Унитарная группа

В математике унитарная группа степени n, обозначенная U (n), является группой из n × n унитарных матриц с групповой операцией матричного умножения. Унитарная группа является подгруппой из общей линейной группы GL (n, C ). Гиперортогональная группа - архаичное название унитарной группы, особенно над конечными полями. Для группы унитарных матриц с определителем 1 см. Специальная унитарная группа.

В простом случае n = 1 группа U (1) соответствует круговой группе, состоящей из всех комплексные числа с абсолютным значением 1 при умножении. Все унитарные группы содержат копии этой группы.

Унитарная группа U (n) является действительной группой Ли размерности n. Алгебра Ли U (n) состоит из n × n косоэрмитовых матриц с скобкой Ли, заданной коммутатором .

Общая унитарная группа (также называемая группой унитарных подобий ) состоит из всех матриц A таких, что AA является ненулевым кратным единичной матрице и является просто произведение унитарной группы на группу всех положительных кратных единичной матрицы.

• 1 Свойства
• 2 Топология
• 3 Связанные группы
  • 3.1 Свойство 2-из-3
  • 3.2 Специальные унитарные и проективные унитарные группы
• 4 G-структура: почти эрмитово
• 5 Обобщения
  • 5.1 Неопределенные формы
  • 5.2 Конечные поля
  • 5.3 Отделимые алгебры степени 2
  • 5.4 Алгебраические группы
    • 5.4.1 Унитарная группа квадратичного модуля
• 6 Полиномиальные инварианты
• 7 Классифицирующее пространство
• 8 См. Также
• 9 Примечания
• 10 Ссылки

Поскольку определитель унитарной матрицы является сложным с нормой 1 определитель дает гомоморфизм группы

$det:\; U\; \; (n)\; \to \; U\; \; (1).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; det\; \backslash \; двоеточие\; \backslash \; operatorname\; \{U\}\; (n)\; \backslash \; to\; \backslash \; operatorname\; \{U\}\; (1).\}$

ядро ​​ этого гомоморфизма - это набор унитарных матриц с определителем 1 Эта подгруппа называется специальной унитарной группой и обозначается SU (n). Тогда у нас есть короткая точная последовательность групп Ли:

$1\; \to \; SU\; \; (n)\; \to \; U\; \; (n)\; \to \; U\; \; (1)\; \to \; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; \backslash \; to\; \backslash \; operatorname\; \{SU\}\; (n)\; \backslash \; to\; \backslash \; operatorname\; \{U\}\; (n)\; \backslash \; to\; \backslash \; operatorname\; \{U\}\; (1)\; \backslash \; to\; 1.\}$

Приведенное выше отображение U (n) в U (1) имеет раздел: мы можем рассматривать U (1) как подгруппу в U (n), которая диагональна с e в верхнем левом углу и 1 на остальной части диагонали. Следовательно, U (n) является полупрямым произведением U (1) на SU (n).

Унитарная группа U (n) не является абелевой для n>1. центр матрицы U (n) - это множество скалярных матриц λI с λ ∈ U (1); это следует из леммы Шура. Тогда центр изоморфен U (1). Поскольку центр U (n) является одномерной абелевой нормальной подгруппой в U (n), унитарная группа не полупростая, но редуктивная.

Унитарная группа U (n) наделена относительной топологией как подмножество M (n, C ), множество всех n × n комплексных матриц, которые гомеоморфны 2n-мерному евклидову пространству.

Как топологическое пространство, U (n) и компактно, и связно. Чтобы показать, что U (n) связно, вспомним, что любую унитарную матрицу A можно диагонализовать другой унитарной матрицей S. Любая диагональная унитарная матрица должна иметь комплексные числа абсолютного значения 1 на главной диагонали. Поэтому мы можем записать

$A\; =\; S\; diag\; \; (e\; i\; \theta \; 1,\dots ,\; e\; i\; \theta \; n)\; S\; -\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; S\; \backslash ,\; \backslash \; operatorname\; \{diag\}\; \backslash \; left\; (e\; ^\; \{i\; \backslash \; theta\; \_\; \{1\}\},\; \backslash \; dots,\; e\; ^\; \{i\; \backslash \; theta\; \_\; \{n\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash ,\; S\; ^\; \{\; -1\}.\}$

A путь в U (n) от единицы до A тогда задается как

$t\; \mapsto \; S\; diag\; \; (eit\; \theta \; 1,\dots ,\; eit\; \theta \; n)\; S\; -\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; \backslash \; mapsto\; S\; \backslash ,\; \backslash \; operatorname\; \{diag\}\; \backslash \; left\; (e\; ^\; \{it\; \backslash \; theta\; \_\; \{1\}\},\; \backslash \; dots,\; e\; ^\; \{it\; \backslash \; theta\; \_\; \{n\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash ,\; S\; ^\; \{-1\}.\}$

Унитарная группа не является односвязной ; фундаментальная группа U (n) бесконечна циклическая для всех n:

$\pi \; 1\; (U\; \; (n))\; \cong \; Z.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; \_\; \{1\}\; (\backslash \; operatorname\; \{U\}\; (n))\; \backslash \; cong\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}.\}$

Чтобы увидеть это, обратите внимание, что приведенное выше разделение U (n) как полупрямого произведения SU (n) и U (1) индуцируют структуру топологического произведения на U (n), так что

$\pi \; 1\; (U\; \; (n))\; \cong \; \pi \; 1\; (SU\; \; (n))\; \times \; \pi \; 1\; (U\; \; (1)).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; \_\; \{1\}\; (\backslash \; operatorname\; \{U\}\; (n))\; \backslash \; cong\; \backslash \; pi\; \_\; \{1\}\; (\backslash \; operatorname\; \{SU\}\; (n))\; \backslash \; times\; \backslash \; pi\; \_\; \{1\}\; (\backslash \; operatorname\; \{U\; \}\; (1)).\}$

Теперь первая унитарная группа U (1) топологически является окружностью, которая, как хорошо известно, имеет фундаментальную группу, изоморфную Z, тогда как $SU\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{SU\}\; (n)\}$односвязен.

Детерминантная карта det: U (n) → U (1) индуцирует изоморфизм фундаментальных групп, причем расщепление U (1) → U (n) индуцирует обратное.

Группа Вейля группы U (n) - это симметрическая группа Sn, действующая на диагональный тор путем перестановки элементов:

$diag\; \; (ei\; \theta \; 1,\dots ,\; Ei\; \theta \; N)\; \mapsto \; diag\; \; (ei\; \theta \; \sigma \; (1),\dots ,\; ei\; \theta \; \sigma \; (n))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{diag\}\; \backslash \; left\; (e\; ^\; \{i\; \backslash \; theta\; \_\; \{1\}\},\; \backslash \; dots,\; e\; ^\; \{i\; \backslash \; theta\; \_\; \{n\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; mapsto\; \backslash \; operatorname\; \{diag\}\; \backslash \; left\; (e\; ^\; \{i\; \backslash \; theta\; \_\; \{\backslash \; sigma\; (1)\}\},\; \backslash \; dots,\; e\; ^\; \{i\; \backslash \; theta\; \_\; \{\backslash \; sigma\; (n)\}\}\; \backslash \; right)\}$

Свойство 2-из-3

Унитарная группа - это 3-кратное пересечение ортогональные, комплексные и симплектические группы:

$U\; \; (n)\; =\; O\; \; (2\; n)\; \cap \; GL\; \; (n,\; C)\; \cap \; Sp\; \; (2\; п,\; р).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{U\}\; (n)\; =\; \backslash \; operatorname\; \{O\}\; (2n)\; \backslash \; cap\; \backslash \; operatorname\; \{GL\}\; (n,\; \backslash \; mathbf\; \{C\})\; \backslash \; cap\; \backslash \; operatorname\; \{Sp\}\; (2n,\; \backslash \; mathbf\; \{R\; \}).\}$

Таким образом, унитарную структуру можно рассматривать как ортогональную структуру, сложную структуру и симплектическую структуру, которые должны быть совместимы (это означает, что используется один и тот же J в комплексной структуре и симплектической форме, и что этот J ортогонален; запись всех групп в виде групп матриц фиксирует J (который является ортогональным) и обеспечивает совместимость).

Фактически, это пересечение любых двух из этих трех; таким образом, совместимая ортогональная и комплексная структура порождает симплектическую структуру и т. д.

На уровне уравнений это можно увидеть следующим образом:

$Симплектическое\; ATJA\; =\; J\; Комплексное\; A\; -\; 1\; JA\; =\; J\; Ортогональное\; AT\; =\; A\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{r\; |\; r\}\; \{\backslash \; text\; \{Symplectic\}\}\; A\; ^\; \{\backslash \; mathsf\; \{T\}\}\; JA\; =\; J\; \backslash \backslash \backslash \; hline\; \{\backslash \; text\; \{Complex\}\}\; A\; ^\; \{-\; 1\}\; JA\; =\; J\; \backslash \backslash \backslash \; hline\; \{\backslash \; text\; \{Orthogonal\}\}\; A\; ^\; \{\backslash \; mathsf\; \{T\}\}\; =\; A\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; end\; \{array\}\}\}$

Любые два из этих уравнений подразумевает третий.

На уровне форм это можно увидеть, разложив эрмитову форму на ее действительную и мнимую части: действительная часть симметрична (ортогональна), а мнимая часть кососимметрична (симплектическая) - и они связаны сложной структурой (которая является совместимостью). На почти кэлеровом многообразии это разложение можно записать как h = g + iω, где h - эрмитова форма, g - риманова метрика, i - почти комплексная структура, а ω - почти симплектическая структура.

С точки зрения групп Ли это можно частично объяснить следующим образом: O (2n) - это максимальная компактная подгруппа группы GL (2n, R ), а U (n) - максимальная компактная подгруппа как в GL (n, C ), так и в Sp (2n). Таким образом, пересечение O (2n) ∩ GL (n, C ) или O (2n) ∩ Sp (2n) является максимальной компактной подгруппой обеих из них, поэтому U (n). С этой точки зрения неожиданным является пересечение GL (n, C ) ∩ Sp (2n) = U (n).

Специальные унитарные и проективные унитарные группы

Так же, как ортогональная группа O (n) имеет специальную ортогональную группу SO (n) в качестве подгруппы и проективную ортогональную группу PO (n) как фактор, а проективная специальная ортогональная группа PSO (n) как подфактор, унитарная группа U (n) ассоциировала с ней специальный унитарная группа SU (n), проективная унитарная группа PU (n) и проективная специальная унитарная группа PSU (n). Они связаны как коммутативной диаграммой справа; в частности, обе проективные группы равны: PSU (n) = PU (n).

Вышеупомянутое относится к классической унитарной группе (над комплексными числами) - для унитарных групп над конечными полями аналогично получают специальные унитарные и проективные унитарные группы, но в целом $Блок\; питания\; \; (n,\; q\; 2)\; \ne \; PU\; \; (n,\; q\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{PSU\}\; \backslash \; left\; (n,\; q\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; neq\; \backslash \; operatorname\; \{PU\}\; \backslash \; left\; (n,\; q\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\}$.

На языке G-структур многообразие с U (n) -структурой является почти эрмитово многообразие.

С точки зрения теории Ли классическая унитарная группа является вещественной формой группы Стейнберга $2\; A\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\}\; ^\; \{2\}\; \backslash !\; A\_\; \{n\}\}$, которая является алгебраической группой, которая возникает из комбинации автоморфизма диаграммы общая линейная группа (обращающая диаграмму Дынкина An, которая соответствует транспонированной обратной) и полевой автоморфизм расширения C/R(а именно компл. бывшее спряжение ). Оба эти автоморфизма являются автоморфизмами алгебраической группы, имеют порядок 2 и коммутируют, а унитарная группа является неподвижными точками автоморфизма произведения как алгебраическая группа. Классическая унитарная группа является действительной формой этой группы, соответствующей стандартной эрмитовой форме Ψ, которая является положительно определенной.

Это можно обобщить несколькими способами:

• обобщение на другие эрмитовы формы дает неопределенные унитарные группы U (p, q);
• расширение поля может быть заменено любой степенью 2 сепарабельная алгебра, в первую очередь расширение конечного поля степени 2;
• обобщение на другие диаграммы дает другие группы лиева типа, а именно другие группы Стейнберга $2\; D\; n,\; 2\; E\; 6,\; 3\; D\; 4,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\}\; ^\; \{2\}\; \backslash !\; D\_\; \{n\},\; \{\}\; ^\; \{2\}\; \backslash !\; E\_\; \{6\},\; \{\}\; ^\; \{3\}\; \backslash \; !\; D\_\; \{4\},\}$(в дополнение к $2\; A\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\}\; ^\; \{2\}\; \backslash !\; A\_\; \{n\}\}$) и Группы Сузуки-Ри

  $2\; B\; 2\; (2\; 2\; n\; +\; 1),\; 2\; F\; 4\; (2\; 2\; n\; +\; 1),\; 2\; G\; 2\; (3\; 2\; n\; +\; 1);\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\}\; ^\; \{2\}\; \backslash !\; B\_\; \{2\}\; \backslash \; left\; (2\; ^\; \{2n\; +\; 1\}\; \backslash \; right),\; \{\}\; ^\; \{2\}\; \backslash !\; F\_\; \{4\}\; \backslash \; left\; (2\; ^\; \{2n\; +\; 1\; \}\; \backslash \; right),\; \{\}\; ^\; \{2\}\; \backslash !\; G\_\; \{2\}\; \backslash \; left\; (3\; ^\; \{2n\; +\; 1\}\; \backslash \; right);\}$

• рассматривая обобщенную унитарную группу как алгебраическую группу, можно взять ее точки над различными алгебрами.

Неопределенные формы

Аналогично неопределенным ортогональным группам, можно определить неопределенную унитарную группу, рассматривая преобразования, которые сохраняют данную Эрмитова форма, не обязательно положительно определенная (но обычно считается невырожденной). Здесь мы работаем с векторным пространством над комплексными числами.

Для эрмитовой формы Ψ на комплексном векторном пространстве V унитарная группа U (Ψ) - это группа преобразований, сохраняющих форму: преобразование M такое, что Ψ (Mv, Mw) = Ψ (v, w) для всех v, w ∈ V. В терминах матриц, представляющих форму матрицей, обозначенной Φ, это означает, что MΦM = Φ.

Так же, как для симметричных форм над реалами, эрмитовы формы определяются подписью, и все унитарно конгруэнтны диагональной форме с p элементов из 1 на диагонали и q элементов из −1. Предположение о невырожденности эквивалентно p + q = n. В стандартном базисе это представляется в виде квадратичной формы:

$\Vert \; z\; \Vert \; \Psi \; 2\; =\; \Vert \; z\; 1\; \Vert \; 2\; +\; \cdots \; +\; \Vert \; zp\; \Vert \; 2\; -\; \Vert \; zp\; +\; 1\; \Vert \; 2\; -\; \cdots \; -\; \Vert \; zn\; \Vert \; 2\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; \backslash \; lVert\; z\; \backslash \; rVert\; \_\; \{\backslash \; Psi\}\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; lVert\; z\_\; \{1\}\; \backslash \; rVert\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; dots\; +\; \backslash \; lVert\; z\_\; \{p\}\; \backslash \; rVert\; ^\; \{2\}\; -\; \backslash \; lVert\; z\_\; \{\; p\; +\; 1\}\; \backslash \; rVert\; ^\; \{2\}\; -\; \backslash \; dots\; -\; \backslash \; lVert\; z\_\; \{n\}\; \backslash \; rVert\; ^\; \{2\}\}$

и в виде симметричной формы:

$\Psi \; (w,\; z)\; =\; w\; ¯\; 1\; z\; 1\; +\; \cdots \; +\; w\; ¯\; pzp\; -\; w\; ¯\; p\; +\; 1\; zp\; +\; 1\; -\; \cdots \; -\; w\; ¯\; nzn.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Psi\; (w,\; z)\; =\; \{\backslash \; bar\; \{w\}\}\; \_\; \{1\}\; z\_\; \{1\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; \{\backslash \; bar\; \{w\}\}\; \_\; \{p\}\; z\_\; \{p\}\; -\; \{\backslash \; bar\; \{\; w\}\}\; \_\; \{p\; +\; 1\}\; z\_\; \{p\; +\; 1\}\; -\; \backslash \; cdots\; -\; \{\backslash \; bar\; \{w\}\}\; \_\; \{n\}\; z\_\; \{n\}.\}$

Результирующая группа обозначается U (p, q).

Рассмотрим U (1,1): матрицы $(uvv\; \ast \; u\; \ast )\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; u\; v\; \backslash \backslash \; v\; ^\; \{*\}\; u\; ^\; \{*\}\; \backslash \; end\; \{\; pmatrix\}\}\}$такие, что $uu\; \ast \; -\; vv\; \ast \; \ne \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; uu\; ^\; \{*\}\; -\; vv\; ^\; \{*\}\; \backslash \; \backslash \; neq\; \backslash \; 0\}$образуют группа при матричном умножении. В этом случае сопряженное транспонирование не образует инверсию такой матрицы, поэтому группа является псевдоунитарной группой .

Эти матрицы возникают в представлениях группы единиц двух важных кольца : алгебра композиции из разделенных кватернионов и матричное кольцо 2 × 2 над действительными числами, M (2, R). Симметрии псевдоунитарных матриц применялись в физической науке, в частности, в специальной унитарной группе SU (1, 1), где $uu\; \ast \; -\; vv\; \ast \; =\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; uu\; ^\; \{\; *\}\; -\; vv\; ^\; \{*\}\; \backslash \; =\; \backslash \; 1.\}$

Конечные поля

Над конечным полем с q = p элементами, Fqсуществует единственная квадратичная поле расширения, Fq, с автоморфизмом 2-го порядка $\alpha :\; x\; \mapsto \; xq\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; \backslash \; двоеточие\; x\; \backslash \; mapsto\; x\; ^\; \{q\}\}$(r-я степень Автоморфизм Фробениуса ). Это позволяет определить эрмитову форму в векторном пространстве V Fqкак Fq-билинейное отображение $\Psi :\; V\; \times \; V\; \to \; K\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Psi\; \backslash \; двоеточие\; V\; \backslash \; times\; V\; \backslash \; to\; K\}$так, что $\Psi \; (w,\; v)\; =\; \alpha \; (\Psi \; (v,\; w))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Psi\; (w,\; v)\; =\; \backslash \; alpha\; \backslash \; left\; (\backslash \; Psi\; (v,\; w)\; \backslash \; right)\}$и $\Psi \; (w,\; cv)\; =\; c\; \Psi \; (w,\; v)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Psi\; (w,\; cv)\; =\; c\; \backslash \; Psi\; (w,\; v)\}$для c ∈ Fq. Далее, все невырожденные эрмитовы формы в векторном пространстве над конечным полем унитарно конгруэнтны стандартной, представленной единичной матрицей; то есть любая эрмитова форма унитарно эквивалентна

$\Psi \; (w,\; v)\; =\; w\; \alpha \; \cdot \; v\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; nwiqvi\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Psi\; (w,\; v)\; =\; w\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; \backslash \; cdot\; v\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; w\_\; \{i\}\; ^\; \{q\}\; v\_\; \{i\}\}$

где $wi,\; vi\; \{\backslash \; displaystyle\; w\_\; \{i\},\; v\_\; \{i\}\}$представляют координаты w, v ∈ V в некотором конкретном Fq-базе n-мерного пространства V (Grove 2002, Thm. 10.3).

Таким образом, можно определить (уникальную) унитарную группу размерности n для расширения Fq/Fq, обозначенную либо как U (n, q), либо как U (n, q) в зависимости от автора. Подгруппа унитарной группы, состоящая из матриц детерминанта 1, называется специальной унитарной группой и обозначается SU (n, q) или SU (n, q). Для удобства в этой статье будет использоваться соглашение U (n, q). Центр U (n, q) имеет порядок q + 1 и состоит из скалярных матриц, которые являются унитарными, то есть тех матриц cI V с $cq\; +\; 1\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; c\; ^\; \{q\; +\; 1\}\; =\; 1\}$. Центр специальной унитарной группы имеет порядок gcd (n, q + 1) и состоит из тех унитарных скаляров, которые также имеют порядок деления n. Фактор унитарной группы по центру называется проективной унитарной группой, PU (n, q), а фактор специальной унитарной группы по ее центру равен проективная специальная унитарная группа PSU (n, q). В большинстве случаев (n>1 и (n, q) ∉ {(2, 2), (2, 3), (3, 2)}) SU (n, q) является совершенной группой и PSU (n, q) является конечной простой группой, (Grove 2002, Thm. 11.22 и 11.26).

Отделимые алгебры степени 2

В более общем смысле, учитывая поле k и отделимую k-алгебру K степени 2 (которая может быть расширением поля, но не обязательно), можно определить унитарные группы относительно этого расширения.

Во-первых, существует уникальный k-автоморфизм K $a\; \mapsto \; a\; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; \backslash \; mapsto\; \{\backslash \; bar\; \{a\}\}\}$, который является инволюцией и исправляет ровно k ($a\; =\; a\; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; =\; \{\backslash \; bar\; \{a\}\}\}$тогда и только тогда, когда a ∈ k). Это обобщает комплексное сопряжение и сопряжение расширений конечных полей степени 2 и позволяет определять эрмитовы формы и унитарные группы, как указано выше.

Алгебраические группы

Уравнения, определяющие унитарную группу, являются полиномиальными уравнениями над k (но не над K): для стандартной формы Φ = I уравнения представлены в виде матриц как AA = I, где $A\; \ast \; =\; A\; ¯\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; ^\; \{*\}\; =\; \{\backslash \; bar\; \{A\}\}\; ^\; \{\backslash \; mathsf\; \{T\}\}\}$- сопряженное транспонирование. В другом виде они имеют вид AΦA = Φ. Таким образом, унитарная группа является алгебраической группой, точки которой над k-алгеброй R задаются формулой

$U\; \; (n,\; K\; /\; k,\; \Phi )\; (R):\; =\; \{A\; \in \; GL\; \; (n,\; K\; \otimes \; k\; R):\; A\; \ast \; \Phi \; A\; =\; \Phi \}.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{U\}\; (n,\; K\; /\; k,\; \backslash \; Phi)\; (R):\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; \{A\; \backslash \; in\; \backslash \; operatorname\; \{GL\}\; (n,\; K\; \backslash \; otimes\; \_\; \{k\}\; R):\; A\; ^\; \{*\}\; \backslash \; Phi\; A\; =\; \backslash \; Phi\; \backslash \; right\; \backslash \}.\}$

Для расширения поля C/Rи стандартной (положительно определенной) эрмитовой формы они дают алгебраическую группу с вещественными и комплексными точками, задаваемыми как:

$U\; \; (n,\; C\; /\; R)\; (R)\; =\; U\; \; (n)\; U\; \; (n,\; C\; /\; R)\; (C)\; =\; GL\; \; (n,\; C).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; operatorname\; \{U\}\; (n,\; \backslash \; mathbf\; \{C\}\; /\; \backslash \; mathbf\; \{R\})\; (\backslash \; mathbf\; \{R\})\; =\; \backslash \; operatorname\; \{U\}\; (n)\; \backslash \backslash \backslash \; Operatorname\; \{U\}\; (n,\; \backslash \; mathbf\; \{C\}\; /\; \backslash \; mathbf\; \{R\})\; (\backslash \; mathbf\; \{C\})\; =\; \backslash \; operatorname\; \{GL\}\; (n,\; \backslash \; mathbf\; \{C\}).\; \backslash \; End\; \{align\}\}\}$

Фактически унитарная группа - это линейная алгебраическая группа.

Унитарная группа квадратичного модуля

Унитарная группа квадратичного модуля является обобщением только что определенной линейной алгебраической группы U, который включает в себя в качестве частных случаев множество различных классических алгебраических групп. Определение восходит к тезису Энтони Бака.

Чтобы определить его, сначала нужно определить квадратичные модули:

Пусть R - кольцо с антиавтоморфизмом J, $\epsilon \; \in \; R\; \times \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; \backslash \; in\; R\; ^\; \{\backslash \; times\}\}$так, что $r\; J\; 2\; =\; \epsilon \; r\; \epsilon \; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; ^\; \{J\; ^\; \{2\}\}\; =\; \backslash \; varepsilon\; r\; \backslash \; varepsilon\; ^\; \{-\; 1\}\}$для всех r в R и $\epsilon \; J\; =\; \epsilon \; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; ^\; \{J\}\; =\; \backslash \; varepsilon\; ^\; \{-\; 1\}\}$. Определим

$\Lambda \; min:\; =\; \{r\; \in \; R:\; r\; -\; r\; J\; \epsilon \},\; \Lambda \; max:\; =\; \{r\; \in \; R:\; r\; J\; \epsilon \; =\; -\; r\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; Lambda\; \_\; \{\backslash \; text\; \{min\}\}\; :\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; \{r\; \backslash \; in\; R\; \backslash :\; \backslash \; rr\; ^\; \{J\}\; \backslash \; varepsilon\; \backslash \; right\; \backslash \},\; \backslash \backslash \backslash \; Lambda\; \_\; \{\backslash \; text\; \{max\}\}\; :\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; \{r\; \backslash \; in\; R\; \backslash :\; \backslash \; r\; ^\; \{J\}\; \backslash \; varepsilon\; =\; -r\; \backslash \; right\; \backslash \}.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Пусть Λ ⊆ R быть аддитивной подгруппой в R, то Λ называется параметром формы, если $\Lambda \; min\; \subseteq \; \Lambda \; \subseteq \; \Lambda \; max\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Lambda\; \_\; \{\backslash \; text\; \{min\}\}\; \backslash \; substeq\; \backslash \; Lambda\; \backslash \; substeq\; \backslash \; Lambda\; \_\; \{\backslash \; text\; \{\; max\}\}\}$и $r\; J\; \Lambda \; r\; \subseteq \; \Lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; r\; ^\; \{J\}\; \backslash \; Lambda\; r\; \backslash \; substeq\; \backslash \; Lambda\}$. Пара (R, Λ) такая, что R - кольцо, а Λ - параметр формы, называется кольцом формы.

Пусть M - R-модуль, а fa J-полуторалинейная форма на M (т. Е. $f\; (xr,\; ys)\; =\; r\; J\; f\; (x,\; y)\; s\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (xr,\; ys)\; =\; r\; ^\; \{J\}\; f\; (x,\; y)\; s\}$для любых $x,\; y\; \in \; M\; \{\backslash \; displaystyle\; x,\; y\; \backslash \; in\; M\}$и $р,\; s\; \in \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; r,\; s\; \backslash \; in\; R\}$). Определим $h\; (x,\; y):\; =\; f\; (x,\; y)\; +\; f\; (y,\; x)\; J\; \epsilon \; \in \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; (x,\; y):\; =\; f\; (x,\; y)\; +\; f\; (y,\; x)\; ^\; \{J\}\; \backslash \; varepsilon\; \backslash \; in\; R\}$и $q\; (x):\; =\; f\; (x,\; x)\; \in \; R\; /\; \Lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; q\; (x):\; =\; f\; (\; x,\; x)\; \backslash \; in\; R\; /\; \backslash \; Lambda\}$, то говорят, что f определяет Λ-квадратичную форму (h, q) на M. Квадратичный модуль над (R, Λ) - это тройка ( M, h, q) такой, что M - R-модуль, а (h, q) - Λ-квадратичная форма.

Любому квадратичному модулю (M, h, q), определяемому J-полуторалинейной формой f на M над кольцом форм (R, Λ), можно сопоставить унитарную группу

$U\; (M):\; =\; \{\sigma \; \in \; GL\; (M):\; \forall \; x,\; y\; \in \; M,\; h\; (\sigma \; x,\; \sigma \; y)\; =\; h\; (x,\; y)\; и\; q\; (\sigma \; x)\; =\; q\; (x)\}.\; \{\backslash \; Displaystyle\; U\; (M):\; =\; \backslash \; \{\backslash \; sigma\; \backslash \; in\; GL\; (M)\; \backslash :\; \backslash \; \backslash \; forall\; x,\; y\; \backslash \; in\; M,\; h\; (\backslash \; sigma\; x,\; \backslash \; sigma\; y)\; =\; h\; (x,\; y)\; \{\backslash \; text\; \{and\}\}\; q\; (\backslash \; sigma\; x)\; =\; q\; (x)\; \backslash \}.\}$

Частный случай, когда Λ = Λ max, где J - любая нетривиальная инволюция (т. е. $J\; \ne \; id\; R,\; J\; 2\; =\; id\; R\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; \backslash \; neq\; id\_\; \{R\},\; J\; ^\; \{2\}\; =\; id\_\; \{R\}\}$и ε = −1 возвращает "классический" унитарная группа (как алгебраическая группа).

Унитарные группы - это автоморфизмы двух полиномов от вещественных некоммутативных переменных:

$C\; 1\; =\; (u\; 2\; +\; v\; 2)\; +\; (вес\; 2\; +\; Икс\; 2)\; +\; (y\; 2\; +\; z\; 2)\; +\dots \; C\; 2\; =\; (uv\; -\; vu)\; +\; (wx\; -\; xw)\; +\; (yz\; -\; zy)\; +\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{выровнено\; \}\; C\_\; \{1\}\; =\; \backslash \; left\; (u\; ^\; \{2\}\; +\; v\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; +\; \backslash \; left\; (w\; ^\; \{2\}\; +\; x\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; +\; \backslash \; left\; (y\; ^\; \{2\; \}\; +\; z\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; +\; \backslash \; ldots\; \backslash \backslash \; C\_\; \{2\}\; =\; \backslash \; left\; (uv-vu\; \backslash \; right)\; +\; \backslash \; left\; (wx-xw\; \backslash \; right)\; +\; \backslash \; left\; (yz-zy\; \backslash \; right)\; +\; \backslash \; ldots\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Легко увидеть, что это реальная и мнимая части сложной формы $ZZ\; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; \{\backslash \; overline\; \{Z\}\}\}$. Два инварианта по отдельности являются инвариантами O (2n) и Sp (2n). Вместе они составляют инварианты группы U (n), которая является подгруппой обеих этих групп. В этих инвариантах переменные должны быть некоммутативными, иначе второй многочлен тождественно равен нулю.

Классифицирующее пространство для U (n) описано в статье классифицирующее пространство для U (n).

• Специальная унитарная группа
• Проективная унитарная группа
• Ортогональная группа
• Симплектическая группа

1. ^Холл 2015 Предложение 13.11
2. ^Холл 2015 Предложение 13.11
3. ^Арнольд В.И. (1989). Математические методы классической механики (Второе изд.). Springer. п. 225.
4. ^Баэз, Джон. «Симплектический, кватернионный, фермионный». Проверено 1 февраля 2012 г.
5. ^Барри Саймон (2005) Ортогональные многочлены на единичной окружности, раздел 2 Спектральная теория, глава 10: Методы спектрального анализа, Группа U (1, 1), страницы 564–80, из Калифорнийского технологического института
6. ^Милн, Алгебраические группы и арифметические группы, стр. 103
7. ^Бак, Энтони (1969), «О модулях с квадратичными формами», Алгебраическая K-теория и ее геометрические приложения (редакторы - Мосс Р. М. Ф., Томас К. Б.) Конспект лекций по математике, том. 108, стр. 55-66, Springer. doi : 10.1007 / BFb0059990

• Grove, Larry C. (2002), Классические группы и геометрическая алгебра, Аспирантура по математике, 39, Providence, RI : Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-2019-3, MR 1859189
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, Ли Алгебры и представления: элементарное введение, тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3319134666