Линейное приближение

Аппроксимация функции по касательной в точке Касательная линия в (a, f (a))

В математике, линейная аппроксимация - это приближение общей функции с использованием линейная функция (точнее, аффинная функция ). Они широко используются в методе конечных разностей для получения методов первого порядка для решения или аппроксимации решений уравнений.

• 1 Определение
• 2 Приложения
  • 2.1 Оптика
  • 2.2 Период колебаний
  • 2.3 Удельное электрическое сопротивление
• 3 См. Также
• 4 Примечания
• 5 Ссылки
• 6 Дополнительная литература

Учитывая дважды непрерывно дифференцируемую функцию $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$одной действительной переменной, Taylor's Теорема для случая $n\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; =\; 1\}$утверждает, что

$f\; (x)\; =\; f\; (a)\; +\; f\; \prime \; (a)\; (x\; -\; a))\; +\; R\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; f\; (a)\; +\; f\; \text{'}(a)\; (xa)\; +\; R\_\; \{2\}\; \backslash \}$

где $R\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{2\}\}$- оставшийся член. Линейное приближение получается отбрасыванием остатка:

$f\; (x)\; \approx \; f\; (a)\; +\; f\; \text{'}(a)\; (x\; -\; a)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; \backslash \; приблизительно\; f\; (a)\; +\; f\text{'}\; (\; a)\; (xa)\}$.

Это хорошее приближение, когда $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$достаточно близко к $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$; так как кривая при внимательном наблюдении начинает напоминать прямую линию. Следовательно, выражение в правой части - это просто уравнение для касательной к графику $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$в $(a,\; е\; (а))\; \{\backslash \; Displaystyle\; (а,\; е\; (а))\}$. По этой причине этот процесс также называется аппроксимацией касательной .

Если $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$равно вогнутая вниз в интервале между $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$и $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$, приближение будет завышенным (так как производная убывает в этом интервале). Если $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$равно вогнутый вверх, аппроксимация будет занижена.

Линейные приближения для векторных функций векторной переменной получаются таким же образом с заменой производной в точке матрицей Якоби . Например, учитывая дифференцируемую функцию $f\; (x,\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x,\; y)\}$с действительными значениями, можно приблизить $f\; (x,\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x,\; y)\}$для $(x,\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; (x,\; y)\}$близко к $(a,\; b)\; \{\backslash \; displaystyle\; (a,\; b)\}$по формуле

$f\; (x,\; y)\; \approx \; f\; (a,\; b)\; +\; \partial \; f\; \partial \; x\; (a,\; b)\; (x\; -\; a)\; +\; \partial \; f\; \partial \; y\; (a,\; b)\; (y\; -\; b).\; \{\backslash \; Displaystyle\; е\; \backslash \; влево\; (х,\; у\; \backslash \; вправо)\; \backslash \; приблизительно\; е\; \backslash \; влево\; (а,\; б\; \backslash \; вправо)\; +\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; \backslash \; влево\; (а,\; б\; \backslash \; вправо)\; \backslash \; left\; (xa\; \backslash \; right)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; \backslash \; left\; (a,\; b\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (yb\; \backslash \; right).\}$

Правая часть - это уравнение плоскости, касательной к графику $z\; =\; f\; (x,\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; =\; f\; (x,\; y)\}$at $(a,\; b).\; \{\backslash \; displaystyle\; (a,\; b).\}$

В более общем случае банаховых пространств,

$f\; (x)\; \approx \; f\; (a)\; +\; D\; f\; (a)\; (x\; -\; a)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; \backslash \; приблизительно\; f\; (a)\; +\; Df\; (a)\; (xa)\}$

где $D\; f\; (a)\; \{\backslash \; displaystyle\; Df\; (a)\}$является производной Фреше от $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$в $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$.

Optics

Гауссова оптика - это метод в геометрической оптике, который описывает поведение световых лучей в оптических системах с помощью параксиального приближения, в котором только лучи, образующие малые углы с оптическая ось системы. В этом приближении тригонометрические функции могут быть выражены как линейные функции углов. Гауссова оптика применяется к системам, в которых все оптические поверхности либо плоские, либо являются частями сферы. В этом случае можно дать простые явные формулы для параметров системы формирования изображения, таких как фокусное расстояние, увеличение и яркость, с точки зрения геометрических форм и свойств материалов составляющих элементов.

Период колебаний

Период качания простого гравитационного маятника зависит от его длины, местной силы тяжести, и в небольшой степени на максимальном угле, на который маятник отклоняется от вертикали, θ 0, называется амплитудой . Он не зависит от массы боба. Истинный период T простого маятника, время, необходимое для полного цикла идеального простого гравитационного маятника, может быть записан в нескольких различных формах (см. Маятник (математика) ), одним из примеров является бесконечный ряд :

$T\; =\; 2\; \pi \; L\; g\; (1\; +\; 1\; 16\; \theta \; 0\; 2\; +\; 11\; 3072\; \theta \; 0\; 4\; +\; \cdots )\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; =\; 2\; \backslash \; pi\; \{\backslash \; sqrt\; \{L\; \backslash \; over\; g\}\}\; \backslash \; left\; (\; 1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{16\}\}\; \backslash \; theta\; \_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{11\}\; \{3072\}\}\; \backslash \; theta\; \_\; \{0\}\; ^\; \{4\}\; +\; \backslash \; cdots\; \backslash \; right)\}$

где L - длина маятника, а g - локальное ускорение свободного падения.

Однако, если взять линейное приближение (т.е. если амплитуда ограничивается небольшими колебаниями) период равен:

$T\; \approx \; 2\; \pi \; L\; g\; \theta \; 0\; \ll \; 1\; (1)\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; \backslash \; приблизительно\; 2\; \backslash \; pi\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{L\; \}\; \{g\}\}\}\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; \backslash \; theta\; \_\; \{0\}\; \backslash \; ll\; 1\; \backslash \; qquad\; (1)\; \backslash ,\}$

В линейном приближении период свинга примерно одинаков для свинга разного размера: то есть период не зависит от амплитуды. Это свойство, называемое изохронизмом, является причиной того, что маятники так полезны для хронометража. Последовательные колебания маятника, даже если они меняются по амплитуде, занимают одинаковое время.

Удельное электрическое сопротивление

Удельное электрическое сопротивление большинства материалов изменяется с температурой. Если температура T изменяется не слишком сильно, обычно используется линейное приближение:

$\rho \; (T)\; =\; \rho \; 0\; [1\; +\; \alpha \; (T\; -\; T\; 0)]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; (T)\; =\; \backslash \; rho\; \_\; \{0\}\; [1+\; \backslash \; alpha\; (T-T\_\; \{0\})]\}$

где $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$называется температурным коэффициентом удельного сопротивления, $T\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{0\}\}$- фиксированная эталонная температура (обычно комнатная), а $\rho \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; \_\; \{0\}\}$- это удельное сопротивление при температуре $T\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{0\}\}$. Параметр $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$- это эмпирический параметр, подобранный на основе данных измерений. Поскольку линейное приближение является лишь приближением, $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$отличается для разных эталонных температур. По этой причине принято указывать температуру, при которой $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$был измерен с помощью суффикса, например $\alpha \; 15\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; \_\; \{15\}\; \}$, и связь сохраняется только в диапазоне температур вокруг эталона. Когда температура изменяется в большом диапазоне температур, линейное приближение неадекватно, и следует использовать более подробный анализ и понимание.

• Биномиальное приближение
• Метод Эйлера
• Конечные разности
• Конечно-разностные методы
• Метод Ньютона
• Степенный ряд
• Ряд Тейлора

• Weinstein, Alan; Марсден, Джерролд Э. (1984). Исчисление III. Берлин: Springer-Verlag. п. 775. ISBN 0-387-90985-0.
• Стрэнг, Гилберт (1991). Исчисление. Колледж Уэллсли. п. 94. ISBN 0-9614088-2-0.
• Бок, Дэвид; Хокетт, Ширли О. (2005). Как подготовиться к анализу AP. Хауппог, Нью-Йорк: Образовательная серия Бэрронса. п. 118. ISBN 0-7641-2382-3.