Конечная разность

редактировать

Дискретный аналог производной

A конечная разность представляет собой математическое выражение вида f (x + b) - е (х + а). Если конечная разность делится на b - a, получается коэффициент разности . Аппроксимация производных конечными разностями играет центральную роль в методах конечных разностей для численного решения дифференциальных уравнений, особенно краевые задачи.

Некоторые рекуррентные соотношения можно записать как разностные уравнения, заменив итерационные обозначения конечными разностями.

Сегодня термин «конечная разность» часто используется как синоним конечно-разностных аппроксимаций производных, особенно в контексте численных методов. Конечно-разностные аппроксимации - это конечно-разностные отношения в терминологии, использованной выше.

Конечные различия были введены Бруком Тейлором в 1715 году и также изучались как абстрактные самостоятельные математические объекты в работах Джорджа Буля (1860), L. М. Милн-Томсон (1933) и Кароли Джордан (1939). Конечные различия уходят корнями в один из алгоритмов Йоста Бюрджи (ок. 1592) и работают другими, включая Исаака Ньютона. Формальное исчисление конечных разностей можно рассматривать как альтернативу исчислению бесконечно малых.

Содержание

  • 1 Основные типы
  • 2 Связь с производными
  • 3 Разности более высокого порядка
  • 4 Произвольно размер ядра
    • 4.1 Свойства
  • 5 В дифференциальных уравнениях
  • 6 Ряд Ньютона
  • 7 Исчисление конечных разностей
    • 7.1 Правила исчисления конечно-разностных операторов
  • 8 Обобщения
  • 9 Многомерные конечные различия
  • 10 См. также
  • 11 Ссылки
  • 12 Внешние ссылки

Основные типы

Обычно рассматриваются три основных типа: прямая, обратная и центральная конечная разность.

A прямая разница - это выражение вида

Δ h [f] (x) = f (x + h) - f (x). {\ displaystyle \ Delta _ {h} [f] (x) = f (x + h) -f (x).}{\displaystyle \Delta _{h}[f](x)=f(x+h)-f(x).}

В зависимости от приложения интервал h может быть переменным или постоянным. Если опущено, h принимается равным 1: Δ [f] (x) = Δ 1 [f] (x).

A обратная разница использует значения функции в точках x и x - h вместо значений в x + h и x:

∇ h [f] (x) = f (x) - f (x - з). {\ displaystyle \ nabla _ {h} [f] (x) = f (x) -f (xh).}{\displaystyle \nabla _{h}[f](x)=f(x)-f(x-h).}

Наконец, центральная разность определяется как

δ h [ f] (x) = f (x + 1 2 h) - f (x - 1 2 h). {\ Displaystyle \ delta _ {ч} [е] (х) = е \ влево (х + {\ tfrac {1} {2}} ч \ вправо) -f \ влево (х - {\ tfrac {1} {2 }} h \ right).}{\displaystyle \delta _{h}[f](x)=f\left(x+{\tfrac {1}{2}}h\right)-f\left(x-{\tfrac {1}{2}}h\right).}

Связь с производными

3 типа метода конечных разностей. Центральный дает наилучшее приближение производной

Конечная разность часто используется в качестве приближения производной, обычно в численном дифференцировании.

Производная функции f в точке x равна определяется пределом.

f ′ (x) = lim h → 0 f (x + h) - f (x) h. {\ displaystyle f '(x) = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (x + h) -f (x)} {h}}.}f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.

Если h имеет фиксированное (не -нуль) вместо приближения к нулю, тогда правая часть приведенного выше уравнения будет записана как

f (x + h) - f (x) h = Δ h [f] (x) h. {\ displaystyle {\ frac {f (x + h) -f (x)} {h}} = {\ frac {\ Delta _ {h} [f] (x)} {h}}.}{\ frac {f (x + h) -f (x)} {h}} = {\ frac {\ Delta _ {h} [f] (x)} {h}}.

Следовательно, прямая разница, деленная на h, аппроксимирует производную, когда h мало. Ошибка этого приближения может быть получена из теоремы Тейлора. Предполагая, что f дифференцируема, мы имеем

Δ h [f] (x) h - f ′ (x) = O (h) → 0 при h → 0. {\ Displaystyle {\ frac {\ Delta _ {h) } [f] (x)} {h}} - f '(x) = O (h) \ to 0 \ quad {\ text {as}} h \ to 0.}{\displaystyle {\frac {\Delta _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=O(h)\to 0\quad {\text{as }}h\to 0.}

Та же формула верна для обратная разница:

∇ час [е] (х) час - f ′ (x) = O (h) → 0 при h → 0. {\ displaystyle {\ frac {\ nabla _ {h} [f] ( x)} {h}} - f '(x) = O (h) \ to 0 \ quad {\ text {as}} h \ to 0.}{\displaystyle {\frac {\nabla _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=O(h)\to 0\quad {\text{as }}h\to 0.}

Однако центральная (также называемая центрированной) разность дает более точное приближение. Если f дважды дифференцируема,

δ h [f] (x) h - f ′ (x) = O (h 2). {\ displaystyle {\ frac {\ delta _ {h} [f] (x)} {h}} - f '(x) = O \ left (h ^ {2} \ right).}{\displaystyle {\frac {\delta _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=O\left(h^{2}\right).}

Главный Однако проблема с методом центральной разности состоит в том, что осциллирующие функции могут давать нулевую производную. Если f (nh) = 1 для нечетного n и f (nh) = 2 для четного n, то f ′ (nh) = 0, если он вычисляется с помощью центральной разностной схемы. Это особенно неприятно, если область определения f дискретна. См. Также Симметричная производная

Авторы, для которых конечные разности означают аппроксимации конечных разностей, определяют прямые / обратные / центральные разности как частные, указанные в этом разделе (вместо использования определений, данных в предыдущем разделе).

Разности высших порядков

Аналогичным образом можно получить конечно-разностные аппроксимации производных высшего порядка и дифференциальных операторов. Например, используя приведенную выше формулу центральной разности для f ′ (x + h / 2) и f ′ (x - h / 2) и применяя формулу центральной разности для производной f ′ в точке x, мы получаем центральную разность аппроксимация второй производной от f:

Центральный второй порядок
f ″ (x) ≈ δ h 2 [f] (x) h 2 = f (x + h) - f (x) h - f (х) - е (х - h) hh = f (x + h) - 2 f (x) + f (x - h) h 2. {\ displaystyle f '' (x) \ приблизительно {\ frac {\ delta _ {h} ^ {2} [f] (x)} {h ^ {2}}} = {\ frac {{\ frac {f (x + h) -f (x)} {h}} - {\ frac {f (x) -f (xh)} {h}}} {h}} = {\ frac {f (x + h) -2f (x) + f (xh)} {h ^ {2}}}.}{\displaystyle f''(x)\approx {\frac {\delta _{h}^{2}[f](x)}{h^{2}}}={\frac {{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}-{\frac {f(x)-f(x-h)}{h}}}{h}}={\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}.}

Точно так же мы можем применить другие формулы вычисления разностей рекурсивным образом.

Нападающий второго порядка
f ″ (x) ≈ Δ h 2 [f] (x) h 2 = f (x + 2 h) - f (x + h) h - f (x + h) - е (х) чч знак равно е (х + 2 ч) - 2 е (х + ч) + е (х) ч 2. {\ displaystyle f '' (x) \ приблизительно {\ frac {\ Delta _ {h} ^ {2} [f] (x)} {h ^ {2}}} = {\ frac {{\ frac {f (x + 2h) -f (x + h)} {h}} - {\ frac {f (x + h) -f (x)} {h}}} {h}} = {\ frac {f ( x + 2h) -2f (x + h) + f (x)} {h ^ {2}}}.}{\displaystyle f''(x)\approx {\frac {\Delta _{h}^{2}[f](x)}{h^{2}}}={\frac {{\frac {f(x+2h)-f(x+h)}{h}}-{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}{h}}={\frac {f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)}{h^{2}}}.}
Второй порядок назад
f ″ (x) ≈ ∇ h 2 [f] (x) h 2 = f (x) - f (x - h) h - f (x - h) - f (x - 2 h) hh = f (x) - 2 f (x - h) + f (x - 2 ч) ч 2. {\ displaystyle f '' (x) \ приблизительно {\ frac {\ nabla _ {h} ^ {2} [f] (x)} {h ^ {2}}} = {\ frac {{\ frac {f (x) -f (xh)} {h}} - {\ frac {f (xh) -f (x-2h)} {h}}} {h}} = {\ frac {f (x) -2f (xh) + f (x-2h)} {h ^ {2}}}.}{\displaystyle f''(x)\approx {\frac {\nabla _{h}^{2}[f](x)}{h^{2}}}={\frac {{\frac {f(x)-f(x-h)}{h}}-{\frac {f(x-h)-f(x-2h)}{h}}}{h}}={\frac {f(x)-2f(x-h)+f(x-2h)}{h^{2}}}.}

В более общем смысле, различия n-го порядка вперед, назад и центральный задаются, соответственно,

Вперед
Δ hn [е] (x) = ∑ я = 0 n (- 1) n - i (ni) f (x + (n - i) h), {\ displaystyle \ Delta _ {h } ^ {n} [f] (x) = \ sum _ {i = 0} ^ {n} (- 1) ^ {ni} {\ binom {n} {i}} f {\ bigl (} x + ( ni) h {\ bigr)},}{\displaystyle \Delta _{h}^{n}[f](x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{n-i}{\binom {n}{i}}f{\bigl (}x+(n-i)h{\bigr)},}

или для h = 1,

Δ n [f] (x) = ∑ k = 0 n (nk) (- 1) n - kf (x + k) {\ displaystyle \ Delta ^ {n} [f] (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k}} (- 1) ^ {nk} f (x + k)}\Delta ^{n}[f](x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(-1)^{n-k}f(x+k)
Назад
∇ hn [f] (x) = ∑ i = 0 n (- 1) i (ni) f (x - ih), {\ displaystyle \ nabla _ {h} ^ {n} [f] (x) = \ sum _ {i = 0} ^ {n} (- 1) ^ {i} {\ binom {n} {i}} f (x-ih),}{\ displaystyle \ nabla _ {h} ^ {n} [f] (x) = \ sum _ {i = 0} ^ {n} (- 1) ^ {i} {\ binom {n} {i}} е (x-ih),}
Центральный
δ hn [f] (x) = ∑ i = 0 n (- 1) i (ni) f (x + (n 2 - i) h). {\ displaystyle \ delta _ {h} ^ {n} [f] (x) = \ sum _ {i = 0} ^ {n} (- 1) ^ {i} {\ binom {n} {i}} f \ left (x + \ left ({\ frac {n} {2}} - i \ right) h \ right).}{\displaystyle \delta _{h}^{n}[f](x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\binom {n}{i}}f\left(x+\left({\frac {n}{2}}-i\right)h\right).}

Эти уравнения используют биномиальные коэффициенты после знака суммы, показанного как (. i). Каждая строка треугольника Паскаля предоставляет коэффициент для каждого значения i.

Обратите внимание, что центральная разница для нечетных n будет иметь h, умноженное на нецелые числа. Это часто является проблемой, потому что это означает изменение интервала дискретизации. Проблему можно решить, взяв среднее значение δ [f] (x - h / 2) и δ [f] (x + h / 2).

Прямые различия, применяемые к последовательности, иногда называют биномиальным преобразованием последовательности, и они имеют ряд интересных комбинаторных свойств. Прямые различия можно оценить с помощью интеграла Норлунда – Райса. Интегральное представление для этих типов рядов интересно, потому что интеграл часто можно вычислить, используя методы асимптотического разложения или седловой точки ; Напротив, ряд прямых разностей может быть чрезвычайно трудно оценить численно, потому что биномиальные коэффициенты быстро растут при больших n.

Связь этих разностей высшего порядка с соответствующими производными очевидна:

dnfdxn (x) = Δ hn [f] (x) hn + O (h) = ∇ hn [f] ( х) hn + O (h) = δ hn [f] (x) hn + O (h 2). {\ displaystyle {\ frac {d ^ {n} f} {dx ^ {n}}} (x) = {\ frac {\ Delta _ {h} ^ {n} [f] (x)} {h ^ {n}}} + O (h) = {\ frac {\ nabla _ {h} ^ {n} [f] (x)} {h ^ {n}}} + O (h) = {\ frac { \ delta _ {h} ^ {n} [f] (x)} {h ^ {n}}} + O \ left (h ^ {2} \ right).}{\displaystyle {\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}(x)={\frac {\Delta _{h}^{n}[f](x)}{h^{n}}}+O (h)={\frac {\nabla _{h}^{n}[f](x)}{h^{n}}}+O(h)={\frac {\delta _{h}^{n}[f](x)}{h^{n}}}+O\left(h^{2}\right).}

Различия более высокого порядка также могут быть используется для построения лучших приближений. Как упоминалось выше, разность первого порядка приближает производную первого порядка с точностью до члена порядка h. Однако комбинация

Δ h [f] (x) - 1 2 Δ h 2 [f] (x) h = - f (x + 2 h) - 4 f (x + h) + 3 f (x) 2 час {\ displaystyle {\ frac {\ Delta _ {h} [f] (x) - {\ frac {1} {2}} \ Delta _ {h} ^ {2} [f] (x)} {h}} = - {\ frac {f (x + 2h) -4f (x + h) + 3f (x)} {2h}}}{\frac {\Delta _{h}[f](x)-{\frac {1}{2}}\Delta _{h}^{2}[f](x)}{h}}=-{\frac {f(x+2h)-4f(x+h)+3f(x)}{2h}}

приближает f ′ (x) с точностью до члена порядка h. Это можно доказать, расширив приведенное выше выражение в ряд Тейлора или используя исчисление конечных разностей, как описано ниже.

При необходимости конечная разница может быть сосредоточена вокруг любой точки путем смешивания прямых, обратных и центральных разностей.

Ядра произвольного размера

Используя линейную алгебру, можно построить конечно-разностные аппроксимации, которые используют произвольное количество точек слева и (возможно другое) количество точек справа от точки оценки, для производной любого порядка. Это включает решение такой линейной системы, что разложение Тейлора суммы этих точек вокруг точки оценки наилучшим образом приближается к разложению Тейлора желаемой производной. Такие формулы могут быть представлены графически на гексагональной или ромбовидной сетке.

Это полезно для дифференцирования функции на сетке, где по мере приближения к краю сетки необходимо брать все меньше и меньше точек на одной стороне.

Подробности изложены в этих примечаниях.

Калькулятор конечно-разностных коэффициентов строит конечно-разностные аппроксимации для нестандартных (и даже нецелочисленных) шаблонов с произвольным шаблоном и желаемый производный порядок.

Свойства

  • Для всех положительных k и n
Δ khn (f, x) = ∑ i 1 = 0 k - 1 ∑ i 2 = 0 k - 1 ⋯ ∑ in = 0 k - 1 Δ hn (f, x + i 1 h + i 2 h + ⋯ + inh). {\ displaystyle \ Delta _ {kh} ^ {n} (f, x) = \ sum \ limits _ {i_ {1} = 0} ^ {k-1} \ sum \ limits _ {i_ {2} = 0 } ^ {k-1} \ cdots \ sum \ limits _ {i_ {n} = 0} ^ {k-1} \ Delta _ {h} ^ {n} \ left (f, x + i_ {1} h + i_ {2} h + \ cdots + i_ {n} h \ right).}{\ displaystyle \ Delta _ {kh} ^ {n} (f, x) = \ sum \ limits _ {i_ {1} = 0} ^ {k-1} \ sum \ limits _ {i_ {2} = 0} ^ {k-1 } \ cdots \ sum \ limits _ {i_ {n} = 0} ^ {k-1} \ Delta _ {h} ^ {n} \ left (f, x + i_ {1} h + i_ {2} h + \ cdots + i_ {n} h \ right).}
Δ hn (fg, x) = ∑ k = 0 n (nk) Δ hk (f, x) Δ hn - k (g, x + kh). {\ displaystyle \ Delta _ {h} ^ {n} (fg, x) = \ sum \ limits _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k}} \ Delta _ {h} ^ {k} (f, x) \ Delta _ {h} ^ {nk} (g, x + kh).}\Delta _{h}^{n}(fg,x)=\sum \limits _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\Delta _{h}^{k}(f,x)\Delta _{h}^{n-k}(g,x+kh).

В дифференциальных уравнениях

Важное применение конечных разностей находится в численный анализ, особенно в числовых дифференциальных уравнениях, которые направлены на численное решение обыкновенных и дифференциальных уравнений в частных производных. Идея состоит в том, чтобы заменить производные, входящие в дифференциальное уравнение, конечными разностями, которые их аппроксимируют. Полученные в результате методы называются методами конечных разностей.

Общие применения метода конечных разностей находятся в вычислительной науке и инженерных дисциплинах, таких как теплотехника, механика жидкости и т. Д..

Ряд Ньютона

Ряд Ньютона состоит из членов уравнения прямой разности Ньютона, названного в честь Исаак Ньютон ; по сути, это интерполяционная формула Ньютона, впервые опубликованная в его Principia Mathematica в 1687 году, а именно дискретный аналог непрерывного разложения Тейлора,

f (x) = ∑ k = 0 ∞ Δ k [f] (а) k! (Икс - а) К знак равно ∑ К знак равно 0 ∞ (Икс - АК) Δ К [е] (а), {\ Displaystyle F (х) = \ сумма _ {к = 0} ^ {\ infty} {\ гидроразрыва {\ Delta ^ {k} [f] (a)} {k!}} \, (Xa) _ {k} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ binom {xa} {k }} \, \ Delta ^ {k} [f] (a),}{\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Delta ^{k}[f](a)}{k!}}\,(x-a)_{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {x-a}{k}}\,\Delta ^{k}[f](a),}

, которое выполняется для любой полиномиальной функции f и для многих (но не всех) аналитических функций (Это не выполняется, если f имеет экспоненциальный тип π {\ displaystyle \ pi}\pi . Это легко увидеть, поскольку функция синуса исчезает при целых кратных π {\ displaystyle \ pi}\pi ; соответствующий ряд Ньютона тождественно равен нулю, поскольку все конечные разности в этом случае равны нулю. Однако ясно, что синусоидальная функция не равна нулю.). Здесь выражение

(x k) = (x) k k! {\ displaystyle {\ binom {x} {k}} = {\ frac {(x) _ {k}} {k!}}}{\displaystyle {\binom {x}{k}}={\frac {(x)_{k}}{k!}}}

- это биномиальный коэффициент, и

(Икс) К знак равно Икс (Икс - 1) (Икс - 2) ⋯ (Икс - К + 1) {\ Displaystyle (х) _ {к} = х (х-1) (х-2) \ cdots (х -k + 1)}(x)_{k}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-k+1)

- это «падающий факториал » или «нижний факториал», в то время как пустой продукт (x) 0 определяется как быть 1. В этом частном случае предполагается единичные шаги для изменения значений x, h = 1 в приведенном ниже обобщении.

Обратите внимание на формальное соответствие этого результата теореме Тейлора. Исторически это, а также тождество Чу – Вандермонда,

(x + y) n = ∑ k = 0 n (nk) (x) n - k (y) k, {\ displaystyle (x + y) _ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k}} (x) _ {nk} \, (y) _ {k},}{\displaystyle (x+y)_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(x)_{n-k}\,(y)_{k},}

(следующие из нее и соответствующие биномиальной теореме ), включены в наблюдения, которые созрели до системы теневого исчисления.

. Чтобы проиллюстрировать, как можно использовать формулу Ньютона на практике, рассмотрим первые несколько членов удвоения последовательности Фибоначчи f = 2, 2, 4,... Можно найти многочлен, который воспроизводит эти значения, сначала вычислив таблицу разностей, а затем подставляя разности, соответствующие x 0 (подчеркнуты), в формулу следующим образом:

xf = Δ 0 Δ 1 Δ 2 1 2 _ 0 _ 2 2 2 _ 2 3 4 f ( х) знак равно Δ 0 ⋅ 1 + Δ 1 ⋅ (х - х 0) 1 1! + Δ 2 ⋅ (х - х 0) 2 2! (Икс 0 знак равно 1) знак равно 2 ⋅ 1 + 0 ⋅ Икс - 1 1 + 2 ⋅ (Икс - 1) (Икс - 2) 2 = 2 + (Икс - 1) (Икс - 2) {\ Displaystyle {\ begin {matrix} {\ begin {array} {| c || c | c | c |} \ hline x f = \ Delta ^ {0} \ Delta ^ {1} \ Delta ^ {2} \\\ hline 1 {\ underline {2}} \\ {\ underline {0}} \\ 2 2 {\ underline {2}} \\ 2 \\ 3 4 \\\ hline \ end {array}} \ quad {\ begin {align} f (x) = \ Delta ^ {0} \ cdot 1+ \ Delta ^ {1} \ cdot {\ dfrac {(x-x_ {0}) _ {1}} {1!}} + \ Delta ^ {2} \ cdot {\ dfrac {(x-x_ {0}) _ {2}} {2!}} \ Quad (x_ {0} = 1) \\\\ = 2 \ cdot 1 + 0 \ cdot {\ dfrac {x-1} {1}} + 2 \ cdot {\ dfrac {(x-1) (x-2)} {2}} \\\\ = 2+ (x -1) (x-2) \\\ end {align}} \ end {matrix}}}{\begin{matrix}{\begin{array}{|c||c|c|c|}\hline xf=\Delta ^{0}\Delta ^{1}\Delta ^{2}\\\hline 1{\underline {2}}\\{\underline {0}}\\22{\underline {2}}\\2\\34\\\hline \end{array}}\quad {\begin{aligned}f(x)=\Delta ^{0}\cdot 1+\Delta ^{1}\cdot {\dfrac {(x-x_{0})_{1}}{1!}}+\Delta ^{2}\cdot {\dfrac {(x-x_{0})_{2}}{2!}}\quad (x_{0}=1)\\\\=2\cdot 1+0\cdot {\dfrac {x-1}{1}}+2\cdot {\dfrac {(x-1)(x-2)}{2}}\\\\=2+(x-1)(x-2)\\\end{aligned}}\end{matrix}}

Для случая неоднородных шагов в значениях x, Ньютон вычисляет разделенные разности,

Δ j, 0 = yj, Δ j, k = Δ j + 1, k - 1 - Δ j, k - 1 xj + k - xj ∋ {k>0, j ≤ max (j) - k}, Δ 0 k Знак равно Δ 0, К {\ Displaystyle \ Delta _ {j, 0} = y_ {j}, \ qquad \ Delta _ {j, k} = {\ frac {\ Delta _ {j + 1, k-1} - \ Delta _ {j, k-1}} {x_ {j + k} -x_ {j}}} \ quad \ ni \ quad \ left \ {k>0, \; j \ leq \ max \ left (j \ right) -k \ right \}, \ qquad \ Delta 0_ {k} = \ Del ta _ {0, k}}{\displaystyle \Delta _{j,0}=y_{j},\qquad \Delta _{j,k}={\frac {\Delta _{j+1,k-1}-\Delta _{j,k-1}}{x_{j+k}-x_{j}}}\quad \ni \quad \left\{k>0, \; j \ leq \ max \ left (j \ right) -k \ right \}, \ qquad \ Delta 0_ {k} = \ Delta _ { 0, k}}

серия продуктов,

P 0 = 1, P k + 1 = P k ⋅ (ξ - xk), {\ displaystyle {P_ {0}} = 1, \ quad \ quad P_ {k + 1} = P_ {k} \ cdot \ left (\ xi -x_ {k} \ right),}{\displaystyle {P_{0}}=1,\quad \quad P_{k+1}=P_{k}\cdot \left(\xi -x_{k}\right),}

, и полученный многочлен является скалярным произведением,

f (ξ) = Δ 0 ⋅ P (ξ) { \ displaystyle f (\ xi) = \ Delta 0 \ cdot P \ left (\ xi \ right)}f (\ xi) = \ Delta 0 \ cdot P \ left (\ xi \ right) .

При анализе с p-адическими числами теорема Малера утверждает, что предположение, что f - полиномиальная функция, может быть ослаблено вплоть до предположения, что f просто непрерывна.

Теорема Карлсона предоставляет необходимые и достаточные условия для того, чтобы ряд Ньютона был уникальным, если он существует. Однако рядов Ньютона, как правило, не существует.

Серия Ньютона вместе с серией Стирлинга и серией Сельберга является частным случаем общей разностной серии, все из которые определяются в терминах разницы, масштабированной соответствующим образом.

В сжатой и несколько более общей форме и равноудаленных узлах формула выглядит так:

f (x) = ∑ k = 0 (x - ahk) ∑ j = 0 k (- 1) k - j ( kj) f (a + jh). {\ displaystyle f (x) = \ sum _ {k = 0} {\ binom {\ frac {xa} {h}} {k}} \ sum _ {j = 0} ^ {k} (- 1) ^ {kj} {\ binom {k} {j}} f (a + jh).}{\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}{\binom {\frac {x-a}{h}}{k}}\sum _{j=0}^{k}(-1)^{k-j}{\binom {k}{j}}f(a+jh).}

Вычисление конечных разностей

Прямая разница может рассматриваться как оператор , называется разностным оператором, который отображает функцию f в Δ h [f]. Этот оператор составляет

Δ h = T h - I, {\ displaystyle \ Delta _ {h} = T_ {h} -I,}{\displaystyle \Delta _{h}=T_{h}-I,}

, где T h - это оператор сдвига с шагом h, определяемый как T h [f] (x) = f (x + h), а I - оператор идентичности.

Конечная разность высших заказы могут быть определены рекурсивным образом как Δ. h≡ Δ h(Δ. h). Другое эквивалентное определение - Δ. h= [T h - I].

Оператор разности Δ h является линейным оператором, поэтому он удовлетворяет Δ h [αf + βg] (x) = α Δ h [f] (x) + β Δ h [g] (x).

Он также удовлетворяет специальному правилу Лейбница, указанному выше, Δ h (f (x) g (x)) = (Δ h f (x)) g (x + h) + f (x) (Δ h g (x)). Аналогичные утверждения справедливы для обратных и центральных различий.

Формальное применение ряда Тейлора относительно h дает формулу

Δ h = h D + 1 2! ч 2 Д 2 + 1 3! час 3 D 3 + ⋯ знак равно а D - I, {\ displaystyle \ Delta _ {h} = hD + {\ frac {1} {2!}} h ^ {2} D ^ {2} + {\ frac {1 } {3!}} H ^ {3} D ^ {3} + \ cdots = \ mathrm {e} ^ {hD} -I,}{\displaystyle \Delta _{h}=hD+{\frac {1}{2!}}h^{2}D^{2}+{\frac {1}{3!}}h^{3}D^{3}+\cdots =\mathrm {e} ^{hD}-I,}

где D обозначает оператор производной континуума, отображающий f в его производную f ′. Расширение допустимо, когда обе стороны действуют на аналитические функции для достаточно малых h. Таким образом, T h = e, и формальное обращение экспоненты дает

h D = log ⁡ (1 + Δ h) = Δ h - 1 2 Δ h 2 + 1 3 Δ h 3 - ⋯. {\ displaystyle hD = \ log (1+ \ Delta _ {h}) = \ Delta _ {h} - {\ tfrac {1} {2}} \ Delta _ {h} ^ {2} + {\ tfrac { 1} {3}} \ Delta _ {h} ^ {3} - \ cdots.}{\displaystyle hD=\log(1+\Delta _{h})=\Delta _{h}-{\tfrac {1}{2}}\Delta _{h}^{2}+{\tfrac {1}{3}}\Delta _{h}^{3}-\cdots.}

Эта формула верна в том смысле, что оба оператора дают одинаковый результат при применении к многочлену.

Даже для аналитических функций ряд справа не гарантирует сходимости; это может быть асимптотический ряд . Однако его можно использовать для получения более точных приближений для производной. Например, сохранение первых двух членов ряда дает приближение второго порядка к f ′ (x), упомянутое в конце раздела Различия более высокого порядка.

Аналогичные формулы для операторов обратной и центральной разностей равны

h D = - log ⁡ (1 - ∇ h) и h D = 2 arsinh ⁡ (1 2 δ h). {\ displaystyle hD = - \ log (1- \ nabla _ {h}) \ quad {\ text {and}} \ quad hD = 2 \ operatorname {arsinh} \ left ({\ tfrac {1} {2}} \ delta _ {h} \ right).}{\displaystyle hD=-\log(1-\nabla _{h})\quad {\text{and}}\quad hD=2\operatorname {arsinh} \left({\tfrac {1}{2}}\delta _{h}\right).}

Исчисление конечных разностей связано с умбральным исчислением комбинаторики. Это удивительно систематическое соответствие обусловлено тождеством коммутаторов теневых величин их континуальным аналогам (пределы h → 0),

[Δ hh, x T h - 1] = [D, х] = Я. {\ displaystyle \ left [{\ frac {\ Delta _ {h}} {h}}, x \, T_ {h} ^ {- 1} \ right] = [D, x] = I.}{\displaystyle \left[{\frac {\Delta _{h}}{h}},x\,T_{h}^{-1}\right]=[D,x]=I.}

Таким образом, большое количество формальных дифференциальных отношений стандартного исчисления, включающего функции f (x), систематически отображаются в мрачные конечно-разностные аналоги, включающие f (xT. h).

Например, темный аналог монома x является обобщением указанного выше падающего факториала (k-символ Поххаммера ),

(x) n ≡ (x T h - 1) N знак равно Икс (Икс - час) (Икс - 2 час) ⋯ (Икс - (N - 1) час), {\ displaystyle ~ (x) _ {n} \ Equiv \ left (xT_ {h} ^ { -1} \ right) ^ {n} = x (xh) (x-2h) \ cdots {\ bigl (} x- (n-1) h {\ bigr)},}{\displaystyle ~(x)_{n}\equiv \left(xT_{h}^{-1}\right)^{n}=x(x-h)(x-2h)\cdots {\bigl (}x-(n-1)h{\bigr)},}

так, чтобы

Δ чч (Икс) N знак равно N (Икс) N - 1, {\ Displaystyle {\ frac {\ Delta _ {h}} {h}} (x) _ {n} = n (x) _ {n-1 },}{\displaystyle {\frac {\Delta _{h}}{h}}(x)_{n}=n(x)_{n-1},}

отсюда вышеприведенная формула интерполяции Ньютона (путем сопоставления коэффициентов в разложении произвольной функции f (x) такими символами) и т. Д.

Например, теневой синус равен

sin ⁡ (x T h - 1) = x - (x) 3 3! + (х) 5 5! - (х) 7 7! + ⋯ {\ displaystyle \ sin \ left (x \, T_ {h} ^ {- 1} \ right) = x - {\ frac {(x) _ {3}} {3!}} + {\ Frac { (x) _ {5}} {5!}} - {\ frac {(x) _ {7}} {7!}} + \ cdots}{\ displaystyle \ sin \ left (x \, T_ {h}) ^ {- 1} \ right) = x - {\ frac {(x) _ {3}} {3!}} + {\ Frac {(x) _ {5}} {5!}} - {\ frac {(х) _ {7}} {7!}} + \ cdots}

Как и в континуальном пределе, собственная функция Δ h / h также бывает экспонентой,

Δ hh (1 + λ h) xh = Δ hhe ln ⁡ (1 + λ h) xh = λ e ln ⁡ (1 + λ h) xh, {\ displaystyle {\ frac {\ Delta _ {h}} {h}} (1+ \ lambda h) ^ {\ frac {x} {h}} = {\ frac {\ Delta _ {h}} { h}} e ^ {\ ln (1+ \ lambda h) {\ frac {x} {h}}} = \ lambda e ^ {\ ln (1+ \ lambda h) {\ frac {x} {h} }},}{\displaystyle {\frac {\Delta _{h}}{h}}(1+\lambda h)^{\frac {x}{h}}={\frac {\Delta _{h}}{h}}e^{\ln(1+\lambda h){\frac {x}{h}}}=\lambda e^{\ln(1+\lambda h){\frac {x}{h}}},}

и, следовательно, суммы Фурье континуальных функций легко преобразуются в умбральные суммы Фурье точно, то есть с использованием тех же коэффициентов Фурье, умножающих эти умбральные базисные экспоненты. Эта темная экспонента, таким образом, составляет экспоненциальную производящую функцию символов Похгаммера.

. Так, например, дельта-функция Дирака отображается на ее темный корреспондент, функция кардинального синуса,

δ (x) ↦ sin ⁡ [π 2 (1 + xh)] π (x + h), {\ displaystyle \ delta (x) \ mapsto {\ frac {\ sin \ left [{ \ frac {\ pi} {2}} \ left (1 + {\ frac {x} {h}} \ right) \ right]} {\ pi (x + h)}},}{\ displaystyle \ delta (x) \ mapsto {\ frac {\ sin \ left [{\ frac {\ pi} {2}} \ left (1 + {\ frac {x} {h}} \ right) \ right]} {\ pi (x + h)}},}

и так далее. Разностные уравнения часто могут быть решены методами, очень похожими на методы решения дифференциальных уравнений.

Обратный оператор прямого разностного оператора, то есть затемненный интеграл, является неопределенным сумма или оператор антиразличия.

Правила исчисления операторов конечных разностей

Аналогично правилам нахождения производной, мы имеем:

  • Постоянное правило : если c равно константа, тогда
Δ c = 0 {\ displaystyle \ Delta c = 0}{\displaystyle \Delta c=0}
Δ (af + bg) знак равно a Δ е + б Δ g {\ displaystyle \ Delta (af + bg) = a \, \ Delta f + b \, \ Delta g}\Delta (af+bg)=a\,\Delta f+b\,\Delta g

Все вышеперечисленные правила одинаково хорошо применимы к любой разнице оператор, включая ∇ относительно Δ.

Δ (fg) = f Δ g + g Δ f + Δ f Δ g ∇ (fg) = f ∇ g + g ∇ f - ∇ f ∇ g {\ displaystyle {\ begin {выровнено } \ Delta (fg) = f \, \ Delta g + g \, \ Delta f + \ Delta f \, \ Delta g \\\ nabla (fg) = f \, \ nabla g + g \, \ nabla f- \ nabla f \, \ nabla g \ end {align}}}{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta (fg)=f\,\Delta g+g\,\Delta f+\Delta f\,\Delta g\\\nabla (fg)=f\,\nabla g+g\,\nabla f-\nabla f\,\nabla g\end{aligned}}}
∇ (fg) = 1 g det [∇ f ∇ gfg] (det [g ∇ g 1 1]) - 1 {\ displaystyle \ nabla \ left ({\ frac {f} {g}} \ right) = {\ frac {1} {g}} \ det {\ begin {bmatrix} \ nabla f \ nabla g \\ f g \ end {bmatrix}} \ left (\ det {\ begin {bmatrix} g \ nabla g \\ 1 1 \ end {bmatrix}} \ right) ^ {- 1}}{\ displaystyle \ nabla \ left ({\ frac {f} {g}} \ right) = {\ frac {1} {g}} \ det {\ begin {bmatrix} \ nabla f \ nabla g \\ f g \ end {bmatrix}} \ left(\det {\begin{bmatrix}g\nabla g\\11\end{bmatrix}}\right)^{-1}}
или
∇ (fg) знак равно г ∇ е - е ∇ gg ⋅ (г - ∇ г) {\ displaystyle \ nabla \ left ({\ frac {f} {g}} \ right) = {\ frac {g \, \ nabla ff \, \ nabla g} {g \ cdot (g- \ nabla g)}}}\nabla \left({\frac {f}{g}}\right)={\frac {g\,\nabla f-f\,\nabla g}{g\cdot (g-\nabla g)}}
∑ n = ab Δ f (n) = f (b + 1) - f (a) ∑ n = ab ∇ е (N) знак равно е (b) - е (а - 1) {\ Displaystyle {\ begin {выровнено} \ sum _ {n = a} ^ {b} \ Delta f (n) = f (b + 1) -f (a) \\\ sum _ {n = a} ^ {b} \ nabla f (n) = f (b) -f (a-1) \ end {align}}}{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _ {n=a}^{b}\Delta f(n)=f(b+1)-f(a)\\\sum _{n=a}^{b}\nabla f(n)= f(b)-f(a-1)\end{aligned}}}

См. Ссылки.

Обобщения

  • A обобщенный конечный разница обычно определяется как
Δ h μ [f] (x) = ∑ k = 0 N μ kf (x + kh), {\ displaystyle \ Delta _ {h} ^ {\ mu} [f ] (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {N} \ mu _ {k} f (x + kh),}\Delta _{h}^{\mu }[f](x)=\sum _{k=0}^{N}\mu _{k}f(x+kh),

где μ = (μ 0,… μ N) - его вектор коэффициентов. Бесконечная разность является дальнейшим обобщением, в котором конечная сумма, указанная выше, заменяется бесконечной серией. Другой способ обобщения - сделать коэффициенты μ k зависимыми от точки x: μ k = μ k (x), таким образом учитывая взвешенную конечную разность . Также можно сделать так, чтобы шаг h зависел от точки x: h = h (x). Такие обобщения полезны для построения различных модулей непрерывности.

Многомерные конечные разности

Конечные разности могут рассматриваться более чем в одной переменной. Они аналогичны частным производным по нескольким переменным.

Некоторые приближения частных производных:

fx (x, y) ≈ f (x + h, y) - f (x - h, y) 2 hfy (x, y) ≈ f (x, y + k) - f (x, y - k) 2 kfxx (x, y) ≈ f (x + h, y) - 2 f (x, y) + f (x - h, y) h 2 fyy (x, y) ≈ f (x, y + k) - 2 f (x, y) + f (x, y - k) k 2 fxy (x, y) ≈ f (x + h, y + k) - f (x + h, y - k) - f (x - h, y + k) + f (x - h, y - k) 4 hk. {\ displaystyle {\ begin {align} f_ {x} (x, y) \ приблизительно {\ frac {f (x + h, y) -f (xh, y)} {2h}} \\ f_ {y } (x, y) \ приблизительно {\ frac {f (x, y + k) -f (x, yk)} {2k}} \\ f_ {xx} (x, y) \ приблизительно {\ frac {f (x + h, y) -2f (x, y) + f (xh, y)} {h ^ {2}}} \\ f_ {yy} (x, y) \ приблизительно {\ frac { f (x, y + k) -2f (x, y) + f (x, yk)} {k ^ {2}}} \\ f_ {xy} (x, y) \ приблизительно {\ frac {f (x + h, y + k) -f (x + h, yk) -f (xh, y + k) + f (xh, yk)} {4hk}}. \ end {align}}}{\displaystyle {\begin{aligned}f_{x}(x,y)\approx {\frac {f (x+h,y)-f(xh,y)}{2h}}\\f_{y}(x,y)\approx {\frac {f(x,y+k)-f(x, yk)}{2k}}\\f_{xx}(x,y)\approx {\frac {f(x+h,y)-2f(x,y)+f(xh,y)}{h ^{2}}}\\f_{yy}(x,y)\approx {\frac {f(x, y+k)-2f(x,y)+f(x,y-k)}{k^{2}}}\\f_{xy}(x,y)\approx {\frac {f(x+h,y+k)-f(x+h,y-k)-f(x-h,y+k)+f(x-h,y-k)}{4hk}}.\end{aligned}}}

В качестве альтернативы, для приложений, в которых вычисление f является наиболее затратным этапом, и должны быть вычислены как первая, так и вторая производные, более эффективная формула для последнего случая:

fxy (x, y) ≈ f (x + h, y + k) - f (x + h, y) - f (x, y + k) + 2 f (x, y) - f (x - h, y) - f (x, y - k) + е (Икс - час, Y - К) 2 hk, {\ Displaystyle f_ {xy} (x, y) \ приблизительно {\ гидроразрыва {f (x + h, y + k) -f (x + h, y) -f (x, y + k) + 2f (x, y) -f (xh, y) -f (x, yk) + f (xh, yk)} {2hk}},}{ \ Displaystyle f_ {xy} (x, y) \ приблизительно {\ frac {f (x + h, y + k) -f (x + h, y) -f (x, y + k) + 2f (x, y) -f (xh, y) -f (x, yk) + f (xh, yk)} {2hk}},}

так как единственный значения для вычисления, которые еще не нужны для предыдущих четырех уравнений, - это f (x + h, y + k) и f (x - h, y - k).

См. Также

Ссылки

  1. ^ Пол Уилмотт; Сэм Ховисон; Джефф Дьюинн (1995). Математика производных финансовых инструментов: введение для студентов. Издательство Кембриджского университета. п. 137. ISBN 978-0-521-49789-3.
  2. ^ Питер Олвер (2013). Введение в дифференциальные уравнения с частными производными. Springer Science Business Media. п. 182. ISBN 978-3-319-02099-0.
  3. ^ М Ханиф Чаудри (2007). Открытый канал потока. Springer. п. 369. ISBN 978-0-387-68648-6.
  4. ^Джордан, указ. соч., стр. 1 и Милн-Томсон, стр. xxi. Милн-Томсон, Луи Мелвилл (2000): Исчисление конечных разностей (Chelsea Pub Co, 2000) ISBN 978-0821821077
  5. ^Fraser, Duncan C. (1 января, 1909). «О графическом обозначении формулы интерполяции». Журнал института актуариев. 43 (2): 235–241. doi : 10.1017 / S002026810002494X. Получено 17 апреля 2017 г.
  6. ^Ньютон, Исаак, (1687). Принципы, Книга III, Лемма V, Случай 1
  7. ^Д. Рихтмейер, и Мортон, К.В., (1967). Разностные методы для задач с начальным значением, 2-е изд., Вили, Нью-Йорк.
  8. ^Буль, Джордж, (1872 г.). Трактат об исчислении конечных разностей, 2-е изд., Macmillan and Company. На строке. Также [Dover edition 1960]
  9. ^Джордан Чарльз (1939/1965). «Исчисление конечных разностей», Chelsea Publishing. Он-лайн: [1]
  10. ^Zachos, C. (2008). «Темные деформации в дискретном пространстве-времени». Международный журнал современной физики A. 23 (13): 2005–2014. arXiv : 0710.2306. Bibcode : 2008IJMPA..23.2005Z. doi : 10.1142 / S0217751X08040548.
  11. ^Curtright, T. L.; Захос, К. К. (2013). "Umbral Vade Mecum". Границы физики. 1 : 15. arXiv : 1304.0429. Bibcode : 2013FrP..... 1... 15C. doi : 10.3389 / fphy.2013.00015.
  12. ^Levy, H.; Лессман, Ф. (1992). Конечно-разностные уравнения. Дувр. ISBN 0-486-67260-3.
  13. ^Эймс, У. Ф., (1977). Численные методы для уравнений с частными производными, раздел 1.6. Academic Press, Нью-Йорк. ISBN 0-12-056760-1.
  14. ^Хильдебранд, Ф. Б., (1968). Конечно-разностные уравнения и моделирование, Раздел 2.2, Прентис-Холл, Энглвуд-Клиффс, Нью-Джерси.
  15. ^Флажоле, Филипп; Седжвик, Роберт (1995). «Преобразования Меллина и асимптотика: конечные разности и интегралы Райса» (PDF). Теоретическая информатика. 144 (1–2): 101–124. doi : 10.1016 / 0304-3975 (94) 00281-M..
  • Ричардсон, С.Х. (1954): Введение в исчисление конечных разностей (Ван Ностранд (1954) онлайн копия
  • Миккенс, Р.Е. (1991): Разностные уравнения: теория и приложения (Чепмен и Холл / CRC) ISBN 978-0442001360

Внешние ссылки

Последняя правка сделана 2021-05-20 04:27:47
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте