Касательное расслоение

редактировать

Касательные пространства многообразия, рассматриваемого вместе Неформально получается касательное расслоение многообразия (в данном случае окружности) путем рассмотрения всех касательных пространств (вверху) и соединения их вместе плавным и неперекрывающимся образом (внизу).

В дифференциальной геометрии, касательный пучок дифференцируемое многообразие M {\ displaystyle M}M - это многообразие TM {\ displaystyle TM}TM , которое собирает все касательные векторы в М {\ Displaystyle M}M . Как набор, он задается непересекающимся объединением касательных пространств для M {\ displaystyle M}M . То есть

TM = ⨆ x ∈ MT x M = ⋃ x ∈ M {x} × T x M = ⋃ x ∈ M {(x, y) ∣ y ∈ T x M} = {(x, y) ∣ x ∈ M, y ∈ T x M} {\ displaystyle {\ begin {align} TM = \ bigsqcup _ {x \ in M} T_ {x} M \\ = \ bigcup _ {x \ in M} \ left \ {x \ right \} \ times T_ {x} M \\ = \ bigcup _ {x \ in M} \ left \ {(x, y) \ mid y \ in T_ {x} M \ right \} \\ = \ left \ {(x, y) \ mid x \ in M, \, y \ in T_ {x} M \ right \} \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} TM = \ bigsqcup _ { x \ in M} T_ {x} M \\ = \ bigcup _ {x \ in M} \ left \ {x \ right \} \ times T_ {x} M \\ = \ bigcup _ {x \ in M} \ left \ {(x, y) \ mid y \ in T_ {x} M \ right \} \\ = \ left \ {(x, y) \ mid x \ in M, \, y \ in T_ {x} M \ right \} \ end {align}}}

где T x M {\ displaystyle T_ {x} M}T_ {x} M обозначает касательное пространство к M {\ displaystyle M}M в точке х {\ displaystyle x}x. Итак, элемент TM {\ displaystyle TM}TM можно рассматривать как пару (x, v) {\ displaystyle (x, v)}(x, v) , где x {\ displaystyle x}x- точка в M {\ displaystyle M}M и v {\ displaystyle v}v - касательный вектор к M {\ displaystyle M}M в x {\ displaystyle x}x. Существует естественная проекция

π: TM ↠ M {\ displaystyle \ pi: TM \ twoheadrightarrow M}\ pi: TM \ twoheadrightarrow M

, определяемая как π (x, v) = x {\ displaystyle \ pi (x, v) = x}\ pi (x, v) = x . Эта проекция отображает каждое касательное пространство T x M {\ displaystyle T_ {x} M}T_ {x} M в единственную точку x {\ displaystyle x}x.

Касательный пучок снабжен естественная топология (описана в разделе ниже). С этой топологией касательное расслоение к многообразию является прототипным примером векторного расслоения (расслоения, слои которого являются векторными пространствами ). A раздел из TM {\ displaystyle TM}TM - это векторное поле на M {\ displaystyle M}M , а двойное расслоение от до TM {\ displaystyle TM}TM - это котангенсное расслоение, которое является несвязным объединением котангенсных пространств из M {\ displaystyle M}M . По определению многообразие M {\ displaystyle M}M является распараллеливаемым тогда и только тогда, когда касательное расслоение тривиально. По определению многообразие M является тогда и только тогда, когда касательное расслоение TM стабильно тривиально, а это означает, что для некоторого тривиального расслоения E сумма Уитни TM ⊕ E {\ displaystyle TM \ oplus E}{\ displaystyle TM \ oplus E} тривиально. Например, n-мерная сфера S оснащена для всех n, но распараллеливается только для n = 1, 3, 7 (по результатам Ботта-Милнора и Кервера).

Содержание

  • 1 Роль
  • 2 Топология и гладкая структура
  • 3 Примеры
  • 4 Векторные поля
  • 5 Касательные пучки более высокого порядка
  • 6 Каноническое векторное поле на касательном расслоении
  • 7 Лифты
  • 8 См. Также
  • 9 Примечания
  • 10 Ссылки
  • 11 Внешние ссылки

Роль

Одна из основных ролей связки касательной - предоставить домен и диапазон для производной гладкой функции. А именно, если f: M → N {\ displaystyle f: M \ rightarrow N}{\ displaystyle f: M \ rightarrow N} является гладкой функцией, с M {\ displaystyle M}M и N {\ displaystyle N}N гладких многообразий, его производная является гладкой функцией D f: TM → TN {\ displaystyle Df: TM \ rightarrow TN}{\ displaystyle Df: TM \ rightarrow TN} .

Топология и гладкая структура

Касательное расслоение имеет естественную топологию (не дизъюнктную топологию объединения ) и гладкую структуру, чтобы превратить его в многообразие согласно своему праву. Размерность TM {\ displaystyle TM}TM в два раза больше размерности M {\ displaystyle M}M .

Каждое касательное пространство n-мерного многообразия является n-мерным вектором. Космос. Если U {\ displaystyle U}U является открытым сокращаемым подмножеством M {\ displaystyle M}M , то существует диффеоморфизм TU → U × R n {\ displaystyle TU \ rightarrow U \ times \ mathbb {R} ^ {n}}{\ displaystyle TU \ rightarrow U \ times \ mathbb {R} ^ {n }} , который ограничивается линейным изоморфизмом из каждого касательного пространства T x U {\ displaystyle T_ {x} U}{\ displaystyle T_ {x} U} to {x} × R n {\ displaystyle \ {x \} \ times \ mathbb {R} ^ {n}}{\ displaystyle \ {x \} \ times \ mathbb {R} ^ {n}} . Однако как многообразие TM {\ displaystyle TM}TM не всегда диффеоморфно производному многообразию M × R n {\ displaystyle M \ times \ mathbb {R} ^ {n }}{\ displaystyle M \ times \ mathbb {R} ^ {n}} . Когда он имеет вид M × R n {\ displaystyle M \ times \ mathbb {R} ^ {n}}{\ displaystyle M \ times \ mathbb {R} ^ {n}} , то касательное расслоение называется тривиальным. Тривиальные касательные расслоения обычно возникают для многообразий, снабженных «согласованной групповой структурой»; например, в случае, когда многообразие является группой Ли. Касательное расслоение к единичной окружности тривиально, потому что это группа Ли (относительно умножения и его естественной дифференциальной структуры). Однако неверно, что все пространства с тривиальными касательными расслоениями являются группами Ли; многообразия, имеющие тривиальное касательное расслоение, называются распараллеливаемыми. Подобно тому, как многообразия локально моделируются на евклидовом пространстве, касательные пучки локально моделируются на U × R n {\ displaystyle U \ times \ mathbb {R} ^ {n}}{\ displaystyle U \ times \ mathbb {R} ^ {n }} , где U {\ displaystyle U}U - открытое подмножество евклидова пространства.

Если M - гладкое n-мерное многообразие, то оно снабжено атласом диаграмм (U α, ϕ α) {\ displaystyle (U _ {\ alpha}, \ phi _ {\ alpha})}{\ displaystyle (U _ {\ alpha}, \ phi _ {\ alpha})} , где U α {\ displaystyle U _ {\ alpha}}{\ displaystyle U _ {\ alpha}} - открытый набор в M {\ displaystyle M}M и

ϕ α: U α → R n {\ displaystyle \ phi _ {\ alpha} \ двоеточие U _ {\ alpha} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}{\ displaystyle \ phi _ {\ alpha} \ двоеточие U _ {\ alpha} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}

- это диффеоморфизм. Эти локальные координаты на U приводят к изоморфизму T x M → R n {\ displaystyle T_ {x} M \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {n}}{\ displaystyle T_ {x} M \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {n}} для всех Икс ∈ U {\ Displaystyle х \ в U}{\ displaystyle x \ in U} . Затем мы можем определить карту

ϕ ~ α: π - 1 (U α) → R 2 n {\ displaystyle {\ widetilde {\ phi}} _ {\ alpha} \ двоеточие \ pi ^ {- 1} \ left (U _ {\ alpha} \ right) \ to \ mathbb {R} ^ {2n}}{\ displaystyle {\ widetilde {\ phi}} _ {\ alpha} \ двоеточие \ pi ^ {- 1} \ left ( U _ {\ alpha} \ right) \ to \ mathbb {R} ^ {2n}}

на

ϕ ~ α (x, vi ∂ i) = (ϕ α (x), v 1, ⋯, vn) {\ displaystyle {\ widetilde {\ phi}} _ {\ alpha} \ left (x, v ^ {i} \ partial _ {i} \ right) = \ left (\ phi _ {\ alpha} (x), v ^ {1}, \ cdots, v ^ {n} \ right)}{\ displaystyle {\ widetilde {\ phi}} _ {\ alpha} \ left ( x, v ^ {i} \ partial _ {i} \ right) = \ left (\ phi _ {\ alpha} (x), v ^ {1}, \ cdots, v ^ {n} \ справа)}

Мы используем эти карты для определения топологии и гладкой структуры на TM {\ displaystyle TM}TM . Подмножество A {\ displaystyle A}A из TM {\ displaystyle TM}TM открыто тогда и только тогда, когда

ϕ ~ α (A ∩ π - 1 (U α)) {\ Displaystyle {\ widetilde {\ phi}} _ {\ alpha} \ left (A \ cap \ pi ^ {- 1} \ left (U _ {\ alpha} \ right) \ right)}{\ displaystyle {\ widetilde {\ phi}} _ {\ alpha} \ left (A \ cap \ pi ^ {- 1} \ left (U _ {\ alpha} \ right) \ right)}

открыт в R 2 n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2n}}\ mathbb R ^ {2n} для каждого α. {\ displaystyle \ alpha.}{\ displaystyle \ alpha.} Эти карты - гомеоморфизмы между открытыми подмножествами TM {\ displaystyle TM}TM и R 2 n {\ displaystyle \ mathbb {R } ^ {2n}}\ mathbb R ^ {2n} и, следовательно, служат в качестве диаграмм для гладкой структуры на TM {\ displaystyle TM}TM . Функции перехода на диаграмме перекрываются π - 1 (U α ∩ U β) {\ displaystyle \ pi ^ {- 1} \ left (U _ {\ alpha} \ cap U _ {\ beta} \ right)}{\ displaystyle \ pi ^ {- 1} \ left (U _ {\ alpha} \ cap U _ {\ beta} \ right)} индуцируются матрицей Якоби связанного преобразования координат и, следовательно, являются гладкими отображениями между открытыми подмножествами R 2 n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2n}}\ mathbb R ^ {2n} .

Касательное расслоение является примером более общей конструкции, называемой векторным расслоением (которое само по себе является специфическим типом расслоения волокон ). Явно касательный пучок к n {\ displaystyle n}n -мерному многообразию M {\ displaystyle M}M может быть определен как ранг n {\ displaystyle n}n векторный набор над M {\ displaystyle M}M , функции перехода которого задаются якобианом связанных преобразований координат.

Примеры

Самый простой пример - это R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}{\ displaystyle \ mathbb { R} ^ {n}} . В этом случае касательное расслоение тривиально: каждый T x R n {\ displaystyle T_ {x} \ mathbf {\ mathbb {R}} ^ {n}}{\ displaystyle T_ {x} \ mathbf {\ mathbb {R}} ^ {n}} канонически изоморфен T 0 R n {\ displaystyle T_ {0} \ mathbb {R} ^ {n}}{\ displaystyle T_ {0} \ mathbb {R} ^ {n}} через карту R n → R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n } \ to \ mathbb {R} ^ {n}}{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {п} \ к \ mathbb {R} ^ {n}} , который вычитает x {\ displaystyle x}x, давая диффеоморфизм TR n → R n × R n {\ displaystyle T \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {n} \ times \ mathbb {R} ^ {n}}{\ displaystyle T \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {n} \ times \ mathbb {R} ^ {n}} .

Другой простой пример - единичный круг, S 1 {\ displaystyle S ^ {1}}{\ displaystyle S ^ {1}} (см. Рисунок выше). Касательное расслоение окружности также тривиально и изоморфно S 1 × R {\ displaystyle S ^ {1} \ times \ mathbb {R}}{\ displaystyle S ^ {1} \ times \ mathbb {R}} . Геометрически это цилиндр бесконечной высоты.

Единственные касательные пучки, которые можно легко визуализировать, - это связки реальной линии R {\ displaystyle \ mathbb {R}}{\ mathbb R} и единичной окружности S 1 { \ displaystyle S ^ {1}}{\ displaystyle S ^ {1}} , оба из которых тривиальны. Для двумерных многообразий касательное расслоение является четырехмерным и поэтому трудно визуализировать.

Простым примером нетривиального касательного расслоения является единичная сфера S 2 {\ displaystyle S ^ {2}}S ^ {2} : это касательное расслоение нетривиально вследствие теорема о волосатом шарике. Следовательно, сфера не может быть распараллелена.

Векторные поля

Плавное присвоение касательного вектора каждой точке многообразия называется векторным полем. В частности, векторное поле на многообразии M {\ displaystyle M}M представляет собой гладкое отображение

V: M → TM {\ displaystyle V \ двоеточие M \ to TM}V \ двоеточие M \ to TM

таким образом, что изображение x {\ displaystyle x}x, обозначенное V x {\ displaystyle V_ {x}}{\ displaystyle V_ {x}} , лежит в T x M {\ displaystyle T_ {x} M}{\ displaystyle T_ {x} M} , касательное пространство в точке x {\ displaystyle x}x. На языке пучков волокон такая карта называется секцией. Векторное поле на M {\ displaystyle M}M , следовательно, является частью касательного пучка M {\ displaystyle M}M .

Набор всех векторных полей на M {\ displaystyle M}M обозначается Γ (TM) {\ displaystyle \ Gamma (TM)}{\ displaystyle \ Gamma (TM)} . Векторные поля можно складывать вместе точечно

(V + W) x = V x + W x {\ displaystyle (V + W) _ {x} = V_ {x} + W_ {x} \,}(V + W) _x = V_x + W_x \, ​​

и умножается на гладкие функции на M

(f V) x = f (x) V x {\ displaystyle (fV) _ {x} = f (x) V_ {x} \,}(fV) _x = f (x) V_x \, ​​

, чтобы получить другие векторные поля. Затем набор всех векторных полей Γ (TM) {\ displaystyle \ Gamma (TM)}{\ displaystyle \ Gamma (TM)} принимает структуру модуля над коммутативной алгеброй гладких функций на M, обозначаемых C ∞ (M) {\ displaystyle C ^ {\ infty} (M)}C ^ {\ infty} (M) .

Локальное векторное поле на M {\ displaystyle M}M - это локальный участок касательного пучка. То есть локальное векторное поле определяется только на некотором открытом множестве U ⊂ M {\ displaystyle U \ subset M}{\ displaystyle U \ subset M} и назначается каждой точке U {\ displaystyle U}U вектор в соответствующем касательном пространстве. Набор локальных векторных полей на M {\ displaystyle M}M формирует структуру, известную как пучок реальных векторных пространств на M {\ displaystyle M}M .

Приведенная выше конструкция одинаково хорошо применима к кокасательному расслоению - дифференциальные 1-формы на M {\ displaystyle M}M являются в точности сечениями котангенсного расслоения ω ∈ Γ (T ∗ M) {\ Displaystyle \ omega \ in \ Gamma (T ^ {*} M)}{\ displaystyle \ omega \ in \ Gamma (T ^ {*} M)} , ω: M → T ∗ M {\ displaystyle \ omega: M \ to T ^ {*} M}{\ displaystyle \ omega: M \ to T ^ {*} M} , которые связаны с каждой точкой x ∈ M {\ displaystyle x \ in M}х \ ин М 1-ковектор ω x ∈ T x ∗ M {\ displaystyle \ omega _ {x } \ in T_ {x} ^ {*} M}{\ displaystyle \ omega _ {x} \ in T_ {x} ^ {*} M} , которые сопоставляют касательные векторы с действительными числами: ω x: T x M → R {\ displaystyle \ omega _ {x}: T_ {x} M \ to \ mathbb {R}}{\ displaystyle \ omega _ {x}: T_ {x} M \ to \ mathbb {R}} . Точно так же дифференциальная 1-форма ω ∈ Γ (T ∗ M) {\ displaystyle \ omega \ in \ Gamma (T ^ {*} M)}{\ displaystyle \ omega \ in \ Gamma (T ^ {*} M)} отображает гладкое векторное поле Икс ∈ Γ (TM) {\ Displaystyle X \ in \ Gamma (TM)}{\ displaystyle X \ in \ Gamma (TM)} в гладкую функцию ω (X) ∈ C ∞ (M) {\ displaystyle \ omega (X) \ в C ^ {\ infty} (M)}{\ displaystyle \ omega (X) \ in C ^ {\ infty} (M)} .

Касательные расслоения высшего порядка

Поскольку касательное расслоение TM {\ displaystyle TM}{\ displaystyle TM} само по себе является гладким многообразием, касательная связка второго порядка может быть определена посредством повторного применения конструкции касательной связки:

T 2 M = T (TM). {\ displaystyle T ^ {2} M = T (TM). \,}T ^ 2 M = T (TM). \,

В общем, порядок k th {\ displaystyle k ^ {\ text {th}}}{\ displaystyle k ^ {\ text {th}}} касательный пучок T k M {\ displaystyle T ^ {k} M}T ^ k M может быть определен рекурсивно как T (T k - 1 M) {\ displaystyle T \ left (T ^ { k-1} M \ right)}{\ displaystyle T \ left (T ^ {k-1} M \ right)} .

Гладкое отображение f: M → N {\ displaystyle f: M \ rightarrow N}{\ displaystyle f: M \ rightarrow N} имеет индуцированную производную, для которой касательное расслоение соответствующий домен и диапазон D f: TM → TN {\ displaystyle Df: TM \ rightarrow TN}{\ displaystyle Df: TM \ rightarrow TN} . Точно так же касательные пучки высшего порядка обеспечивают область определения и диапазон для производных высшего порядка D kf: T k M → T k N {\ displaystyle D ^ {k} f: T ^ {k} M \ to T ^ {k} N}D ^ kf: T ^ k M \ to T ^ k N .

Отдельной, но связанной конструкцией являются связки струй на многообразии, которые представляют собой пучки, состоящие из струй.

Каноническое векторное поле на касательном расслоении

На каждом касательном расслоении TM {\ displaystyle TM}{\ displaystyle TM} , рассматриваемом как само многообразие, можно определить каноническое векторное поле V: TM → T 2 M {\ displaystyle V: TM \ rightarrow T ^ {2} M}{\ displaystyle V: TM \ rightarrow T ^ {2} M} как диагональное отображение на касательном пространстве в каждой точке. Это возможно, потому что касательное пространство векторного пространства W естественным образом является произведением, TW ≅ W × W, {\ displaystyle TW \ cong W \ times W,}TW \ cong W \ times W, , поскольку само векторное пространство плоский и, следовательно, имеет естественную диагональную карту W → TW {\ displaystyle W \ to TW}W \ to TW , заданную w ↦ (w, w) {\ displaystyle w \ mapsto (w, w)}w \ mapsto (w, w) в этой структуре продукта. Применение этой структуры продукта к касательному пространству в каждой точке и глобализация дает каноническое векторное поле. Неформально, хотя коллектор M {\ displaystyle M}M изогнут, каждое касательное пространство в точке x {\ displaystyle x}x, T x M ≈ R n {\ displaystyle T_ {x} M \ приблизительно \ mathbb {R} ^ {n}}{ \ displaystyle T_ {x} M \ приблизительно \ mathbb {R} ^ {n}} , плоский, поэтому многообразие касательного расслоения TM {\ displaystyle TM}{\ displaystyle TM} локально является произведение изогнутого M {\ displaystyle M}M и плоского R n. {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}.}{\ mathbb {R}} ^ {n}. Таким образом, касательный пучок касательного пучка является локальным (с использованием ≈ {\ displaystyle \ приблизительно}\ приблизительно для " выбор координат »и ≅ {\ displaystyle \ cong}\ cong для« естественной идентификации »):

T (TM) ≈ T (M × R n) ≅ TM × T (R n) ≅ TM × (р N × R N) {\ Displaystyle T (TM) \ приблизительно T (M \ times \ mathbb {R} ^ {n}) \ cong TM \ times T (\ mathbb {R} ^ {n }) \ cong TM \ times (\ mathbb {R} ^ {n} \ times \ mathbb {R} ^ {n})}{\ displaystyle T (TM) \ приблизительно T (M \ times \ mathbb {R} ^ {n}) \ cong TM \ times T (\ mathbb {R} ^ {n}) \ cong TM \ times (\ mathbb {R} ^ {n} \ times \ mathbb {R} ^ {n })}

и карта TTM → TM {\ displaystyle TTM \ to TM}TTM \ to TM - это проекция на первые координаты:

(TM → M) × (R n × R n → R n). {\ displaystyle (TM \ to M) \ times (\ mathbb {R} ^ {n} \ times \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {n}).}{\ displaystyle (TM \ to M) \ times (\ mathbb {R } ^ {n} \ times \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {n}).}

Разделение первое отображение через нулевое сечение и второе отображение по диагонали дает каноническое векторное поле.

Если (x, v) {\ displaystyle (x, v)}{\ displaystyle (x, v) } - локальные координаты для TM {\ displaystyle TM}{\ displaystyle TM} , векторное поле имеет выражение

V = ∑ ivi ∂ ∂ vi | (х, v). {\ displaystyle V = \ sum _ {i} \ left.v ^ {i} {\ frac {\ partial} {\ partial v ^ {i}}} \ right | _ {(x, v)}.}V = \ sum_i \ left. v ^ i \ frac {\ partial} {\ partial v ^ i} \ right | _ {(x, v)}.

Более кратко, (x, v) ↦ (x, v, 0, v) {\ displaystyle (x, v) \ mapsto (x, v, 0, v)}(x, v) \ mapsto (x, v, 0, v) - первая пара координат не изменяется, потому что это секция связки, а это просто точка в базовом пространстве: последняя пара координат - это сама секция. Это выражение для векторного поля зависит только от v {\ displaystyle v}v , но не от x {\ displaystyle x}x, так как только касательные направления могут быть естественно идентифицированный.

В качестве альтернативы рассмотрим скалярную функцию умножения:

{R × TM → TM (t, v) ⟼ tv {\ displaystyle {\ begin {cases} \ mathbb {R} \ times TM \ to TM \\ (t, v) \ longmapsto tv \ end {cases}}}{\ displaystyle {\ begin {cases} \ mathbb {R} \ times TM \ to TM \\ (t, v) \ longmapsto tv \ end {case}}}

Производная этой функции по переменной R {\ displaystyle \ mathbb {R}}{\ mathbb R} при время t = 1 {\ displaystyle t = 1}{\ displaystyle t = 1} - это функция V: TM → T 2 M {\ displaystyle V: TM \ rightarrow T ^ {2} M}{\ displaystyle V: TM \ rightarrow T ^ {2} M} , которое является альтернативным описанием канонического векторного поля.

Существование такого векторного поля на TM {\ displaystyle TM}{\ displaystyle TM} аналогично канонической одной форме на пучке котангенса . Иногда V {\ displaystyle V}V также называют векторным полем Лиувилля или радиальным векторным полем . Используя V {\ displaystyle V}V , можно охарактеризовать касательный пучок. По сути, V {\ displaystyle V}V можно охарактеризовать с помощью 4 аксиом, и если у многообразия есть векторное поле, удовлетворяющее этим аксиомам, то многообразие является касательным расслоением, а векторное поле - каноническим векторное поле на нем. См., Например, De León et al.

Поднимает

Существуют различные способы поднять объекты на M {\ displaystyle M}M в объекты на TM { \ Displaystyle TM}{\ displaystyle TM} . Например, если γ {\ displaystyle \ gamma}\ gamma - кривая в M {\ displaystyle M}M , то γ ′ {\ displaystyle \ гамма '}{\displaystyle \gamma '}(касательная к γ {\ displaystyle \ gamma}\ gamma ) - кривая в TM {\ displaystyle TM}{\ displaystyle TM} . Напротив, без дополнительных предположений относительно M {\ displaystyle M}{\ displaystyle M} (скажем, римановой метрики ) подобного подъема в пучке котангенса <396 нет.>Вертикальный подъем функции f: M → R {\ displaystyle f: M \ rightarrow \ mathbb {R}}{\ d isplaystyle f: M \ rightarrow \ mathbb {R}} - это функция f ∨: TM → R {\ displaystyle f ^ {\ vee}: TM \ rightarrow \ mathbb {R}}{\ displaystyle f ^ {\ vee}: TM \ rightarrow \ mathbb {R}} определяется как f ∨ = f ∘ π {\ displaystyle f ^ {\ vee} = f \ circ \ pi}{\ displaystyle f ^ {\ vee} = f \ circ \ pi} , где π: TM → M {\ displaystyle \ pi: TM \ rightarrow M}{\ displaystyle \ pi: TM \ rightarrow M} - каноническая проекция.

См. Также

Примечания

  1. ^ Непересекающееся объединение гарантирует, что для любого две точки x 1 и x 2 многообразия M {\ displaystyle M}M касательные пространства T 1 и T 2 не имеют общего вектора. Это графически показано на прилагаемом рисунке для касательного пучка окружности S, см. Раздел Примеры : все касательные к окружности лежат в плоскости окружности. Чтобы они не пересекались, необходимо выровнять их в плоскости, перпендикулярной плоскости окружности.

Литература

  • Ли, Джеффри М. (2009), Многообразия и дифференциальная геометрия, Аспирантура по математике, Vol. 107, Провиденс: Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-4815-9
  • Джон М. Ли, Введение в гладкие многообразия, (2003) Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-95495-3.
  • Юрген Йост, Риманова геометрия и геометрический анализ, (2002) Springer-Verlag, Berlin. ISBN 3-540-42627-2
  • Ральф Абрахам и Джеррольд Э. Марсден, Основы механики, (1978) Бенджамин-Каммингс, Лондон. ISBN 0-8053-0102-X
  • M. Де Леон, Э. Мерино, Я. Убинья, М. Сальгадо, Характеристика касательных и стабильных касательных расслоений, Annales de l'institut Henri Poincaré (A) Physique théorique, Vol. 61, нет. 1, 1994, 1-15 [1]

Внешние ссылки

Последняя правка сделана 2021-06-09 09:27:24
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте