Теорема о волосатом шарике

редактировать
Теорема, которая утверждает, что не существует ненулевого непрерывного касательного векторного поля на четномерных n-сферах Неудачная попытка прочесать волосатый 3-шар ( 2-сфера), оставляя пучок на каждом полюсе. Волосатый бублик (2-тор), с другой стороны, довольно легко расчесывается. Непрерывное касательное векторное поле на 2-сфере с одним полюсом, в данном случае поле диполь с индексом 2. См. также анимированную версию этого рисунка. Завиток волос

Теорема о волосатом шарике из алгебраическая топология (иногда называемая теоремой о ежике в Европе) утверждает, что не существует n об исчезновении непрерывного касательного векторного поля на четномерных n-сферах. Для обычной сферы или 2-сферы, если f - непрерывная функция, которая присваивает вектор в R каждой точке p на сфере, так что f (p) всегда касательной к сфере в точке p, то существует по крайней мере один полюс, точка, где поле обращается в нуль (ap такое, что f (p) = 0 ).

Теорема была впервые доказана Анри Пуанкаре для двумерной сферы в 1885 году и расширен до более высоких измерений в 1912 году Луитценом Эгбертусом Ян Брауэр.

Теорема была выражена в разговорной речи следующим образом: «Вы не можете расчесать волосатый шар, не создавая cowlick "или" вы не можете расчесать волосы на кокосе ".

Содержание

  • 1 Подсчет нулей
  • 2 Применение к компьютерной графике
  • 3 Связь Лефшеца
  • 4 Следствие
  • 5 Более высокие измерения
  • 6 См. Также
  • 7 Примечания
  • 8 Ссылки
  • 9 Дополнительная литература
  • 10 Внешние ссылки

Подсчет нулей

Каждый ноль векторного поля имеет (ненулевой) «index », и можно показать, что сумма всех индексов при всех нулевых os должно быть равно двум, потому что эйлерова характеристика 2-сферы равна двум. Следовательно, должен быть хотя бы один ноль. Это следствие теоремы Пуанкаре – Хопфа. В случае тора эйлерова характеристика равна 0; и можно «причесать волосатый пончик плашмя». Из этого следует, что для любого компактного регулярного 2-мерного многообразия с ненулевой эйлеровой характеристикой любое непрерывное касательное векторное поле имеет хотя бы один нуль.

Применение в компьютерной графике

Распространенной проблемой в компьютерной графике является создание ненулевого вектора в R, который ортогонален заданному ненулевому. Не существует единой непрерывной функции, которая могла бы сделать это для всех ненулевых векторных входов. Это следствие теоремы о волосатом шарике. Чтобы увидеть это, рассмотрим данный вектор как радиус сферы и заметим, что нахождение ненулевого вектора, ортогонального данному, эквивалентно нахождению ненулевого вектора, который касается поверхности этой сферы, где он касается радиус. Однако теорема о волосатом шарике гласит, что не существует непрерывной функции, которая могла бы делать это для каждой точки на сфере (эквивалентно, для каждого заданного вектора).

Соединение Лефшеца

Существует тесно связанный аргумент из алгебраической топологии, использующий теорему Лефшеца о неподвижной точке. Поскольку числа Бетти двумерной сферы равны 1, 0, 1, 0, 0,... число Лефшеца (общий след на гомологии ) тождественного отображения равно 2. Интегрируя векторное поле, мы получаем (по крайней мере небольшую часть) однопараметрическую группу диффеоморфизмов на сфере; и все отображения в нем гомотопны тождеству. Следовательно, у всех них тоже есть номер Лефшеца 2. Следовательно, они имеют неподвижные точки (поскольку число Лефшеца не равно нулю). Потребуется дополнительная работа, чтобы показать, что это означает, что на самом деле должен быть ноль векторного поля. Она предлагает правильную формулировку более общей теоремы Пуанкаре-Хопфа об индексе.

Следствие

Следствием теоремы о волосатом шарике является то, что любая непрерывная функция, отображающая четную -мерная сфера в самой себе имеет либо фиксированную точку, либо точку, которая отображается на ее собственную антиподальную точку. Это можно увидеть, преобразовав функцию в касательное векторное поле следующим образом.

Пусть s будет функцией, отображающей сферу в себя, и пусть v будет тангенциальной векторной функцией, которую нужно построить. Для каждой точки p постройте стереографическую проекцию s (p) с точкой p в качестве точки касания. Тогда v (p) - вектор смещения этой спроецированной точки относительно p. Согласно теореме о волосатом шарике существует p такое, что v (p) = 0, так что s (p) = p.

Этот аргумент неверен, только если существует точка p, для которой s (p) является точкой, противоположной p, поскольку такая точка является единственной точкой, которая не может быть стереографически спроецирована на касательную плоскость p.

Высшие измерения

Связь с характеристикой Эйлера χ предлагает правильное обобщение: 2n-сфера не имеет неисчезающего векторного поля для n ≥ 1. Разница между четными и нечетными измерениями заключается в том, что, поскольку единственными ненулевыми числами Бетти m-сферы являются b 0 и b m, их чередующаяся сумма χ равна 2 для m четных и 0 для m нечетных.

См. Также

Примечания

Ссылки

  • Eisenberg, Murray; Гай, Роберт (1979), «Доказательство теоремы о волосатом шарике», The American Mathematical Monthly, 86 (7): 571–574, doi : 10.2307 / 2320587, JSTOR 2320587

Дополнительная литература

Внешние ссылки

Последняя правка сделана 2021-05-22 10:48:24
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте