Перемещение вперед (дифференциал)

редактировать

Линейная аппроксимация гладких отображений на касательных пространствах

"If a map, φ, carries every point on manifold M to manifold N then the pushforward of φ carries vectors in the tangent space at every point in M to a tangent space at every point in N."

Если отображение φ переносит каждую точку на многообразии M на многообразие N, то прямое движение φ переносит векторы из касательного пространства в каждой точке M в касательное пространство в каждой точке N.

В дифференциальной геометрии, прямое движение является линейным аппроксимация гладких отображений на касательных пространствах. Предположим, что φ: M → N - гладкое отображение между гладкими многообразиями ; тогда дифференциал φ в точке x в некотором смысле является наилучшим линейным приближением φ около x. Его можно рассматривать как обобщение полной производной обычного исчисления. В явном виде это линейное отображение из касательного пространства M в точке x в касательное пространство N в точке φ (x). Следовательно, его можно использовать для перемещения касательных векторов на M вперед к касательным векторам на N.Различные авторы также называют дифференциал отображения φ производной или полной производной от φ.

Содержание

1 Мотивация
2 Дифференциал гладкой карты
3 Дифференциал на касательном расслоении
4 Перспектива векторных полей
5 См. Также
6 Ссылки

Мотивация

Пусть φ: U → V будет гладким отображением из открытого подмножества U из R в открытое подмножество V из Р . Для любой точки x в U якобиан φ в x (относительно стандартных координат) является матричным представлением полной производной φ в x, которое является линейным отображением

d φ x: R m → R n. {\ displaystyle d \ varphi _ {x} \ двоеточие \ mathbf {R} ^ {m} \ to \ mathbf {R} ^ {n} \.}

{\ displaystyle d \ varphi _ {x } \ двоеточие \ mathbf {R} ^ {m} \ to \ mathbf {R} ^ {n} \.}

Мы хотим обобщить это на случай, когда φ является гладкая функция между любыми гладкими многообразиями M и N.

Дифференциал гладкого отображения

Пусть φ: M → N - гладкое отображение гладких многообразий. Для некоторого x ∈ M дифференциал φ в точке x является линейным отображением

d φ x: T x M → T φ (x) N {\ displaystyle d \ varphi _ {x}: T_ {x} M \ к T _ {\ varphi (x)} N \,}

{\ displaystyle d \ varphi _ {x}: T_ {x} M \ to T _ {\ varphi (x)} N \,}

из касательного пространства M в точке x к касательному пространству N в точке φ (x). Применение dφ x к касательному вектору X иногда называют продвижением X посредством φ. Точное определение этого прямого действия зависит от определения, которое используется для касательных векторов (различные определения см. В касательном пространстве ).

Если определить касательные векторы как классы эквивалентности кривых, проходящих через x, то дифференциал определяется как

d φ x (γ ′ (0)) = (φ ∘ γ) ′ (0). {\ displaystyle d \ varphi _ {x} \ left (\ gamma ^ {\ prime} (0) \ right) = (\ varphi \ circ \ gamma) ^ {\ prime} (0).}

{\ displaystyle d \ varphi _ {x} \ left (\ gamma ^ {\ prime} (0) \ right) = (\ varphi \ circ \ gamma) ^ {\ prime} (0).}

Здесь γ кривая в M с γ (0) = x. Другими словами, продвижение касательного вектора к кривой γ в точке 0 является просто касательным вектором к кривой φ ∘ γ в точке 0.

В качестве альтернативы, если касательные векторы определены как производные действующее на гладкие вещественнозначные функции, то дифференциал определяется как

d φ x (X) (f) = X (f ∘ φ). {\ displaystyle d \ varphi _ {x} (X) (f) = X (f \ circ \ varphi).}

{\ displaystyle d \ varphi _ {x} (X) (f) = X (f \ circ \ varphi).}

Здесь X ∈ T x M, поэтому X - производное, определенное на M и f - гладкая вещественнозначная функция на N. По определению прямая трансляция X в заданном x в M находится в T φ (x) N и, следовательно, сама является производной.

После выбора диаграмм вокруг x и φ (x), φ локально определяется гладкой картой

φ ^: U → V {\ displaystyle {\ widehat {\ varphi} }: От U \ до V}

\ widehat {\ varphi}: от U \ до V

между открытыми наборами R и R, а dφ x имеет представление (в x)

d φ Икс (∂ ∂ ua) знак равно ∂ φ ^ b ∂ ua ∂ ∂ vb, {\ displaystyle d \ varphi _ {x} \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial u ^ {a}}} \ right) = {\ frac {\ partial {\ widehat {\ varphi}} ^ {b}} {\ partial u ^ {a}}} {\ frac {\ partial} {\ partial v ^ {b}}},}

{\ displaystyle d \ varphi _ {x} \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial u ^ {a}}} \ right) = {\ frac {\ partial {\ widehat {\ varphi}} ^ {b}} {\ partial u ^ {a}}} {\ frac {\ partial} {\ partial v ^ {b}}},}

в нотации суммирования Эйнштейна, где частные производные вычисляются в точке в U, соответствующей x на данной диаграмме.

Продолжение по линейности дает следующую матрицу

(d φ x) a b = ∂ φ ^ b ∂ u a. {\ displaystyle \ left (d \ varphi _ {x} \ right) _ {a} ^ {\; b} = {\ frac {\ partial {\ widehat {\ varphi}} ^ {b}} {\ partial u ^ {a}}}.}

{\ displaystyle \ слева (d \ va rphi _ {x} \ right) _ {a} ^ {\; b} = {\ frac {\ partial {\ widehat {\ varphi}} ^ {b}} {\ partial u ^ {a}}}.}

Таким образом, дифференциал - это линейное преобразование между касательными пространствами, связанное с гладким отображением φ в каждой точке. Следовательно, в некоторых выбранных локальных координатах он представлен матрицей Якоби соответствующей гладкой карты от R до R . В общем, дифференциал не обязательно должен быть обратимым. Если φ является локальным диффеоморфизмом, то прямое движение в точке x обратимо, а его обратное дает откат от T φ (x) N.

Дифференциал часто выражается с использованием множества других обозначений, таких как

D φ x, (φ ∗) x, φ ′ (x), T x φ. {\ displaystyle D \ varphi _ {x}, \; \ left (\ varphi _ {*} \ right) _ {x}, \; \ varphi '(x), \; T_ {x} \ varphi.}

D\varphi _{x},\;\left(\varphi _{*}\right)_{x},\;\varphi '(x),\;T_{x}\varphi.

Из определения следует, что дифференциал составной части является составной частью дифференциалов (т. Е. функториальное поведение ). Это цепное правило для гладких карт.

Кроме того, дифференциал локального диффеоморфизма является линейным изоморфизмом касательных пространств.

Дифференциал на касательном расслоении

Дифференциал гладкого отображения φ очевидным образом индуцирует отображение расслоения (на самом деле векторное расслоение гомоморфизм ) от касательного расслоения к M к касательному расслоению к N, обозначаемому dφ или φ ∗, который укладывается в следующую коммутативную диаграмму :

где π M и π N обозначают проекции расслоения касательных расслоений к M и N соответственно.

$d φ {\ displaystyle \ operatorname {d} \! \ Varphi}$ ${\ displaystyle \ operatorname {d} \! \ Varphi}$ индуцирует карту пакетов из TM в обратную связку φTN через M через

(м, vm) ↦ (m, d φ (m, vm)), {\ displaystyle (m, v_ {m}) \ mapsto (m, \ operatorname {d} \! \ Varphi (m, v_ {m})),}

{\ displaystyle (m, v_ {m}) \ mapsto (m, \ operatorname {d } \! \ varphi (m, v_ {m})),}

где $m ∈ M {\ displaystyle m \ in M}$ $m \ in M $ и $vm ∈ T m M. {\ displaystyle v_ {m} \ in T_ {m} M.}$ ${\ displaystyle v_ {m} \ in T_ {m} M.}$ Последняя карта, в свою очередь, может рассматриваться как раздел векторного пакета Hom (TM, φTN) над M. Отображение расслоения dφ также обозначается через Tφ и называется касательным отображением . Таким образом, T является функтором.

Продвижение векторных полей

Если задано гладкое отображение φ: M → N и векторное поле X на M, это не обычно можно отождествить продвижение X через φ с некоторым векторным полем Y на N. Например, если отображение φ не сюръективно, нет естественного способа определить такое продвижение вперед вне образа φ. Кроме того, если φ не является инъективным, в данной точке может быть более одного варианта продвижения вперед. Тем не менее, можно уточнить эту трудность, используя понятие векторного поля вдоль карты.

A участок φTN над M называется векторным полем вдоль φ . Например, если M - подмногообразие в N, а φ - включение, то векторное поле вдоль φ - это просто сечение касательного расслоения к N вдоль M; в частности, векторное поле на M определяет такое сечение посредством включения TM внутрь TN. Эта идея обобщается на произвольные гладкие отображения.

Предположим, что X - векторное поле на M, т. Е. Часть TM. Тогда $d φ ∘ X {\ displaystyle \ operatorname {d} \! \ Varphi \ circ X}$ ${\ displaystyle \ operatorname {d} \! \ Varphi \ circ X}$ дает в указанном выше смысле pushforward φ∗X, который является векторное поле вдоль φ, т. е. сечение φTN над M.

Любое векторное поле Y на N определяет секцию отката φY φTN с (φY) x = Y φ (x). Векторное поле X на M и векторное поле Y на N называются φ-связанными, если φ ∗ X = φY как векторные поля вдоль φ. Другими словами, для всех x в M, dφ x (X) = Y φ (x).

В некоторых ситуациях, учитывая векторное поле X на M, существует единственный вектор поле Y на N, которое φ-связано с X. Это верно, в частности, когда φ является диффеоморфизмом. В этом случае pushforward определяет векторное поле Y на N, заданное как

Y y = φ ∗ (X φ - 1 (y)). {\ displaystyle Y_ {y} = \ varphi _ {*} \ left (X _ {\ varphi ^ {- 1} (y)} \ right).}

{\ displaystyle Y_ {y} = \ varphi _ {*} \ left (X _ {\ varphi ^ {- 1} (y)} \ right).}

Более общая ситуация возникает, когда φ сюръективен (например, проекция жгута жгута волокон). Тогда векторное поле X на M называется проецируемым, если для всех y в N dφ x(Xx) не зависит от выбора x в φ ({y}). Это как раз то условие, которое гарантирует, что прямая передача X как векторного поля на N правильно определена.

См. Также

Pullback

Ссылки

Ли, Джон М. (2003). Введение в гладкие многообразия. Тексты для выпускников Springer по математике. 218 .
Йост, Юрген (2002). Риманова геометрия и геометрический анализ. Берлин: Springer-Verlag. ISBN 3-540-42627-2.См. Раздел 1.6.
Авраам, Ральф ; Марсден, Джерролд Э. (1978). Основы механики. Лондон: Бенджамин-Каммингс. ISBN 0-8053-0102-X.См. Разделы 1.7 и 2.3.