Алгебраическая K-теория

Алгебраическая K-теория - это предметная область в математике, связанная с геометрией, топология, теория колец и теория чисел. Геометрическим, алгебраическим и арифметическим объектам присваиваются объекты, называемые K-группами. Это группы в смысле абстрактной алгебры. Они содержат подробную информацию об исходном объекте, но, как известно, их сложно вычислить; например, важной нерешенной проблемой является вычисление K-групп целых чисел..

K-теория была изобретена в конце 1950-х годов Александром Гротендиком в его исследовании теории пересечений. на алгебраических многообразиях. На современном языке Гротендик определил только K 0, нулевую K-группу, но даже у этой единственной группы есть множество приложений, таких как теорема Гротендика – Римана – Роха. Теория пересечений по-прежнему является движущей силой в развитии (высшей) алгебраической K-теории через ее связи с мотивационными когомологиями и, в частности, с группами Чоу. Предмет также включает классические теоретико-числовые темы, такие как квадратичная взаимность и встраивание числовых полей в действительные числа и комплексные числа, как а также более современные проблемы, такие как построение более высоких регуляторов и специальных значений L-функций.

Нижние K-группы были обнаружены первыми в том смысле, что адекватное описание этих групп в терминах других алгебраических структур. Например, если F является полем, то K 0 (F) изоморфен целым числам Z и тесно связан с понятием размерность векторного пространства. Для коммутативного кольца R группа K 0 (R) связана с группой Пикара кольца R, и когда R представляет собой кольцо целых чисел в числовом поле, это обобщает классическая конструкция группы классов . Группа K 1 (R) тесно связана с группой единиц R, и если R является полем, это в точности группа единиц. Для числового поля F группа K 2 (F) связана с теорией поля классов, символом Гильберта и разрешимостью квадратных уравнений над пополнениями. Напротив, поиск правильного определения высших K-групп колец было трудным достижением Дэниела Квиллена, и многие из основных фактов о высших K-группах алгебраических многообразий были известны только после работы из Роберт Томасон.

• 1 История
  • 1.1 Группа Гротендика K 0
  • 1.2 K 0, K 1 и K 2
  • 1.3 Высшие K-группы
  • 1.4 Приложения алгебраической K-теории в топологии
  • 1.5 Алгебраическая топология и алгебраическая геометрия в алгебраической K-теории
• 2 Нижние K-группы
  • 2.1 K 0
    • 2.1.1 Примеры
    • 2.1.2 Относительный K 0
    • 2.1.3 K 0 как кольцо
  • 2.2 K 1
    • 2.2.1 Относительный K 1
    • 2.2.2 Коммутативные кольца и поля
    • 2.2.3 Центральные простые алгебры
  • 2.3 K 2
    • 2.3.1 Теорема Мацумото
    • 2.3.2 Длинные точные последовательности
    • 2.3.3 Спаривание
• 3 K-теория Милнора
• 4 Высшее K-теория
  • 4.1 + -конструкция
  • 4.2 Q-конструкция
  • 4.3 S-конструкция
• 5 Примеры
  • 5.1 Алгебраические K-группы конечных полей
  • 5. 2 Алгебраические K-группы колец целых чисел
• 6 Приложения и открытые вопросы
• 7 См. Также
• 8 Примечания
• 9 Ссылки
• 10 Дополнительная литература
  • 10.1 Педагогические ссылки
  • 10.2 Исторические ссылки
• 11 Внешние ссылки

История K-теории была подробно описана Чарльзом Вейбелем.

группой Гротендика K 0

В 19 веке Бернхардом Риман и его ученик Густав Рох доказали то, что теперь известно как теорема Римана – Роха. Если X - риманова поверхность, то множества мероморфных функций и мероморфных дифференциальных форм на X образуют векторные пространства. Линейное расслоение на X определяет подпространства этих векторных пространств, и если X проективно, то эти подпространства конечномерны. Теорема Римана – Роха утверждает, что разность размерностей между этими подпространствами равна степени линейного расслоения (мера скрученности) плюс один минус род X. В середине 20 века теорема Римана – Роха была обобщено Фридрихом Хирцебрухом на все алгебраические многообразия. В формулировке Хирцебруха, теорема Хирцебруха – Римана – Роха, эта теорема стала утверждением о эйлеровых характеристиках : эйлеровой характеристике векторного расслоения на алгебраическом многообразии (которая является альтернированной суммой размерностей его групп когомологий) равна эйлеровой характеристике тривиального расслоения плюс поправочный коэффициент, полученный из характеристических классов векторного расслоения. Это обобщение, потому что на проективной римановой поверхности эйлерова характеристика линейного расслоения равна разнице в размерах, упомянутой ранее, эйлерова характеристика тривиального расслоения равна единице минус род, а единственный нетривиальный характеристический класс - степень.

Предмет K-теории получил свое название от конструкции 1957 года Александра Гротендика, которая появилась в теореме Гротендика – Римана – Роха, его обобщении теоремы Хирцебруха.. Пусть X - гладкое алгебраическое многообразие. Каждому векторному расслоению на X Гротендик ставит в соответствие инвариант - его класс. Множество всех классов на X было названо K (X) из немецкого Klasse. По определению K (X) - фактор свободной абелевой группы на классах изоморфизма векторных расслоений на X, а значит, это абелева группа. Если базисный элемент, соответствующий векторному расслоению V, обозначен [V], то для каждой короткой точной последовательности векторных расслоений:

$0\; \to \; V\; \prime \; \to \; V\; \to \; V\; ″\; \to \; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; \backslash \; to\; V\; \text{'}\backslash \; to\; V\; \backslash \; to\; V\; \text{'}\text{'}\; \backslash \; to\; 0,\}$

Гротендик наложил соотношение [V] = [V '] + [V ″]. Эти генераторы и отношения определяют K (X), и они подразумевают, что это универсальный способ назначать инварианты векторным расслоениям способом, совместимым с точными последовательностями.

Гротендик придерживался точки зрения, согласно которой теорема Римана – Роха - это утверждение о морфизмах многообразий, а не о самих многообразиях. Он доказал, что существует гомоморфизм из K (X) в группы Чоу X, происходящий из символа Черна и класса Тодда X. Кроме того, он доказал, что собственный морфизм f: X → Y на гладкое многообразие Y определяет гомоморфизм f *: K (X) → K (Y), называемый прямым форвардом. Это дает два способа определения элемента в группе Чоу Y из векторного расслоения на X: начиная с X, можно сначала вычислить продвижение вперед в K-теории, а затем применить характер Черна и класс Тодда для Y, или можно сначала примените характер Черна и класс Тодда для X, а затем вычислите прямой ход для групп Чоу. Теорема Гротендика – Римана – Роха утверждает, что они равны. Когда Y - точка, векторное расслоение - это векторное пространство, класс векторного пространства - это его размерность, а теорема Гротендика – Римана – Роха специализируется на теореме Хирцебруха.

Группа K (X) теперь известна как K 0 (X). После замены векторных расслоений на проективные модули, K 0 также стал определен для некоммутативных колец, где он имел приложения к групповым представлениям. Атия и Хирцебрух быстро перенесли конструкцию Гротендика в топологию и использовали ее для определения топологической K-теории. Топологическая K-теория была одним из первых примеров экстраординарной теории когомологий : она связывает с каждым топологическим пространством X (удовлетворяющим некоторым мягким техническим ограничениям) последовательность групп K n (X), которые удовлетворяют всем аксиомам Эйленберга – Стинрода, кроме аксиомы нормировки. Однако определение алгебраических многообразий гораздо более жесткое, а гибкие конструкции, используемые в топологии, были недоступны. Хотя группа K 0, казалось, удовлетворяла необходимым свойствам, чтобы стать началом теории когомологий алгебраических многообразий и некоммутативных колец, не существовало четкого определения высшего K n (Х). Даже когда такие определения были разработаны, технические проблемы, связанные с ограничениями и склеиванием, обычно вынуждали определять K n только для колец, а не для разновидностей.

K0, K 1 и K 2

Хотя изначально это не было известно, группа, связанная с K 1, уже была представлена ​​в другом контексте. Анри Пуанкаре пытался определить числа Бетти многообразия в терминах триангуляции. Однако в его методах был серьезный пробел: Пуанкаре не мог доказать, что две триангуляции многообразия всегда давали одни и те же числа Бетти. Совершенно очевидно, что числа Бетти не изменились при разбиении триангуляции, и поэтому было ясно, что любые две триангуляции, которые имеют общее подразделение, имеют одинаковые числа Бетти. Что было неизвестно, так это то, что любые две триангуляции допускали общее подразделение. Эта гипотеза стала гипотезой, известной как Hauptvermutung (грубо говоря, «основная гипотеза»). Тот факт, что триангуляции были устойчивыми при подразделении, привел к тому, что J.H.C. Уайтхед ввести понятие простого гомотопического типа. Простая гомотопическая эквивалентность определяется в терминах добавления симплексов или клеток к симплициальному комплексу или клеточному комплексу таким образом, что каждый дополнительный симплекс или деформация клетки втягивается в подразделение старого Космос. Частично мотивация для этого определения состоит в том, что подразделение триангуляции является простым гомотопическим эквивалентом исходной триангуляции, и, следовательно, две триангуляции, которые имеют общее подразделение, должны быть простым гомотопическим эквивалентом. Уайтхед доказал, что простая гомотопическая эквивалентность является более тонким инвариантом, чем гомотопическая эквивалентность, введя инвариант, называемый кручением. Кручение гомотопической эквивалентности принимает значения в группе, которая теперь называется группой Уайтхеда и обозначается Wh (π), где π - фундаментальная группа двух комплексов. Уайтхед нашел примеры нетривиального кручения и тем самым доказал, что некоторые гомотопические эквивалентности непросты. Позже было обнаружено, что группа Уайтхеда представляет собой частное от K 1(Zπ), где Z π - целое групповое кольцо числа π. Позже Джон Милнор использовал кручение Рейдемейстера, инвариант, связанный с кручением Уайтхеда, чтобы опровергнуть Hauptvermutung.

Первое адекватное определение K 1 кольца было сделано Хайманом Бассом и Стивеном Шануэлем. В топологической K-теории K 1 определяется с использованием векторных расслоений на подвеске пространства. Все такие векторные расслоения происходят из конструкции сцепления, где два тривиальных векторных расслоения на двух половинах пространства склеиваются вдоль общей полосы пространства. Эти данные склейки выражаются с помощью общей линейной группы , но элементы этой группы, происходящие из элементарных матриц (матриц, соответствующих элементарным операциям со строками или столбцами), определяют эквивалентные склейки. Исходя из этого, определение Басса – Шануэля для K 1 кольца R имеет вид GL (R) / E (R), где GL (R) - бесконечная общая линейная группа (объединение всех GL n (R)) и E (R) - подгруппа элементарных матриц. Они также предоставили определение K 0 гомоморфизма колец и доказали, что K 0 и K 1 могут быть помещены вместе в точную последовательность, аналогичную относительная гомология точной последовательности.

Работа в области K-теории этого периода завершилась в книге Басса «Алгебраическая K-теория». В дополнение к последовательному изложению известных в то время результатов, Басс улучшил многие формулировки теорем. Особо следует отметить, что Басс, опираясь на свою более раннюю работу с Мерти, предоставил первое доказательство того, что сейчас известно как фундаментальная теорема алгебраической K-теории. Это четырехчленная точная последовательность, связывающая K 0 кольца R с K 1 кольца R, кольцом полиномов R [t] и локализацией R [t, t]. Басс признал, что эта теорема полностью описывает K 0 в терминах K 1. Применяя это описание рекурсивно, он произвел отрицательные K-группы K −n (R). В независимой работе Макс Каруби дал другое определение отрицательных K-групп для определенных категорий и доказал, что его определения дают те же группы, что и у Басса.

Следующее крупное развитие в этой теме пришел с определением K 2. Стейнберг изучил универсальные центральные расширения группы Шевалле над полем и дал явное представление этой группы в терминах образующих и соотношений. В случае группы E n (k) элементарных матриц универсальное центральное расширение теперь записывается St n (k) и называется группой Стейнберга. Весной 1967 года Джон Милнор определил K 2 (R) как ядро ​​гомоморфизма St (R) → E (R). Группа K 2 дополнительно расширила некоторые из точных последовательностей, известных для K 1 и K 0, и нашла поразительные приложения в теории чисел. Диссертация Хидеи Мацумото в 1968 году показала, что для поля F, K 2 (F) изоморфно:

$F\; \times \; \otimes \; ZF\; \times \; /\; ⟨x\; \otimes \; (1\; -\; x):\; x\; \in \; F\; \setminus \; \{0,\; 1\}⟩.\; \{\backslash \; Displaystyle\; F\; ^\; \{\backslash \; times\}\; \backslash \; otimes\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{Z\}\}\; F\; ^\; \{\backslash \; times\}\; /\; \backslash \; langle\; x\; \backslash \; otimes\; (1-x)\; \backslash \; двоеточие\; x\; \backslash \; in\; F\; \backslash \; setminus\; \backslash \; \{0,1\; \backslash \; \}\; \backslash \; rangle.\}$

Этому соотношению также удовлетворяет символ Гильберта, который выражает разрешимость квадратных уравнений над локальными полями. В частности, Джон Тейт смог доказать, что K 2(Q) по существу структурировано вокруг закона квадратичной взаимности.

Высшие K-группы

В конце 1960-х и в начале 1970-х было предложено несколько определений высшей K-теории. Свон и Герстен оба дали определения K n для всех n, и Герстен доказал, что его теории и теории Свона эквивалентны, но не было известно, что эти две теории удовлетворяют всем ожидаемым свойствам. Нобиле и Вильямайор также предложили определение высших K-групп. Каруби и Вилламайор определили K-группы с хорошим поведением для всех n, но их эквивалент K 1 иногда был правильным частным от Bass – Schanuel K 1. Их K-группы теперь называются KV n и связаны с гомотопически-инвариантными модификациями K-теории.

Отчасти вдохновленный теоремой Мацумото, Милнор дал определение высших K-групп поля. Он называл свое определение «чисто ad hoc», и оно не казалось ни обобщающим на все кольца, ни правильным определением высшей K-теории полей. Много позже Нестеренко, Суслин и Тотаро обнаружили, что K-теория Милнора на самом деле является прямым слагаемым истинной K-теории поля. В частности, K-группы имеют фильтрацию, называемую весовой фильтрацией, а K-теория Милнора поля - это высшая градуированная часть K-теории. Вдобавок Томасон обнаружил, что не существует аналога K-теории Милнора для общего разнообразия.

Первым широко признанным определением высшей K-теории было Дэниэла Квиллена. В рамках работы Квиллена над гипотезой Адамса в топологии он построил отображения из классифицирующих пространств BGL (Fq) в гомотопический слой ψ - 1, где ψ - это qth операция Адамса, действующая на классифицирующее пространство BU. Эта карта является ациклической, и после небольшого изменения BGL (Fq) для создания нового пространственного BGL (Fq) карта стала гомотопической эквивалентностью. Эта модификация получила название плюс конструкция. Было известно, что операции Адамса связаны с классами Черна и K-теорией со времен работы Гротендика, и поэтому Квиллен был вынужден определить K-теорию R как гомотопические группы BGL (R). Это не только позволило восстановить K 1 и K 2, но и связь K-теории с операциями Адамса позволила Квиллену вычислить K-группы конечных полей.

Классифицирующее пространство BGL подключено, поэтому определение Квиллена не дало правильного значения для K 0. Кроме того, он не дал отрицательных К-групп. Поскольку K 0 имел известное и общепринятое определение, эту трудность можно было обойти, но это оставалось технически неудобным. Концептуально проблема заключалась в том, что определение возникло из GL, который классически являлся источником K 1. Поскольку GL знает только о склейке векторных расслоений, а не о самих векторных расслоениях, для него было невозможно описать K 0.

Вдохновленный беседами с Квилленом, Сигал вскоре представил другой подход к построению алгебраической K-теории под названием Γ- объекты. Подход Сигала - гомотопический аналог конструкции Гротендика K 0. Если Гротендик работал с классами изоморфизма связок, Сигал работал с самими связками и использовал изоморфизмы связок как часть своих данных. Это приводит к спектру, гомотопические группы которого являются высшими K-группами (включая K 0). Однако подход Сигала мог наложить соотношения только для точных последовательностей, а не для общих точных последовательностей. В категории проективных модулей над кольцом каждая короткая точная последовательность расщепляется, и поэтому Γ-объекты могут использоваться для определения K-теории кольца. Однако в категории векторных расслоений на многообразии и в категории всех модулей над кольцом есть нерасщепляемые короткие точные последовательности, поэтому подход Сигала применим не ко всем интересующим случаям.

Весной 1972 года Квиллен нашел другой подход к построению высшей K-теории, который оказался чрезвычайно успешным. Это новое определение началось с точной категории, категории, удовлетворяющей определенным формальным свойствам, аналогичным, но немного более слабым, чем свойства, которым удовлетворяет категория модулей или векторных расслоений. Из этого он построил вспомогательную категорию, используя новое устройство, названное его «Q-конструкция ». Подобно Γ-объектам Сигала, Q-конструкция уходит корнями в определение K 0, данное Гротендиком. Однако, в отличие от определения Гротендика, Q-конструкция строит категорию, а не абелеву группу, и, в отличие от Γ-объектов Сигала, Q-конструкция работает непосредственно с короткими точными последовательностями. Если C - абелева категория, то QC - категория с теми же объектами, что и C, но морфизмы которой определены в терминах коротких точных последовательностей в C. K-группы точной категории - это гомотопические группы ΩBQC, пространство цикла геометрической реализации (использование пространства цикла корректирует индексацию). Квиллен дополнительно доказал свою «теорему + = Q», что два его определения K-теории согласуются друг с другом. Это дало правильное K 0 и привело к более простым доказательствам, но все же не дало никаких отрицательных K-групп.

Самым ранним приложением алгебраической K-теории к топологии было построение Уайтхедом кручения Уайтхеда. Тесно родственная конструкция была обнаружена С. Т. К. Уолл в 1963 году. Уолл обнаружил, что пространство π, в котором доминирует конечный комплекс, имеет обобщенную эйлерову характеристику, принимающую значения в частном от K 0(Zπ), где π - фундаментальная группа пространства. Этот инвариант называется препятствием к конечности Уолла, потому что X гомотопически эквивалентно конечному комплексу тогда и только тогда, когда инвариант обращается в нуль. Лоран Зибенманн в своей диссертации нашел инвариант, аналогичный инварианту Уолла, который препятствует тому, чтобы открытое многообразие было внутренностью компактного многообразия с краем. Если два многообразия с краем M и N имеют изоморфные внутренности (в TOP, PL или DIFF, в зависимости от ситуации), то изоморфизм между ними определяет h-кобордизм между M и N.

Кручение Уайтхеда в конечном итоге было переинтерпретировано в более прямой K-теоретический способ. Это переосмысление произошло благодаря изучению h-кобордизмов. Два n-мерных многообразия M и N являются h-кобордантными, если существует (n + 1) -мерное многообразие с краем W, край которого является дизъюнктным объединением M и N и для которого включения M и N в W гомотопически эквивалентности (в категориях TOP, PL или DIFF). Теорема Стивена Смейла о h-кобордизме утверждает, что если n ≥ 5, W компактно, а M, N иW односвязны, то W изоморфен цилиндру M × [0, 1] (в TOP, PL или DIFF в зависимости от ситуации). Эта теорема доказала гипотезу Пуанкаре для n ≥ 5.

Если M и N не предполагаются односвязными, то h-кобордизм не обязательно должен быть цилиндром. Теорема о s-кобордизме независимо от Мазура, Столлингса и Бардена, объясняет общую ситуацию: h-кобордизм является тогда цилиндром и только тогда, когда кручение Уайтхеда включение M ⊂ W обращается в нуль. Это обобщает теорему о h-кобордизме, поскольку из простых гипотез связности следует, что соответствующая группа Уайтхеда тривиальна. Фактически из теоремы о s-кобордизме следует, что биективное соответствие между классами изоморфизмов h-кобордизмов и элементами группы Уайтхеда.

Очевидный вопрос, связанный с существованием h-кобордизмов, - уникальность. Естественное понятие эквивалентности - изотопия. Жан Серф доказал, что для односвязных гладких разнообразий Размерности не менее 5 изотопия h-кобордизмов - это то же самое, что и более слабое понятие, называемое псевдоизотопией. Хэтчер и Вагонер изучили компоненты пространства псевдоизотопий и связали его с фактором от K 2(Zπ).

Подходящим контекстом теоремы о s-кобордизме является классифицирующее пространство h-кобордизмов.. Если M - CAT-многообразие, то H (M) - это пространство, которое классифицирует пучки h-кобордизмов на M. Теорема о s-кобордизме может быть переинтерпретирована как утверждение, что множество связных компонентов этого пространства является группой Уайтхеда π 1 (М). Это пространство содержит строго больше информации, чем группа Уайтхеда; например, связная компонента тривиального кобордизма является препятствием к единству гомотопии между множеством и M × [0, 1]. Рассмотрение этих вопросов Вальдхаузена к введению своей алгебраической теории пространств. Алгебраическая теория M - это пространство A (M), которое определено так, что оно играет важную роль для высших K-групп, что и K 1(Zπ1(M)) для M. В частности, Вальдхаузен показал, что является отображением из A (M) в пространстве Wh (M), которое обобщает отображение K 1(Zπ1(M)) → Wh (π 1 (M)) и чей гомотопический слой является теорией гомологий.

Чтобы полностью развить A-теорию, Вальдхаузен добился значительных технических успехов в основах K-теории. Вальдхаузен ввел категории Вальдхаузена, для категории Вальдхаузена C он ввел симплициальную категорию S · C (S означает Сигал), определенную в терминах цепочек кофибраций в C. Это освободило основание K-теории от необходимости использовать аналоги точных последовательностей.

Алгебра топология и алгебраическая геометрия в алгебраической K-теории

Квиллен предположил своему ученику Кеннету Брауну, что возможно создать теорию пучков из спектров, примером которых может служить K-теория. Пучок спектров K-теории будет связывать с каждым открытым подмножеством множество K-теорию этого открытого подмножества. Браун разработал такую ​​теорию для своей диссертации. Одновременно с этим у Герстена возникла та же идея. На конференции в Сиэтле осенью 1972 года они вместе представлены спектральная последовательность, сходящая из когомологий пучка $K\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{K\}\}\; \_\; \{n\}\}$, пучок K n -групп на X, в K-группу всего пространства. Теперь это называется группой.

Спенсер Блох, под боком работ Герстена о пучках K-групп, проверенных, что на регулярной поверхности когомологий $H\; 2\; (X,\; K\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{2\}\; (X,\; \{\; \backslash \; mathcal\; \{K\}\}\; \_\; \{2\})\}$изоморфна группе Чжоу CH (X) циклов коразмерности 2 на X. Вдохновленный этим, Герстен предположил что для регулярного локального кольца R с полем дроби F, K n (R) вводит в K n (F) для всех п. Вскоре Квиллен доказал, что это верно, когда R содержит поле, и, используя это, он доказал, что

$H\; p\; (X,\; K\; p)\; \cong \; CH\; p\; \; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{p\}\; (X,\; \{\backslash \; mathcal\; \{K\}\}\; \_\; \{p\})\; \backslash \; cong\; \backslash \; operatorname\; \{CH\}\; ^\; \{p\}\; (X)\}$

для всех p. Это известно как формула Блоха. Хотя с тех пор в гипотезе Герстена был достигнут прогресс, общий случай остается открытым.

Лихтенбаум предположил, что особые значения дзета-функции числового поля могут быть выражены через K-группы кольца целых чисел поля. Было известно, что эти особые значения связаны с этальными когомологиями кольца целых чисел. Поэтому Квиллен обобщил гипотезу Лихтенбаума, предсказав существование спектральной последовательности, подобной спектральной последовательности Атья - Хирцебруха в топологической K-теории. Предлагаемая Квилленом спектральная последовательность должна начинаться с этальных когомологий кольца R и в достаточно высоких степенях и после завершения на простом l, обратим в R, упираться в l-аддитивное пополнение K-теории кольца R. согласно Лихтенбауму, спектральная последовательность вырождается, что приводит к гипотезе Лихтенбаума.

Необходимость локализации в простом подсказала Браудеру, что должен существовать вариант K-теории с конечными коэффициентами. Он представил группу K-теории K n (R; Z/lZ), которые были Z/lZ-векторными пространствами, и он нашел аналог элемента Ботта в топологической K-теории. Соул использовал эту теорию для построения «этальных классов Черна », аналог топологических классов Черна, которые преобразовали элементы алгебраической K-теории в классы в этальных когомологиях. Отличие от алгебраической K-теории, этальные когомологии хорошо вычислимы, поэтому этальные классы Черна предоставили эффективный инструмент для обнаружения элементов в K-теории. Уильям Дж. Дуайер и Эрик Фридлендер затем изобрели аналог K-теории для этальной топологии, названный этальной K-теорией. Для различных, определенных над комплексными числами, этальная теория изоморфна топологической K-теории. Более того, этальная теория допускает спектральную последовательность, подобную той, предположил Квиллен. Примерно в 1980 году Томасон доказал, что после обращения элемента Ботта алгебраическая теория с конечными коэффициентами стала изоморфной этальной K-теории.

На протяжении 1970-х и начала 1980-х годов K-теория сингулярных множеий все еще не адекватных оснований. Хотя считалось, что теория Квиллена дает правильные группы, не было известно, обладают ли эти группы всеми предполагаемыми свойствами. Для этого пришлось переформулировать алгебраическую K-теорию. Это было сделано Томасоном в длинной монографии, которую он приписал своему мертвому другу Томасу Тробо, который, по его словам, дал ему ключевую идею во сне. Томасон объединил построение К-теории Вальдхаузена с основами теории пересечений, описанными в шестом томе книги Гротендика Семинар геометрии Альгебрик дю Буа Мари. Там K 0 был описан в терминах пучков пучков на алгебраических комплексах. Томасон обнаружил, что, если работать с производной категорией пучков, существует простое описание того, когда комплекс пучков может быть расширен от открытого подмножества разнообразия до всего разнообразия. Применив конструкцию K-теории Вальдхаузена к производным категориям, Томасон смог доказать, что алгебраическая K-теория обладает всеми ожидаемыми свойствами теории когомологий.

В 1976 году Кейт Деннис открыл совершенно новую технику вычислений K-теории, основанную на гомологии Хохшильда. Это было основано на существовании отображения следов Денниса, гомоморфизма от K-теории к гомологиям Хохшильда. В то время как карта следов Денниса казалась успешной вычислений K-теории с конечными коэффициентами, она была менее успешной для рациональных вычислений. Гудвилли, руководствуясь своим исчислением функторов, предположил существование теории, промежуточной по отношению к K-теории и гомологиям Хохшильда. Он назвал эту теорию топологической гомологией Хохшильда, потому что ее основное кольцо должно быть сферным спектром (рассматриваемым как кольцо, которое используется только с точностью до гомотопии). В середине 1980-х Бокстедт дал определение топологических гомологий Хохшильда, которое удовлетворяло почти всем гипотетическим свойствам Гудвилли, и это сделало возможным дальнейшие вычисления K-групп. Версия Бокстедта карты следователя Денниса была преобразованием спектров K → THH. Это преобразование учитывало неподвижные точки действия окружности на THH, что предполагало связь с циклической гомологией. В ходе доказательства алгебраического аналога K-теории гипотезы Новикова Бокстедт, Хсианг и Мадсен ввели топологические циклические гомологии, которые имеют такое же отношение к топологическим гомологиям Хохшильда, как циклические гомологии к гомологиям Хохшильда. Отображение следов Денниса в топологические факты гомологии Хохшильда через топологические циклические гомологии, предоставляя еще более подробный инструмент для вычислений. В 1996 году Дандас, Гудвилли и Маккарти доказали, что топологические циклические гомологии в точном смысле имеют ту же локальную структуру, что и алгебраическая K-теория, так что, если возможно вычисление в K-теории или топологических циклических гомологиях, то возможно множество других "близких" Далее следуют вычисления.

Нижние K-группы были обнаружены первыми и получили различные специальные описания, которые остаются полезными. Всюду пусть A будет кольцом.

K0

Функтор K 0 переводит кольцо A в группу Гротендика множества классов изоморфизма его конечно порожденного проективные модули, рассматриваемые как моноид по прямой сумме. Любой гомоморфизм колец A → B дает отображение K 0 (A) → K 0 (B), отображая (класс) проективного A-модуля M в M ⊗ A B, что делает K 0 ковариантным функтором.

Если кольцо A коммутативно, мы можем определить подгруппу в K 0 (A) как множество

$K\; ~\; 0\; (A)\; =\; \bigcap \; p\; первичный\; идеал\; AK\; er\; dim\; p,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{K\}\}\; \_\; \{0\}\; \backslash \; left\; (A\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; bigcap\; \backslash \; limits\; \_\; \{\{\backslash \; mathfrak\; \{p\}\}\; \{\backslash \; text\; \{простой\; идеал\}\}\; A\}\; \backslash \; mathrm\; \{Ker\}\; \backslash \; dim\; \_\; \{\backslash \; mathfrak\; \{p\}\},\}$

где:

$dim\; p:\; K\; 0\; (A)\; \to \; Z\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; dim\; \_\; \{\backslash \; mathfrak\; \{p\}\}:\; K\_\; \{\; 0\}\; \backslash \; left\; (A\; \backslash \; right)\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}\}$

- это карта, переводящая каждый (класс a) конечно порожденный проективный A-модуль M в ранг свободного $A\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \_\; \{\backslash \; mathfrak\; \{p\}\}\}$-module $M\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; \_\; \{\backslash \; mathfrak\; \{p\}\}\}$(этот модуль действительно свободен, так как любой конечно порожденный проективный модуль над локальным кольцом свободен). Эта подгруппа $K\; ~\; 0\; (A)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{K\}\}\; \_\; \{0\}\; \backslash \; left\; (A\; \backslash \; right)\}$известна как приведенная нулевая K-теория A.

Если B представляет собой кольцо без элемента идентичности, мы можем расширить определение K 0 следующим образом. Пусть A = B⊕ Z - расширение B до кольца с единицей, полученное путем присоединения к единице (0,1). Существует короткая точная последовательность B → A → Z, и мы определяем K 0 (B) как ядро ​​соответствующего отображения K 0 (A) → K 0(Z) = Z.

Примеры

• (Проективные) модули над полем k - это векторные пространства, а K 0 (k) - это изоморфен Z по размерности.
• Конечно порожденные проективные модули над локальным кольцом A свободны, и поэтому в этом случае снова K 0 (A) изоморфен Z по rank.
• . Для A область Дедекинда,

K0(A) = Pic (A) ⊕ Z,

, где Pic (A) является группой Пикара алгебры A, и аналогично редуцированная K-теория задается формулой

$K\; ~\; 0\; (A)\; =\; Pic\; \; A.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{K\}\}\; \_\; \{0\}\; (A)\; =\; \backslash \; operatorname\; \{Pic\}\; A.\}$

Алгебро-геометрический вариант этой конструкции применяется к категории алгебраических многообразий ; она связывает с данным алгебраическим многообразием X K-группу Гротендика категории локально свободных пучков (или когерентных пучков) на X. Для компактного топологического пространства X топологическая K-теория 142>K (X) (вещественных) векторных расслоений над X совпадает с K 0 кольца непрерывных вещественнозначных функций на X.

Относительное K 0

Пусть I - идеал A, и определим "double" как подкольцо декартова произведения A × A:

$D\; (A,\; I)\; =\; \{(x,\; y)\; \in \; A\; \times \; A:\; x\; -\; y\; \in \; I\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; (A,\; I)\; =\; \backslash \; \{(x,\; y)\; \backslash \; in\; A\; \backslash \; times\; A:\; xy\; \backslash \; in\; I\; \backslash \}\; \backslash .\}$

Относительная K-группа определяется в терминах "двойника"

$K\; 0\; (A,\; I)\; =\; ker\; \; (K\; 0\; (D\; (A,\; I))\; \to \; K\; 0\; (A)).\; \{\backslash \; Displaystyle\; K\_\; \{0\}\; (A,\; I)\; =\; \backslash \; ker\; \backslash \; left\; (\{K\_\; \{0\}\; (D\; (A,\; I))\; \backslash \; rightarrow\; K\_\; \{0\}\; (A)\}\; \backslash \; right)\; \backslash .\}$

где отображение индуцировано проекцией по первому множителю.

Относительный K 0 (A, I) изоморфен K 0 (I), рассматривая I как кольцо без идентичности. Независимость от A является аналогом теоремы об исключении в гомологии.

K0как кольцо

Если A - коммутативное кольцо, то тензорное произведение проективных модулей снова проективно, и поэтому тензорное произведение индуцирует умножение, превращающее K 0 в коммутативное кольцо с классом [A] в качестве тождества. Внешний продукт аналогичным образом индуцирует рост λ-кольца. Группа Пикара встраивается как подгруппа группы единиц K 0 (A).

K1

Хайман Басс предоставил это определение, которое обобщает группу кольцо: K 1 (A) - это абелианизация бесконечной общей линейной группы :

$K\; 1\; (A)\; знак\; равно\; GL\; \; (A)\; ab\; знак\; равно\; GL\; \; (A)\; /\; [GL\; \; (A),\; GL\; \; (A)]\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{1\}\; (A)\; =\; \backslash \; operatorname\; \{GL\}\; (A)\; ^\; \{\backslash \; t\_dv\; \{ab\}\}\; =\; \backslash \; operatorname\; \{GL\}\; (A)\; /\; [\backslash \; operatorname\; \{GL\}\; (A),\; \backslash \; operatorname\; \{GL\}\; (A)]\}$

Здесь

$GL\; \; (A)\; =\; colim\; \; GL\; \; (n,\; A)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{GL\}\; (A)\; =\; \backslash \; operatorname\; \{colim\}\; \backslash \; operatorname\; \{GL\}\; (n,\; A)\}$

- это прямой предел GL (n), который внедряется в GL (n + 1) как верхний левый блочная матрица, и $[GL\; \; (A),\; GL\; \; (A)]\; \{\backslash \; displaystyle\; [\backslash \; operatorname\; \{\; GL\}\; (A),\; \backslash \; operatorname\; \{GL\}\; (A)]\}$- его коммутаторная подгруппа. Определите элементарную матрицу, которая является суммой единичной матрицы и одного недиагонального элемента (это подмножество элементарных матриц , используется в линейной алгебре ). Тогда лемма Уайтхеда утверждает, что группа E (A), порожденной элементарными матрицами, равна коммутаторной подгруппе [GL (A), GL (A)]. Действительно, группа GL (A) / E (A) была впервые определена и изучена Уайтхедом и называется группа Уайтхеда кольца A.

Относительное K 1

относительная K-группа определяется в терминах « дубля »

$K\; 1\; (A,\; I)\; =\; ker\; \; (K\; 1\; (D\; (A,\; I))\; \to \; K\; 1\; (A)).\; \{\backslash \; Displaystyle\; K\_\; \{1\}\; (A,\; I)\; =\; \backslash \; ker\; \backslash \; left\; (\{K\_\; \{1\}\; (D\; (A,\; I))\; \backslash \; rightarrow\; K\_\; \{1\}\; (A)\}\; \backslash \; right)\; \backslash .\}$

Существует естественная точная последовательность

$K\; 1\; (A,\; I)\; \to \; K\; 1\; (A)\; \to \; K\; 1\; (A\; /\; I)\; \to \; K\; 0\; (A,\; I)\; \to \; K\; 0\; (A)\; \to \; K\; 0\; (А\; /\; Я).\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{1\}\; (A,\; I)\; \backslash \; rightarrow\; K\_\; \{1\}\; (A)\; \backslash \; rightarrow\; K\_\; \{1\}\; (A\; /\; I)\; \backslash \; rightarrow\; K\_\; \{0\}\; (A,\; I)\; \backslash \; rightarrow\; K\_\; \{0\}\; (\; A)\; \backslash \; rightarrow\; K\_\; \{0\}\; (A\; /\; I)\; \backslash .\}$

Коммутативные кольца и поля

Для A коммутативного кольца можно определить определитель det: GL (A) → A * в группу элемент элемент A, который исчезает на E (A) и, таким образом, спускается на карту det: K 1 (A) → A *. Так как E (A) ◅ SL (A), можно также определить специальную группу Уайтхеда SK1(A): = SL (A) / E (A). Это отображение разделяется посредством отображения A * → GL (1, A) → K 1 (A) (единица в верхнем левом углу), и, следовательно, находится на и имеет специальную группу Уайтхеда в ядре, давая разделенную короткую точную последовательность :

$1\; \to \; SK\; 1\; (A)\; \to \; K\; 1\; (A)\; \to \; A\; \ast \; \to \; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; \backslash \; to\; SK\_\; \{1\}\; (A)\; \backslash \; to\; K\_\; \{1\}\; (A)\; \backslash \; to\; A\; ^\; \{*\}\; \backslash \; to\; 1,\}$

, которая является частным отрывом от обычной расщепленной короткой точной последовательности, определяющей специальную линейную группу, а именно

$1\; \to \; SL\; \; (A)\; \to \; GL\; \; (A)\; \to \; A\; \ast \; \to \; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; \backslash \; to\; \backslash \; operatorname\; \{SL\}\; (A)\; \backslash \; to\; \backslash \; operatorname\; \{GL\}\; (A)\; \backslash \; to\; A\; ^\; \{*\}\; \backslash \; to\; 1.\}$

Определитель разделяется путем включения группы единиц A * = GL 1 (A) в общую линейную группу GL (A), поэтому K 1 (A) разделяется как прямая сумма группы единиц и специальной группы Уайтхеда: K 1 (A) ≅ A * ⊕ SK 1 (A).

Когда A является евклидовой областью (например, поле или целые числа), SK 1 (A) исчезает, и детерминантная карта является изоморфизмом из K 1 От (A) до A. Это неверно в целом для PID, что обеспечивает одну из редких математических функций евклидовых доменов, которые не распространяются на все PID. Явный PID, такой, что SK 1 не равен нулю, был дан Ишебеком в 1980 году и Грейсоном в 1981 году. Если A - область Дедекинда, поле частного которой представляет собой поле алгебраических чисел (конечное расширение рациональных чисел), то Милнор (1971, следствие 16.3) показывает, что SK 1 (A) исчезает.

Исчезновение SK 1 можно интерпретировать как утверждение, что K 1 генерируется изображением GL 1 в GL. Когда это не удается, можно спросить, генерируется ли K 1 Изображение GL 2. Для домена Дедекинда это так: действительно, K 1 генерируется изображениями GL 1 и SL 2 в GL. Подгруппа SK 1, сгенерированная SL 2, может быть изучена с помощью символов Меннике. Для дедекиндовских областей со всеми конечными факторами по максимальному SK 1 является группой идеального кручения.

Для некоммутативного кольца определитель, вообще говоря, не может быть определен, но отображение GL (A) → K 1 (A) - обобщение определителя.

Центральные простые алгебры

В случае центральной простой алгебры A над полем F, приведенная норма обеспечивает обобщение определителя представления K 1 (A) → F и SK 1 (A) может быть определено как ядро. Теорема Вана утверждает, что если A имеет простую степень, то SK 1 (A) тривиально, и это может быть расширено до бесквадратной степени. Ван также показал, что SK 1 (A) тривиально для любого центрального простого алгебры над числовым полем, но Платонов привел пример алгебр степени простого квадрата, для SK 1 (A) не является -тривиально.

K2

Джон Милнор нашел правильное определение K 2 : это центр группы Стейнберга St (A) A.

Его также можно определить как ядро ​​ карты

$\phi :\; St\; \; (A)\; \to \; GL\; (A),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; \backslash \; Colon\; \backslash \; operatorname\; \{St\}\; (A)\; \backslash \; to\; \backslash \; mathrm\; \{GL\; \}\; (A),\}$

или как множитель Шура группы элементарных матриц.

Для поля K 2 определяется символами Стейнберга : это приводит к теореме Мацумото.

Можно вычислить, что K 2 равно нулю для любого конечного поля. Вычисление K 2(Q) сложно: Тейт доказал

$K\; 2\; (Q)\; =\; (Z\; /\; 4)\; \ast \; \times \; \prod \; p\; нечетное\; простое\; число\; (Z\; /\; p)\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{2\}\; (\backslash \; mathbf\; \{Q\})\; =\; (\backslash \; mathbf\; \{Z\}\; /\; 4)\; ^\; \{*\}\; \backslash \; times\; \backslash \; prod\; \_\; \{p\; \{\backslash \; text\; \{odd\; prime\}\}\}\; (\backslash \; mathbf\; \{Z\}\; /\; p)\; ^\; \{*\}\; \backslash \}$

и заметил, что доказательство следовало Гауссу первому доказательству закона квадратичной взаимности.

Для неархимедовых локальных полей группа K 2 (F) является прямой суммой конечной циклической группы порядка m, скажем, и делимой группы K2(F).

Мы имеем K 2(Z) = Z / 2, и в общем случае K 2 конечно для кольца целых чисел числового поля.

Далее имеем K 2(Z/ n) = Z / 2, если n делится на 4, а в случае потери - на ноль.

Теорема Мацумото

Теорема Мацумото утверждает, что для поля k вторая K-группа задается формулой

$K\; 2\; (k)\; =\; k\; \times \; \otimes \; Z\; k\; \times \; /\; ⟨a\; \otimes \; (1\; -\; а)\; \mid \; a\; \ne \; 0,\; 1⟩.\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{2\}\; (k)\; =\; k\; ^\; \{\backslash \; times\}\; \backslash \; otimes\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{Z\}\}\; k\; ^\; \{\backslash \; times\}\; /\; \backslash \; langle\; a\; \backslash \; otimes\; (1-a)\; \backslash \; mid\; a\; \backslash \; not\; =\; 0,1\; \backslash \; rangle.\}$

Исходная теорема Мацумото носит еще более общий характер: для любой основной системы она дает представление о нестабильной K-теории. Это представление отличается от представленного только для симплектических корневых систем. Для несимплектических корневых систем неустойчивая вторая K-группа относительно корневой системы является в точности стабильной K-группой для GL (A). Неустойчивые вторые K-группы (в данном контексте) определяются путем взятия ядра универсального центрального расширения группы Шевалле универсального типа для данной корневой системы. Эта конструкция дает ядро ​​расширения Стейнберга для систем корней A n (n>1) и, в пределе, стабильных вторых K-групп.

Длинные точные последовательности

Если A является дедекиндовым доменом с полем дробей F, тогда существует длинная точная последовательность

$К\; 2\; F\; \to \; \oplus \; п\; К\; 1\; A\; /\; p\; \to \; К\; 1\; A\; \to \; К\; 1\; F\; \to \; \oplus \; п\; К\; 0\; A\; /\; p\; \to \; К\; 0\; A\; \to \; К\; 0\; F\; \to \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{2\}\; F\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; oplus\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{p\}\}\; K\_\; \{1\}\; A\; /\; \{\backslash \; mathbf\; \{p\}\}\; \backslash \; rightarrow\; K\_\; \{1\}\; A\; \backslash \; rightarrow\; K\_\; \{1\}\; F\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; oplus\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{p\}\}\; K\_\; \{0\; \}\; A\; /\; \{\backslash \; mathbf\; \{p\}\}\; \backslash \; rightarrow\; K\_\; \{0\}\; A\; \backslash \; rightarrow\; K\_\; \{0\}\; F\; \backslash \; rightarrow\; 0\; \backslash \}$

где p пробегает все простые идеалы A.

Существует также расширение точной последовательности для относительных K 1 и K 0:

$K\; 2\; (A)\; \to \; K\; 2\; (A\; /\; I)\; \to \; K\; 1\; (A,\; I)\; \to \; К\; 1\; (А)\; \cdots .\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{2\}\; (A)\; \backslash \; rightarrow\; K\_\; \{2\}\; (A\; /\; I)\; \backslash \; rightarrow\; K\_\; \{1\}\; (A,\; I)\; \backslash \; rightarrow\; K\_\; \{1\}\; (A)\; \backslash \; cdots\; \backslash .\}$

Сопряжение

На K 1 имеется пара со значениями в K 2. Даны коммутирующие матрицы X и Y над A, возьмем элементы x и y из группы Стейнберга с X, Y в качестве изображений. Коммутатор $x\; y\; x\; -\; 1\; y\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; xyx\; ^\; \{-\; 1\}\; y\; ^\; \{-\; 1\}\}$является элементом K 2. Карта не всегда сюръективна.

Вышеприведенное выражение для K 2 поля k привело Милнора к следующему определению «высшего» K -группы по

$K\; \ast \; M\; (k):\; =\; T\; \ast \; (k\; \times )\; /\; (a\; \otimes \; (1\; -\; a)),\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; \_\; \{*\}\; ^\; \{M\}\; (k):\; =\; T\; ^\; \{\; *\}\; (k\; ^\; \{\backslash \; times\})\; /\; (a\; \backslash \; otimes\; (1-a)),\}$

таким образом, как градуированные части частного тензорной алгебры мультипликативной группы k по двустороннему идеалу, порожденному

$\{a\; \otimes \; (1\; -\; a):\; a\; \ne \; 0,\; 1\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; \{a\; \backslash \; otimes\; (1-a):\; \backslash \; a\; \backslash \; neq\; 0,1\; \backslash \; right\; \backslash \}.\}$

Для n = 0,1,2 они совпадают с приведенными ниже, но для n ≧ 3 они отличаются в целом. Например, у нас K. n(Fq) = 0 для n ≧ 2, но K nFqотлично от нуля для нечетного n (см. Ниже).

Тензорное произведение на тензорной алгебре индуцирует произведение $K\; m\; \times \; K\; n\; \to \; K\; m\; +\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{m\}\; \backslash \; times\; K\_\; \{n\}\; \backslash \; rightarrow\; K\_\; \{m\; +\; n\}\}$создание $K\; \ast \; M\; (F)\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; \_\; \{*\}\; ^\; \{M\}\; (F)\}$a градуированное кольцо, которое является градуированно-коммутативным.

Изображения элементов $a\; 1\; \otimes \; \cdots \; \otimes \; an\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{1\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; cdots\; \backslash \; otimes\; a\_\; \{n\}\}$in $К\; n\; M\; (k)\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{n\}\; ^\; \{M\}\; (k)\}$называются символами, обозначаемыми $\{a\; 1,\dots ,\; an\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{\; a\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; a\_\; \{n\}\; \backslash \}\}$. Для целого m, обратимого в k, существует отображение

$\partial :\; k\; \ast \; \to \; H\; 1\; (k,\; \mu \; m)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial:\; k\; ^\; \{*\}\; \backslash \; rightarrow\; H\; ^\; \{1\}\; (k,\; \backslash \; mu\; \_\; \{m\})\}$

где $\mu \; m\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{m\}\}$обозначает корней m-й степени из единицы в некотором отделимом расширении k. Это распространяется на

$\partial \; N:\; k\; \ast \; \times \; \cdots \; \times \; k\; \ast \; \to \; H\; n\; (k,\; \mu \; м\; \otimes \; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; ^\; \{n\}:\; k\; ^\; \{*\}\; \backslash \; times\; \backslash \; cdots\; \backslash \; times\; k\; ^\; \{*\}\; \backslash \; rightarrow\; H\; ^\; \{n\}\; \backslash \; left\; (\{k,\; \backslash \; mu\; \_\; \{m\}\; ^\; \{\backslash \; otimes\; n\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \}$

, удовлетворяющие определяющим соотношениям K-группы Милнора. Следовательно, $\partial \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; ^\; \{n\}\}$можно рассматривать как карту на $K\; n\; M\; (k)\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{n\}\; ^\; \{M\}\; (k)\}$, называемая карта символов Галуа.

Связь между этальной (или Галуа ) когомологии поля и Милнора K- Теория по модулю 2 - это гипотеза Милнора, доказанная Владимиром Воеводским. Аналогичным утверждением для нечетных простых чисел является гипотеза Блоха-Като, доказанная Воеводским, Ростом и другими.

Принятые определения высших K-групп были даны Квилленом (1973) через несколько лет, в течение нескольких лет было предложено несколько несовместимых определений. Целью программы было найти определения K (R) и K (R, I) в терминах классифицирующих пространств так, чтобы R ⇒ K (R) и (R, I) ⇒ K (R, I) - это функторы в гомотопической категории пространств и длинной точной последовательности для относительных K-групп возникает как длинная точная гомотопическая последовательность расслоения K(R, I) → K (R) → K (R / I).

Квиллен дал две конструкции, «плюс-конструкцию» и «Q-конструкцию», которые могут быть модифицированы способами. Две конструкции дают одни и те же K-группы.

+ -конструкция

Одно возможное определение высшей алгебраической K-теории колец было дано Квилленом

$K\; n\; (R)\; =\; \pi \; N\; (B\; GL\; \; (R)\; +),\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{n\}\; (R)\; =\; \backslash \; pi\; \_\; \{n\}\; (B\; \backslash \; operatorname\; \{GL\}\; (R)\; ^\; \{+\}),\}$

Здесь π n представляет собой гомотопическую Группа, GL (R) представляет собой прямой предел общих линейных групп над R для размера матрица, стремящаяся к бесконечности, B - конструкция классифицирующего пространства теории гомотопий, и конструкция Квиллена плюс.

Это определение справедливо только для n>0, поэтому часто определяет высшую алгебраическую K -теорию через

$К\; N\; (R)\; =\; \pi \; N\; (B\; GL\; \; (R)\; +\; \times \; К\; 0\; (R))\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{n\}\; (R)\; =\; \backslash \; pi\; \_\; \{n\}\; (B\; \backslash \; operatorname\; \{GL\}\; (R)\; ^\; \{+\}\; \backslash \; times\; K\_\; \{0\}\; (R))\}$

BGL (R) линейно связно, а K 0 (R) дискретно, это определение не t различаются в более высоких степенях и справедливы для n = 0.

Q-конструкция

Q-конст рукция дает s Примерно как + -конструкция, но она применяется в более общих ситуациях. K-прямая группа, используя Q-конструкции, по определению функториальны. Этот факт не является автоматическим в плюс-конструкции.

Предположим, P является точной категорией ; связана с P, определена новая категория QP, объекты, которые являются объектами P, а морфизмы от M 'к M ″ являются классами изоморфизма диаграмм

$M\; \prime \; ⟵\; N\; ⟶\; M\; ″,\; \{\backslash \; displaystyle\; M\text{'}\; \backslash \; longleftarrow\; N\; \backslash \; longrightarrow\; M\; \text{'}\; \text{'},\}$

где первая стрелка - допустимый эпиморфизм, а вторая стрелка - допустимый мономорфизм.

i-я K-группа точной категории P тогда определяется как

$К\; я\; (P)\; знак\; равно\; \pi \; я\; +\; 1\; (BQP,\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{i\}\; (P)\; =\; \backslash \; pi\; \_\; \{i\; +\; 1\}\; (\backslash \; mathrm\; \{BQ\}\; P,\; 0)\}$

с фиксированным нулевым введенным 0, где BQP - классифицирующее пространство QP, определяется как геометрическая реализация нерва QP.

Это определение совпадает с приведенным выше определением K 0 (P). Если P - категория порожденных проективных R-модулей, это определение согласуется с приведенным выше определением BGL для K n (R) для всех n. В более общем смысле, для схемы X высшие K-группы X определяются как K-группы (точная категория) локально свободных когерентных пучков на X.

Также используется следующий следующий вариант: конечно порожденных проективных (= локально свободных) модулей взять конечно порожденные вместо модулей. Результирующие K-группы обычно записываются как G n (R). Когда R является нётеровым регулярным кольцом, то G- и K-совпадают. Действительно, глобальная размерность регулярных колец конечна, т. Е. Любой конечно порожденный модуль имеет конечную проективную разрешающую способность P * → M, и простой аргумент показывает, что каноническое отображение K 0 (R) → G 0 (R) - это изоморфизм, с [M] = Σ ± [P n ]. Этот изоморфизм распространяется и на высшие K-группы.

S-конструкция

Третьей конструкцией групп K-теории S-конструкция, разработанная Вальдхаузеном. Он применяется к категориим с кофибрациями (также называемыми категориями Вальдхаузена ). Это более общее понятие, чем точные категории.

В то время как алгебраическая K-теория Квиллена дала глубокое понимание различных алгебраической геометрии и топологии, K-группы оказались особенно трудными для вычислений, за исключением отдельных отдельных, но интересных случаев. (См. Также: K-группы поля.)

Алгебраические K-группы конечных полей

Первое и одно из самых важных вычислений высшей алгебраической K-группы кольца были созданы самим Квилленом для случая конечных :

Если Fq- конечное поле с q элементами, то:

• K0(Fq) = Z,
• K2i(Fq) = 0 для i ≥1,
• K2i - 1 (Fq) = Z / (q - 1) Z для i ≥ 1.

Рик Джардин (1993) опроверг вычислений Квиллена разными методами.

Алгебраические K-группы колец целых чисел

Квиллен доказал, что если A является кольцом целых алгебраических чисел в алгебраическом числовом поле F (конечное расширение рациональных чисел), то алгебраические K-группы алгебры A конечно порождены. Арманд Борель использовал это для вычислений K i (A) и K i (F) по модулю кручения. Например, для целых чисел Z Борель доказал, что (по модулю кручения)

• Ki(Z) /tors.=0 для положительных i, если i = 4k + 1 при k положительных
• K4k + 1 (Z) / торс. = Z для положительного k.

Торсионные подгруппы группы K 2i + 1 (Z) и порядки конечных групп K 4k + 2 (Z) были недавно сформированы, но являются ли последние группы циклическими и исчезают ли группы K 4k(Z), зависит от гипотезы Вандивера о группах классов циклотомических целых чисел. См. гипотезу Квиллена - Лихтенбаума для получения более подробной информации.

Алгебраические K-группы используются в предположениях о особых значениях L-функций и формулировке и при построении выше регуляторы.

Гипотеза Паршина касается высших алгебраических K-групп для гладких множественных над конечными полями и утверждает, что в этом случае группы обращаются в нуль с точностью до кручения.

Другая фундаментальная гипотеза, выдвинутая Хайманом Бассом (гипотеза Басса ), гласит, что все группы G n (A) конечно порождены когда A - конечно порожденная Z -алгебра. (Группы G n (A) являются K-группой категории конечно порожденных A-модулей)

• Формула Блоха
• Основная теорема алгебраического K -теория
• Основные теоремы алгебраической K-теории
• K-теория
• K-теория категории
• K-группа поля
• Спектр K- теории
• Гипотеза Редшифта
• Топологическая K-теория
• Жесткость (K-теория)

• Басс, Хайман (1968), Алгебраическая K-теория, Серия лекций по математике, Нью-Йорк -Амстердам: WA Benjamin, Inc., Zbl 0174.30302
• Фридлендер, Эрик ; Грейсон, Дэниел, ред. (2005), Справочник по теории К., Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, doi : 10.1007 / 3-540-27855-9, ISBN 978-3-540-30436-4, MR 2182598
• Фридлендер, Эрик М. ; Вайбель, Чарльз У. (1999), Обзор алгебраической K-теории, World Sci. Publ., River Edge, NJ, pp. 1–119, MR 1715873
• Gille, Philippe; Самуэли, Тамаш (2006), Центральные простые алгебры и когомологии Галуа, Кембриджские исследования по высшей математике, 101, Кембридж: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-86103-8, Zbl 1137.12001
• Гра, Жорж (2003), Теория поля классов. От теории к практике, Монографии Springer по математике, Берлин: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-44133-5, Zbl 1019.11032
• Джардин, Джон Фредерик (1993), «К-теория конечных полей, новый взгляд», Теория конечных полей, 7 (6): 579–595, doi : 10.1007 / BF00961219, MR 1268594
• Лам, Цит-Юэн (2005), Введение в квадратичные формы над полями, Аспирантура по математике, 67, американский Математическое общество, ISBN 978-0-8218-1095-8, MR 2104929, Zbl 1068.11023
• Леммермейер, Франц (2000), Законы взаимности. От Эйлера до Эйзенштейна, Springer Monographs in Mathematics, Берлин: Springer-Verlag, doi : 10.1007 / 978-3-662-12893-0, ISBN 978-3-540-66957-9, MR 1761696, Zbl 0949.11002
• Милнор, Джон Уиллард (1970), «Алгебраическая теория и квадратичные формы», Inventiones Mathematicae, 9 (4): 318–344, Bibcode : 1970InMat... 9..318M, doi : 10.1007 / BF01425486, ISSN 0020-9910, MR 0260844
• Милнор, Джон Уиллард (1971), Введение в алгебраическую K-теорию, Annals of Mathematics Studies, 72, Princeton, NJ: Princeton University Press, MR 0349811, Zbl 0237.18005 (низшие K-группы)
• Квиллен, Дэниел (1973), «Высшая алгебраическая K-теория. I », Алгебраическая K-теория, I: высшие K-теории (Proc. Conf., Battelle Memorial Inst., Сиэтл, Вашингтон, 1972), Lecture Notes in Math, 341, Berlin, New York: Springer-Verlag, стр. 85–147, doi : 10.1007 / BFb0067053, ISBN 978-3-540 -06434-3, MR 0338129
• Квиллен, Дэниел (1975), «Высшая алгебраическая K-теория», Труды Международного конгресса математиков (Ванкувер, Британская Колумбия, 1974), Том 1, Монреаль, Квебек: Конгресс, стр. 171–176, MR 0422392 (Q-конструкция Квиллена)
• Квиллен, Дэниел (1974), «Высшая K-теория для категорий с точными последовательностями», Новые разработки в топологии (Proc. Sympos. Algebraic Topology, Oxford, 1972), London Math. Soc. Lecture Note Ser., 11, Cambridge University Press, pp. 95–103, MR 0335604 (отношение Q -конструкции к плюс-конструкции)
• Розенберг, Джонатан (1994), Алгебраическая теория и ее приложения, Тексты для выпускников по математике, 147, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, doi : 10.1007 / 978-1-4612 -4314-4, ISBN 978-0-387-94248-3, MR 1282290, Zbl 0801.19001. Исправление
• Зайлер, Вольфганг (1988), «λ-кольца и операции Адамса в алгебраической K-теории», в Rapoport, M.; Schneider, P.; Шаппахер, Н. (ред.), Гипотезы Бейлинсона о специальных значениях L-функций, Бостон, Массачусетс: Academic Press, ISBN 978-0-12-581120-0
• Сильвестр, Джон Р. (1981), Введение в алгебраическую K-теорию, Серия математических статей Чепмена и Холла, Лондон, Нью-Йорк: Чепмен и Холл, ISBN 978-0-412 - 22700-4, Zbl 0468.18006
• Вейбель, Чарльз (2005), «Алгебраическая K-теория колец целых чисел в локальных и глобальных полях» (PDF), Справочник по K-теории, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 139–190, doi : 10.1007 / 3-540 -27855-9_5, ISBN 978-3-540-23019-9, MR 2181823 (обзорная статья)
• Weibel, Charles (1999), Развитие алгебраической K-теории до 1980 г., Contemporary Mathematics, 243, Providence, RI: American Математическое общество, стр. 211–238, doi : 10.1090 / conm / 243/03695, MR 1732049

• Луис-Пуэбла, Эмилио; Лодей, Жан-Луи; Жилле, Анри; Суле, Кристоф; Снайт, Виктор (1992), Высшая алгебраическая теория: обзор, Лекционные заметки по математике, 1491, Берлин, Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-55007-5, Zbl 0746.19001
• Магурн, Брюс А. (2009), Алгебраическое введение в K-теорию, Энциклопедия математики и его приложения, 87 (исправленное издание в мягкой обложке), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-10658-0
• Шринивас, В. (2008), Алгебраическая теория, Современная классика Биркхойзера (перепечатка в мягкой обложке 2-го изд. 1996 г.), Бостон, Массачусетс: Birkhäuser, ISBN 978 -0-8176-4736-0, Zbl 1125.19300
• Weibel, C., K-book: Введение в алгебраическую K-теорию

Педагогические ссылки

• Розенберг, Джонатан (1994), Алгебраическая теория и ее приложения, Тексты для выпускников по математике, 147, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, doi : 10.1007 / 978-1-461 2-4314-4, ISBN 978-0 -387-94248-3, MR 1282290, Zbl 0801.19001. Опечатки

Исторические справки

• Атья, Майкл Ф. ; Хирцебрух, Фридрих (1961), векторные расслоения и однородные пространства, Proc. Симпози. Pure Math., 3, Американское математическое общество, стр. 7–38
• Барден, Деннис (1964). О строении и классификации различий (Диссертация). Кембриджский университет.
• Басс, Хайман ; Мурти, М. (1967). «Группы Гротендика и группы Пикара абелевых групповых колец». Анналы математики. 86(1): 16–73. DOI : 10.2307 / 1970360. JSTOR 1970360.
• Басс, Хайман ; Шануэль, С. (1962). «Гомотопическая теория проективных модулей». Бюллетень Американского математического общества. 68(4): 425–428. doi : 10.1090 / s0002-9904-1962-10826-x.
• Басс, Хайман (1968). Алгебраическая K-теория. Бенджамин.
• Блох, Спенсер (1974). «К 2 алгебраических циклов». Анналы математики. 99(2): 349–379. DOI : 10.2307 / 1970902. JSTOR 1970902.
• Бокстедт М. Топологические гомологии Хохшильда. Препринт, Билефельд, 1986.
• Бокстедт, М., Сян, У. К., Мадсен, И., Круговой след и алгебраическая K-теория пространств. Изобретать. Math., 111 (3) (1993), 465–539.
• Борел, Арман ; Серр, Жан-Пьер (1958). «Теорема Римана - Роха». Bulletin de la Société Mathématique de France. 86: 97–136. doi : 10.24033 / bsmf.1500.
• Браудер, Уильям (1978), Алгебраическая K-теория с коэффициентами Z / p, Конспекты лекций по математике, 657, Springer - Verlag, pp. 40–84
• Браун, К., Герстен, С., Алгебраическая теория как обобщенные когомологии пучков, Алгебраическая K-теория I, Конспекты лекций по математике., т. 341, Springer-Verlag, 1973, стр. 266–292.
• Серф, Жан (1970). "Естественная стратификация пространств дифференцируемых функций и теорема псевдоизотопии". Публикации Mathématiques de l'IHÉS. 39: 5–173. doi : 10.1007 / BF02684687.
• Деннис, Р. К., Высшая алгебраическая теория и гомология Хохшильда, неопубликованный препринт (1976).
• Герстен, S (1971). «О функторе K 2 ». J. Алгебра. 17 (2): 212–237. doi : 10.1016 / 0021-8693 (71) 90030-5.
• Гротендик, Александр, Классы фасисо и теорема Римана - Роха, заметки на мимеографе, Принстон, 1957.
• Хэтчер, Аллен ; Вагонер, Джон (1973), «Псевдоизотопии компактных разнообразий», Astérisque, 6, MR 0353337
• Каруби, Макс (1968). "Foncteurs derives et K-theorie. Категории фильтров". Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série A-B. 267 : A328 - A331.
• Каруби, Макс ; Вилламайор, О. (1971). "Алгебричная K-теория и топология K-теории". Математика. Сканд. 28 : 265–307. doi : 10.7146 / math.scand.a-11024.
• Мацумото, Хидея (1969). «Sur les sous-groupes aritmetiques des groupes semi-simples deployes». Научные Анналы высшей нормальной школы. 2: 1–62. doi : 10.24033 / asens.1174.
• Мазур, Барри (1963). «Дифференциальная топология с точки зрения простой теории гомотопий» (PDF). Публикации Mathématiques de l'IHÉS. 15 : 5–93.
• Милнор, Дж (1970). «Алгебраическая теория и квадратичные формы». Изобретать. Математика. 9 (4): 318–344. Bibcode : 1970InMat... 9..318M. doi : 10.1007 / bf01425486.
• Милнор Дж. Введение в алгебраическую K-теорию, Princeton Univ. Press, 1971.
• Нобиле, А., Вильямайор, О., Sur la K-theorie algebrique, Annales Scientifiques de l'Ecole Normale Supérieure, 4e serie, 1, нет. 3, 1968, 581–616.
• Квиллен, Дэниел, Когомологии групп, Proc. ICM Nice 1970, т. 2, Gauthier-Villars, Paris, 1971, 47–52.
• Квиллен, Даниэль, Высшая алгебраическая K-теория I, Алгебраическая K-теория I, Конспекты лекций по математике, т. 341, Springer Verlag, 1973, 85–147.
• Квиллен, Дэниел, Высшая алгебраическая K-теория, Proc. Междунар. Congress Math., Ванкувер, 1974, т. Я, Канад. Математика. Soc., 1975, стр. 171–176.
• Сигал, Грэм (1974). «Категории и теории когомологий». Топология. 13(3): 293–312. doi : 10.1016 / 0040-9383 (74) 90022-6.
• Зибенманн, Ларри, Препятствие к поиску границы для широкого разнообразия размерности больше пяти, Диссертация, Принстонский университет (1965).
• Смейл, S (1962). «О строении разнообразий». Амер. J. Math. 84 (3): 387–399. doi : 10.2307 / 2372978. JSTOR 2372978.
• Стейнберг, Р., Generateurs`` Relations et revetements de groupes algebriques, ́Colloq. Theorie des Groupes Algebriques, Готье-Виллар, Париж, 1962, стр. 113–127. (Французский)
• Свон, Ричард, неабелева гомологическая алгебра и K-теория, Proc. Симпози. Чистая математика, т. XVII, 1970, стр. 88–123.
• Томасон Р. У. Алгебраическая теория и этальные когомологии, Ann. Научный. Ec. Норма. Sup. 18, 4е серия (1985), 437–552; erratum 22 (1989), 675–677.
• Томасон, Р. У., Принципы науки и несуществование единой K-теории Милнора глобальной, Топология 31, нет. 3, 1992, 571–588.
• Томасон, Роберт В.; Тробо, Томас (1990), "Высшая алгебраическая K-теория и производных категорий", Grothendieck Festschrift, Vol. III, Прогр. Math., 88, Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, стр. 247–435, doi : 10.1007 / 978-0-8176-4576-2_10, ISBN 978-0-8176-3487-2, MR 1106918
• Вальдхаузен, Ф., Алгебраика Теория топологических пространств. I, по алгебраической и геометрической топологии (Proc. Sympos. Pure Math., Stanford Univ., Stanford, CA, 1976), Часть 1, стр. 35–60, Proc. Симпози. Чистая математика, XXXII, амер. Математика. Soc., Providence, RI, 1978.
• Вальдхаузен, Ф., Алгебраическая K-теория пространств, алгебраической и геометрической топологии (Нью-Брансуик, штат Нью-Джерси, 1983 г.), Конспект лекций по математике, т. 1126 (1985), 318–419.
• Уолл, К.Т.С. (1965). «Условия конечности для CW-комплексов». Анналы математики. 81 (1): 56–69. DOI : 10.2307 / 1970382. JSTOR 1970382.
• Уайтхед, J.H.C. (1941). «О матрицах инцидентности, ядрах и гомотопических типах». Анналы математики. 42 (5): 1197–1239. DOI : 10.2307 / 1970465. JSTOR 1970465.
• Уайтхед, J.H.C. (1950). «Простые гомотопические типы». Амер. J. Math. 72 (1): 1–57. DOI : 10.2307 / 2372133. JSTOR 2372133.
• Уайтхед, J.H.C. (1939). «Симплициальные пространства, ядра и m-группы». Proc. Лондонская математика. Soc. 45 : 243–327. doi : 10.1112 / plms / s2-45.1.243.

• Архив препринтов теории K