Тавтологическое расслоение

редактировать

В математике тавтологическое расслоение представляет собой векторное расслоение возникающий над грассманианом естественным тавтологическим образом: слой расслоения над векторным пространством V (точка в грассманиане) сам является V. В случае проективного пространства тавтологическое расслоение известно как тавтологическое линейное расслоение.

Тавтологическое расслоение также называется универсальным расслоением поскольку любое векторное расслоение (над компактным пространством) является обратным вызовом тавтологического расслоения; это означает, что грассманиан - это классифицирующее пространство для векторных расслоений. По этой причине тавтологическое расслоение важно при изучении характеристических классов..

Тавтологические расслоения строятся как в алгебраической топологии, так и в алгебраической геометрии. В алгебраической геометрии тавтологический пучок линий (как обратимый пучок ) равен

OP n (- 1) {\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {P} ^ {n} } (- 1)}

{\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {P} ^ { n}} (- 1)

двойная связки гиперплоскостей или скручивающаяся связка Серра $OP n (1) {\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {P} ^ {n}} (1)}$ ${\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {P} ^ {n}} (1)$ . Гиперплоскостное расслоение - это линейное расслоение, соответствующее гиперплоскости (дивизор ) Pв P . Тавтологическое линейное расслоение и гиперплоскостное расслоение являются в точности двумя образующими группы Пикара проективного пространства.

В Майкл Атия "K-теория" тавтологическое линейное расслоение над комплексным проективным пространством называется стандартное линейное расслоение . Сферическое расслоение стандартного расслоения обычно называется расслоением Хопфа. (см.)

В более общем смысле существуют также тавтологические расслоения на проективное расслоение векторного расслоения, а также расслоение Грассмана.

Старый термин канонический расслоение потерял популярность на том основании, что канонический сильно перегружен, поскольку он, в математической терминологии и (что еще хуже) путаницы с каноническим классом в алгебраической геометрии вряд ли можно было избежать.

Содержание

1 Интуитивное определение
2 Формальное определение
3 Гиперплоскости
4 Тавтологическое линейное расслоение в алгебраической геометрии
5 Факты
6 См. Также
7 Ссылки
8 Источники

Интуитивное определение

Грассманианы по определению пространства параметров для линейных подпространств заданной размерности в заданном векторном пространстве W. Если G - грассманиан, а V g - подпространство W, соответствующее g в G, это уже почти данные, необходимые для векторного расслоения: а именно векторное пространство для каждой точки g, непрерывно меняющееся. Все, что может остановить определение тавтологического пучка из этого указания, - это трудность, которую собираются пересечь V g. Устранение этого является обычным применением устройства disjoint union, так что проекция связки берется из общего пространства, составленного из идентичных копий V g, которые теперь не пересекаются. С этим у нас есть связка.

Включен случай проективного пространства. По соглашению и использованию P (V) может с пользой нести тавтологическое расслоение в смысле двойного пространства. То есть, с V - двойственным пространством, точки P (V) несут векторные подпространства V, которые являются их ядрами, если рассматривать их как (лучи) линейных функционалов на V. Если V имеет размерность n + 1 тавтологическое линейное расслоение является одним тавтологическим расслоением, а другое, только что описанное, имеет ранг n.

Формальное определение

Пусть G n(R) будет грассманианом n-мерных векторных подпространств в R ; как набор это набор всех n-мерных векторных подпространств R . Например, если n = 1, это реальное проективное k-пространство.

Определим тавтологическое расслоение γ n, k над G n(R) следующим образом. Полное пространство расслоения - это множество всех пар (V, v), состоящих из точки V грассманиана и вектора v в V; ему задана топология подпространства декартового произведения G n(R) × R . Отображение проекции π задается формулой π (V, v) = V. Если F является прообразом V под действием π, ему задается структура векторного пространства как a (V, v) + b (V, w) = (V, av + bw). Наконец, чтобы увидеть локальную тривиальность, для данной точки X в грассманиане пусть U - это множество всех V таких, что ортогональная проекция p на X изоморфно отображает V на X, а затем определим

ϕ: π - 1 (U) → G N (р N + К) × Икс {\ Displaystyle \ phi: \ pi ^ {- 1} (U) \ к G_ {n} (\ mathbb {R} ^ {n + k}) \ раз X }

\ phi: \ pi ^ {- 1} (U) \ к G_ {n} (\ mathbb {R} ^ {n + k}) \ times X

на $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ (V, v) = (V, p (v)), что явно является гомеоморфизмом. Следовательно, результатом является векторное расслоение ранга n.

Приведенное выше определение будет иметь смысл, если мы заменим поле R на комплексное поле C.

По определению бесконечный грассманиан G n равен прямой предел группы G n(R) при k → ∞. Взяв прямой предел расслоений γ n, k, получаем тавтологическое расслоение γ n группы G n. Это универсальное расслоение в том смысле, что для каждого компактного пространства X существует естественная биекция

[X, G n] → Vect n R ⁡ (X), f ↦ f ∗ (γ n) {\ displaystyle [ X, G_ {n}] \ to \ operatorname {Vect} _ {n} ^ {\ mathbb {R}} (X), \, f \ mapsto f ^ {*} (\ gamma _ {n})}

[X, G_ {n}] \ to \ operatorname {Vect} _ {n} ^ {\ mathbb {R}} (X), \, f \ mapsto f ^ {*} (\ gamma _ {n})

где слева скобка означает гомотопический класс, а справа - множество классов изоморфизма вещественных векторных расслоений ранга n. (Обратное отображение задается следующим образом: поскольку X компактно, любое векторное расслоение E является подрасслоением тривиального расслоения: $E ↪ X × R n + k {\ displaystyle E \ hookrightarrow X \ times \ mathbb {R } ^ {n + k}}$ $E \ hookrightarrow X \ times \ mathbb {R} ^ {n + k}$ для некоторого k, поэтому E определяет карту $f E: X → G n, x ↦ E x {\ displaystyle f_ {E} \ двоеточие X \ to G_ {n}, \, x \ mapsto E_ {x}}$ ${\ displaystyle f_ {E } \ двоеточие X \ в G_ {n}, \, x \ mapsto E_ {x}}$ , уникально с точностью до гомотопии.)

Замечание : В свою очередь, можно определить тавтологическое расслоение как универсальное; предположим, что существует естественная биекция

[X, G n] = Vect n R ⁡ (X) {\ displaystyle [X, G_ {n}] = \ operatorname {Vect} _ {n} ^ {\ mathbb {R }} (X)}

[X, G_ {n}] = \ operatorname {Vect} _ {n} ^ {\ mathbb {R}} (X)

для любого паракомпактного пространства X. Поскольку G n является прямым пределом компактных пространств, оно паракомпактно, и поэтому существует уникальное векторное расслоение над G n, которое соответствует тождественному отображению на G n. Это в точности тавтологическое расслоение, и за счет ограничения можно получить тавтологические расслоения по всем G n(R).

Связка гиперплоскостей

Связка гиперплоскостей H на реальном проективном k-пространстве определяется следующим образом. Полное пространство H - это множество всех пар (L, f), состоящих из прямой L, проходящей через начало координат в R, и линейного функционала на L. Отображение проекции π задается формулой π (L, f) = L (так что слой над L является двойственным векторным пространством к L.) Остальное в точности похоже на тавтологическое линейное расслоение.

Другими словами, H является двойным пучком тавтологического линейного пучка.

В алгебраической геометрии гиперплоское расслоение - это линейное расслоение (как обратимый пучок ), соответствующее гиперплоскому дивизору

H = P n - 1 ⊂ P n {\ displaystyle H = \ mathbb {P} ^ {n-1} \ subset \ mathbb {P} ^ {n}}

H = \ mathbb {P} ^ {n-1} \ subset \ mathbb {P} ^ {n}

задано как, скажем, x 0 = 0, когда x i - однородные координаты . Это можно увидеть следующим образом. Если D является дивизором (Вейля) на X = P, соответствующее линейное расслоение O (D) на X определяется как

Γ (U, O (D)) = {f ∈ K | (е) + D ≥ 0 на U} {\ displaystyle \ Gamma (U, O (D)) = \ {f \ in K | (f) + D \ geq 0 {\ text {on}} U \}}

\ Gamma (U, O (D)) = \ {f \ in K | (f) + D \ geq 0 {\ text {on}} U \}

где K - поле рациональных функций на X. Принимая D за H, мы имеем:

O (H) ≃ O (1), f ↦ fx 0 {\ displaystyle O (H) \ simeq O (1), f \ mapsto fx_ {0}}

O (H) \ simeq O (1), f \ mapsto fx_ {0}

где x 0, как обычно, рассматривается как глобальная секция скручивающегося пучка O (1). (Фактически, указанный выше изоморфизм является частью обычного соответствия между дивизорами Вейля и дивизорами Картье.) Наконец, двойственный к скручивающему пучку соответствует тавтологическому линейному расслоению (см. Ниже).

Тавтологическое линейное расслоение в алгебраической геометрии

В алгебраической геометрии это понятие существует над любым полем k. Конкретное определение выглядит следующим образом. Пусть $A = k [y 0,…, yn] {\ displaystyle A = k [y_ {0}, \ dots, y_ {n}]}$ $A = k [y_ {0}, \ dots, y_ {n}]$ и $P n = Proj ⁡ A {\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n} = \ operatorname {Proj} A}$ $\ mathbb {P} ^ {n} = \ operatorname {Proj} A$ . Обратите внимание:

S pec (OP n [x 0,…, xn]) = AP nn + 1 = A n + 1 × k P n {\ displaystyle \ mathbf {Spec} ({\ mathcal {O }} _ {\ mathbb {P} ^ {n}} [x_ {0}, \ dots, x_ {n}]) = \ mathbb {A} _ {\ mathbb {P} ^ {n}} ^ {n +1} = \ mathbb {A} ^ {n + 1} \ times _ {k} {\ mathbb {P} ^ {n}}}

\ mathbf {Spec} ({\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {P} ^ {n}} [x_ {0}, \ dots, x_ {n}]) = \ mathbb {A} _ {\ mathbb {P} ^ {n}} ^ {n + 1} = \ mathbb {A} ^ {n + 1} \ times _ {k} {\ mathbb {P} ^ { n}}

где Spec равно относительной спецификации. Теперь положим:

L = S pec (OP n [x 0,…, xn] / I) {\ displaystyle L = \ mathbf {Spec} ({\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {P} ^ {n}} [x_ {0}, \ dots, x_ {n}] / I)}

L = \ mathbf {Spec} ({\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {P} ^ {n}} [x_ {0}, \ dots, x_ {n}] / I)

где I - идеальный пучок, созданный глобальными секциями $xiyj - xjyi {\ displaystyle x_ {i} y_ {j} -x_ {j} y_ {i}}$ $x_ {i} y_ {j} -x_ {j} y_ {i}$ . Тогда L - замкнутая подсхема $AP nn + 1 {\ displaystyle \ mathbb {A} _ {\ mathbb {P} ^ {n}} ^ {n + 1}}$ $\ mathbb {A} _ {\ mathbb {P} ^ {n}} ^ {n + 1}$ над тем же базовая схема $P n {\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$ $\ mathbb {P } ^ {n}$ ; кроме того, замкнутые точки L - это в точности те (x, y) из $A n + 1 × k P n {\ displaystyle \ mathbb {A} ^ {n + 1} \ times _ {k} {\ mathbb {P} ^ {n}}}$ $\ mathbb {A} ^ {n + 1} \ times _ {k} {\ mathbb {P} ^ {n}}$ такой, что либо x равен нулю, либо изображение x в $P n {\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$ $\ mathbb {P } ^ {n}$ это у. Таким образом, L - это тавтологическое линейное расслоение, как определено ранее, если k - поле действительных или комплексных чисел.

Говоря более кратко, L - это увеличение начала аффинного пространства $A n + 1 {\ displaystyle \ mathbb {A} ^ {n + 1 }}$ $\ mathbb {A} ^ {n + 1}$ , где геометрическое место x = 0 в L является исключительным делителем. (см. Хартсхорн, гл. I, конец § 4.)

В общем, $S pec (Sym ⁡ E ˇ) {\ displaystyle \ mathbf {Spec} (\ operatorname {Sym} {\ check {E}})}$ $\ mathbf {Spec} (\ operatorname {Sym} {\ check {E}})$ - это алгебраическое векторное расслоение, соответствующее локально свободному пучку E конечного ранга. Поскольку у нас есть точная последовательность:

0 → I → OP n [x 0,…, xn] → xi ↦ yi Sym ⁡ OP n (1) → 0, {\ displaystyle 0 \ to I \ to {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {P} ^ {n}} [x_ {0}, \ dots, x_ {n}] {\ overset {x_ {i} \ mapsto y_ {i}} {\ to}} \ operatorname {Sym} {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {P} ^ {n}} (1) \ to 0,}

0 \ to I \ to {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {P} ^ {n}} [x_ {0}, \ dots, x_ {n}] {\ overset {x_ {i} \ mapsto y_ {i}} {\ to}} \ operatorname {Sym} {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {P } ^ {n}} (1) \ to 0,

тавтологическое линейное расслоение L, как определено выше, соответствует двойственному $OP n (- 1) {\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {P} ^ {n}} (- 1)}$ ${\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {P} ^ { n}} (- 1)$ из скручивающейся связки Серра. На практике оба понятия (тавтологический пучок и двойник скручивающего пучка) используются как взаимозаменяемые.

Над полем его двойная линейная связка - это линейная связка, связанная с делителем гиперплоскости H, чьи глобальные секции являются линейными формами. Его класс Черна равен -H. Это пример анти- обширного линейного пакета. Для C это эквивалентно тому, что это отрицательное линейное расслоение, означающее, что минус его класс Черна - это класс де Рама стандартной формы Кэлера.

Факты

Тавтологическое линейное расслоение γ 1, k является локально тривиальным, но не тривиальным для k ≥ 1. Это остается истинно по сравнению с другими полями.

Фактически, несложно показать, что для k = 1 реальное тавтологическое линейное расслоение - это не что иное, как хорошо известное расслоение, полное пространство которого равно Лента Мебиуса. Для полного доказательства вышеуказанного факта см.

Группа Пикара линейных пучков на $P (V) {\ displaystyle \ mathbb {P} (V)}$ $\ mathbb {P} (V)$ - это бесконечный циклический, а тавтологическое линейное расслоение является образующим.
В случае проективного пространства, где тавтологическое расслоение - это линия bundle связанный обратимый пучок разделов равен $O (- 1) {\ displaystyle {\ mathcal {O}} (- 1)}$ ${\ mathcal {O}} (- 1)$ , тензор инверсия (т. е. двойное векторное расслоение) связки гиперплоскостей или твист-пучка Серра $O (1) {\ displaystyle {\ mathcal {O}} (1)}$ ${\ mathcal {O}} (1)$ ; другими словами, гиперплоскостное расслоение является генератором группы Пикара, имеющей положительную степень (как делитель ), а тавтологическое расслоение является его противоположностью: генератором отрицательной степени.

См. также

Хопф расслоение
класс Штифеля-Уитни
последовательность Эйлера
класс Черна (классы Черна тавтологических расслоений - это алгебраически независимые образующие кольца когомологий бесконечного грассманиана.)
Теорема Бореля
Пространство Тома (Пространства Тома тавтологических расслоений γ n при n → ∞ называется спектром Тома.)
расслоением Грассмана

Литература

Источники

Атья, Майкл Фрэнсис (1989), K-теория, Advanced Book Classics (2-е изд.), Эддисон-Уэсли, ISBN 978-0-201- 09394-0, MR 1043170
Гриффитс, Филипп ; Харрис, Джозеф (1994), Принципы алгебраической геометрии, Wiley Classics Library, Нью-Йорк: John Wiley Sons, doi : 10.1002 / 9781118032527, ISBN 978-0- 471-05059-9, MR 1288523.
Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157, OCLC 13348052.
[M + S] Джон Милнор и Джим Сташефф, Характеристические классы, Принстон, 1974.
Рубей, Елена (2014), Алгебраическая геометрия, краткий словарь, Берлин / Бостон: Вальтер Де Грюйтер, ISBN 978-3-11-031622-3