Расширение поля

редактировать

Построение большего алгебраического поля путем «добавления элементов» к меньшему полю

В математике, особенно в алгебре, расширение поля представляет собой пару полей $E ⊆ F, {\ displaystyle E \ substeq F,}$ ${\ displaystyle E \ substeq F,}$ , так что операции E являются операциями F , ограниченными до E. В этом случае F является полем расширения E, а E является подполем of F. Например, согласно обычным понятиям сложение и умножение, комплексные числа являются полем расширения вещественных чисел . ; действительные числа - это подполе комплексных чисел.

Расширения полей являются фундаментальными в теории алгебраических чисел и при изучении полиномиальных корней с по теории Галуа, и широко используются в алгебраическая геометрия.

Содержание

1 Подполе
2 Поле расширения
3 Предостережения
4 Примеры
5 Алгебраическое расширение
6 Трансцендентное расширение
7 Нормальное, разделимое и Галуа расширения
8 Обобщения
9 Расширение скаляров
10 См. также
11 Примечания
12 Ссылки
13 Внешние ссылки

Подполе

A подполе из field L является подмножеством K из L, которое является полем по отношению к полевым операциям, унаследованным от L. Эквивалентно, подполе - это подмножество, которое содержит 1 и является закрытым при операциях сложения, вычитания, умножения и взятия обратного ненулевого элемента L.

Поскольку 1 - 1 = 0, последнее определение подразумевает, что K и L имеют тот же нулевой элемент.

Например, поле рациональных чисел является подполем вещественных чисел, которое само является подполем комплексных чисел. В более общем смысле, поле рациональных чисел является (или изоморфно ) подполем любого поля характеристики 0.

Характеристика подполя такая же, как характеристика большего поля.

Поле расширения

Если K является подполем L, тогда L является полем расширения или просто расширением K, и эта пара fields является расширением поля . Такое расширение поля обозначается L / K (читается как «L над K»).

Если L является расширением F, которое, в свою очередь, является расширением K, то F называется промежуточным полем (или промежуточным расширением или подрасширение ) L / K.

Учитывая расширение поля L / K, большее поле L представляет собой K- векторное пространство. Размер этого векторного пространства называется степенью расширения и обозначается [L: K].

Степень расширения равна 1 тогда и только тогда, когда два поля равны. В данном случае расширение является тривиальным расширением . Расширения степени 2 и 3 называются квадратичными расширениями и кубическими расширениями соответственно. Конечное расширение - это расширение, имеющее конечную степень.

Для двух расширений L / K и M / L расширение M / K конечно тогда и только тогда, когда оба L / K и M / L конечны. В этом случае

[M: K] = [M: L] ⋅ [L: K]. {\ displaystyle [M: K] = [M: L] \ cdot [L: K].}

{\ displaystyle [M: K] = [M: L] \ cdot [L: K].}

Учитывая расширение поля L / K и подмножество S в L, существует наименьшее подполе L, содержащее K и S. Это пересечение всех подполей L, содержащих K и S, и обозначается K (S). Говорят, что K (S) - это поле, порожденное S над K, и что S - порождающий набор K (S) над K. Когда $S = {x 1,…, xn } {\ displaystyle S = \ {x_ {1}, \ ldots, x_ {n} \}}$ ${\ displaystyle S = \ {x_ {1}, \ ldots, x_ {n} \}}$ конечно, записывается $K (x 1,…, xn) {\ displaystyle K (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$ ${\ displaystyle K (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$ вместо $K ({x 1,…, xn}), {\ displaystyle K (\ {x_ {1}, \ ldots, x_ {n} \}),}$ ${\ displaystyle K (\ { x_ {1}, \ ldots, x_ {n} \}),}$ и говорят, что K (S) конечно порожден над K. Если S состоит из одного элемента s, расширение K (s) / K равно называется простым расширением, а s называется примитивным элементом расширения.

Поле расширения формы K (S) часто считается результатом присоединение S к K.

В характеристике 0 каждое конечное расширение является простым расширением. Это теорема о примитивном элементе , которая не верна для полей с ненулевой характеристикой.

Если простое расширение K (s) / K не конечно, поле K (s) изоморфно полю рациональных дробей в s над K.

Предостережения

Обозначение L / K является чисто формальным и не подразумевает формирование фактор-кольца, фактор-группы или любого другого вида деления. Вместо этого косая черта выражает слово «сверх». В некоторой литературе используется обозначение L: K.

Часто бывает желательно говорить о расширениях полей в ситуациях, когда маленькое поле фактически не содержится в большом, а естественно встроено. Для этой цели можно абстрактно определить расширение поля как инъективный кольцевой гомоморфизм между двумя полями. Любой ненулевой гомоморфизм колец между полями инъективен, потому что поля не обладают нетривиальными собственными идеалами, поэтому расширения полей - это в точности морфизмы в категории полей.

Впредь мы будем подавлять инъективные гомоморфизм и предположим, что мы имеем дело с актуальными подполями.

Примеры

Поле комплексных чисел $C {\ displaystyle \ mathbb {C}}$ $\ mathbb {C}$ - это поле расширения поля действительных чисел $R, {\ displaystyle \ mathbb {R},}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R},}$ и $R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb { R}$ , в свою очередь, является полем расширения поля рациональных чисел $Q. {\ displaystyle \ mathbb {Q}.}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}.}$ Очевидно, что $C / Q {\ displaystyle \ mathbb {C} / \ mathbb {Q}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} / \ mathbb {Q}}$ также является полем расширение. У нас есть $[C: R] = 2 {\ displaystyle [\ mathbb {C}: \ mathbb {R}] = 2}$ ${\ displaystyle [\ mathbb {C}: \ mathbb {R}] = 2}$ , потому что ${1, i} {\ displaystyle \ {1, i \}}$ $\ {1, я \}$ является базисом, поэтому расширение $C / R {\ displaystyle \ mathbb {C} / \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} / \ mathbb {R}}$ конечно. Это простое расширение, потому что $C = R (i). {\ displaystyle \ mathbb {C} = \ mathbb {R} (i).}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} = \ mathbb {R} (i).}$ $[R: Q] = c {\ displaystyle [\ mathbb {R}: \ mathbb {Q}] = {\ mathfrak { c}}}$ ${\ displaystyle [\ mathbb {R}: \ mathbb {Q}] = {\ mathfrak {c}}}$ (мощность континуума ), поэтому это расширение бесконечно.

Поле

Q (2) = {a + b 2 | a, b ∈ Q}, {\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}}) = \ left. \ left \ {a + b {\ sqrt {2}} \ right | a, b \ in \ mathbb {Q} \ right \},}

{\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}}) = \ left. \ Left \ {a + b {\ sqrt {2}} \ right | a, b \ in \ mathbb {Q} \ right \},}

- это поле расширения $Q, {\ displaystyle \ mathbb {Q},}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}, }$ также явно простое расширение. Степень равна 2, потому что ${1, 2} {\ displaystyle \ {1, {\ sqrt {2}} \}}$ ${\ displaystyle \ {1, {\ sqrt {2}} \}}$ может служить основой.

Поле

Q (2, 3) = Q (2) (3) = {a + b 3 | a, b ∈ Q (2)} = {a + b 2 + c 3 + d 6 | a, b, c, d ∈ Q}, {\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}}, {\ sqrt {3}}) = \ mathbb {Q} ( {\ sqrt {2}}) ({\ sqrt {3}}) \\ = \ left. \ left \ {a + b {\ sqrt {3}} \ right | a, b \ in \ mathbb {Q } ({\ sqrt {2}}) \ right \} \\ = \ left. \ left \ {a + b {\ sqrt {2}} + c {\ sqrt {3}} + d {\ sqrt { 6}} \ right | a, b, c, d \ in \ mathbb {Q} \ right \}, \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin { выровнено} \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}}, {\ sqrt {3}}) = \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}}) ({\ sqrt {3}}) \ \ = \ left. \ left \ {a + b {\ sqrt {3}} \ right | a, b \ in \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}}) \ right \} \\ = \ left. \ left \ {a + b {\ sqrt {2}} + c {\ sqrt {3}} + d {\ sqrt {6}} \ right | a, b, c, d \ in \ mathbb { Q} \ right \}, \ end {align}}}

- это поле расширения обоих $Q (2) {\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}})}$ $\ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}})$ и $Q, {\ displaystyle \ mathbb {Q},}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}, }$ степени 2 и 4 соответственно. Это также простое расширение, поскольку можно показать, что

Q (2, 3) = Q (2 + 3) = {a + b (2 + 3) + c (2 + 3) 2 + d (2 + 3) 3 | a, b, c, d ∈ Q}. {\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}}, {\ sqrt {3}}) = \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}} + {\ sqrt {3}}) \\ = \ left. \ Left \ {a + b ({\ sqrt {2}} + {\ sqrt {3}}) + c ({\ sqrt {2}} + {\ sqrt {3}}) ^ {2} + d ({\ sqrt {2}} + {\ sqrt {3}}) ^ {3} \ right | a, b, c, d \ in \ mathbb {Q} \ right \}. \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}}, {\ sqrt {3}}) = \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}} + {\ sqrt {3 }}) \\ = \ left. \ left \ {a + b ({\ sqrt {2}} + {\ sqrt {3}}) + c ({\ sqrt {2}} + {\ sqrt {3 }}) ^ {2} + d ({\ sqrt {2}} + {\ sqrt {3}}) ^ {3} \ right | a, b, c, d \ in \ mathbb {Q} \ right \ }. \ end {align}}}

Конечные расширения $Q {\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ также называются полями алгебраических чисел и являются важно в теории чисел. Еще одно поле расширения рациональных чисел, которое также важно в теории чисел, хотя и не является конечным расширением, - это поле p-адических чисел $Q p {\ displaystyle \ mathbb {Q} _ { p}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p}}$ для простого числа p.

Обычно конструируют поле расширения данного поля K как кольцо частных кольца полиномов K [X], чтобы «создать» корень для заданного многочлена f (X). Предположим, например, что K не содержит никакого элемента x с x = −1. Тогда многочлен $X 2 + 1 {\ displaystyle X ^ {2} +1}$ $X ^ 2 +1$ неприводим в K [X], следовательно, идеал сгенерированный этим многочленом максимальный и $L = K [X] / (X 2 + 1) {\ displaystyle L = K [X] / (X ^ {2} +1)}$ ${\ displaystyle L = K [X] / (X ^ {2} +1) }$ - это поле расширения K, которое действительно содержит элемент, квадрат которого равен -1 (а именно, класс вычетов X).

Повторяя приведенную выше конструкцию, можно построить поле разбиения любого полинома из K [X]. Это поле расширения L поля K, в котором данный многочлен распадается на произведение линейных множителей.

Если p - любое простое число и n - положительное целое число, у нас есть конечное поле GF (p) с p элементами; это поле расширения конечного поля $GF ⁡ (p) = Z / p Z {\ displaystyle \ operatorname {GF} (p) = \ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {GF} (p) = \ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z}}$ с элементами p.

Учитывая поле K, мы можем рассматривать поле K (X) всех рациональных функций в переменной X с коэффициентами в K; элементы K (X) являются дробями двух многочленов над K, и действительно, K (X) является полем частных кольца многочленов K [X]. Это поле рациональных функций является полем расширения K. Это расширение бесконечно.

Учитывая риманову поверхность M, множество всех мероморфных функций, определенных на M, является полем, обозначенным $C (M). {\ displaystyle \ mathbb {C} (M).}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} (M).}$ Это трансцендентное поле расширения $C {\ displaystyle \ mathbb {C}}$ $\ mathbb {C}$ , если мы идентифицируем каждый комплекс число с соответствующей константной функцией , определенной на M. В более общем смысле, для алгебраического многообразия V над некоторым полем K, тогда функциональное поле поля V, состоящее из рациональные функции, определенные на V и обозначаемые K (V), являются полем расширения K.

Алгебраическое расширение

Элемент x расширения поля L / K является алгебраическим над K, если это корень ненулевого многочлена с коэффициентами в K. Например, $2 {\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ ${\ sqrt {2}}$ равно алгебраический над рациональными числами, потому что он является корнем из $x 2 - 2. {\ displaystyle x ^ {2} -2.}$ ${\ displaystyle x ^ {2} -2.}$ Если элемент x из L является алгебраическим над K, монический многочлен наименьшей степени, имеющий x в качестве корня, называется минимальным многочленом от x. Этот минимальный многочлен неприводим над K.

Элемент s из L является алгебраическим над K тогда и только тогда, когда простое расширение K (s) / K является конечным расширением. В этом случае степень расширения равна степени минимального многочлена, а базис векторного пространства K- K (s) состоит из $1, s, s 2,…, sd - 1, {\ displaystyle 1, s, s ^ {2}, \ ldots, s ^ {d-1},}$ ${\ displaystyle 1, s, s ^ {2}, \ ldots, s ^ { d-1},}$ , где d - степень минимального многочлена.

Множество элементов L, которые являются алгебраическими над K, образуют подрасширение, которое называется алгебраическим замыканием K в L. Это является результатом предыдущей характеризации: если s и t алгебраичны, расширения K (s) / K и K (s) (t) / K (s) конечны. Таким образом, K (s, t) / K также конечно, как и подрасширения K (s ± t) / K, K (st) / K и K (1 / s) / K (если s ≠ 0). Отсюда следует, что s ± t, st и 1 / s алгебраические.

Алгебраическое расширение L / K - это расширение, в котором каждый элемент L является алгебраическим над K. Эквивалентно, алгебраическое расширение - это расширение, которое порождается алгебраическими элементами. Например, $Q (2, 3) {\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}}, {\ sqrt {3}})}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}}, {\ sqrt {3}})}$ является алгебраическим расширением $Q {\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ , потому что $2 {\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ ${\ sqrt {2}}$ и $3 {\ displaystyle { \ sqrt {3}}}$ ${\ sqrt 3}$ являются алгебраическими над $Q. {\ displaystyle \ mathbb {Q}.}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}.}$

Простое расширение является алгебраическим тогда и только тогда, когда конечно. Отсюда следует, что расширение является алгебраическим тогда и только тогда, когда оно является объединением своих конечных подрасширений, и что каждое конечное расширение является алгебраическим.

Каждое поле K имеет алгебраическое замыкание, которое с до является изоморфизмом наибольшего поля расширения K, которое является алгебраическим над K, а также наименьшего поля расширения, такого что каждый многочлен с коэффициентами в K имеет корень. Например, $C {\ displaystyle \ mathbb {C}}$ $\ mathbb {C}$ является алгебраическим замыканием $R, {\ displaystyle \ mathbb {R},}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R},}$ , но не алгебраическое замыкание $Q, {\ displaystyle \ mathbb {Q},}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}, }$ , поскольку оно не является алгебраическим над $Q {\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ (например, π не является алгебраическим над $Q {\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ ).

Трансцендентное расширение

Учитывая расширение поля L / K, подмножество S L называется алгебраически независимым над K, если нет нетривиального полиномиального отношения с коэффициентами в K существует среди элементов S. Наибольшая мощность алгебраически независимого множества называется степенью трансцендентности L / K. Всегда можно найти множество S, алгебраически независимое над K, такое, что L / K (S) является алгебраическим. Такое множество S называется базисом трансцендентности L / K. Все базы трансцендентности имеют одинаковую мощность, равную степени трансцендентности расширения. Расширение L / K называется чисто трансцендентным тогда и только тогда, когда существует базис трансцендентности S L / K такой, что L = K (S). Такое расширение обладает тем свойством, что все элементы L, кроме элементов K, трансцендентны над K, но, тем не менее, существуют расширения с этим свойством, которые не являются чисто трансцендентными - класс таких расширений принимает форму L / K, где оба L и K алгебраически замкнуты. Кроме того, если L / K чисто трансцендентно, а S является базисом трансцендентности расширения, из этого не обязательно следует, что L = K (S). Например, рассмотрим расширение $Q (x, x) / Q, {\ displaystyle \ mathbb {Q} (x, {\ sqrt {x}}) / \ mathbb {Q},}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} (x, {\ s qrt {x}}) / \ mathbb {Q},}$ где x трансцендентен над $Q. {\ displaystyle \ mathbb {Q}.}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}.}$ Набор ${x} {\ displaystyle \ {x \}}$ $\ {x \}$ алгебраически независим, так как x трансцендентен. Очевидно, расширение $Q (x, x) / Q (x) {\ displaystyle \ mathbb {Q} (x, {\ sqrt {x}}) / \ mathbb {Q} (x)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} (x, {\ sqrt {x}}) / \ mathbb {Q} (x)}$ является алгебраическим, поэтому ${x} {\ displaystyle \ {x \}}$ $\ {x \}$ является базисом трансцендентности. Он не генерирует все расширение, потому что в $x {\ displaystyle x}$ $x$ для $x {\ displaystyle {\ sqrt {x}}}$ <нет полиномиального выражения 236>. Но легко видеть, что ${x} {\ displaystyle \ {{\ sqrt {x}} \}}$ ${\ displaystyle \ {{\ sqrt {x}} \}}$ - это базис трансцендентности, который порождает $Q (x, x), {\ displaystyle \ mathbb {Q} (x, {\ sqrt {x}}),}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} (x, {\ sqrt {x}}),}$ , поэтому это расширение действительно чисто трансцендентное.)

Нормальные, разделимые и расширения Галуа

Алгебраическое расширение L / K называется нормальным, если каждый неприводимый многочлен в K [X], имеющий корень в L, полностью разлагается на линейные множители над L. Каждый алгебраический расширение F / K допускает нормальное замыкание L, которое является полем расширения F, такое что L / K является нормальным и которое является минимальным с этим свойством.

Алгебраическое расширение L / K называется сепарабельным, если минимальный многочлен каждого элемента L над K является сепарабельным, т. Е. Не имеет повторяющихся корней в алгебраическом замыкание над K. A Расширение Галуа - это расширение поля, которое является как нормальным, так и разделяемым.

Следствие теоремы о примитивных элементах утверждает, что каждое конечное разделимое расширение имеет примитивный элемент (т.е. является простым).

Для любого расширения поля L / K мы можем рассмотреть его группу автоморфизмов Aut (L / K), состоящую из всех полевых автоморфизмов α: L → L с α (x) = x для всех x в K. Когда расширение является Галуа, эта группа автоморфизмов называется группой Галуа расширения. Расширения, у которых группа Галуа абелева, называются абелевыми расширениями.

. Для данного расширения поля L / K часто интересуют промежуточные поля F (подполя L, содержащие K). Значение расширений Галуа и групп Галуа состоит в том, что они позволяют полностью описать промежуточные поля: существует биекция между промежуточными полями и подгруппами группы Галуа, описываемая фундаментальная теорема теории Галуа.

Обобщения

Расширения поля могут быть обобщены на кольцевые расширения, которые состоят из кольца и одного из его подстроки. Более близким некоммутативным аналогом являются центральные простые алгебры (CSA) - расширения кольца над полем, которые являются простой алгеброй (нет нетривиальных двусторонних идеалов, как и для поле) и где центр кольца - это именно поле. Например, единственное расширение конечного поля действительных чисел - это комплексные числа, в то время как кватернионы представляют собой центральную простую алгебру над действительными числами, а все CSA над действительными числами эквивалент Брауэра действительным числам или кватернионам.. CSA могут быть далее обобщены до алгебр Адзумая, где базовое поле заменено коммутативным локальным кольцом.

Расширение скаляров

Учитывая расширение поля, можно "распространить скаляры "на связанные алгебраические объекты. Например, учитывая реальное векторное пространство, можно создать комплексное векторное пространство с помощью комплексификации. Помимо векторных пространств, можно выполнить расширение скаляров для ассоциативных алгебр, определенных над полем, таких как полиномы или групповые алгебры и связанные с ними представления групп . Расширение скаляров многочленов часто используется неявно, просто рассматривая коэффициенты как элементы большего поля, но также может рассматриваться более формально. Расширение скаляров имеет множество приложений, как обсуждается в разделе расширение скаляров: приложения.

См. Также

Примечания

^Fraleigh (1976, стр. 293)
^Herstein (1964, стр. 167)
^McCoy (1968, стр. 116)
^Fraleigh (1976, p. 298)
^Herstein (1964, p. 193)
^Fraleigh (1976, p. 363)
^Fraleigh (1976, p. 319)
^Херштейн (1964, стр. 169)

Ссылки

Фрали, Джон Б. (1976), Первый курс абстрактной алгебры (2-е изд.), Литература: Аддисон-Уэсли, ISBN 0-201-01984-1
Херштейн, Индиана (1964), Topics In Algebra, Waltham:, ISBN 978-1114541016
Лэнг, Серж (2004), Алгебра, Тексты для выпускников по математике, 211 (исправленное четвертое издание, исправленное третье издание), Нью-Йорк : Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4
Маккой, Нил Х. (1968), Введение Т. o Modern Algebra, Revised Edition, Boston: Allyn and Bacon, LCCN 68015225

Внешние ссылки

, Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]