Атлас (топология)

редактировать

Набор диаграмм, описывающих коллектор

In математика, в частности топология, описывается многообразие с помощью атласа . Атлас состоит из отдельных карт, которые, грубо говоря, описывают отдельные области многообразия. Если многообразие - это поверхность Земли, то атлас имеет более общее значение. В общем, понятие атласа лежит в основе формального определения многообразия и связанных структур, таких как векторных расслоений и других расслоений волокон.

Содержание

1 Диаграммы
2 Формальное определение атласа
3 Карты переходов
4 Дополнительная структура
5 См. Также
6 Ссылки
7 Внешние ссылки

Диаграммы

Определение атлас зависит от понятия диаграммы. диаграмма для топологического пространства M (также называемая координатной диаграммой, патчем координат, картой координат, или локальный кадр ) представляет собой гомеоморфизм $φ {\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ из открытого подмножества U из M в открытое подмножество евклидова пространства. Диаграмма традиционно записывается как упорядоченная пара $(U, φ) {\ displaystyle (U, \ varphi)}$ ${\ displaystyle (U, \ varphi)}$ .

Формальное определение атласа

и атласа для топологическое пространство $M {\ displaystyle M}$ $M$ является индексированным семейством ${(U α, φ α): α ∈ I} { \ displaystyle \ {(U _ {\ alpha}, \ varphi _ {\ alpha}): \ alpha \ in I \}}$ ${\ displaystyle \ {(U _ {\ alpha}, \ varphi _ { \ alpha}): \ alpha \ in I \}}$ диаграмм на $M {\ displaystyle M}$ $M$ который охватывает $M {\ displaystyle M}$ $M$ (то есть $⋃ α ∈ IU α = M {\ displaystyle \ textstyle \ bigcup _ {\ alpha \ in I} U _ {\ alpha} = M}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ bigcup _ {\ alpha \ in I} U _ {\ alpha} = M}$ ). Если кодомен каждой диаграммы является n-мерным евклидовым пространством, то $M {\ displaystyle M}$ $M$ называется n-мерным многообразие.

Атлас во множественном числе - это атласы, хотя некоторые авторы используют атланты.

Атлас $(U i, φ i) i ∈ I {\ displaystyle \ left (U_ {i }, \ varphi _ {i} \ right) _ {i \ in I}}$ ${\ displaystyle \ left (U_ {i}, \ varphi _ {i} \ right) _ {i \ in I}}$ на $n {\ displaystyle n}$ $n$ -мерном многообразии $M { \ displaystyle M}$ $M$ называется адекватным атласом, если изображение каждой диаграммы либо $R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ { n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ или $R + n {\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+} ^ {n} }$ , $(U i) i ∈ I {\ displaystyle \ left (U_ {i} \ right) _ {i \ in I}}$ ${\ displaystyle \ слева (U_ {i} \ right) _ {i \ in I}}$ - локально конечное открытое покрытие $M {\ displaystyle M}$ $M$ , и $M = ⋃ я ∈ I φ я - 1 (В 1) {\ Displaystyle M = \ bigcup _ {я \ in I} \ varphi _ {i} ^ {- 1} \ left (B_ {1} \ right)}$ ${\ displaystyle M = \ bigcup _ {я \ in I} \ varphi _ {i} ^ {- 1} \ left (B_ {1} \ right)}$ , где $B 1 {\ displaystyle B_ {1}}$ $B_ {1}$ - открытый шар радиуса 1 с центром в начале координат и $R + n {\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+} ^ {n} }$ - замкнутое полупространство. Каждое счетное многообразие допускает адекватный атлас. Кроме того, если $V = (V j) j ∈ J {\ displaystyle {\ mathcal {V}} = \ left (V_ {j} \ right) _ {j \ in J}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {V}} = \ left (V_ {j} \ right) _ {j \ in J }}$ открытое покрытие второго счетного многообразия $M {\ displaystyle M}$ $M$ , тогда существует соответствующий атлас $(U i, φ i) i ∈ I {\ displaystyle \ left ( U_ {i}, \ varphi _ {i} \ right) _ {i \ in I}}$ ${\ displaystyle \ left (U_ {i}, \ varphi _ {i} \ right) _ {i \ in I}}$ на $M {\ displaystyle M}$ $M$ так, что $( U i) i ∈ I {\ displaystyle \ left (U_ {i} \ right) _ {i \ in I}}$ ${\ displaystyle \ слева (U_ {i} \ right) _ {i \ in I}}$ является уточнением $V {\ displaystyle {\ mathcal {V} }}$ ${\ mathcal {V}}$ .

Карты переходов

M {\ displaystyle M}

M

U α {\ displaystyle U _ {\ alpha}}

U _ {\ alpha}

U β {\ displaystyle U _ {\ beta}}

U _ {\ beta}

φ α { \ displaystyle \ varphi _ {\ alpha}}

\ varphi _ {\ alpha}

φ β {\ displaystyle \ varphi _ {\ beta}}

\ varphi _ {\ beta}

τ α, β {\ displaystyle \ tau _ {\ alpha, \ beta}}

\ tau _ { \ alpha, \ beta}

τ β, α {\ Displaystyle \ тау _ {\ бета, \ альфа}}

\ tau _ {\ beta, \ alpha}

Р n {\ displaystyle \ mathbf {R} ^ {n}}

\ mathbf {R} ^ {n}

R n {\ displaystyle \ mathbf {R} ^ {n}}

\ mathbf {R} ^ {n}

Две диаграммы на коллекторе и их соответствующие карта переходов

Карта переходов обеспечивает способ сравнения г две карты атласа. Чтобы сделать это сравнение, мы рассматриваем состав одной диаграммы с инверсией другой. Эта композиция не определена четко, если мы не ограничим обе диаграммы пересечением их доменов определения. (Например, если у нас есть карта Европы и карта России, то мы можем сравнить эти две карты на их пересечении, а именно европейскую часть России.)

Чтобы быть более точным, предположим, что $(U α, φ α) {\ displaystyle (U _ {\ alpha}, \ varphi _ {\ alpha})}$ $(U _ {\ alpha}, \ varphi _ {\ альфа})$ и $(U β, φ β) {\ displaystyle (U_ {\ beta}, \ varphi _ {\ beta})}$ $(U _ {\ beta}, \ varphi _ {\ beta})$ - две карты для многообразия M, такие что $U α ∩ U β {\ displaystyle U _ {\ alpha} \ cap U _ {\ beta}}$ $U _ {\ альфа} \ cap U _ {\ beta}$ - непусто. Карта перехода $τ α, β: φ α (U α ∩ U β) → φ β (U α ∩ U β) {\ displaystyle \ tau _ {\ alpha, \ beta}: \ varphi _ {\ alpha} (U _ {\ alpha} \ cap U _ {\ beta}) \ to \ varphi _ {\ beta} (U _ {\ alpha} \ cap U _ {\ beta})}$ $\ tau _ {\ alpha, \ beta}: \ varphi _ {\ alpha} (U _ {\ alpha} \ cap U _ {\ beta}) \ to \ varphi _ {\ beta} (U _ {\ alpha} \ cap U _ {\ beta})$ - отображение, определяемое формулой

τ α, β = φ β ∘ φ α - 1. {\ displaystyle \ tau _ {\ alpha, \ beta} = \ varphi _ {\ beta} \ circ \ varphi _ {\ alpha} ^ {- 1}.}

\ tau _ {\ альфа, \ бета} = \ varphi _ {\ beta} \ circ \ varphi _ {\ alpha} ^ {- 1}.

Обратите внимание, что, поскольку $φ α {\ displaystyle \ varphi _ {\ alpha}}$ $\ varphi _ {\ alpha}$ и $φ β {\ displaystyle \ varphi _ {\ beta}}$ $\ varphi _ {\ beta}$ оба являются гомеоморфизмами, карта перехода $τ α β {\ displaystyle \ tau _ {\ alpha, \ beta}}$ $\ tau _ { \ alpha, \ beta}$ также является гомеоморфизмом.

Больше структуры

Часто требуется больше структуры на многообразии, чем просто топологическая структура. Например, если нужно однозначное понятие дифференцирования функций на многообразии, то необходимо построить атлас, функции перехода которого дифференцируемы. Такое многообразие называется дифференцируемым. Для дифференцируемого многообразия можно однозначно определить понятие касательных векторов, а затем производных по направлениям.

. Если каждая функция перехода является гладким отображением, то атлас называется гладкий атлас, а само многообразие называется гладким. В качестве альтернативы можно потребовать, чтобы карты переходов имели только k непрерывных производных, и в этом случае говорят, что атлас имеет вид $C k {\ displaystyle C ^ {k}}$ $C ^ {k}$ .

В общем случае, если каждая функция перехода принадлежит псевдогруппа $G {\ displaystyle {\ mathcal {G}}}$ ${\ mathcal {G}}$ гомеоморфизмов евклидова пространства, тогда атлас называется $G {\ displaystyle {\ mathcal {G}}}$ ${\ mathcal {G}}$ -атлас. Если карты переходов между диаграммами атласа сохраняют локальную тривиализацию, тогда атлас определяет структуру пучка волокон.

См. Также

Ссылки

Внешние ссылки

Atlas от Rowland, Todd