GL (V)}$ $\ pi: G \ к GL (V)$ , который вызывает групповое действие из $G {\ displaystyle G}$ $G$ на $V {\ displaystyle V}$ $V$ . Если $k [V] {\ displaystyle k [V]}$ $k [V]$ - это пространство полиномиальных функций на $V {\ displaystyle V}$ $V$ , то групповое действие $G {\ displaystyle G}$ $G$ на $V {\ displaystyle V}$ $V$ производит действие на $k [V] {\ displaystyle k [V]}$ $k [V]$ по следующей формуле:

(g ⋅ f) (x): = f (g - 1 (x)) ∀ x ∈ V, g ∈ G, f ∈ k [V]. {\ Displaystyle (г \ CDOT е) (х): = е (г ^ {- 1} (х)) \ qquad \ forall х \ в V, г \ в G, е \ в к [V].}

{\ Displaystyle (г \ CDOT е) (х): = е (г ^ {- 1} (х)) \ qquad \ forall х \ в V, г \ в G, е \ в к [V]. }

С помощью этого действия естественно рассматривать подпространство всех полиномиальных функций, которые инвариантны относительно этого действия группы, другими словами, набор полиномов, таких что $g ⋅ f = f {\ displaystyle g \ cdot f = f }$ ${\ displaystyle g \ cdot f = f}$ для всех $g ∈ G {\ displaystyle g \ in G}$ $g \ in G$ . Это пространство инвариантных многочленов обозначается $k [V] G {\ displaystyle k [V] ^ {G}}$ $k [V] ^ { G}$ .

Первая проблема теории инвариантов : Is $k [V] G {\ displaystyle k [V] ^ {G}}$ $k [V] ^ { G}$ a конечно порожденная алгебра над $k {\ displaystyle k}$ $к$ ?

Например, если $G = SL n { \ displaystyle G = SL_ {n}}$ ${\ displaystyle G = SL_ {n}}$ и $V = M n {\ displaystyle V = M_ {n}}$ ${\ displaystyle V = M_ {n}}$ пространство квадратных матриц и действие $G {\ displaystyle G}$ $G$ на $V {\ displaystyle V}$ $V$ дается умножением слева, затем $k [V] G {\ displaystyle k [ V] ^ {G}}$ $k [V] ^ { G}$ изоморфна алгебре многочленов от одной переменной, порожденной определителем. Другими словами, в этом случае каждый инвариантный многочлен представляет собой линейную комбинацию степеней детерминантного многочлена. Итак, в этом случае $k [V] G {\ displaystyle k [V] ^ {G}}$ $k [V] ^ { G}$ конечно генерируется над $k {\ displaystyle k}$ $к$ .

Если ответ да, то следующий вопрос состоит в том, чтобы найти минимальный базис и спросить, действительно ли модуль полиномиальных отношений между базисными элементами (известный как сизигий ) конечно порожден над $k [V] { \ displaystyle k [V]}$ $k [V]$ .

Теория инвариантов конечных групп имеет тесную связь с теорией Галуа. Одним из первых важных результатов была основная теорема о симметричных функциях, описывающая инварианты симметрической группы $S n {\ displaystyle S_ {n}}$ $S_ {n}$ действует на кольцо многочленов $R [x 1,…, xn {\ displaystyle R [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}}$ ${\ displaystyle R [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}}$ ] перестановками переменных. В более общем плане теорема Шевалле – Шепарда – Тодда характеризует конечные группы, алгебра инвариантов которых является кольцом многочленов. Современные исследования в области теории инвариантов конечных групп подчеркивают «эффективные» результаты, такие как явные оценки степеней порождающих. Случай положительной характеристики, идеологически близкий к теории модульного представления, является областью активных исследований, связанных с алгебраической топологией.

Теория инвариантов бесконечности группы неразрывно связаны с развитием линейной алгебры, особенно теорий квадратичных форм и определителей. Еще одним предметом с сильным взаимным влиянием была проективная геометрия, где теория инвариантов должна была сыграть важную роль в организации материала. Одним из основных моментов этой связи является символический метод . Теория представлений полупростых групп Ли уходит корнями в теорию инвариантов.

Работа Дэвида Гильберта по вопросу о конечном порождении алгебры инвариантов (1890 г.) привела к созданию новой математической дисциплины - абстрактной алгебры. В более поздней статье Гильберта (1893) те же вопросы рассматривались более конструктивно и геометрически, но она оставалась практически неизвестной до тех пор, пока Дэвид Мамфорд не вернул эти идеи к жизни в 1960-х годах в значительно более общей и современной форме. форме, в его геометрической теории инвариантов. В значительной степени из-за влияния Мамфорда рассматривается, что предмет теории инвариантов охватывает теорию действий линейных алгебраических групп на аффинных и проективных многообразиях.. Отдельное направление теории инвариантов, восходящее к классическим конструктивным и комбинаторным методам девятнадцатого века, было развито Джан-Карло Рота и его школой. Ярким примером этого круга идей является теория стандартных одночленов.

Примеры

Простые примеры теории инвариантов происходят из вычисления инвариантных одночленов из действия группы. Например, рассмотрим действие $Z / 2 Z {\ displaystyle \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}$ на $C [x, y] {\ displaystyle \ mathbb {C} [x, y]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} [x, y]}$ отправка

x ↦ - xy ↦ - y {\ displaystyle {\ begin {align} x \ mapsto -x y \ mapsto -y \ end {выровнено} }}

{\ displaystyle {\ begin { выровнено} x \ mapsto -x y \ mapsto -y \ end {align}}}

Тогда, поскольку $x 2, xy, y 2 {\ displaystyle x ^ {2}, xy, y ^ {2}}$ ${\ displaystyle x ^ {2}, xy, y ^ {2}}$ являются инвариантными одночленами низшей степени, мы имеем

C [x, y] Z / 2 ≅ C [x 2, xy, y 2] ≅ C [a, b, c] (ac - b 2) {\ displaystyle \ mathbb {C} [ x, y] ^ {\ mathbb {Z} / 2} \ cong \ mathbb {C} [x ^ {2}, xy, y ^ {2}] \ cong {\ frac {\ mathbb {C} [a, b, c]} {(ac-b ^ {2})}}}

{\ displaystyle \ mathbb {C} [x, y] ^ {\ mathbb {Z} / 2 } \ cong \ mathbb {C} [x ^ {2}, xy, y ^ {2}] \ cong {\ frac {\ mathbb {C} [a, b, c]} {(ac-b ^ {2 })}}}

Этот пример формирует основу для выполнения многих вычислений.

Истоки девятнадцатого века

Теория инвариантов возникла примерно в середине девятнадцатого века, чем-то вроде Минервы : взрослая девственница, закованная в сияющие доспехи алгебры, она возникла из юпитерианской головы Кэли

Вейл (1939b, стр.489)

Кэли первым установил теорию инвариантов в своей работе «О теории линейных преобразований» (1845). " В начале своей статьи Кэли ссылается на статью Джорджа Буля 1841 года: «Исследования были подсказаны мне очень элегантной статьей на ту же тему... мистера Буля». (Работа Буля была «Экспозиция общей теории линейных преобразований», Cambridge Mathematical Journal.)

Классически термин «теория инвариантов» относится к изучению инвариантных алгебраических форм (эквивалентно, симметричные тензоры ) для действия из линейных преобразований. Это была основная область исследований во второй половине девятнадцатого века. Текущие теории, относящиеся к симметрической группе и симметричным функциям, коммутативной алгебре, пространствам модулей и представлениям групп Ли укоренены в этой области.

Более подробно, учитывая конечномерное векторное пространство V размерности n, мы можем рассматривать симметрическую алгебру S (S (V)) полиномов степень r над V и действие GL (V) на ней. На самом деле, более точно рассматривать относительные инварианты GL (V) или представления SL (V), если мы собираемся говорить об инвариантах: это потому, что скалярное кратное тождества будет действовать на тензор ранга r в S (V) через «вес» r-й степени скаляра. Дело в том, чтобы определить подалгебру инвариантов I (S (V)) для действия. На классическом языке мы смотрим на инварианты n-арных r-ics, где n - размерность V. (Это не то же самое, что нахождение инвариантов GL (V) на S (V); это неинтересно проблема, поскольку единственными такими инвариантами являются константы.) Наиболее изученным случаем были инварианты двоичных форм, где n = 2.

Другая работа включала работу Феликса Клейна при вычислении инвариантных колец действий конечных групп на $C 2 {\ displaystyle \ mathbf {C} ^ {2}}$ $\ mathbf {C} ^ 2$ (бинарные многогранные группы, классифицированные классификация ADE ); это координатные кольца сингулярностей дю Валя.

Подобно арабскому фениксу, восставшему из пепла, теория инвариантов, объявленная мертвой на рубеже веков, снова находится на переднем крае математики.

Kung Rota (1984, стр.27)

Работа Дэвида Гильберта, доказывающая, что I (V) во многих случаях конечно-представима, почти положила конец классической теории инвариантов. в течение нескольких десятилетий, хотя классическая эпоха в этом предмете продолжалась до последних публикаций Альфреда Янга, более чем 50 лет спустя. Явные вычисления для определенных целей известны в наше время (например, Сиода с двоичными октавиками).

Теоремы Гильберта

Гильберт (1890) доказал, что если V - конечномерное представление комплексной алгебраической группы G = SL n (C), то кольцо инварианты группы G, действующие на кольце многочленов R = S (V), конечно порождены. В его доказательстве использовался оператор Рейнольдса ρ из R в R со свойствами

ρ (1) = 1
ρ (a + b) = ρ (a) + ρ (b)
ρ (ab) = a ρ (b) всякий раз, когда a является инвариантом.

Гильберт построил оператор Рейнольдса, явно используя омега-процесс Кэли Ω, хотя теперь он стал более распространенным построить ρ косвенно следующим образом: для компактных групп G оператор Рейнольдса задается усреднением по G, а некомпактные редуктивные группы могут быть сведены к случаю компактных групп с помощью унитарного трюка Вейля.

Учитывая оператора Рейнольдса теорема Гильберта доказывается следующим образом. Кольцо R является кольцом многочленов, поэтому оно градуируется по степеням, а идеал I определяется как идеал, порожденный однородными инвариантами положительных степеней. По теореме Гильберта о базисе идеал I конечно порожден (как идеал). Следовательно, I конечно порожден конечным числом инвариантов группы G (потому что, если нам дано любое - возможно бесконечное - подмножество S, которое порождает конечно порожденный идеал I, то I уже порождено некоторым конечным подмножеством S). Пусть i 1,..., i n - конечный набор инвариантов группы G, порождающий I (как идеал). Ключевая идея - показать, что они порождают кольцо инвариантов R. Предположим, что x - некоторый однородный инвариант степени d>0. Тогда

x = a 1i1+... + a nin

для некоторого a j в кольце R, поскольку x находится в идеале I. Мы можем предположить, что a j однороден степени d - deg i j для любого j (в противном случае мы заменяем a j его однородной компонентой степени d - deg i j ; если мы сделаем это для каждого j, уравнение x = a 1i1+... + a ninостанется в силе). Теперь, применение оператора Рейнольдса к x = a 1i1+... + a ninдает

x = ρ (a 1)i1+... + ρ (a n)in

). покажем, что x лежит в R-алгебре, порожденной i 1,..., i n.

Сначала сделаем это в случае, когда элементы ρ (a k) все имеют степень меньше D. В этом случае все они находятся в R-алгебре, порожденной i 1,..., i n (по нашему предположению индукции). Следовательно, x также находится в этой R-алгебре (поскольку x = ρ (a 1)i1+... + ρ (a n)in).

В общем случае мы не можем быть уверены, что элементы ρ (a k) имеют степень меньше d. Но мы можем заменить каждый ρ (a k) его однородным компонентом степени d - deg i j. В результате эти модифицированные ρ (a k) все еще остаются G-инвариантами (поскольку каждая однородная компонента G-инварианта является G-инвариантом) и имеют степень меньше d (поскольку deg i k>0). Уравнение x = ρ (a 1)i1+... + ρ (a n)inвсе еще выполняется для нашего модифицированного ρ (a k), так что мы можем снова сделать вывод, что x лежит в R-алгебра, порожденная i 1,..., i n.

Следовательно, индукцией по степени все элементы R находятся в R-алгебре, порожденной i 1,..., i n.

Геометрическая теория инвариантов

Современная формулировка геометрической теории инвариантов принадлежит Дэвиду Мамфорду и делает упор на построение частного действием группы, которое должно захватывать инвариантную информацию через свое координатное кольцо. Это тонкая теория, поскольку успех достигается за счет исключения одних «плохих» орбит и определения других с «хорошими» орбитами. В отдельной разработке символический метод теории инвариантов, очевидно эвристическая комбинаторная запись, была реабилитирована.

Одним из мотивов было построение пространств модулей в алгебраической геометрии как частных схем, параметризующих отмеченные объекты. В 1970-х и 1980-х годах теория развивала взаимодействия с симплектической геометрией и эквивариантной топологией и использовалась для построения пространств модулей объектов в дифференциальной геометрии, таких как инстантонов и монополи.

См. также

Литература

Дьедонне, Жан А. ; Каррелл, Джеймс Б. (1970), «Теория инвариантов, старая и новая», Advances in Mathematics, 4 : 1–80, doi : 10.1016 / 0001-8708 (70) 90015-0, ISSN 0001-8708, MR 0255525 Перепечатано как Dieudonné, Jean A.; Каррелл, Джеймс Б. (1971), «Теория инвариантов, старая и новая», Advances in Mathematics, Boston, MA: Academic Press, 4: 1–80, doi : 10.1016 / 0001-8708 (70) 90015-0, ISBN 978-0-12-215540-6, MR 0279102
Долгачев Игорь (2003), Лекции по теория инвариантов, Серия лекций Лондонского математического общества, 296, Cambridge University Press, doi : 10.1017 / CBO9780511615436, ISBN 978-0-521-52548-0, MR 2004511
Грейс, JH; Янг, Альфред (1903), Алгебра инвариантов, Кембридж: Cambridge University Press
Гроссханс, Франк Д. (1997), Алгебраические однородные пространства и теория инвариантов, Нью-Йорк: Springer, ISBN 3-540-63628-5
Кунг, Джозеф П.С.; Рота, Джан-Карло (1984), «Теория инвариантов двоичных форм», Американское математическое общество. Бюллетень. Новая серия, 10 (1): 27–85, doi : 10.1090 / S0273-0979-1984-15188-7, ISSN 0002-9904, MR 0722856
Гильберт, Дэвид (1890), «Ueber die Theorie der algebraischen Formen», Mathematische Annalen, 36(4) : 473–534, doi : 10.1007 / BF01208503, ISSN 0025-5831
Гильберт Д. (1893), "Über die vollen Invariantensysteme (О полностью инвариантных системах)", Math. Annalen, 42 (3): 313, doi : 10.1007 / BF01444162
Neusel, Mara D.; Смит, Ларри (2002), Теория инвариантов конечных групп, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-2916-5 Недавний ресурс для изучения модульных инвариантов конечные группы.
Олвер, Питер Дж. (1999), Классическая теория инвариантов, Кембридж: Cambridge University Press, ISBN 0-521-55821-2 Студент Уровневое введение в классическую теорию инвариантов бинарных форм, включая Омега-процесс, начиная со стр. 87.
Попов В.Л. (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press
Springer, TA (1977), Теория инвариантов, Нью-Йорк: Springer, ISBN 0-387-08242-5 Более старый, но все еще полезный обзор.
Штурмфельс, Бернд (1993), Алгоритмы в теории инвариантов, Нью-Йорк: Спрингер, ISBN 0-387-82445-6 Прекрасное введение в теорию инвариантов конечных групп и методы их вычисления с использованием базисов Гребнера.
Weyl, Hermann (1939), Классические группы. Их инварианты и представления, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-05756-9, MR 0000255
Weyl, Hermann (1939b), «Инварианты», Duke Mathematical Journal, 5(3): 489–502, doi : 10.1215 / S0012-7094-39- 00540-5, ISSN 0012-7094, MR 0000030

Внешние ссылки

H. Крафт, К. Прочези, Классическая теория инвариантов, учебник
В. Л. Попов, Э. Б. Винберг, "Теория инвариантов", в алгебраической геометрии. IV. Энциклопедия математических наук, 55 (перевод с русского издания 1989 г.) Springer-Verlag, Berlin, 1994; vi + 284 с.; ISBN 3-540-54682-0