Откат (дифференциальная геометрия)

Предположим, что φ: M → N - гладкая карта между гладкими многообразиями M и N.Тогда существует связанная линейная карта из пространства 1-форм на N (линейное пространство из разделов кокасательного расслоения ) к пространству 1-форм на M. Это линейное отображение известно как обратный образ (через φ) и часто обозначается через φ. В более общем смысле, любое ковариантное тензорное поле - в частности, любая дифференциальная форма - на N может быть возвращено в M с помощью φ.

Когда отображение φ является диффеоморфизмом, то откат вместе с pushforward может использоваться для преобразования любого тензорного поля из N в M или наоборот.. В частности, если φ представляет собой диффеоморфизм между открытыми подмножествами R и R, рассматриваемый как изменение координат (возможно, между разными диаграммами на многообразии M), то откат и прямой ход описывают свойства преобразования ковариантных и контравариантных тензоров, используемых в более традиционных (зависимых от координат) подходах к предмету.

Идея отката - это, по сути, идея предварительной композиции одной функции с другой. Однако, комбинируя эту идею в нескольких различных контекстах, можно создать довольно сложные операции отката. Эта статья начинается с простейших операций, а затем используется для построения более сложных. Грубо говоря, механизм отката (с использованием предварительной композиции) превращает несколько конструкций в дифференциальной геометрии в контравариантные функторы.

Содержание

• 1 Откат гладких функций и гладких отображений
• 2 Откат связок и секций
• 3 Откат полилинейных форм
• 4 Откат котангенсных векторов и 1-форм
• 5 Откат (ковариантных) тензорных полей
• 6 Возврат дифференциальных форм
• 7 Откат на диффеоморфизмы
• 8 Возврат на автоморфизмы
• 9 Возврат и производная Ли
• 10 Возврат связностей (ковариантные производные)
• 11 См. Также
• 12 Ссылки

Возврат гладких функций и гладких maps

Пусть φ: M → N - гладкое отображение между (гладкими) многообразиями M и N, и предположим, что f: N → R - гладкая функция на N. Тогда обратный вызов функции f посредством φ - это гладкая функция φf на M, определенная формулой (φf) (x) = f (φ (x)). Аналогично, если f - гладкая функция на открытом множестве U в N, то та же формула определяет гладкую функцию на открытом множестве φ (U) в M. (На языке пучков , обратный вызов определяет морфизм от пучка гладких функций на N к прямому изображению посредством φ пучка гладких функций на M.)

В более общем смысле, если f: N → A - гладкое отображение из N в любое другое многообразие A, то φf (x) = f (φ (x)) - гладкое отображение из M в A.

Pullback расслоений и сечений

Если E - векторное расслоение (или действительно любое расслоение ) над N и φ: M → N - гладкое отображение, то обратное расслоение φE - векторное расслоение (или расслоение ) над M, чей слой над x в M задается формулой (φE) x = E φ (x).

В этой ситуации предварительная композиция определяет операцию отката на секциях E: если s является секцией E над N, то откатная секция φs = s ∘ φ - это секция φE над M.

Возврат полилинейных форм

Пусть Φ: V → W будет линейным отображением между векторными пространствами V и W (т. Е. Φ является элементом L (V, W), также обозначается Hom (V, W)), и пусть

$F:\; W\; \times \; W\; \times \; \cdots \; \times \; W\; \to \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; F:\; W\; \backslash \; times\; W\; \backslash \; times\; \backslash \; cdots\; \backslash \; times\; W\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; \}$

- полилинейная форма на W (также известная как тензор - не путать с тензорным полем - ранга (0, s), где s - количество множителей W в продукт). Тогда обратный образ ΦF группы F посредством Φ является полилинейной формой на V, определенной путем предварительного компоновки F с Φ. Более точно, для векторов v 1, v 2,..., v s в V, ΦF определяется формулой

$(\Phi \; \ast \; F)\; (v\; 1,\; v\; 2,\dots ,\; vs)\; =\; F\; (\Phi \; (v\; 1),\; \Phi \; (v\; 2),\dots ,\; \Phi \; (vs)),\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; Phi\; ^\; \{*\}\; F)\; (v\_\; \{1\},\; v\_\; \{2\},\; \backslash \; ldots,\; v\_\; \{s\})\; =\; F\; (\backslash \; Phi\; (v\_\; \{1\}),\; \backslash \; Phi\; (v\_\; \{2\}),\; \backslash \; ldots,\; \backslash \; Phi\; (v\_\; \{s\})),\}$

который является полилинейной формой на V. Следовательно, Φ является (линейным) оператором преобразования полилинейных форм на W в полилинейные формы на V. В качестве особого случая обратите внимание, что если F является линейной формой (или (0, 1) -тензор) на W, так что F является элементом W, дуальным пространством к W, тогда ΦF является элементом V, и, таким образом, обратный вызов с помощью Φ определяет линейное отображение между двойственными пространствами, которое действует в направлении, противоположном самому линейному отображению Φ:

$\Phi :\; V\; \to \; W,\; \Phi \; \ast :\; W\; \ast \; \to \; V\; \ast .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\; \backslash \; двоеточие\; V\; \backslash \; rightarrow\; W,\; \backslash \; qquad\; \backslash \; Phi\; ^\; \{*\}\; \backslash \; двоеточие\; W\; ^\; \{*\}\; \backslash \; rightarrow\; V\; ^\; \{*\}.\}$

С тензорной точки зрения естественно попробуйте распространить понятие отката на тензоры произвольного ранга, т. е. на полилинейные отображения на W, принимающие значения в тензорном произведении r копий W, т. е. W ⊗ W ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ W. Однако элементы такого тензорного произведения не возвращаются естественным образом: вместо этого существует прямая операция от V ⊗ V ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ V к W ⊗ W ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ W, заданная как

$\Phi \; \ast \; (v\; 1\; \otimes \; v\; 2\; \otimes \; \cdots \; \otimes \; vr)\; =\; \Phi \; (v\; 1)\; \otimes \; \Phi \; (v\; 2)\; \otimes \; \cdots \; \otimes \; \Phi \; (vr).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Phi\; \_\; \{*\}\; (v\_\; \{1\}\; \backslash \; otimes\; v\_\; \{2\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; cdots\; \backslash \; otimes\; v\_\; \{r\})\; =\; \backslash \; Phi\; (v\_\; \{1\})\; \backslash \; otimes\; \backslash \; Phi\; (v\_\; \{2\})\; \backslash \; otimes\; \backslash \; cdots\; \backslash \; otimes\; \backslash \; Phi\; (v\_\; \{r\}).\}$

Тем не менее, из этого следует, что, если Φ обратима, откат может быть определен с использованием обратной функции Φ. Комбинирование этих двух конструкций дает прямую операцию обратимого линейного отображения для тензоров любого ранга (r, s).

Откат котангенсных векторов и 1-форм

Пусть φ: M → N - гладкое отображение между гладкими многообразиями. Тогда дифференциал функции φ, обозначаемый φ *, dφ или Dφ, является морфизмом векторных расслоений (над M) из касательного расслоения TM из M в обратный пучок φTN. транспонирование для φ *, следовательно, представляет собой отображение связки из φTN в TM, котангенсное расслоение для M.

Теперь предположим, что α является секцию TN (1-форма на N) и предварительно составить α с φ, чтобы получить секцию отката φTN. Применение приведенного выше отображения расслоения (поточечно) к этому разделу дает обратный образ α по φ, который является 1-формой φα на M, определенной как

$(\phi \; \ast \; \alpha )\; x\; (X)\; =\; \alpha \; \phi \; (Икс)\; (d\; \phi \; Икс\; (Икс))\; \{\backslash \; Displaystyle\; (\backslash \; varphi\; ^\; \{*\}\; \backslash \; альфа)\; \_\; \{х\}\; (X)\; =\; \backslash \; альфа\; \_\; \{\backslash \; varphi\; (x)\}\; (d\; \backslash \; varphi\; \_\; \{x\; \}\; (X))\}$

для x в M и X в T x M.

Возврат (ковариантных) тензорных полей

Конструкция из предыдущего раздела немедленно обобщается на тензорные связки ранга (0, s) для любого натурального числа s: a (0, s) тензорное поле на многообразии N - это сечение тензорного расслоения на N, слой которого в точке y в N является пространством полилинейных s-форм

$F:\; T\; y\; N\; \times \; \cdots \; \times \; Т\; у\; Н\; \to \; Р.\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; \backslash \; двоеточие\; T\_\; \{y\}\; N\; \backslash \; times\; \backslash \; cdots\; \backslash \; times\; T\_\; \{y\}\; N\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbf\; \{R\}.\}$

Взяв Φ равным (поточечному) дифференциалу гладкого отображения φ из От M к N откат полилинейных форм может быть объединен с откатом секций, чтобы получить тензорное поле отката (0, s) на M. Точнее, если S является (0, s) -тензорным полем на N, то откат множества S посредством φ - это (0, s) -тензорное поле φS на M, определенное формулой

$(\phi \; \ast \; S)\; x\; (X\; 1,\dots ,\; X\; s)\; =\; S\; \phi \; (x)\; (d\; \phi \; Икс\; (Икс\; 1),\dots ,\; d\; \phi \; Икс\; (X\; s))\; \{\backslash \; Displaystyle\; (\backslash \; varphi\; ^\; \{*\}\; S)\; \_\; \{x\}\; (X\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; X\_\; \{s\})\; =\; S\; \_\; \{\backslash \; varphi\; (x)\}\; (d\; \backslash \; varphi\; \_\; \{x\}\; (X\_\; \{1\}),\; \backslash \; ldots,\; d\; \backslash \; varphi\; \_\; \{x\}\; (X\_\; \{s\}))\}$

для x в M и X j в T x M.

Откат дифференциальных форм

Частным важным случаем отката ковариантных тензорных полей является откат дифференциальных форм. Если α - дифференциальная k-форма, т. Е. Сечение внешнего расслоения ΛT * N (послойно) альтернированных k-форм на TN, то обратный образ α является дифференциальной k-формой на M определяется по той же формуле, что и в предыдущем разделе:

$(\phi \; \ast \; \alpha )\; x\; (X\; 1,\dots ,\; X\; k)\; =\; \alpha \; \phi \; (x)\; (d\; \phi \; x\; (X\; 1),\dots ,\; d\; \phi \; x\; (\; Икс\; к))\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; varphi\; ^\; \{*\}\; \backslash \; alpha)\; \_\; \{x\}\; (X\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; X\_\; \{k\})\; =\; \backslash \; alpha\; \_\; \{\backslash \; varphi\; (x)\}\; (d\; \backslash \; varphi\; \_\; \{x\}\; (X\_\; \{1\}),\; \backslash \; ldots,\; d\; \backslash \; varphi\; \_\; \{x\}\; (X\_\; \{k\}))\}$

для x в M и X j в T x М.

Возврат дифференциальных форм имеет два свойства, которые делают его чрезвычайно полезным.

1. Оно совместимо с произведением клина в том смысле, что для дифференциальных форм α и β на N

$\phi \; \ast \; (\alpha \; \wedge \; \beta )\; =\; \phi \; \ast \; \alpha \; \wedge \; \phi \; \ast \; \beta .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; ^\; \{*\}\; (\backslash \; alpha\; \backslash \; wedge\; \backslash \; beta)\; =\; \backslash \; varphi\; ^\; \{*\}\; \backslash \; alpha\; \backslash \; wedge\; \backslash \; varphi\; ^\; \{*\}\; \backslash \; beta.\}$

2. Он совместим с внешней производной d: если α - дифференциальная форма на N, то

$\phi \; \ast \; (d\; \alpha )\; =\; d\; (\phi \; \ast \; \alpha ).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; ^\; \{*\}\; (d\; \backslash \; alpha)\; =\; d\; (\backslash \; varphi\; ^\; \{*\}\; \backslash \; alpha).\}$

Откат на диффеоморфизмы

Когда отображение φ между многообразиями a диффеоморфизм, то есть он имеет гладкий обратный, то откат может быть определен для векторных полей , а также для 1-форм, и, таким образом, в расширении, для произвольного смешанного тензорного поля на коллекторе. Линейное отображение

$\Phi \; =\; d\; \phi \; x\; \in \; GL\; \; (T\; x\; M,\; T\; \phi \; (x)\; N)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\; =\; d\; \backslash \; varphi\; \_\; \{x\}\; \backslash \; in\; \backslash \; operatorname\; \{GL\}\; (T\_\; \{x\; \}\; M,\; T\; \_\; \{\backslash \; varphi\; (x)\}\; N)\}$

можно инвертировать, чтобы получить

$\Phi \; -\; 1\; =\; (d\; \phi \; x)\; -\; 1\; \in \; GL\; \; (T\; \phi \; (x)\; N,\; T\; x\; M).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\; ^\; \{-\; 1\}\; =\; (\{d\; \backslash \; varphi\; \_\; \{x\}\})\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; in\; \backslash \; operatorname\; \{GL\}\; (T\; \_\; \{\backslash \; varphi\; (x)\}\; N,\; T\_\; \{x\}\; M).\}$

Общее смешанное тензорное поле затем преобразуется с использованием Φ и Φ в соответствии с разложением тензорного произведения тензорного пучка на копии TN и TN. Когда M = N, то откат и прямой переход описывают свойства преобразования тензора на многообразии M. В традиционных терминах откат описывает свойства преобразования ковариантных индексов тензор ; напротив, преобразование контравариантных индексов задается прямой передачей.

Откат автоморфизмами

Конструкция предыдущего раздела имеет теоретико-представительную интерпретацию, когда φ равно диффеоморфизм многообразия M на себя. В этом случае производная dφ является сечением GL (TM, φTM). Это вызывает обратное действие на секциях любого расслоения, связанного с расслоением фреймов GL (M) группы M посредством представления общей линейной группы GL (m) (где m = dim М).

Откат и производная Ли

См. производная Ли. Применяя предыдущие идеи к локальной 1-параметрической группе диффеоморфизмов, определяемой векторным полем на M, и дифференцируя по параметру, получается понятие производной Ли на любом ассоциированном расслоении.

Откат связей (ковариантные производные)

Если ∇ является связью (или ковариантной производной ) на векторном расслоении E над N и φ является гладким отображением из M в N, то существует обратная связность φ∇ на φE над M, однозначно определяемая условием

$(\phi \; \ast \; \nabla )\; X\; (\phi \; \ast \; s)\; =\; \phi \; \ast \; (\nabla \; d\; \phi \; (X)\; s).\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; varphi\; ^\; \{*\}\; \backslash \; nabla)\; \_\; \{X\}\; (\backslash \; varphi\; ^\; \{*\}\; s)\; =\; \backslash \; varphi\; ^\; \{*\}\; (\backslash \; nabla\; \_\; \{d\; \backslash \; varphi\; (X)\}\; s).\}$

См. Также

• Pushforward (дифференциал)
• Pullback bundle
• Pullback (теория категорий)

Ссылки

• Jost, Jürgen (2002). Риманова геометрия и геометрический анализ. Берлин: Springer-Verlag. ISBN 3-540-42627-2. См. Разделы 1.5 и 1.6.
• Авраам, Ральф ; Марсден, Джерролд Э. (1978). Основы механики. Лондон: Бенджамин-Каммингс. ISBN 0-8053-0102-X.См. Разделы 1.7 и 2.3.