Комплексное проективное пространство

Сфера Римана, одномерное комплексное проективное пространство, то есть комплексная проективная линия.

В математике, комплексное проективное пространство - это проективное пространство по отношению к полю комплексных чисел. По аналогии, в то время как точки реального проективного пространства маркируют прямые, проходящие через начало реального евклидова пространства, точки комплексного проективного пространства маркируют комплекс проходит через начало сложного евклидова пространства (см. ниже для интуитивного объяснения). Формально комплексное проективное пространство - это пространство сложных прямых, проходящих через начало (n + 1) -мерного комплексного векторного пространства. Пробел обозначается по-разному как P(C), Pn(C) или CP . Когда n = 1, комплексное проективное пространство CP является сферой Римана, а когда n = 2, CP представляет собой комплексную проективную плоскость (см. там более элементарное обсуждение).

Комплексное проективное пространство было впервые введено фон Штаудтом (1860) как пример того, что тогда было известно как «геометрия положения», понятие, первоначально появившееся у Лазара Карно, разновидность синтетической геометрии, которая также включала другие проективные геометрии. Впоследствии, на рубеже 20-го века, итальянской школе алгебраической геометрии стало ясно, что комплексные проективные пространства являются наиболее естественными областями, в которых можно рассматривать решения полиномиальных уравнений. - алгебраические многообразия (Grattan-Guinness 2005, стр. 445–446). В наше время и топология , и геометрия сложного проективного пространства хорошо изучены и тесно связаны с топологией сферы. В самом деле, в определенном смысле (2n + 1) -сфера можно рассматривать как семейство окружностей, параметризованных CP : это расслоение Хопфа. Комплексное проективное пространство несет в себе метрику (Кэлера ) , называемую метрикой Фубини – Штуди, в терминах которой оно является эрмитовым симметричным пространством ранга 1.

Комплексное проективное пространство имеет множество приложений как в математике, так и в квантовой физике. В алгебраической геометрии комплексное проективное пространство является домом для проективных многообразий, класса алгебраических многообразий с хорошим поведением. В топологии комплексное проективное пространство играет важную роль как классифицирующее пространство для сложных линейных пучков : семейств сложных линий, параметризованных другим пространством. В этом контексте бесконечное объединение проективных пространств (прямой предел ), обозначенное CP, является классифицирующим пространством K (Z, 2). В квантовой физике волновая функция, связанная с чистым состоянием квантово-механической системы, представляет собой амплитуду вероятности, что означает, что она имеет единичную норму и имеет несущественная общая фаза: то есть волновая функция чистого состояния, естественно, является точкой в ​​проективном гильбертовом пространстве пространства состояний.

Содержание

• 1 Введение
• 2 Конструкция
• 3 Топология
  • 3.1 Точечная топология
  • 3.2 Гомотопические группы
  • 3.3 Гомология
  • 3.4 K-теория
  • 3.5 Классификация пространство
• 4 Дифференциальная геометрия
  • 4.1 Геодезические
  • 4.2 Сжимание секционной кривизны
  • 4.3 Спиновая структура
• 5 Алгебраическая геометрия
  • 5.1 Топология Зарисского
  • 5.2 Структура как схема
  • 5.3 Линия пучки
• 6 См. также
• 7 Ссылки

Введение

Параллельные прямые на плоскости пересекаются в точке схода на бесконечной прямой.

Понятие проективной плоскости возникает из идеи перспективы в геометрии и искусстве: иногда полезно включить в евклидову плоскость дополнительную «воображаемую» линию, которая представляет горизонт, который художник, рисующий плоскость, мог бы увидеть. Следуя каждому направлению от начала координат, на горизонте есть разные точки, поэтому горизонт можно рассматривать как набор всех направлений от начала координат. Евклидова плоскость вместе с ее горизонтом называется реальной проективной плоскостью, а горизонт иногда называют линией на бесконечности. По той же конструкции проективные пространства можно рассматривать в более высоких измерениях. Например, реальное проективное 3-пространство - это евклидово пространство вместе с плоскостью на бесконечности, которая представляет горизонт, который увидит художник (который обязательно должен жить в четырех измерениях).

Эти вещественные проективные пространства могут быть построены несколько более строго следующим образом. Здесь пусть R обозначает реальное координатное пространство из n + 1 измерений и рассматривает пейзаж, который нужно нарисовать, как гиперплоскость в этом пространстве. Предположим, что глаз художника находится в R . Затем вдоль каждой линии, проходящей через его глаз, есть точка пейзажа или точка на его горизонте. Таким образом, реальное проективное пространство - это пространство прямых, проходящих через начало координат в R . Без ссылки на координаты это пространство линий, проходящих через начало координат в (n + 1) -мерном вещественном векторном пространстве.

. Для описания сложного проективного пространства аналогичным образом требуется обобщение идеи вектора, линия и направление. Представьте себе, что вместо того, чтобы стоять в реальном евклидовом пространстве, художник стоит в сложном евклидовом пространстве C (которое имеет реальное измерение 2n + 2), а пейзаж представляет собой сложную гиперплоскость (реальной размерности 2n). В отличие от реального евклидова пространства, в сложном случае есть направления, в которые может смотреть художник, которые не видят пейзаж (потому что он не имеет достаточно высокого измерения). Однако в сложном пространстве есть дополнительная «фаза», связанная с направлениями через точку, и, регулируя эту фазу, художник может гарантировать, что он обычно видит пейзаж. Тогда «горизонт» - это пространство направлений, но такое, что два направления считаются «одинаковыми», если они отличаются только фазой. Таким образом, сложное проективное пространство - это пейзаж (C ) с горизонтом, прикрепленным «в бесконечности». Как и в реальном случае, комплексное проективное пространство - это пространство направлений через начало координат C, где два направления считаются одинаковыми, если они различаются фазой.

Конструкция

Комплексное проективное пространство - это комплексное многообразие, которое может быть описано n + 1 комплексными координатами как

$Z\; =\; (Z\; 1,\; Z\; 2,\dots ,\; Z\; N\; +\; 1)\; \in \; С\; N\; +\; 1,\; (Z\; 1,\; Z\; 2,\dots ,\; Z\; N\; +\; 1)\; \ne \; (0,\; 0,\dots ,\; 0)\; \{\backslash \; Displaystyle\; Z\; =\; (Z\_\; \{1\},\; Z\_\; \{2\; \},\; \backslash \; ldots,\; Z\_\; \{n\; +\; 1\})\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; ^\; \{n\; +\; 1\},\; \backslash \; qquad\; (Z\_\; \{1\},\; Z\_\; \{2\},\; \backslash \; ldots,\; Z\_\; \{n\; +\; 1\})\; \backslash \; neq\; (0,0,\; \backslash \; ldots,\; 0)\}$

, где идентифицируются кортежи, различающиеся общим масштабированием:

$(Z\; 1,\; Z\; 2,\dots ,\; Z\; n\; +\; 1)\; \equiv \; (\lambda \; Z\; 1,\; \lambda \; Z\; 2,\dots ,\; \lambda \; Z\; n\; +\; 1);\; \lambda \; \in \; С,\; \lambda \; \ne \; 0.\; \{\backslash \; Displaystyle\; (Z\_\; \{1\},\; Z\_\; \{2\},\; \backslash \; ldots,\; Z\_\; \{n\; +\; 1\})\; \backslash \; Equiv\; (\backslash \; lambda\; Z\_\; \{1\},\; \backslash \; lambda\; Z\_\; \{2\},\; \backslash \; ldots,\; \backslash \; lambda\; Z\_\; \{n\; +\; 1\});\; \backslash \; quad\; \backslash \; lambda\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{C\},\; \backslash \; qquad\; \backslash \; lambda\; \backslash \; neq\; 0.\}$

То есть это однородные координаты в традиционный смысл проективной геометрии. Набор точек CP покрыт заплатами $U\; i\; =\; \{Z\; \mid \; Z\; i\; \ne \; 0\}\; \{\backslash \; displaystyle\; U\_\; \{i\}\; =\; \backslash \; \{Z\; \backslash \; mid\; Z\_\; \{i\}\; \backslash \; neq\; 0\; \backslash \; \}\}$. В U i можно определить систему координат как

$z\; 1\; =\; Z\; 1\; /\; Z\; i,\; z\; 2\; =\; Z\; 2\; /\; Z\; i,\dots ,\; zi\; -\; 1\; =\; Z\; i\; -\; 1\; /\; Z\; i,\; zi\; =\; Z\; i\; +\; 1\; /\; Z\; i,\dots ,\; zn\; =\; Z\; n\; +\; 1\; /\; Z\; i.\; \{\backslash \; Displaystyle\; Z\_\; \{1\}\; =\; Z\_\; \{1\}\; /\; Z\_\; \{i\},\; \backslash \; quad\; z\_\; \{2\}\; =\; Z\_\; \{2\}\; /\; Z\_\; \{i\},\; \backslash \; quad\; \backslash \; dots,\; \backslash \; quad\; z\_\; \{i-1\}\; =\; Z\_\; \{i-1\}\; /\; Z\_\; \{i\},\; \backslash \; quad\; z\_\; \{i\}\; =\; Z\_\; \{i\; +\; 1\}\; /\; Z\_\; \{i\},\; \backslash \; quad\; \backslash \; dots,\; \backslash \; quad\; z\_\; \{n\}\; =\; Z\_\; \{n\; +\; 1\}\; /\; Z\_\; \{i\}.\}$

Координатные переходы между двумя разными такими картами U i и U j являются голоморфными функциями (на самом деле это дробно-линейные преобразования ). Таким образом, CP несет структуру комплексного многообразия комплексной размерности n, а и тем более структуру реального дифференцируемого многообразия вещественного размер 2н.

Можно также рассматривать CP как частное единицы 2n + 1 сферы в C под действием of U (1) :

CP= S / U (1).

Это потому, что каждая линия в C пересекает единичную сферу в окружности. Сначала проецируясь на единичную сферу, а затем отождествляя себя под естественным действием U (1), получаем CP . Для n = 1 эта конструкция дает классическое расслоение Хопфа $S\; 3\; \to \; S\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; ^\; \{3\}\; \backslash \; to\; S\; ^\; \{2\}\}$. С этой точки зрения дифференцируемая структура на CP индуцируется из структуры S, являясь фактором последнего по компактной группе, которая действует должным образом.

Топология

Топология CP определяется индуктивно посредством следующего разложения ячеек. Пусть H - фиксированная гиперплоскость, проходящая через начало координат в C . При отображении проекции C \ {0} → CP H переходит в подпространство, гомеоморфное CP . Дополнение изображения H в CP гомеоморфно C . Таким образом, CP возникает путем присоединения 2n-ячейки к CP:

$C\; P\; n\; =\; C\; P\; n\; -\; 1\; \cup \; C\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{CP\}\; ^\; \{n\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{CP\}\; ^\; \{n-1\}\; \backslash \; cup\; \backslash \; mathbf\; \{C\}\; ^\; \{n\}.\}$

В качестве альтернативы, если вместо этого рассматривается 2n-ячейка как открытый единичный шар в C, то присоединяющее отображение является расслоением Хопфа границы. Аналогичное индуктивное клеточное разложение верно для всех проективных пространств; см. (Besse 1978).

Точечная топология

Комплексное проективное пространство - это компактное и связное, являющееся частным компактного связного пространства.

Гомотопические группы

Из пучка волокон

$S\; 1\; \hookrightarrow \; S\; 2\; n\; +\; 1\; \twoheadrightarrow \; CP\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; ^\; \{1\}\; \backslash \; hookrightarrow\; S\; ^\; \{2n\; +\; 1\}\; \backslash \; twoheadrightarrow\; \backslash \; mathbf\; \{CP\}\; ^\; \{n\}\}$

или более подозрительно

$U\; (1)\; \hookrightarrow \; S\; 2\; n\; +\; 1\; \twoheadrightarrow \; CP\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; (1)\; \backslash \; hookrightarrow\; S\; ^\; \{2n\; +\; 1\}\; \backslash \; twoheadrightarrow\; \backslash \; mathbf\; \{CP\}\; ^\; \{n\}\}$

CP- это односвязный. Более того, по длинной точной гомотопической последовательности вторая гомотопическая группа равна π 2(CP) ≅ Z, и все высшие гомотопические группы согласуются с группами S: π k(CP) ≅ π k (S) для всех k>2.

Гомология

В общем, алгебраическая топология для CP основана на нулевом ранге групп гомологии в нечетных размерах; также H 2i(CP, Z) является бесконечным циклическим для i = от 0 до n. Следовательно, числа Бетти запускают

1, 0, 1, 0,..., 0, 1, 0, 0, 0,...

То есть 0 в нечетных размерах, 1 в четных размерах до 2n. эйлерова характеристика для CP, следовательно, n + 1. Согласно двойственности Пуанкаре то же самое верно и для рангов групп когомологий. В случае когомологии можно пойти дальше и идентифицировать структуру с градуированным кольцом для чашечного продукта ; генератор H (CP, Z) - это класс, связанный с гиперплоскостью, и это кольцевой генератор, так что кольцо изоморфно

Z[T] / (T),

с T генератор степени два. Это также означает, что число Ходжа h = 1, а все остальные равны нулю. См. (Besse 1978).

K-теория

Из индукции и периодичности Ботта следует, что

$KC\; \ast \; (CP\; n)\; =\; KC\; 0\; (CP\; n)\; =\; Z\; [H]\; /\; (H\; -\; 1)\; п\; +\; 1.\; \{\backslash \; Displaystyle\; К\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{C\}\}\; ^\; \{*\}\; (\backslash \; mathbf\; \{CP\}\; ^\; \{n\})\; =\; K\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{C\}\}\; ^\; \{0\}\; (\backslash \; mathbf\; \{CP\}\; ^\; \{n\})\; =\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}\; [H]\; /\; (H-1)\; ^\; \{n\; +\; 1\}.\}$

Касательный пучок удовлетворяет

$TCP\; n\; \oplus \; \vartheta \; 1\; =\; H\; \oplus \; n\; +\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; \backslash \; mathbf\; \{CP\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; oplus\; \backslash \; vartheta\; ^\; \{1\}\; =\; H\; ^\; \{\backslash \; oplus\; n\; +\; 1\},\}$

где $\vartheta \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; vartheta\; ^\; \{\; 1\}\}$обозначает тривиальный линейный пучок. Исходя из этого, классы Черна и характеристические числа могут быть вычислены.

Классифицирующее пространство

Существует пространство CP, которое, в некотором смысле, является индуктивным пределом для CP как п → ∞. Это BU (1), классифицирующее пространство для U (1), в смысле теории гомотопии, и таким образом классифицирует сложные линейные пакеты ; эквивалентно он составляет первый класс Черна. См., Например, (Bott Tu 1982) и (Milnor Stasheff 1974). Пространство CP также совпадает с бесконечномерной проективной унитарной группой ; см. эту статью для дополнительных свойств и обсуждения.

Дифференциальная геометрия

Естественная метрика на CP - это метрика Фубини – Штуди, а ее группа голоморфных изометрий - это проективный унитарный группа PU (n + 1), где стабилизатор точки -

$P\; (1\; \times \; U\; (n))\; \cong \; PU\; (n).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{P\}\; (1\; \backslash \; times\; \backslash \; mathrm\; \{U\}\; (n))\; \backslash \; cong\; \backslash \; mathrm\; \{PU\}\; (n).\}$

Это эрмитово симметричное пространство (Kobayashi Nomizu 1996), представленное как пространство смежных классов

$U\; (n\; +\; 1)\; /\; (U\; (1)\; \times \; U\; (n))\; \cong \; SU\; (n\; +\; 1)\; /\; S\; (U\; (1)\; \times \; U\; (n)).\; \{\backslash \; Displaystyle\; U\; (n\; +\; 1)\; /\; (U\; (1)\; \backslash \; times\; U\; (n))\; \backslash \; cong\; SU\; (n\; +\; 1)\; /\; S\; (U\; (1)\; \backslash \; times\; U\; (n)).\}$

геодезическая симметрия в точке p - это унитарное преобразование, которое фиксирует p, и является отрицательной единицей на ортогональном дополнении прямой, представленной p.

Геодезические

Через любые две точки p, q в комплексном проективном пространстве проходит уникальная комплексная линия (a CP ). большая окружность этой комплексной прямой, содержащая p и q, является геодезической для метрики Фубини – Штуди. В частности, все геодезические замкнуты (они круги) и все имеют одинаковую длину. (Это всегда верно для римановых глобально симметричных пространств ранга 1.)

разрез любой точки p равен гиперплоскости CP . Это также множество неподвижных точек геодезической симметрии в точке p (за исключением самой точки p). См. (Besse 1978).

Сжатие секционной кривизны

Имеет секционную кривизну в диапазоне от 1/4 до 1 и является самым круглым коллектором, который не является сферой (или покрыт сферой) : по теореме о 1/4-сжатой сфере любое полное односвязное риманово многообразие с кривизной строго между 1/4 и 1 диффеоморфно сфере. Комплексное проективное пространство показывает, что 1/4 точна. И наоборот, если полное односвязное риманово многообразие имеет секционную кривизну на отрезке [1 / 4,1], то оно либо диффеоморфно сфере, либо изометрично комплексному проективному пространству, кватернионному проективному пространству , либо самолет Кэли F4/ ​​Spin (9); см. (Brendle-Schoen 2008) ошибка harv: нет цели: CITEREFBrendle-Schoen2008 (help ).

Спиновая структура

Нечетномерным проективным пространствам может быть дана спиновая структура, а четномерным - нет.

Алгебраическая геометрия

Комплексное проективное пространство является частным случаем грассманиана и является однородным пространством для различных групп Ли. Это кэлерово многообразие, несущее метрику Фубини – Штуди, которая по существу определяется свойствами симметрии. Он также играет центральную роль в алгебраической геометрии ; по теореме Чоу любое компактное комплексное подмногообразие в CP является множеством нулей конечного числа многочленов и, таким образом, является проективным алгебраическим многообразием. См. (Гриффитс и Харрис 1994)

Топология Зарисского

В алгебраической геометрии комплексное проективное пространство может быть оснащено другой топологией, известной как топология Зарисского (Hartshorne 1971, §II.2) harv error: нет цели: CITEREFHartshorne1971 (help ). Пусть S = C[Z0,..., Z n ] обозначают коммутативное кольцо многочленов от (n + 1) переменных Z 0,..., Z n. Это кольцо оценивается по общей степени каждого многочлена:

$S\; =\; ⨁\; n\; =\; 0\; \infty \; S\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; =\; \backslash \; bigoplus\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; S\_\; \{n\}.\}$

Определите подмножество CP как замкнутое, если оно является множеством одновременных решений набора однородных многочленов. Объявление дополнений замкнутых множеств открытыми, это определяет топологию (топология Зарисского) на CP.

Структура как схема

Возможна другая конструкция CP (и ее топологии Зарисского). Пусть S + ⊂ S - идеал натянутый на однородный поли номиналы положительной степени:

$⨁\; n>0\; S\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; bigoplus\; \_\; \{n>0\}\; S\_\; \{n\}.\}$

Определите Proj S как набор всех однородных5 <16 простые идеалы в S, не содержащие S +. Назовем подмножество Proj S замкнутым, если оно имеет вид

$V\; (I)\; =\; \{p\; \in \; Proj\; \; S\; \mid \; p\; \supseteq \; I\; \}\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; (I)\; =\; \backslash \; \{p\; \backslash \; in\; \backslash \; operatorname\; \{Proj\}\; S\; \backslash \; mid\; p\; \backslash \; supseteq\; I\; \backslash \}\}$

для некоторого идеала I в S. Дополнения этих замкнутых множеств определяют топологию на Proj S. Кольцо S за счет локализации на первичном идеале определяет пучок локальных колец на Proj S. Пространство Proj S вместе с его топологией а пучок локальных колец является схемой. Подмножество замкнутых точек Proj S гомеоморфно CP с его топологией Зарисского. Локальные участки пучка отождествляются с рациональные функции полной нулевой степени на CP.

Линейные расслоения

Все линейные расслоения на комплексном проективном пространстве могут быть получены с помощью следующей конструкции. Функция f: C \ {0} → C называется однородной степени k, если

$f\; (\lambda \; z)\; =\; \lambda \; kf\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (\backslash \; lambda\; z)\; =\; \backslash \; lambda\; ^\; \{k\}\; f\; (z)\}$

для всех λ ∈ C \ {0} и z ∈ C \ {0}. В более общем плане это определение имеет смысл в конусах в C \ {0}. Множество V ⊂ C \ {0} называется конусом, если всякий раз, когда v ∈ V, то λv ∈ V для всех λ ∈ C \ {0}; то есть подмножество является конусом, если оно содержит комплексную прямую, проходящую через каждую из своих точек. Если U ⊂ CP - открытое множество (либо в аналитической топологии, либо в топологии Зарисского ), пусть V ⊂ C \ {0} - конус над U: прообраз U под проекцией C \ {0} → CP . Наконец, для каждого целого k пусть O (k) (U) будет набором функций, однородных степени k в V. Это определяет пучок сечений некоторого линейного расслоения, обозначенного O (k).

В частном случае k = −1 расслоение O (−1) называется тавтологическим линейным расслоением. Это эквивалентно определяется как подгруппа продукта

$C\; n\; +\; 1\; \times \; CP\; n\; \to \; CP\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{C\}\; ^\; \{n\; +\; 1\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{CP\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbf\; \{CP\}\; ^\; \{n\}\}$

, слой которого над L ∈ CP - это множество

$\{(x,\; L)\; \mid \; x\; \in \; L\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{(x,\; L)\; \backslash \; mid\; x\; \backslash \; in\; L\; \backslash \}.\}$

Эти линейные пакеты также могут быть описаны на языке делителей. Пусть H = CP - заданная комплексная гиперплоскость в CP . Пространство мероморфных функций на CP с не более чем одним простым полюсом вдоль H (и нигде больше) является одномерным пространством, обозначаемым O (H) и называемым пучок гиперплоскостей. Двойственное расслоение обозначается O (−H), а k тензорная степень O (H) обозначается O (kH). Это пучок, порожденный голоморфными кратными мероморфной функции с полюсом порядка k вдоль H. Оказывается,

$O\; (k\; H)\; \cong \; O\; (k).\; \{\backslash \; displaystyle\; O\; (kH)\; \backslash \; cong\; O\; (k).\}$

Действительно, если L (z) = 0 является линейной определяющей функцией для H, то L является мероморфным участком O (k), а локально другие части O (k) кратны этому разделу.

Поскольку H (CP,Z) = 0, линейные пучки на CP классифицируются с точностью до изоморфизма по их классам Черна, которые являются целыми числами: они лежат в H (CP,Z) = Z . Фактически, первые классы Черна комплексного проективного пространства порождаются при двойственности Пуанкаре классом гомологий, ассоциированным с гиперплоскостью H. Линейное расслоение O (kH) имеет класс Черна k. Следовательно, каждое голоморфное линейное расслоение на CP является тензорной степенью O (H) или O (−H). Другими словами, группа Пикара из CP генерируется как абелева группа гиперплоскостным классом [H] (Hartshorne 1977).

См. Также

• Неравенство Громова для комплексного проективного пространства
• Проективное гильбертово пространство
• Кватернионное проективное пространство
• Реальное проективное пространство
• Комплексное аффинное пространство
• Поверхность K3

Ссылки

• Бессе, Артур Л. (1978), Многообразия, все геодезические которых замкнуты, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete [Результаты в математике и смежных областях], 93, Берлин, Нью-Йорк : Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-08158-6.
• Ботт, Рауль ; Ту, Лоринг В. (1982), Дифференциальные формы в алгебраической топологии, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90613-3.
• Брендл, Саймон; Ричард Шон (2008), «Классификация многообразий со слабо защемленной на 1/4 кривизны», Acta Mathematica, 200 : 1–13, arXiv : 0705.3963, doi : 10.1007 / s11511-008-0022-7.
• Граттан-Гиннесс, Айвор (2005), выдающиеся труды по западной математике 1640–1940, Эльзевьер, ISBN 978-0-444-50871-3.
• Гриффитс, Филип ; Харрис, Джозеф (1994), Принципы алгебраической геометрии, библиотека Wiley Classics, Нью-Йорк: John Wiley Sons, ISBN 978-0- 471-05059-9, MR 1288523.
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия, Тексты для выпускников по математике, 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157
• Клингенберг, Вильгельм (1982), риманова геометрия, Вальтер де Гройтер, ISBN 978-3-11-008673-7.
• Кобаяси, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1996), Основы дифференциальной геометрии, том II, издание библиотеки Wiley Classics, ISBN 978-0-471-15732-8.
• Милнор, Джон Уиллард ; Сташев, Джеймс Д. (1974), Характерные классы, Princeton University Press, MR 0440554.
• von Staudt, Karl Georg Christian (1860), Beiträge zur Geometrie der Lage, Нюрнберг.