Класс Черна

редактировать

Классы характеристик в алгебраических векторных связках

В математике, в частности в алгебраическая топология, дифференциальная геометрия и алгебраическая геометрия, классы Черна - это характеристические классы, связанные с комплексом векторные пакеты. С тех пор они нашли применение в физике, многообразиях Калаби – Яу, теории струн, теории Черна – Саймонса, теории узлов., инварианты Громова – Виттена, топологическая квантовая теория поля, теорема Черна и т. Д.

Классы Черна были введены Шиинг-Шеном Черном (1946).

Содержание

1 Геометрический подход
- 1.1 Основная идея и мотивация
- 1.2 Конструкция
2 Класс Черна линейных расслоений
3 Конструкции
- 3.1 С помощью теории Черна – Вейля
- 3.2 Через класс Эйлера
4 Примеры
- 4.1 Комплексное касательное расслоение сферы Римана
- 4.2 Комплексное проективное пространство
5 Полином Черна
6 Вычислительные формулы
- 6.1 Приложения формул
7 Свойства
- 7.1 Классическое аксиоматическое определение
- 7.2 Аксиоматический подход Гротендика
- 7.3 Верхний класс Черна
8 В алгебраической геометрии
- 8.1 Аксиоматическое описание
- 8.2 Нормальная последовательность
  - 8.2. 1 Квинтическое трехмерное многообразие
  - 8.2.2 Гиперповерхности степени d
9 Приближенные понятия
- 9.1 Характер Черна
- 9.2 Числа Черна
- 9.3 Обобщенные теории когомологий
- 9.4 Алгебраическая геометрия
- 9.5 Многообразия с структура
- 9.6 Арифметические схемы и диофантовы уравнения
10 См. также
11 Примечания
12 Ссылки
13 Внешние ссылки

Геометрический подход

Bas Идея и мотивация

Классы Черна - это характеристические классы. Это топологические инварианты, связанные с векторными расслоениями на гладком многообразии. На вопрос, являются ли два якобы разных векторных расслоения одним и тем же, может быть довольно сложно ответить. Классы Черна обеспечивают простой тест: если классы Черна пары векторных расслоений не совпадают, то векторные расслоения различны. Обратное, однако, неверно.

В топологии, дифференциальной геометрии и алгебраической геометрии часто важно подсчитать, сколько линейно независимых секций имеет векторное расслоение. Классы Черна предлагают некоторую информацию об этом, например, с помощью теоремы Римана – Роха и теоремы Атьи – Зингера об индексе.

Классы Черна также можно вычислить на практике. В дифференциальной геометрии (и некоторых типах алгебраической геометрии) классы Черна могут быть выражены как полиномы от коэффициентов формы кривизны .

Конструкция

Существуют различные способы подхода к предмету, каждый из которых основное внимание уделяется немного иному вкусу класса Черна.

Первоначальный подход к классам Черна был через алгебраическую топологию: классы Черна возникают благодаря теории гомотопии, которая обеспечивает отображение, связанное с векторным расслоением, в классифицирующее пространство ( бесконечный грассманиан в данном случае). Для любого комплексного векторного расслоения V над многообразием M существует отображение f из M в классифицирующее пространство такое, что расслоение V равно обратному образу универсального расслоения над классифицирующим пространством по f, а классы Черна Таким образом, V можно определить как возврат классов Черна универсального расслоения. В свою очередь, эти универсальные классы Черна могут быть явно записаны в терминах циклов Шуберта.

Можно показать, что для любых двух отображений f, g из M в классифицирующее пространство, обратные образы которых являются одним и тем же расслоением V, карты должны быть гомотопными. Следовательно, возврат любого универсального класса Черна с помощью f или g к классу когомологий M должен быть тем же классом. Это показывает, что классы Черна V корректно определены.

В подходе Черна использовалась дифференциальная геометрия с использованием подхода кривизны, описанного преимущественно в этой статье. Он показал, что предыдущее определение фактически эквивалентно его. Получившаяся в результате теория известна как теория Черна – Вейля.

. Существует также подход Александра Гротендика, показывающий, что аксиоматически нужно только определить случай линейного расслоения.

Классы Черна естественным образом возникают в алгебраической геометрии. Обобщенные классы Черна в алгебраической геометрии могут быть определены для векторных расслоений (или, точнее, локально свободных пучков ) над любым неособым многообразием. Алгебро-геометрические классы Черна не требуют, чтобы базовое поле имело какие-либо особые свойства. В частности, векторные расслоения не обязательно должны быть сложными.

Независимо от конкретной парадигмы, интуитивное значение класса Черна касается «требуемых нулей» секции векторного пучка: например, теорема гласит, что нельзя расчесывать волосатую шаровой шарнир (теорема о волосатом шарике ). Хотя это, строго говоря, вопрос о реальном векторном расслоении («волосы» на шаре на самом деле являются копиями действительной прямой), существуют обобщения, в которых волосы являются сложными (см. Пример комплексной теоремы о волосатом шаре ниже), или для одномерных проективных пространств над многими другими полями.

См. теория Черна – Саймонса для более подробного обсуждения.

Класс Черна линейных связок

(Пусть X будет топологическим пространством, имеющим гомотопический тип комплекса CW.)

Важный особый случай возникает, когда V является линейным пакетом. Тогда единственным нетривиальным классом Черна является первый класс Черна, который является элементом второй группы когомологий X. Поскольку это верхний класс Черна, он равен классу Эйлера расслоения.

Первый класс Черна оказывается полным инвариантом, с помощью которого можно классифицировать сложные линейные расслоения, говоря топологически. То есть существует биекция между классами изоморфизма линейных расслоений над X и элементами $H 2 (X; Z) {\ displaystyle H ^ {2} (X; \ mathbb { Z})}$ ${\ displaystyle H ^ {2 } (X; \ mathbb {Z})}$ , который связывает линейную связку с ее первым классом Черна. Более того, эта биекция является гомоморфизмом групп (таким образом, изоморфизмом):

c 1 (L ⊗ L ′) = c 1 (L) + c 1 (L ′); {\ displaystyle c_ {1} (L \ otimes L ') = c_ {1} (L) + c_ {1} (L');}

c_{1}(L\otimes L')=c_{1}(L)+c_{1}(L');

тензорное произведение сложных линейных пучков соответствует к добавлению во второй группе когомологий.

В алгебраической геометрии эта классификация (классов изоморфизма) комплексных линейных расслоений первым классом Черна является грубым приближением к классификации (классов изоморфизма) голоморфные линейные расслоения на линейной эквивалентности классы дивизоров.

Для комплексных векторных расслоений размерности больше единицы классы Черна не являются полным инвариантом.

Конструкции

С помощью теории Черна – Вейля

Задано сложное эрмитово векторное расслоение V комплексного ранга n над гладким многообразием M, представителем каждого класса Черна (также называемого формой Черна ) $ck (V) {\ displaystyle c_ {k} ( V)}$ $c_ { k} (V)$ из V задаются как коэффициенты характеристического полинома формы кривизны $Ω {\ displaystyle \ Omega}$ $\ Omega$ из V.

det (it Ω 2 π + I) = ∑ kck (V) tk {\ displaystyle \ det \ left ({\ frac {it \ Omega} {2 \ pi}} + I \ right) = \ sum _ {k} c_ {k} (V) t ^ {k}}

\ det \ left (\ frac {it \ Omega} {2 \ pi} + I \ right) = \ sum_k c_k (V) t ^ k

Определитель находится над кольцом $n × n {\ displaystyle n \ times n}$ $п \ раз п$ матрицы, элементы которых являются полиномами от t с коэффициентами в коммутативной алгебре четных комплексных дифференциальных форм на M. Форма кривизны $Ω {\ displaystyle \ Omega}$ $\ Omega$ матрицы V равна определяется как

Ω = d ω + 1 2 [ω, ω] {\ displaystyle \ Omega = d \ omega + {\ frac {1} {2}} [\ omega, \ omega ]}

\ Omega = d \ omega + {\ frac {1} {2}} [\ omega, \ omega]

с ω форма связи и d внешняя производная, или через то же выражение, в котором ω является a для калибровочной группы V. Скаляр t используется здесь только как неопределенное значение от до , генерирующее сумму из определителя, а I обозначает единичную матрицу n × n .

Чтобы сказать, что Приведенное выражение является представителем класса Черна и указывает, что «класс» здесь означает от до добавление точной дифференциальной формы. То есть классы Черна являются классами когомологий в смысле когомологий де Рама. Можно показать, что классы когомологий форм Черна не зависят от выбора связности в V.

Используя матричное тождество $tr (ln ⁡ (X)) = ln ⁡ (det ( X)) {\ displaystyle \ mathrm {tr} (\ ln (X)) = \ ln (\ det (X))}$ ${\ displaystyle \ mathrm {tr} (\ ln (X)) = \ ln (\ det (X))}$ и серия Маклорена для $ln ⁡ (X + I) {\ displaystyle \ ln (X + I)}$ ${\ displaystyle \ ln (X + I)}$ , это выражение для формы Черна расширяется как

∑ kck (V) tk = [I + itr (Ω) 2 π t + tr (Ω 2) - tr (Ω) 2 8 π 2 t 2 + i - 2 tr (Ω 3) + 3 tr (Ω 2) tr (Ω) - tr (Ω) 3 48 π 3 t 3 + ⋯]. {\ displaystyle \ sum _ {k} c_ {k} (V) t ^ {k} = \ left [I + i {\ frac {\ mathrm {tr} (\ Omega)} {2 \ pi}} t + { \ frac {\ mathrm {tr} (\ Omega ^ {2}) - \ mathrm {tr} (\ Omega) ^ {2}} {8 \ pi ^ {2}}} t ^ {2} + i {\ frac {-2 \ mathrm {tr} (\ Omega ^ {3}) + 3 \ mathrm {tr} (\ Omega ^ {2}) \ mathrm {tr} (\ Omega) - \ mathrm {tr} (\ Omega) ^ {3}} {48 \ pi ^ {3}}} t ^ {3} + \ cdots \ right].}

\ sum_k c_k (V) t ^ k = \ left [I + i \ frac {\ mathrm {tr} (\ Omega)} {2 \ pi} t + \ frac {\ mathrm {tr } (\ Omega ^ 2) - \ mathrm {tr} (\ Omega) ^ 2} {8 \ pi ^ 2} t ^ 2 + i \ frac {-2 \ mathrm {tr} (\ Omega ^ 3) +3 \ mathrm {tr} (\ Omega ^ 2) \ mathrm {tr} (\ Omega) - \ mathrm {tr} (\ Omega) ^ 3} {48 \ pi ^ 3} t ^ 3 + \ cdots \ right].

Через класс Эйлера

Класс Черна можно определить в терминах класса Эйлера. Это подход, описанный в книге Милнора и Сташефа, и он подчеркивает роль ориентации векторного расслоения.

. Основное наблюдение состоит в том, что комплексное векторное расслоение имеет каноническую ориентацию, в конечном итоге потому, что $GL n ⁡ (C) {\ displaystyle \ operatorname {GL} _ {n} (\ mathbb {C})}$ ${\ displaystyle \ имя оператора {GL} _ {n} (\ mathbb {C})}$ подключен. Следовательно, каждый просто определяет верхний класс Черна расслоения как его класс Эйлера (класс Эйлера базового действительного векторного расслоения) и обрабатывает нижние классы Черна индуктивным образом.

Точная конструкция следующая. Идея состоит в том, чтобы изменить базу, чтобы получить связку ранга на единицу меньше. Пусть $π: E → B {\ displaystyle \ pi \ двоеточие E \ to B}$ $\ pi \ двоеточие E \ to B$ будет сложным векторным расслоением над паракомпактным пространством B. Считая B встроенным в E как нулевую секцию, пусть $B ′ = E ∖ B {\ displaystyle B '= E \ setminus B}$ $B'=E\setminus B$ и определит новый векторный набор:

E ′ → B ′ {\ displaystyle E '\ to B'}

E'\to B'

, так что каждый слой является частным слоя F из E по прямой, натянутой на ненулевой вектор v в F (указана точка B ′ слоем F слоя E и ненулевым вектором на F.) Тогда $E ′ {\ displaystyle E '}$ $E'$ имеет ранг на единицу меньше, чем у E. Из последовательности Гизина для расслоения $π | B ': B' → B {\ displaystyle \ pi | _ {B '} \ двоеточие B' \ к B}$ $\pi |_{B'}\colon B'\to B$ :

⋯ → H k ⁡ (B; Z) → π | B ′ ∗ ЧАС К ⁡ (B ′; Z) → ⋯, {\ displaystyle \ cdots \ to \ operatorname {H} ^ {k} (B; \ mathbb {Z}) {\ overset {\ pi | _ {B '} ^ {*}} {\ to}} \ operatorname {H} ^ {k} (B'; \ mathbb {Z}) \ to \ cdots,}

\cdots \to \operatorname {H} ^{k}(B;\mathbb {Z}){\overset {\pi |_{B'}^{*}}{\to }}\operatorname {H} ^{k}(B';\mathbb {Z})\to \cdots,

мы видим, что $π | B ′ ∗ {\ displaystyle \ pi | _ {B '} ^ {*}}$ $\pi |_{{B'}}^{*}$ - изоморфизм для $k < 2 n − 1 {\displaystyle k<2n-1}$ ${\ displaystyle k <2n-1}$ . Пусть

c k (E) = {π | B ′ ∗ - 1 ck (E ′) k < n e ( E R) k = n 0 k>n {\ displaystyle c_ {k} (E) = {\ begin {cases} {\ pi | _ {B '} ^ {*}} ^ {- 1 } c_ {k} (E ') k n \ end {cases}}}

c_{k}(E)={\begin{cases}{\pi |_{B'}^{*}}^{-1}c_{k}(E')k<n\\e(E_{\mathbb {R} })k=n\\0k>n \ end {cases}}

Затем требуется некоторая работа, чтобы проверить соответствие аксиом классов Черна этому определению.

См. Также: Изоморфизм Тома.

Примеры

Комплексное касательное расслоение сферы Римана

Пусть $CP 1 {\ displaystyle \ mathbb {CP} ^ {1}}$ $\ mathbb {CP} ^ 1$ - сфера Римана : 1-мерное комплексное проективное пространство. Предположим, что z - голоморфное локальная координата для сферы Римана. Пусть $V = TCP 1 {\ displaystyle V = T \ mathbb {CP} ^ {1}}$ ${\ displaystyle V = T \ mathbb { CP} ^ {1}}$ будет связкой комплексных касательных векторов, имеющих вид $a ∂ / ∂ z {\ displaystyle a \ partial / \ partial z}$ ${\ displaystyle a \ partial / \ partial z}$ в каждой точке, где a - комплексное число. Мы доказываем, что com сплетенная версия теоремы о волосатом шарике : V не имеет сечения, которое всюду отличалось бы от нуля.

Для этого нам понадобится следующий факт: первый класс Черна тривиального пакета равен нулю, то есть

c 1 (CP 1 × C) = 0. {\ displaystyle c_ {1} ( \ mathbb {CP} ^ {1} \ times \ mathbb {C}) = 0.}

{\ displaystyle c_ {1} (\ mathbb {CP} ^ {1} \ times \ mathbb {C}) = 0.}

Об этом свидетельствует тот факт, что тривиальное расслоение всегда допускает плоское соединение. Итак, мы покажем, что

c 1 (V) ≠ 0. {\ displaystyle c_ {1} (V) \ not = 0.}

c_1 (V) \ not = 0.

Рассмотрим метрику Кэлера

h = dzdz ¯ (1 + | z | 2) 2. {\ displaystyle h = {\ frac {dzd {\ bar {z}}} {(1+ | z | ^ {2}) ^ {2}}}.}

h = \ frac {dzd \ bar {z}} {(1+ | z | ^ 2) ^ 2}.

Несложно показать, что 2-форма кривизны задается формулой

Ω = 2 dz ∧ dz ¯ (1 + | z | 2) 2. {\ displaystyle \ Omega = {\ frac {2dz \ wedge d {\ bar {z}}} {(1+ | z | ^ {2}) ^ {2}}}.}

\ Omega = \ frac {2dz \ клин d \ bar {z}} {(1+ | z | ^ 2) ^ 2}.

Кроме того, по определению первого класса Черна

c 1 = [i 2 π tr ⁡ Ω]. {\ displaystyle c_ {1} = \ left [{\ frac {i} {2 \ pi}} \ operatorname {tr} \ Omega \ right].}

{\ displaystyle c_ {1} = \ left [{\ frac {i} {2 \ pi}} \ operatorname {tr} \ Omega \ right].}

Мы должны показать, что этот класс когомологий не равен нулю. Достаточно вычислить его интеграл по сфере Римана:

∫ c 1 = i π ∫ dz ∧ dz ¯ (1 + | z | 2) 2 = 2 {\ displaystyle \ int c_ {1} = {\ frac { i} {\ pi}} \ int {\ frac {dz \ wedge d {\ bar {z}}} {(1+ | z | ^ {2}) ^ {2}}} = 2}

{\ displaystyle \ int c_ {1} = {\ frac {i} {\ pi}} \ int {\ frac {dz \ wedge d {\ bar {z}}} {(1+ | z | ^ {2}) ^ {2}}} = 2}

после переключение на полярные координаты. Согласно теореме Стокса, точная форма будет интегрирована до 0, поэтому класс когомологий отличен от нуля.

Это доказывает, что $T C P 1 {\ displaystyle T \ mathbb {CP} ^ {1}}$ ${\ displaystyle T \ mathbb {CP} ^ {1}}$ не является тривиальным векторным расслоением.

Комплексное проективное пространство

Существует точная последовательность пучков / связок:

0 → OCP n → OCP n (1) ⊕ (n + 1) → TCP n → 0 { \ displaystyle 0 \ to {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {CP} ^ {n}} \ to {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {CP} ^ {n}} (1) ^ { \ oplus (n + 1)} \ to T \ mathbb {CP} ^ {n} \ to 0}

{\ displaystyle 0 \ to {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {CP} ^ {n}} \ to {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {CP} ^ {n}} (1) ^ {\ oplus (n + 1)} \ to T \ mathbb {CP } ^ {n} \ к 0}

где $OCP n {\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {CP} ^ {n}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {CP} ^ {n}}}$ - это структурный пучок (т.е. тривиальный линейный пучок), $OCP n (1) {\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {CP} ^ {n}} (1)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {CP} ^ {n}} (1)}$ - это скручивающий пучок Серра (т. е. пучок гиперплоскостей ), а последний ненулевой член - это касательный пучок / комплект.

Есть два способа получить указанную выше последовательность:

Пусть $z 0,…, zn {\ displaystyle z_ {0}, \ ldots, z_ {n}}$ ${\ displaystyle z_ {0}, \ ldots, z_ {n}}$ быть координатами $C n + 1, {\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n + 1},}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n + 1},}$ пусть $π: C n + 1 ∖ {0} → CP n {\ displaystyle \ pi \ двоеточие \ mathbb {C} ^ {n + 1} \ setminus \ {0 \} \ to \ mathbb {C} \ mathbb {P} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ pi \ двоеточие \ mathbb {C} ^ {n + 1} \ setminus \ {0 \} \ to \ mathbb {C} \ mathbb { P} ^ {n}}$ - каноническая проекция, и пусть $U = CP n ∖ {z 0 = 0} {\ displaystyle U = \ mathbb {CP} ^ {n} \ setminus \ {z_ {0} = 0 \}}$ ${\ displaystyle U = \ mathbb {CP} ^ {n} \ se tminus \ {z_ {0} = 0 \}}$ . Тогда имеем:
$π ∗ d (zi / z 0) = z 0 dzi - zidz 0 z 0 2, i ≥ 1. {\ displaystyle \ pi ^ {*} d (z_ {i} / z_ {0 }) = {z_ {0} dz_ {i} -z_ {i} dz_ {0} \ over z_ {0} ^ {2}}, \, i \ geq 1.}$ $\ pi ^ {*} d (z_ {i} / z_ {0}) = {z_ {0} dz_ {i} -z_ {i} dz_ { 0} \ over z_ {0} ^ {2}}, \, i \ geq 1.$
Другими словами, котангенсный пучок $Ω CP n | U {\ displaystyle \ Omega _ {\ mathbb {C} \ mathbb {P} ^ {n}} | _ {U}}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {\ mathbb {C} \ mathbb {P} ^ {n}} | _ {U}}$ , который является бесплатным $OU {\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {U}}$ ${\ mathcal {O}} _ {U}$ -модуль с базой $d (zi / z 0) {\ displaystyle d (z_ {i} / z_ {0})}$ $d (z_ {i} / z_ {0})$ , укладывается в точную последовательность
$0 → Ω CP n | U → d z i ↦ e i ⊕ 1 n + 1 O (- 1) | U → ei ↦ zi OU → 0, я ≥ 0, {\ displaystyle \ textstyle \ quad 0 \ to \ Omega _ {\ mathbb {C} \ mathbb {P} ^ {n}} | _ {U} {\ overset {dz_ {i} \ mapsto e_ {i}} {\ to}} \ oplus _ {1} ^ {n + 1} {\ mathcal {O}} (- 1) | _ {U} {\ overset {e_ {i} \ mapsto z_ {i}} {\ to}} {\ mathcal {O}} _ {U} \ to 0, \, i \ geq 0,}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ quad 0 \ to \ Omega _ {\ mathbb {C} \ mathbb {P} ^ {n}} | _ {U} {\ overset {dz_ {i} \ mapsto e_ {i}} {\ to}} \ oplus _ {1} ^ {n + 1} {\ mathcal {O}} ( -1) | _ {U} {\ overset {e_ {i} \ mapsto z_ {i}} {\ to}} {\ mathcal {O}} _ {U} \ to 0, \, i \ geq 0, }$
где $ei {\ displaystyle e_ {i}}$ $e_ {i}$ являются основой среднего срока. Очевидно, что такая же последовательность точна на всем проективном пространстве, и двойственным ей является вышеупомянутая последовательность.
Пусть L - линия в $C n + 1 {\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n + 1}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n + 1}}$ , который проходит через начало координат. Это элементарная геометрия, чтобы увидеть, что комплексное касательное пространство к $CP n {\ displaystyle \ mathbb {C} \ mathbb {P} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} \ mathbb {P} ^ {n}}$ в точка L, естественно, есть множество линейных отображений из L в его дополнение. Таким образом, касательная связка $TCP n {\ displaystyle T \ mathbb {C} \ mathbb {P} ^ {n}}$ ${\ displaystyle T \ mathbb {C} \ mathbb {P} ^ {n}}$ может быть идентифицирована с hom bundle
$Hom ⁡ (О (- 1), η) {\ displaystyle \ operatorname {Hom} ({\ mathcal {O}} (- 1), \ eta)}$ $\ operatorname {Hom } ({\ mathcal {O}} (- 1), \ eta)$
где η - векторное расслоение, такое что $O ( - 1) ⊕ η знак равно О ⊕ (N + 1) {\ Displaystyle {\ mathcal {O}} (- 1) \ oplus \ eta = {\ mathcal {O}} ^ {\ oplus (n + 1)}}$ ${\ mathcal {O}} (- 1) \ oplus \ eta = {\ mathcal {O}} ^ {{\ oplus (n + 1)}}$ . Отсюда следует:
$TCP n ⊕ O = Hom ⁡ (O (- 1), η) ⊕ Hom ⁡ (O (- 1), O (- 1)) = O (1) ⊕ (n + 1) { \ displaystyle T \ mathbb {C} \ mathbb {P} ^ {n} \ oplus {\ mathcal {O}} = \ operatorname {Hom} ({\ mathcal {O}} (- 1), \ eta) \ oplus \ operatorname {Hom} ({\ mathcal {O}} (- 1), {\ mathcal {O}} (- 1)) = {\ mathcal {O}} (1) ^ {\ oplus (n + 1) }}$ ${ \ displaystyle T \ mathbb {C} \ mathbb {P} ^ {n} \ oplus {\ mathcal {O}} = \ operatorname {Hom} ({\ mathcal {O}} (- 1), \ eta) \ oplus \ operatorname {Hom} ({\ mathcal {O}} (- 1), {\ mathcal {O}} (- 1)) = {\ mathcal {O}} (1) ^ {\ oplus (n + 1) }}$ .

По аддитивности общего класса Черна $c = 1 + c 1 + c 2 + ⋯ {\ displaystyle c = 1 + c_ {1} + c_ {2} + \ cdots}$ ${\ displaystyle c = 1 + c_ {1} + c_ {2} + \ cdots}$ (т.е. формула суммы Уитни),

c (CP n) = defc (TCP n) = c (OCP n (1)) n + 1 = (1 + a) n + 1 {\ displaystyle c (\ mathbb {C} \ mathbb {P} ^ {n}) {\ overset {\ mathrm {def}} {=}} c (T \ mathbb {CP} ^ {n}) = c ({\ mathcal { O}} _ {\ mathbb {C} \ mathbb {P} ^ {n}} (1)) ^ {n + 1} = (1 + a) ^ {n + 1}}

{\ displaystyle c (\ mathbb {C} \ mathbb {P} ^ {n}) {\ overset {\ mathrm {def}} {=}} c (T \ mathbb {CP} ^ {n}) = c ({\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {C} \ mathbb {P} ^ {n}} (1)) ^ {n + 1} = (1 + а) ^ {n + 1}}

где a - канонический генератор группы когомологий $H 2 (CP n, Z) {\ displaystyle H ^ {2} (\ mathbb {C} \ mathbb {P} ^ {n}, \ mathbb {Z})}$ ${\ displaystyle H ^ {2} (\ mathbb {C} \ mathbb {P} ^ {n}, \ mathbb {Z})}$ ; т.е. отрицательное значение первого класса Черна тавтологического линейного расслоения $OCP n (- 1) {\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {C} \ mathbb {P} ^ {n}} (-1)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {C} \ mathbb {P} ^ {n}} (- 1)}$ (примечание: $c 1 (E ∗) = - c 1 (E) {\ displaystyle c_ {1} (E ^ {*}) = - c_ {1} (E)}$ $c_ {1} (E ^ {*}) = - c_ {1} (E)$ когда $E ∗ {\ displaystyle E ^ {*}}$ $E ^ {*}$ является двойником E.) В частности, для любого $k ≥ 0 { \ Displaystyle к \ geq 0}$ ${\ displaystyle k \ geq 0}$ ,

ск (CP n) = (n + 1 k) ак. {\ displaystyle c_ {k} (\ mathbb {C} \ mathbb {P} ^ {n}) = {\ binom {n + 1} {k}} a ^ {k}.}

{\ displaystyle c_ {k} (\ mathbb {C} \ mathbb {P} ^ {n}) = {\ binom {n + 1} {k}} a ^ {k}.}

Многочлен Черна

Многочлен Черна - удобный способ систематизировать классы Черна и связанные с ними понятия. По определению для комплексного векторного расслоения E, многочлен Черна ctдля E имеет вид:

c t (E) = 1 + c 1 (E) t + ⋯ + c n (E) t n. {\ displaystyle c_ {t} (E) = 1 + c_ {1} (E) t + \ cdots + c_ {n} (E) t ^ {n}.}

c_ {t} (E) = 1 + c_ {1} (E) t + \ cdots + c_ {n} (E) t ^ {n}.

Это не новый инвариант: формальный переменная t просто отслеживает степень c k (E). В частности, $ct (E) {\ displaystyle c_ {t} (E)}$ $c_ {t} (E)$ полностью определяется общим классом Черна для E: $c (E) Знак равно 1 + c 1 (E) + ⋯ + cn (E) {\ displaystyle c (E) = 1 + c_ {1} (E) + \ cdots + c_ {n} (E)}$ $c (E) = 1 + c_ {1} (E) + \ cdots + c_ {n} (E)$ и наоборот.

Формула суммы Уитни, одна из аксиом классов Черна (см. Ниже), говорит, что c t аддитивно в том смысле:

ct (E ⊕ E ′) = ct (E) ct (E ′). {\ displaystyle c_ {t} (E \ oplus E ') = c_ {t} (E) c_ {t} (E').}

c_{t}(E\oplus E')=c_{t}(E)c_{t}(E').

Теперь, если $E = L 1 ⊕ ⋯ ⊕ L n {\ displaystyle E = L_ {1} \ oplus \ cdots \ oplus L_ {n}}$ ${\ displaystyle E = L_ {1} \ oplus \ cdots \ oplus L_ {n}}$ представляет собой прямую сумму (сложных) линейных пучков, тогда из формулы суммы следует, что:

ct (E) знак равно (1 + a 1 (E) t) ⋯ (1 + an (E) t) {\ displaystyle c_ {t} (E) = (1 + a_ {1} (E) t) \ cdots ( 1 + a_ {n} (E) t)}

c_ {t} (E) = (1 + a_ {1 } (E) t) \ cdots (1 + a_ {n} (E) t)

где $ai (E) = c 1 (L i) {\ displaystyle a_ {i} (E) = c_ {1} (L_ {i})}$ $a_ {i} (E) = c_ {1} (L_ { i})$ - первые классы Черна. Корни $ai (E) {\ displaystyle a_ {i} (E)}$ $a_ {i} (E)$ , называемые корнями Черна E, определяют коэффициенты полинома: т. Е.

ck (E) = σ K (a 1 (E),…, an (E)) {\ displaystyle c_ {k} (E) = \ sigma _ {k} (a_ {1} (E), \ ldots, a_ {n} (E))}

{ \ displaystyle c_ {k} (E) = \ sigma _ {k} (a_ {1} (E), \ ldots, a_ {n} (E))}

, где σ k - элементарные симметричные многочлены. Другими словами, если рассматривать a i как формальные переменные, c k "равны" σ k. Основной факт относительно симметричных многочленов состоит в том, что любой симметричный многочлен, скажем, от t i является многочленом от элементарных симметричных многочленов от t i. Либо по принципу расщепления, либо по теории колец, любой многочлен Черна $ct (E) {\ displaystyle c_ {t} (E)}$ $c_ {t} (E)$ разлагается на линейные множители после увеличения когомологий кольцо; E не обязательно должно быть прямой суммой линейных пучков в предыдущем обсуждении. Вывод:

«Любой симметричный многочлен f в комплексном векторном расслоении E можно вычислить, записав f как многочлен от σ k, а затем заменив σ k на c k (E). "

Пример : У нас есть многочлены s k

t 1 k + ⋯ + tnk = sk (σ 1 (t 1,…, tn),…, σ k (t 1,…, tn)) {\ displaystyle t_ {1} ^ {k} + \ cdots + t_ {n} ^ {k} = s_ {k} (\ sigma _ {1} (t_ {1}, \ ldots, t_ {n}), \ ldots, \ sigma _ {k} (t_ {1}, \ ldots, t_ {n}))}

{\ displaystyle t_ {1} ^ {k} + \ cdots + t_ {n} ^ {k } = s_ {k} (\ sigma _ {1} (t_ {1}, \ ldots, t_ {n}), \ ldots, \ sigma _ {k} (t_ {1}, \ ldots, t_ {n})))}

с $s 1 = σ 1, s 2 = σ 1 2 - 2 σ 2 {\ Displaystyle s_ {1} = \ sigma _ {1}, s_ {2} = \ sigma _ {1} ^ {2} -2 \ sigma _ {2}}$ $s_ {1} = \ sigma _ {1}, s_ {2} = \ сигма _ {1} ^ {2} -2 \ сигма _ {2}$ и так далее (ср. тождества Ньютона ). Сумма

ch ⁡ (E) = e a 1 (E) + ⋯ + e a n (E) = ∑ s k (c 1 (E),…, c n (E)) / k! {\ displaystyle \ operatorname {ch} (E) = e ^ {a_ {1} (E)} + \ cdots + e ^ {a_ {n} (E)} = \ sum s_ {k} (c_ {1} (E), \ ldots, c_ {n} (E)) / k!}

{\ displaystyle \ operatorname {ch} (E) = e ^ {a_ {1} (E)} + \ cdots + e ^ {a_ {n} (E)} = \ sum s_ {k} (c_ {1} (E), \ ldots, c_ {n} (E)) / k!}

называется символом Черна в E, первые несколько членов которого следующие: (мы опускаем E из записи.)

ch ⁡ ( E) знак равно rk + c 1 + 1 2 (c 1 2 - 2 c 2) + 1 6 (c 1 3 - 3 c 1 c 2 + 3 c 3) + ⋯. {\ displaystyle \ operatorname {ch} (E) = \ operatorname {rk} + c_ {1} + {\ frac {1} {2}} (c_ {1} ^ {2} -2c_ {2}) + { \ frac {1} {6}} (c_ {1} ^ {3} -3c_ {1} c_ {2} + 3c_ {3}) + \ cdots.}

{\ displaystyle \ operatorname {ch} (E) = \ operatorname { rk} + c_ {1} + {\ frac {1} {2}} (c_ {1} ^ {2} -2c_ {2}) + {\ frac {1} {6}} (c_ {1} ^ {3} -3c_ {1} c_ {2} + 3c_ {3}) + \ cdots.}

Пример : Класс Тодда в E задается следующим образом:

td ⁡ (E) = ∏ 1 nai 1 - e - ai = 1 + 1 2 c 1 + 1 12 (c 1 2 + c 2) + ⋯. {\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {td} (E) = \ prod _ {1} ^ {n} {a_ {i} \ over 1-e ^ {- a_{i}}} = 1 + {1 \ over 2} c_ {1} + {1 \ over 12} (c_ {1} ^ {2} + c_ {2}) + \ cdots. \ End {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {td} (E) = \ prod _ { 1} ^ {n} {a_ {i} \ over 1-e ^ {- a_ {i}}} = 1+ {1 \ over 2} c_ {1} + {1 \ over 12} (c_ {1} ^ {2} + c_ {2}) + \ cdots. \ End {align}}}

Замечание : Наблюдение за тем, что класс Черна по существу является элементарным симметричным многочленом, можно использовать для «определения» классов Черна. Пусть G n будет бесконечным грассманианом n-мерных комплексных векторных пространств. Это классифицирующее пространство в том смысле, что для данного комплексного расслоения E ранга n над X непрерывное отображение

f E: X → G n {\ displaystyle f_ {E}: От X \ до G_ {n}}

f_ {E}: X \ to G_ {n}

уникально с точностью до гомотопии. Теорема Бореля утверждает, что кольцо когомологий G n - это в точности кольцо симметричных многочленов, которые являются многочленами элементов отарных симметричных многочленов σ k ; Итак, обратный вызов f E читается так:

f E ∗: Z [σ 1,…, σ n] → H ∗ (X, Z). {\ displaystyle f_ {E} ^ {*}: \ mathbb {Z} [\ sigma _ {1}, \ ldots, \ sigma _ {n}] \ to H ^ {*} (X, \ mathbb {Z}).}

{\ displaystyle f_ {E} ^ {*}: \ mathbb {Z} [\ sigma _ {1}, \ ldots, \ sigma _ {n}] \ to H ^ {*} (X, \ mathbb {Z}).}

Затем кладут:

ck (E) = f E ∗ (σ k). {\ displaystyle c_ {k} (E) = f_ {E} ^ {*} (\ sigma _ {k}).}

c_ {k} (E) = f_ {E} ^ {*} (\ sigma _ {k}).

Примечание : Любой характерный класс является многочленом в классах по тойне по причине, что следующее. Пусть $Vect n C {\ displaystyle \ operatorname {Vect} _ {n} ^ {\ mathbb {C}}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Vect} _ {n} ^ {\ mathbb {C}}}$ будет контравариантным функтором, который CW-комплексу X присваивает набор классов изоморфизма комплексных векторных векторныхлоений. ранга n над X и, в случае отображения, его обратный образ. По определению, характеристический класс является естественным преобразованием из $Vect n C = [-, G n] {\ displaystyle \ operatorname {Vect} _ {n} ^ {\ mathbb {C}} = [ -, G_ {n}]}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Vect} _ {n} ^ {\ mathbb {C}} = [-, G_ {n}]}$ к функтору когомологий $H ∗ (-, Z). {\ displaystyle H ^ {*} (-, \ mathbb {Z}).}$ ${\ displaystyle H ^ {*} (-, \ mathbb {Z}).}$ Характеристические классы образуют кольцо из-за кольцевой структуры кольца когомологий. Лемма Йонеды утверждает, что это кольцо характерных классов в точности кольцом когомологий G n:

Nat ⁡ ([-, G n], H ∗ (-, Z)) = H ∗ (G n, Z) = Z [σ 1,…, σ n]. {\ displaystyle \ operatorname {Nat} ([-, G_ {n}], H ^ {*} (-, \ mathbb {Z})) = H ^ {*} (G_ {n}, \ mathbb {Z}) = \ mathbb {Z} [\ sigma _ {1}, \ ldots, \ sigma _ {n}].}

{\ displaystyle \ operatorname {Nat} ([-, G_ {n}], H ^ {*} (-, \ mathbb {Z})) = H ^ {*} (G_ {n}, \ mathbb {Z}) = \ mathbb {Z} [\ sigma _ {1}, \ ldots, \ sigma _ {n}].}

Формулы вычислений

Пусть E - Векторное расслоение ранга r и $ct (E) = ∑ я знак равно 0 rci (E) ti {\ displaystyle c_ {t} (E) = \ sum _ {i = 0} ^ {r} c_ {i} (E) t ^ {i}}$ ${\ displaystyle c_ {t} (E) = \ sum _ {i = 0} ^ {r} c_ {i} (E) t ^ {i }}$ его # многочлен Черна.

Для двойного пакета $E ∗ {\ displaystyle E ^ {*}}$ $E ^ {*}$ of $E {\ displaystyle E}$ $E$ , $ci (E ∗) = (- 1) ici (E) {\ displaystyle c_ {i} (E ^ {*}) = (- 1) ^ {i} c_ {i} (E)}$ ${\ displaystyle c_ {i} (E ^ {*}) = (- 1) ^ {i} c_ {i} (E)}$ .
Если L - линейный пучок, то

ct (E ⊗ L) = ∑ я знак равно 0 rci (E) ct (L) r - iti {\ displaystyle c_ {t} (E \ otimes L) = \ sum _ {i = 0} ^ { r} c_ {i} (E) c_ {t} (L) ^ {ri} t ^ {i}}

{\ displaystyle c_ {t} (E \ otimes L) = \ sum _ {i = 0} ^ {r} c_ {i} (E) c_ {t} (L) ^ {ri} t ^ {i}}

и поэтому

ci (E ⊗ L), i = 1, 2,…, r {\ displaystyle c_ {i} (E \ otimes L), i = 1,2, \ dots, r}

{\ displaystyle c_ {i} (E \ otimes L), я = 1,2, \ точки, r}

равны

c 1 (E) + rc 1 (L),…, J = 0 i (r - i + jj) ci - j (E) c 1 (L) j,…, ∑ j = 0 rcr - j (E) c 1 (L) j. {\ displaystyle c_ {1} (E) + rc_ {1} (L), \ dots, \ sum _ {j = 0} ^ {i} {\ binom {ri + j} {j}} c_ {ij} (E) c_ {1} (L) ^ {j}, \ dots, \ sum _ {j = 0} ^ {r} c_ {rj} (E) c_ {1} (L) ^ {j}.}

{\ displaystyle c_ {1} (E) + rc_ {1} (L), \ точки, \ sum _ {j = 0} ^ {i} {\ binom {r-i + j} {j}} c_ {ij} (E) c_ {1} (L) ^ {j}, \ точки, \ сумма _ {j = 0} ^ {r} c_ {rj} (E) c_ {1} (L) ^ {j}.}

Для корней Черна $α 1,…, α r {\ displaystyle \ alpha _ {1}, \ dots, \ alpha _ {r}}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {1}, \ точки, \ alpha _ {r}}$ из $E {\ Displaystyle E}$ $E$ ,

ct (Sym p ⁡ E) = ∏ я 1 ≤ ⋯ ≤ ip (1 + (α i 1 + ⋯ + α ip) t), ct (∧ p E) = ∏ i 1 < ⋯ < i p ( 1 + ( α i 1 + ⋯ + α i p) t). {\displaystyle {\begin{aligned}c_{t}(\operatorname {Sym} ^{p}E)=\prod _{i_{1}\leq \cdots \leq i_{p}}(1+(\alpha _{i_{1}}+\cdots +\alpha _{i_{p}})t),\\c_{t}(\wedge ^{p}E)=\prod _{i_{1}<\cdots

{\ displaystyle {\ begin {align} c_ {t} (\ operatorname {Sym} ^ {p} E) = \ prod _ {i_ {1} \ leq \ cdots \ leq i_ {p}} (1 + (\ alpha _ {i_ {1}} + \ cdots + \ alpha _ {i_ {p}}) t), \\ c_ {t} (\ wedge ^ {p} E) = \ prod _ {i_ {1} <\ cdots <i_ {p}} (1 + (\ alpha _ {i_ {1}} + \ cdots + \ alpha _ {i_ {p}}) t). \ end {align}}}

В в частности,

c 1 (∧ r E) = c 1 (E). {\ displaystyle c_ {1} (\ wedge ^ {r} E) = c_ {1} (E).}

{\ displaystyle c_ {1} (\ wedge ^ {r} E) = c_ {1} (E).}

Например, для $ci = ci (E) {\ displaystyle c_ {i} = c_ {i} (E)}$ ${\ displaystyle c_ {i} = c_ {i} (E)}$ ,

когда

r = 2 {\ displaystyle r = 2}

r = 2

c (Sym 2 ⁡ E) = 1 + 3 c 1 + 2 c 1 2 + 4 c 2 + 4 c 1 c 2, {\ displaystyle c (\ operatorname {Sym} ^ {2} E) = 1 + 3c_ {1} + 2c_ {1} ^ {2} + 4c_ {2} + 4c_ {1} c_ { 2},}

{\ displaystyle c (\ operatorname {Sym} ^ {2} E) = 1 + 3c_ {1} + 2c_ {1} ^ {2} + 4c_ {2} + 4c_ {1} c_ {2},}

когда

r = 3 {\ displaystyle r = 3}

{\ displaystyle r = 3}

c (Sym 2 ⁡ E) = 1 + 4 c 1 + 5 c 1 2 + 5 c 2 + 2 c 1 3 + 11 в 1 в 2 + 7 в 3. {\ displaystyle c (\ operatorname {Sym} ^ {2} E) = 1 + 4c_ {1} + 5c_ {1} ^ {2} + 5c_ {2} + 2c_ {1} ^ {3} + 11c_ {1} c_ {2} + 7c_ {3}.}

{\ displaystyle c (\ operatorname {Sym} ^ {2} E) = 1 + 4c_ {1} + 5c_ {1} ^ {2} + 5c_ {2} + 2c_ {1} ^ {3} + 11c_ {1} c_ {2} + 7c_ {3}.}

(см. класс Segre # Пример 2.)

Применение формул

Мы можно использовать эти абстрактные свойства для функций остальных классов chern линейных пучков на $CP 1 {\ displaystyle \ mathbb {CP} ^ {1}}$ $\ mathbb {CP} ^ 1$ . Напомним, что $O (- 1) ∗ ≅ O (1) {\ displaystyle {\ mathcal {O}} (- 1) ^ {*} \ cong {\ mathcal {O}} (1)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (- 1) ^ {*} \ cong {\ mathcal {O}} (1)}$ показывает $c 1 (O (1)) = 1 ∈ H 2 (CP 1; Z) {\ displaystyle c_ {1} ({\ mathcal {O}} (1)) = 1 \ в H ^ {2} (\ mathbb {CP} ^ {1}; \ mathbb {Z})}$ ${\ displaystyle c_ {1} ({\ mathcal {O}} (1)) = 1 \ in H ^ {2} (\ mathbb {CP} ^ {1}; \ mathbb {Z})}$ . Затем, используя тензорные степени, мы можем связать их с классами черна $c 1 (O (n)) = n {\ displaystyle c_ {1} ({\ mathcal {O}} (n)) = n}$ ${\ displaystyle c_ {1} ({\ m athcal {O}} (n)) = n}$ для любого целого числа.

Свойства

Учитывая комплексное векторное расслоение E поверх топологического пространство X, классы Черна E являются последовательностью элементов когомологий X. k-й класс Черна E, который обычно обозначенный c k (E), является элементом

H 2 k (X; Z), {\ displaystyle H ^ {2k} (X; \ mathbb {Z}),}

{\ displaystyle H ^ {2k} (X; \ mathbb {Z}), }

когомологии X с целыми коэффициентами. Можно также определить общий класс Черна

c (E) = c 0 (E) + c 1 (E) + c 2 (E) + ⋯. {\ displaystyle c (E) = c_ {0} (E) + c_ {1} (E) + c_ {2} (E) + \ cdots.}

c (E) = c_ {0} (E) + c_ {1} (E) + c_ {2} (E) + \ cdots.

Значения находятся в целых группах когомологий, а не когомологии с действующими коэффициентами, эти классы Черна немного более тонкие, чем в примере Римана.

Классическое аксиоматическое определение

Классы Черна удовлетворяют следующим четырем аксиомам:

Аксиома 1. $c 0 (E) = 1 {\ displaystyle c_ {0} (E) = 1}$ $c_ {0} (E) = 1$ для всех E.

Аксиома 2. Естественность: Если $f: Y → X {\ displaystyle f: Y \ to X}$ $f: Y \ в X$ является непрерывным, а f * E - это откат системы пучка для E, тогда $ck (f * E) = f * ck (E) {\ displaystyle c_ {k } (f ^ {*} E) = f ^ {*} c_ {k} (E)}$ $c_ {k} (f ^ {*} E) = f ^ {*} c_ {k} (E)$ .

Аксиома 3. Формула суммы Уитни : Если $F → X { \ displaystyle F \ to X}$ $F \ to X$ - другое комплексное векторное расслоение, то классы Черна прямая сумма $E ⊕ F {\ displaystyle E \ oplus F}$ $E \ oplus F$ задаются формулой

c (E ⊕ F) = c (E) ⌣ c (F); {\ displaystyle c (E \ oplus F) = c (E) \ smile c (F);}

c (E \ oplus F) = c (E) \ smile c (F);

то есть

ck (E ⊕ F) = ∑ i = 0 kci (E) ⌣ ck - если). {\ displaystyle c_ {k} (E \ oplus F) = \ sum _ {i = 0} ^ {k} c_ {i} (E) \ smile c_ {ki} (F).}

c_ {k} (E \ oplus F) = \ sum _ {{i = 0}} ^ {k} c_ {i} (E) \ smile c _ {{ki}} (F).

Аксиома 4. Нормализация: общий класс Черна тавтологического линейного пучка по $CP k {\ displaystyle \ mathbb {CP} ^ {k}}$ ${\ mathbb {CP}} ^ {k}$ равен 1-H, где H двойной по Пуанкаре к гиперплоскости $CP k - 1 ⊆ CP k {\ displaystyle \ mathbb {CP} ^ {k-1} \ substeq \ mathbb {CP} ^ {k }}$ ${\ mathbb {CP}} ^ {{k-1}} \ substeq {\ mathbb {CP} } ^ {k}$ .

Аксиоматический подход Гротендика

В качестве альтернативы, Александр Гротендик (1958) заменил их немного меньшим набором аксиом:

Естественность: (То же, что и выше)
Аддитивность: Если $0 → E ′ → E → E ″ → 0 {\ displaystyle \ 0 \ to E '\ to E \ to E' '\ to 0}$ $\ 0\to E'\to E\to E''\to 0$ - это точная последовательность векторных пучков, тогда $c (E) = c (E ′) ⌣ c (E ″) {\ displaystyle c (E) = c (E ') \ smile c (E '')}$ $c(E)=c(E')\smile c(E'')$ .
Нормализация: если E - это линейный пакет, то $c (E) = 1 + e (ER) {\ displaystyle c (E) знак равно 1 + е (E _ {\ mathbb {R}})}$ ${\ displaystyle c (E) = 1 + e (E _ {\ mathbb {R}})}$ где $e (ER) {\ displaystyle e (E_ {\ mathbb {R}})}$ ${\ displaystyle e (E _ {\ mathbb {R}})}$ - это класс Эйлера базового вещественного расслоения.

Он показывает, используя теорему Лере - Хирша, что тотальный класс Черна произвольного комплексного расслоения конечного ранга может быть определен в терминах первого класса Черна тавтологически определенного линейного расслоения.

А именно, вводя проективизацию $P (E) {\ displaystyle \ mathbb {P} (E)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (E)}$ комплексного обеспечения расслоения E → B ранга n в качестве расслоения на B, слой которого в любой точке $b ∈ B {\ displaystyle b \ in B}$ $b \ in B$ является проективным пространством слоя E b. Общее пространство этого пучка $P (E) {\ displaystyle \ mathbb {P} (E)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (E)}$ оснащено его тавтологическим комплексным линейным пучком, который мы обозначаем $τ {\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ , и первый класс Черна

c 1 (τ) =: - a {\ displaystyle c_ {1} (\ tau) =: - a}

c_1 (\ tau) =: -a

ограничивает каждое волокно $P (E б) {\ displaystyle \ mathbb {P} (E_ {b})}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (E_ {b})}$ , чтобы за вычетом (двойного по Пуанкаре) класса гиперплоскости, которая охватывает когомологии слоя, учитывая когомологий комплексных проективных пространств.

Классы

1, a, a 2,…, an - 1 ∈ H ∗ (P (E)) {\ displaystyle 1, a, a ^ {2}, \ ldots, a ^ {n-1} \ в H ^ {*} (\ mathbb {P} (E))}

{\ displaystyle 1, a, a ^ {2}, \ ldots, a ^ {n-1} \ in H ^ {*} (\ mathbb {P} (E))}

, следовательно, образуют семейство классов объемлющих когомологий, ограничивая базисом когомологий волокна. Теорема Лере - Хирша затем утверждает, что любой класс из $H ∗ (P (E)) {\ displaystyle H ^ {*} (\ mathbb {P} (E))}$ ${\ displaystyle H ^ {*} (\ mathbb {P} (E))}$ можно записать однозначно как линейную комбинацию 1, a, a,..., a с классами на основе в качестве коэффициентов.

В частности, можно определить классы Черна для E в смысле Гротендика, обозначенные $c 1 (E),… cn (E) {\ displaystyle c_ {1} (E), \ ldots c_ {n } (E)}$ ${\ displaystyle c_ {1} (E), \ ldots c_ {n} (E)}$ , расширив таким образом класс $- {\ displaystyle -a ^ {n}}$ $-a ^ n$ с отношением:

- an = c 1 (E) An - 1 + ⋯ + cn - 1 (E) ⋅ a + cn (E). {\ displaystyle -a ^ {n} = c_ {1} (E) \ cdot a ^ {n-1} + \ cdots + c_ {n-1} (E) \ cdot a + c_ {n} (E).}

{\ displaystyle -a ^ {n} = c_ {1} (E) \ cdot a ^ {n-1} + \ cdots + c_ {n-1} (E) \ cdot a + c_ {n} (E).}

Затем можно проверить, совпадает ли это альтернативное определение с любым другим определением, которое он может одобрить, или использовать предыдущую аксиоматическую характеристику.

Верхний класс Черна

Фактически, эти свойства однозначно характеризуют классы Черна. Среди прочего они подразумевают:

Если n - комплексный ранг V, то $ck (V) = 0 {\ displaystyle c_ {k} (V) = 0}$ $c_k (V) = 0$ для всех к>п. Таким образом, полный класс Черна завершается.
Верхний класс Черна V (что означает $cn (V) {\ displaystyle c_ {n} (V)}$ $c_n (V)$ , где n - это ранг V) всегда равен классу Эйлера лежащего в основе действительного векторного расслоения.

В алгебраической геометрии

Аксиоматическое описание

Есть еще одна конструкция Черна классы, которые принимают значения в алгеброгеометрическом аналоге кольца когомологий, кольцо Чжоу. Можно показать, что существует уникальная теория классов Черна такая, что если вам дано алгебраическое векторное расслоение $E → X {\ displaystyle E \ to X}$ $E \ to X$ над квазипроективным многообразием, там представляют собой последовательность классов $ci (E) ∈ A i (X) {\ displaystyle c_ {i} (E) \ in A ^ {i} (X)}$ ${\ displaystyle c_ {i} (E) \ in A ^ {i} (X)}$ таких, что

$c 0 (E) = 1 {\ displaystyle c_ {0} (E) = 1}$ $c_ {0} (E) = 1$
Для обратимой связки $OX (D) {\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} (D)}$ ${ \ mathcal {O}} _ {X} (D)$ (так что $D {\ displaystyle D}$ $D$ является делителем Картье ), $c 1 (OX (D)) = [D] {\ displaystyle c_ {1} ({\ mathcal {O}} _ {X} (D)) = [D]}$ ${\ displaystyle c_ {1} ({ \ mathcal {O}} _ {X} (D)) = [D]}$
Дана точная последовательность векторных расслоений $0 → E ′ → E → E ″ → 0 {\ displaystyle 0 \ to E '\ to E \ to E' '\ to 0}$ $0\to E'\to E\to E''\to 0$ формула суммы Уитни выполняется: $c (E) = c (E ′) с (Е ″) {\ displaystyle c (E) = c (E ') c (E' ')}$ $c(E)=c(E')c(E'')$
$ci (E) = 0 {\ displaystyle c_ {i} (E) = 0}$ $c_i (E) = 0$ для $i>rank (E) {\ displaystyle i>{\ text {rank}} (E)}$ $i>{\ text {rank}} (E)$
Карта $E ↦ c (E) {\ displaystyle E \ mapsto c (E)}$ ${\ displaystyle E \ mapsto c (E) }$ продолжается до морфизма кольца $c: K 0 (X) → A ∙ (X) {\ displaystyle c: K_ {0} (X) \ to A ^ {\ bullet} (X)}$ ${\ displaystyle c: K_ {0} (X) \ to A ^ {\ bullet} (X)}$

Нормальная последовательность

Вычисление характеристических классов для проективного пространства формирует основу для многих вычислений характеристических классов, поскольку для любого гладкого проективного подмногообразия $X ⊂ P n { \ displaystyle X \ subset \ mathbb {P} ^ {n}}$ ${\ displaystyle X \ subset \ mathbb {P} ^ {n}}$ есть короткая точная последовательность

0 → TX → TP n | Икс → NX / P n → 0 {\ displaystyle 0 \ to {\ mathcal {T}} _ {X} \ to {\ mathcal {T}} _ {\ mathbb {P} ^ {n}} | _ {X } \ to {\ mathcal {N}} _ {X / \ mathbb {P} ^ {n}} \ to 0}

{\ displaystyle 0 \ to {\ mathcal {T}} _ {X} \ to {\ mathcal {T}} _ {\ mathbb {P} ^ {n}} | _ {X} \ to {\ mathcal {N}} _ {X / \ mathbb {P} ^ {n}} \ to 0}

Трехкратная пятерка

Например, рассмотрим неособую трехкратную пятерку в $P 4 {\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {4}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {4}}$ . Тогда нормальный набор задается как $OX (5) {\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} (5)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} (5)}$ , и у нас есть короткая точная последовательность

0 → TX → TP 4 | Икс → ОХ (5) → 0 {\ Displaystyle 0 \ к {\ mathcal {T}} _ {X} \ к {\ mathcal {T}} _ {\ mathbb {P} ^ {4}} | _ {X } \ to {\ mathcal {O}} _ {X} (5) \ to 0}

{\ displaystyle 0 \ to {\ mathcal {T} } _ {X} \ to {\ mathcal {T}} _ {\ mathbb {P} ^ {4}} | _ {X} \ to {\ mathcal {O}} _ {X} (5) \ to 0 }

Пусть $h {\ displaystyle h}$ $h$ обозначает класс гиперплоскости в $A ∙ (Икс) {\ Displaystyle A ^ {\ bullet} (X)}$ ${\ displaystyle A ^ {\ bullet} (X)}$ . Тогда формула суммы Уитни дает нам, что

c (TX) c (OX (5)) = (1 + h) 5 = 1 + 5 h + 10 h 2 + 10 h 3 {\ displaystyle {\ begin {align } c ({\ mathcal {T}} _ {X}) c ({\ mathcal {O}} _ {X} (5)) = (1 + h) ^ {5} \\ = 1 + 5h + 10h ^ {2} + 10h ^ {3} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {выровнено } c ({\ mathcal {T}} _ {X}) c ({\ mathcal {O}} _ {X} (5)) = (1 + h) ^ {5} \\ = 1 + 5h + 10h ^ {2} + 10h ^ {3} \ end { выровнено}}}

Поскольку кольцо Чоу гиперповерхности сложно вычислить, мы будем рассматривать эту последовательность как последовательность когерентных пучков в $P 4 {\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {4}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {4}}$ . Это дает нам

c (TX) = 1 + 5 h + 10 h 2 + 10 h 3 1 + 5 h = (1 + 5 h + 10 h 2 + 10 h 3) (1 - 5 h + 25 час 2–125 час 3) = 1 + 10 час 2–40 час 3 {\ displaystyle {\ begin {align} c ({\ mathcal {T}} _ {X}) = {\ frac {1 + 5h + 10h ^ {2} + 10h ^ {3}} {1 + 5h}} \\ = (1 + 5h + 10h ^ {2} + 10h ^ {3}) (1-5h + 25h ^ {2} - 125h ^ {3}) \\ = 1 + 10h ^ {2} -40h ^ {3} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} c ({\ mathcal {T}} _ {X}) = {\ frac {1 + 5h + 10h ^ {2} + 10h ^ {3}} {1 + 5h} } \\ = (1 + 5h + 10h ^ {2} + 10h ^ {3}) (1-5h + 25h ^ {2} -125h ^ {3}) \\ = 1 + 10h ^ {2} -40h ^ {3} \ end {align}}}

Используя теорему Гаусса-Бонне, мы можем интегрировать класс $c 3 ( TX) {\ displaystyle c_ {3} ({\ mathcal {T}} _ {X})}$ ${\ displaystyle c_ {3} ({\ mathcal {T}} _ {X})}$ для вычисления характеристики Эйлера. Традиционно это называется классом Эйлера. Это

∫ [X] c 3 (TX) = ∫ [X] - 40 h 3 = - 200 {\ displaystyle \ int _ {[X]} c_ {3} ({\ mathcal {T}} _ {X}) = \ int _ {[X]} - 40h ^ {3} = - 200}

{\ displaystyle \ int _ {[X]} c_ {3} ({\ mathcal {T}} _ {X}) = \ int _ {[X]} - 40h ^ {3} = -200}

, поскольку класс $h 3 {\ displ aystyle h ^ {3}}$ $h ^ {3}$ может быть представлен пятью точками (по теореме Безу ). Затем характеристика Эйлера может быть установка для вычисления чисел Бетти для когомологий $X {\ displaystyle X}$ $X$ , определение характеристик Эйлера и теорему Лефшеца о гиперплоскости.

Гиперповерхности степени d

Если $X ⊂ P 3 {\ displaystyle X \ subset \ mathbb {P} ^ {3}}$ ${\ displaystyle X \ subset \ mathbb { P} ^ {3}}$ - это степень $d {\ displaystyle d}$ $d$ гладкая гиперповерхность, мы имеем короткую точную последовательность

$0 → TX → TP 3 | Икс → ОХ (d) → 0 {\ Displaystyle 0 \ к {\ mathcal {T}} _ {X} \ к {\ mathcal {T}} _ {\ mathbb {P} ^ {3}} | _ {X} \ to {\ mathcal {O}} _ {X} (d) \ to 0}$ ${ \ displaystyle 0 \ to {\ mathcal {T}} _ {X} \ to {\ mathcal {T}} _ {\ mathbb {P} ^ {3}} | _ {X} \ to {\ mathcal {O} } _ {X} (d) \ to 0}$

, что дает соотношение

$c (TX) = c (TP 3 | X) c (OX ( г)) {\ displaystyle c ({\ mathcal {T}} _ {X}) = {\ frac {c ({\ mathcal {T}} _ {\ mathbb {P} ^ {3} | _ {X} })} {c ({\ mathcal {O}} _ {X} (d))}}}$ ${\ displaystyle c ({\ mathcal {T}} _ {X}) = {\ frac {c ({\ mathcal {T}} _ {\ mathbb {P} ^ {3} | _ {X}})} {c ({\ mathcal {O}} _ {X} (d))}}}$

мы можем вычислить это как

$c (TX) = (1 + [H]) 4 (1 + d [H]) = (1 + 4 [H] + 6 [H] 2) (1 - d [H] + d 2 [H] 2) = 1 + (4 - d) [H] + (6 - 3 d 2) [H] 2 {\ displaystyle {\ begin {align} c ({\ mathcal {T}} _ {X}) = {\ frac {(1+ [H]) ^ {4}} {(1 + d [H])}} \\ = (1 + 4 [H] +6 [H] ^ {2}) (1-d [H] + d ^ {2} [H] ^ { 2}) \\ = 1+ (4-d) [H] + (6-3d ^ {2}) [H] ^ {2} \ end {align}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {выровнено} c ({\ mathcal {T}} _ {X}) = {\ frac {(1+ [H]) ^ {4}} {(1 + d [H])}} \\ = (1 + 4 [H] +6 [H] ^ {2}) (1-d [H] + d ^ {2} [H] ^ {2}) \\ = 1+ (4-d) [ H] + (6-3d ^ {2}) [H] ^ {2} \ end {выровнено}}}$

Определение общего класса черн. В частности, мы можем найти $X {\ displaystyle X}$ $X$ - спиновое 4-многообразие, если $4 - d {\ displaystyle 4-d}$ ${\ displaystyle 4-d}$ четно, поэтому каждая гладкая гиперповерхность степени $2k {\ displaystyle 2k}$ $2k$ спиновым разнообразием.

Приближенные понятия

Характер Черна

Черн классы могут быть использованы для построения гомоморфизма колец из топологической K-теории пространства в (пополнение) его рациональных когомологий. Для линейного расслоения L характер Черна ch определяется как

ch ⁡ (L) = exp ⁡ (c 1 (L)): = ∑ m = 0 ∞ c 1 (L) m m!. {\ displaystyle \ operatorname {ch} (L) = \ exp (c_ {1} (L)): = \ sum _ {m = 0} ^ {\ infty} {\ frac {c_ {1} (L) ^ {m}} {m!}}.}

{\ displaystyle \ operatorname {ch} (L) = \ exp (c_ { 1} (L)): = \ sum _ {m = 0} ^ {\ infty} {\ frac {c_ {1} (L) ^ {m}} {m!}}.}

В более общем смысле, если $V = L 1 ⊕ ⋯ ⊕ L n {\ displaystyle V = L_ {1} \ oplus \ cdots \ oplus L_ {n }}$ ${\ displaystyle V = L_ {1} \ oplus \ cdots \ oplus L_ {n}}$ - прямая сумма линейных пучков с первыми классами Черна $xi = c 1 (L i), {\ displaystyle x_ {i} = c_ {1} (L_ {i}),}$ $x_i = c_1 (L_i),$ символ Черна определяется аддитивно

ch ⁡ (V) = ex 1 + ⋯ + exn: = ∑ m = 0 ∞ 1 m! (х 1 м + ⋯ + х н м). {\ displaystyle \ operatorname {ch} (V) = e ^ {x_ {1}} + \ cdots + e ^ {x_ {n}}: = \ sum _ {m = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {m!}} (X_ {1} ^ {m} + \ cdots + x_ {n} ^ {m}).}

{\ displaystyle \ operatorname {ch} (V) = e ^ {x_ {1}} + \ cdots + e ^ {x_ {n}} : = \ sum _ {m = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {m!}} (x_ {1} ^ {m} + \ cdots + x_ {n} ^ {m}).}

Это можно переписать как:

ch ⁡ (V) = rk ⁡ (V) + c 1 (V) + 1 2 (c 1 (V) 2 - 2 c 2 (V)) + 1 6 (c 1 (V) 3 - 3 c 1 (V) c 2 (V) + 3 c 3 (V)) + ⋯. {\ displaystyle \ operatorname {ch} (V) = \ operatorname {rk} (V) + c_ {1} (V) + {\ frac {1} {2}} (c_ {1} (V) ^ {2 } -2c_ {2} (V)) + {\ frac {1} {6}} (c_ {1} (V) ^ {3} -3c_ {1} (V) c_ {2} (V) + 3c_ {3} (V)) + \ cdots.}

{\ displaystyle \ operatorname {ch} (V) = \ operatorname { rk} (V) + c_ {1} (V) + {\ frac {1} {2}} (c_ {1} (V) ^ {2} -2c_ {2} (V)) + {\ frac { 1} {6}} (c_ {1} (V) ^ {3} -3c_ {1} (V) c_ {2} (V) + 3c_ {3} (V)) + \ cdots.}

Это последнее выражение, оправданное применение принципа расщепления, принимается как определение ch (V) для произвольных векторныхлоений V.

Если связь используется для определения классов Черна, когда базой является многообразие (т. Е. теория Черна - Вейля ), то явная форма характера Черна будет

ch (V) = [тр (ехр ⁡ (я Ω 2 π))] {\ Displaystyle {\ hbox {ch}} (V) = \ left [{\ hbox {tr}} \ left (\ exp \ left ({\ frac {я \ Omega} {2 \ pi}) } \ right) \ right) \ right]}

{\ hbox {ch}} (V) = \ left [{\ hbox {tr}} \ left (\ exp \ left ({\ frac {я \ Omega} {2 \ pi}} \ right) \ right) \ right]

где Ω - кривизна соединения.

Символ Черна полезен отчасти потому, что он облегчает вычисление класса Черна тензорного произведения. В частности, он подчиняется следующим тождествам:

ch (V ⊕ W) = ch (V) + ch (W) {\ displaystyle {\ hbox {ch}} (V \ oplus W) = {\ hbox {ch} } (V) + {\ hbox {ch}} (W)}

\ hbox {ch} (V \ oplus W) = \ hbox {ch} (V) + \ hbox {ch} (W)

ch (V ⊗ W) = ch (V) ch (W). {\ displaystyle {\ hbox {ch}} (V \ otimes W) = {\ hbox {ch}} (V) {\ hbox {ch}} (W).}

\ hbox {ch} (V \ otimes W) = \ hbox {ch} (V) \ hbox {ch} (W).

Как указано выше, с использованием аддитивности Гротендика аксиома для классов Черна, первое из этих тождеств может быть обобщено, чтобы утверждать, что ch гомоморфизмом абелевых групп из K-теории K (X) в рациональные когомологии X. Второе тождество устанавливает тот факт, что гомоморфизм также имеет уважаемые произведения в K (X), и поэтому ch является гомоморфизмом колец.

Символ Черна используется в теореме Хирцебруха - Римана - Роха.

Числа Черна

Если мы работаем на в ориентированном многообразии размерности $2 n {\ displaystyle 2n}$ $2n$ , то любое произведение классов Черна общей степени $2 n {\ displaystyle 2n}$ $2n$ (т. Е. Сумма индексов Черна классы в продукте должны быть $n {\ displaystyle n}$ $n$ ) могут быть объединены с классом гомологии ориентации (или «интегрированы по множеству») для достижения целого числа, a Чер числона услуг расслоения. Например, если формула имеет размерность, существуют три линейно независимых числа Черна, заданныхлами $c 1 3, {\ displaystyle c_ {1} ^ {3},}$ ${\ displaystyle c_ {1} ^ {3},}$ $c 1 c 2 {\ displaystyle c_ {1 } c_ {2}}$ ${\ displaystyle c_ {1} c_ {2}}$ и $c 3 {\ displaystyle c_ {3}}$ $c_{3}$ . В общем, если коллектор имеет размер $2 n {\ displaystyle 2n}$ $2n$ , количество независимых чисел Черна равно количеству разделов из $n {\ displaystyle n}$ $n$ .

Числа Черна касательного расслоения комплексного (или почти комплексного) называются числами Черна многообразия и являются важными инвариантами.

Обобщенные теории когомологий

Существуют общие теории классов Черна, где обычные когомологии заменяются теорией обобщенных когомологий. Теории, для которых возможно такое обобщение, называются комплексно ориентируемыми. Формальные классы являются теми же, одним важным отличием: правило, вычисляет первый класс Черна тензорного произведения линейных расслоений в терминах первых классов Черна факторов, является не (обычным) сложением, а скорее правилом формальный групповой закон.

Алгебраическая геометрия

В алгебраической геометрии существует аналогичная теория классов Черна векторных расслоений. Существует несколько вариантов в зависимости от того, в какие группы входят классы Черна:

Для различных вариантов классов Черна могут принимать значения в обычных когомологиях, как указано выше.
Для разнообразий над общими полями Черна могут принимать значения значения в теориях когомологий, таких как этальные когомологии или l-адические когомологии.
Для разнообразий V над общими полями классы Черна могут также принимать значения в гомоморфизмах групп Чжоу CH (V): например, первый класс Черна линейного расслоения над множеством V является гомоморфизмом из CH (V) в CH (V), уменьшающим степень на 1. Это соответствует тому же а элементы групп когомологов можно рассматривать как гомоморфизмы групп гомологов, используя продукт с ограничением.

Многоия со структурой

Теория классов Черна порождает кобордизм инварианты для почти комплексных многообразий.

Если M - почти комплексное многообразие, то его та Расслоение агентов - комплексное новое расслоение. Таким образом, классы Черна M образом как классы Черна его касательного расслоения. Если M также компактно и имеет размерность 2d, то моном общей степени 2d в классах Черна может быть соединен с фундаментальным классом M, давая целое число, a число Черна для M. Если M ′ - другое почти комплексное множество той же размерности, то оно кобордантно M тогда и только тогда, когда числа Черна для M ′ совпадают с числами Черна для M.

Теория также распространяется на реальные симплектические через расслоения посредничества совместимых почти сложных структур. В частности, симплектические многообразия имеют нормально определенно класс Черна.

Арифметические схемы и диофантовы уравнения

(см. геометрия Аракелова )

См. Также

Примечания

Ссылки

Черн, Шиинг-Шен (1946), «Характеристические классы эрмитовых многообразий ", Annals of Mathematics, Second Series, The Annals of Mathematics, Vol. 47, No. 1, 47 (1): 85–121, doi : 10.2307 / 1969037, ISSN 0003-486X, JSTOR 1969037
Гротендик, Александр ( 1958), «Теория классов Черна», Bulletin de la Société Mathématique de France, 86 : 137–154, ISSN 0037-9484, MR 0116023
Йост, Юрген (2005), Риманова геометрия и геометрический анализ (4-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-25907-7 (Предоставляет очень краткую вводную ew из классов Черна).
Мэй, Дж. Питер (1999), Краткий курс алгебраической топологии, University of Chicago Press
Милнор, Джон Уиллард ; Сташеф, Джеймс Д. (1974), Характерные классы, Анналы математических исследований, 76, Princeton University Press; University of Tokyo Press, ISBN 978-0-691-08122-9
Рубей, Елена (2014), Алгебраическая геометрия, краткий словарь, Берлин / Бостон: Walter De Gruyter, ISBN 978-3-11-031622-3

Внешние ссылки

Векторные связки и K-теория - загружаемая книга в процессе Аллена Хэтчера. Содержит главу о характеристических классах.
Дитер Котчик, Числа Черна алгебраических многообразий