Производная Фреше

Не путать с дифференцированием в пространствах Фреше.

В математике, то производная Фреше является производным, определенным на нормированных пространствах. Названный в честь Мориса Фреше, он обычно используется для обобщения производной действительной функции одной действительной переменной на случай векторной функции нескольких действительных переменных, а также для определения функциональной производной, широко используемой в исчислении вариации.

Как правило, он расширяет идею производной от действительных функций одной действительной переменной до функций на нормированных пространствах. Производная Фреше должна быть противопоставлена ​​более общей производной Гато, которая является обобщением классической производной по направлению.

Производная Фреше имеет приложения к нелинейным задачам математического анализа и физических наук, в частности, к вариационному исчислению и большей части нелинейного анализа и нелинейного функционального анализа.

• 1 Определение
• 2 свойства
• 3 Конечные размеры
• 4 Пример в бесконечных измерениях
• 5 Связь с производной Гато
• 6 Высшие производные
• 7 частные производные Фреше
• 8 Обобщение на топологические векторные пространства
• 9 См. Также
• 10 заметок
• 11 Источники
• 12 Внешние ссылки

Пусть V и W будут нормированные векторные пространства, и быть открытое подмножество из V. Функция f  : U → W называется дифференцируемой по Фреше в точке, если существует такой ограниченный линейный оператор, что ${\ Displaystyle U \ подмножество V}$ ${\ Displaystyle х \ в U}$ ${\ displaystyle A: V \ to W}$

${\ displaystyle \ lim _ {\ | h \ | \ to 0} {\ frac {\ | f (x + h) -f (x) -Ah \ | _ {W}} {\ | h \ | _ { V}}} = 0.}$

Предел здесь понимается в обычном смысле предела функции, определенной на метрическом пространстве (см функций на метрических пространствах ), используя V и W в качестве двух метрических пространств, а также приведенное выше выражение как функция аргумента ч в V. Как следствие, оно должно существовать для всех последовательностей ненулевых элементов V, которые сходятся к нулевому вектору. Эквивалентно, разложение первого порядка выполняется в обозначениях Ландау. ${\ displaystyle \ langle h_ {n} \ rangle _ {n = 1} ^ {\ infty}}$${\ displaystyle h_ {n} \ до 0.}$

${\ Displaystyle f (x + h) = f (x) + Ah + o (h).}$

Если такой оператор A существует, он единственен, поэтому мы пишем и называем его производной Фреше функции f в точке x. Функция х т Фреш дифференцируем для любой точки U называется С ¹, если функцией ${\ displaystyle Df (x) = A}$

${\ Displaystyle Df: U \ к В (V, W); х \ mapsto Df (x)}$

непрерывно ( обозначает пространство всех линейных ограниченных операторов из в). Обратите внимание, что это не то же самое, что требование, чтобы отображение было непрерывным для каждого значения (что предполагается; ограниченный и непрерывный эквивалентны). ${\ displaystyle B (V, W)}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle Df (x): от V \ до W}$${\ displaystyle x}$

Это понятие производной является обобщением обычной производной функции от действительных чисел, поскольку линейные отображения от до представляют собой просто умножение на действительное число. В этом случае функция Df ( x). ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle т \ mapsto f '(х) т}$

Функция, дифференцируемая в точке, непрерывна в этой точке.

Дифференцирование - это линейная операция в следующем смысле: если f и g - два отображения V → W, дифференцируемые в точке x, а c - скаляр (действительное или комплексное число ), то производная Фреше подчиняется следующим свойствам:

${\ Displaystyle D (cf) (x) = cDf (x)}$

${\ Displaystyle D (f + g) (x) = Df (x) + Dg (x).}$

В этом контексте также справедливо цепное правило : если f  : U → Y дифференцируема в x ∈ U и g  : Y → W дифференцируема в y = f ( x), то композиция g ∘ f дифференцируема по x и производная - это состав производных:

${\ Displaystyle D (г \ circ f) (x) = Dg (f (x)) \ circ Df (x).}$

Производная Фреше в конечномерных пространствах является обычной производной. В частности, он представлен в координатах матрицей Якоби.

Предположим, что f - отображение, а U - открытое множество. Если f дифференцируема по Фреше в точке a ∈ U, то ее производная равна ${\ displaystyle f: U \ подмножество \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {m}}$

${\ displaystyle {\ begin {cases} Df (a): \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {m} \\ Df (a) (v) = J_ {f} (a) v \ end {case}}}$

где J f ( a) обозначает матрицу Якоби функции f в точке a.

Кроме того, частные производные f задаются формулами

${\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {i}}} (a) = Df (a) (e_ {i}) = J_ {f} (a) e_ {i},}$

где { е я } есть канонический базис Поскольку производная является линейной функцией, то есть для всех векторов, что производная по направлению от F вдоль ч даются формулой ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}.}$${\ displaystyle h \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$

${\ displaystyle Df (a) (h) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} h_ {i} {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {i}}} (a).}$

Если все частные производные f существуют и непрерывны, то f дифференцируема по Фреше (и, фактически, C ¹). Обратное неверно; функция

${\ displaystyle f (x, y) = {\ begin {case} (x ^ {2} + y ^ {2}) \ sin \ left ((x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {- 1/2} \ right) amp; (x, y) \ neq (0,0) \\ 0 amp; (x, y) = (0,0) \ end {case}}}$

дифференцируема по Фреше, но не имеет непрерывных частных производных в точке. ${\ displaystyle (0,0)}$

Один из простейших (нетривиальных) примеров в бесконечных измерениях - это тот, где область является гильбертовым пространством (), а интересующей функцией является норма. Так что считайте. ${\ displaystyle H}$${\ Displaystyle \ | \ cdot \ |: от H \ до \ mathbb {R}}$

Сначала предположим, что. Затем мы утверждаем, что производная Фреше функции at является линейным функционалом, определяемым формулой ${\ Displaystyle х \ neq 0}$${\ displaystyle \ | \ cdot \ |}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle D}$

${\ displaystyle Dv: = \ left \ langle v, {\ frac {x} {\ | x \ |}} \ right \ rangle.}$

Верно,

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {| \ | x + h \ | - \ | x \ | -Dh |} {\ | h \ |}} amp; = {\ frac {| \ | x \ | \ | x + h \ | - \ langle x, x \ rangle - \ langle x, h \ rangle |} {\ | x \ | \ | h \ |}} \\ [8pt] amp; = {\ frac { | \ | x \ | \ | x + h \ | - \ langle x, x + h \ rangle |} {\ | x \ | \ | h \ |}} \\ [8pt] amp; = {\ frac {| \ langle x, x \ rangle \ langle x + h, x + h \ rangle - \ langle x, x + h \ rangle ^ {2} |} {\ | x \ | \ | h \ | (| \ | x \ | \ | x + h \ | + \ langle x, x + h \ rangle |)}} \\ [8pt] amp; = {\ frac {\ langle x, x \ rangle \ langle h, h \ rangle - \ langle x, h \ rangle ^ {2}} {\ | x \ | \ | h \ | (| \ | x \ | \ | x + h \ | + \ langle x, x + h \ rangle |)}} \\ amp; {} \ конец {выровнено}}}$

Используя непрерывность нормы и внутреннего продукта, получаем:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {| \ | x + h \ | - \ | x \ | -Dh |} {\ | h \ |}} amp; = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {\ langle x, x \ rangle \ langle h, h \ rangle - \ langle x, h \ rangle ^ {2}} {\ | x \ | \ | h \ | (| \ | x \ | \ | x + h \ | + \ langle x, x + h \ rangle |)}} \\ [8pt] amp; = {\ frac {1} {2 \ | x \ | ^ {3}}} \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {\ langle x, x \ rangle \ langle h, h \ rangle - \ langle x, h \ rangle ^ {2}} {\ | h \ |}} \\ [8pt] amp; = {\ frac {1} {2 \ | x \ | ^ {3}}} \ lim _ {h \ to 0} \ left (\ langle x, x \ rangle \ | h \ | - \ langle x, h \ rangle \ left \ langle x, {\ frac {h} {\ | h \ |}} \ right \ rangle \ right) \\ [8pt] amp; = {\ frac {1 } {2 \ | x \ | ^ {3}}} \ left (\ lim _ {h \ to 0} \ langle x, x \ rangle \ | h \ | - \ lim _ {h \ to 0} \ langle x, h \ rangle \ left \ langle x, {\ frac {h} {\ | h \ |}} \ right \ rangle \ right) \\ [8pt] amp; = {\ frac {1} {2 \ | x \ | ^ {3}}} \ left (0- \ lim _ {h \ to 0} \ langle x, h \ rangle \ left \ langle x, {\ frac {h} {\ | h \ |}} \ right \ rangle \ right) \\ [8pt] amp; = - {\ frac {1} {2 \ | x \ | ^ {3}}} \ left (\ lim _ {h \ to 0} \ langle x, h \ rangle \ left \ langle x, {\ frac {h} {\ | h \ |}} \ right \ rangle \ right) \\ [8pt] \ end {align}}}$

Поскольку и в силу неравенства Коши-Буняковского-Шварца ${\ displaystyle h \ to 0, \ langle x, h \ rangle \ to 0}$

${\ displaystyle \ left \ langle x, {\ frac {h} {\ | h \ |}} \ right \ rangle}$

ограничено, таким образом, весь предел равен нулю. ${\ Displaystyle \ | х \ |}$

Теперь покажем, что по норме не дифференцируема, т. Е. Не существует ограниченного линейного функционала, для которого существует рассматриваемый предел. Позвольте быть любым линейным функционалом. Теорема Рисса о представлении говорит нам, что для некоторых это может быть определено. Рассматривать ${\ displaystyle x = 0}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle D}$ ${\ displaystyle D}$${\ Displaystyle Dv = \ langle a, v \ rangle}$${\ displaystyle a \ in H}$

${\ displaystyle A (h) = {\ frac {| \ | 0 + h \ | - \ | 0 \ | -Dh |} {\ | h \ |}} = \ left | 1- \ left \ langle a, {\ frac {h} {\ | h \ |}} \ right \ rangle \ right |.}$

Чтобы норма была дифференцируемой при, мы должны иметь ${\ displaystyle 0}$

${\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} A (h) = 0.}$

Мы покажем, что это неверно ни для кого. Если очевидно, независимо от, значит, это не производная. Допустим. Если мы возьмем стремление к нулю в направлении (т.е. где), то, следовательно, ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle a = 0}$${\ Displaystyle А (ч) = 1}$${\ displaystyle h}$${\ Displaystyle а \ neq 0}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle -a}$${\ displaystyle h = t \ cdot (-a)}$${\ displaystyle t \ to 0 ^ {+}}$${\ Displaystyle А (ч) = | 1+ \ | а \ ||gt; 1gt; 0}$

${\ Displaystyle \ lim _ {ч \ к 0} А (ч) \ neq 0}$

(Если мы возьмем стремление к нулю в направлении, мы даже увидим, что этот предел не существует, поскольку в этом случае мы получим). ${\ displaystyle h}$${\ displaystyle a}$${\ Displaystyle | 1- \ | а \ ||}$

Только что полученный результат согласуется с результатами в конечных размерностях.

Функция F  : U ⊂ V → W называется Гато по х  ∈ U, если е имеет направленную производную вдоль всех направлений в  х. Это означает, что существует функция g  : V → W такая, что

${\ displaystyle g (h) = \ lim _ {t \ to 0} {\ frac {f (x + th) -f (x)} {t}}}$

для любого выбранного вектора ч в V, и где т от поля скалярного связанного с V ( как правило, т является реальным ).

Если f дифференцируема по Фреше в точке x, она также дифференцируема по Гато и g является просто линейным оператором A  = Df ( x).

Однако не всякая дифференцируемая функция Гато дифференцируема по Фреше. Это аналогично тому факту, что существование всех производных по направлениям в точке не гарантирует полной дифференцируемости (или даже непрерывности) в этой точке. Например, вещественная функция f двух вещественных переменных, определяемая формулой

${\ displaystyle f (x, y) = {\ begin {cases} {\ frac {x ^ {3}} {x ^ {2} + y ^ {2}}} amp; (x, y) \ neq (0, 0) \\ 0 amp; (x, y) = (0,0) \ end {case}}}$

непрерывна и дифференцируема по Гато в точке (0, 0) с производной

${\ displaystyle g (a, b) = {\ begin {cases} {\ frac {a ^ {3}} {a ^ {2} + b ^ {2}}} amp; (a, b) \ neq (0, 0) \\ 0 amp; (a, b) = (0,0) \ end {case}}}$

Функция g не является линейным оператором, поэтому эта функция не дифференцируема по Фреше.

В более общем смысле, любая функция вида, где r и φ - полярные координаты ( x, y), непрерывна и дифференцируема по Гато в точке (0,0), если g дифференцируема в 0 и, но производная Гато только линейна. и производная Фреше существует только тогда, когда ч является синусоидальной. ${\ Displaystyle е (х, у) = г (г) час (\ фи)}$ ${\ Displaystyle ч (\ фи + \ пи) = - ч (\ фи)}$

В другой ситуации функция f, заданная формулой

${\ displaystyle f (x, y) = {\ begin {cases} {\ frac {x ^ {3} y} {x ^ {6} + y ^ {2}}} amp; (x, y) \ neq ( 0,0) \\ 0 amp; (x, y) = (0,0) \ end {case}}}$

дифференцируема по Гато в точке (0, 0), причем ее производная равна g ( a,  b) = 0 для всех ( a,  b), что является линейным оператором. Однако f не является непрерывным в точке (0, 0) (это можно увидеть, приблизившись к началу координат вдоль кривой ( t, t ³)), и поэтому f не может быть дифференцируемой по Фреше в начале координат.

Более тонкий пример:

${\ displaystyle f (x, y) = {\ begin {case} {\ frac {x ^ {2} y} {x ^ {4} + y ^ {2}}} {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} amp; (x, y) \ neq (0,0) \\ 0 amp; (x, y) = (0,0) \ end {case}}}$

которая является непрерывной функцией, дифференцируемой по Гато в точке (0, 0), с производной g ( a,  b) = 0, которая снова линейна. Однако f не дифференцируема по Фреше. Если бы это было так, его производная Фреше совпадала с его производной Гато и, следовательно, была бы нулевым оператором; отсюда предел

${\ displaystyle \ lim _ {(x, y) \ to (0,0)} \ left | {\ frac {x ^ {2} y} {x ^ {4} + y ^ {2}}} \ right |}$

должен быть равен нулю, тогда как приближение к началу координат по кривой ( t, t ²) показывает, что этого предела не существует.

Эти случаи могут возникать, потому что определение производной Гато требует только, чтобы разностные коэффициенты сходились вдоль каждого направления индивидуально, без предъявления требований к скорости сходимости для разных направлений. Таким образом, для данного ε, хотя для каждого направления коэффициент разности находится в пределах ε от его предела в некоторой окрестности данной точки, эти окрестности могут быть разными для разных направлений, и может существовать последовательность направлений, для которых эти окрестности становятся произвольно маленький. Если последовательность точек выбрана вдоль этих направлений, частное в определении производной Фреше, которое учитывает все направления одновременно, может не сходиться. Таким образом, для того, чтобы линейная производная Гато предполагала существование производной Фреше, разностные коэффициенты должны сходиться равномерно для всех направлений.

Следующий пример работает только в бесконечных измерениях. Пусть X - банахово пространство, а φ - линейный функционал на X, разрывной в точке x  = 0 ( разрывной линейный функционал ). Позволять

${\ Displaystyle f (x) = \ | x \ | \ varphi (x).}$

Тогда f ( x) дифференцируема по Гато в точке x  = 0 с производной 0. Однако f ( x) не дифференцируема по Фреше, поскольку предел

${\ Displaystyle \ lim _ {х \ к 0} \ varphi (x)}$

не существует.

Если f  : U → W - дифференцируемая функция во всех точках открытого подмножества U в V, то ее производная

${\ displaystyle Df: U \ к L (V, W)}$

является функцией от U к пространству L ( V, W) всех линейных ограниченных операторов из V в W. Эта функция также может иметь производную, производную второго порядка от f, которая, по определению производной, будет отображением

${\ displaystyle D ^ {2} f: U \ to L {\ big (} V, L (V, W) {\ big)}.}$

Для того, чтобы облегчить работу с производными второго порядка, пространство на правой стороне идентифицируется с банаховом пространстве L ² ( V × V, W) всех непрерывных билинейной карт от V до W. Элемент φ в L ( V, L ( V, W)), таким образом, идентифицируется с ф в L ² ( V × V, W), что для всех х и у в V,

${\ displaystyle \ varphi (x) (y) = \ psi (x, y).}$

(Интуитивно: функция φ, линейная по x, с линейной по y φ ( x), совпадает с билинейной функцией ψ по x и y).

Можно различить

${\ displaystyle D ^ {2} f: U \ to L ^ {2} (V \ times V, W)}$

снова, чтобы получить производную третьего порядка, которая в каждой точке будет трилинейным отображением, и так далее. П -й производной будет функцией

${\ displaystyle D ^ {n} f: U \ to L ^ {n} (V \ times V \ times \ cdots \ times V, W),}$

принимающее значение в банаховом пространстве непрерывных полилинейных отображений в п аргументов от V до W. Рекурсивный, функция F является п + 1 раз дифференцируем на U, если оно п раз дифференцируемые на U, и для каждого х в U существует непрерывное отображение полилинейного А из п + 1 аргументов таких, что предел

${\ displaystyle \ lim _ {h_ {n + 1} \ to 0} {\ frac {\ left \ | D ^ {n} f \ left (x + h_ {n + 1} \ right) (h_ {1}), h_ {2}, \ ldots, h_ {n}) - D ^ {n} f (x) (h_ {1}, h_ {2}, \ ldots, h_ {n}) - A \ left (h_ { 1}, h_ {2}, \ ldots, h_ {n}, h_ {n + 1} \ right) \ right \ |} {\ | h_ {n + 1} \ |}} = 0}$

существует равномерно по ч 1, ч 2,..., ч п в ограниченных множеств в V. В этом случае A является ( n + 1) -й производной f в точке x.

Более того, мы, очевидно, можем идентифицировать член пространства с линейной картой посредством идентификации, таким образом рассматривая производную как линейную карту. ${\ Displaystyle L ^ {п} (В \ раз V \ раз \ cdots \ раз V, W)}$${\ Displaystyle L (\ bigotimes _ {j = 1} ^ {n} V_ {j}, W)}$${\ displaystyle f (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) = f (x_ {1} \ otimes x_ {2} \ otimes \ cdots \ otimes x_ {n})}$

В этом разделе мы расширяем обычное понятие частных производных, которое определяется для функций вида, на функции, области определения и целевые пространства которых являются произвольными (действительными или комплексными) банаховыми пространствами. Для этого пусть и будут банаховыми пространствами (над одним и тем же полем скаляров), и пусть будет заданной функцией, и зафиксируйте точку. Мы говорим, что имеет i-й частный дифференциал в точке, если функция, определенная формулой ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle V_ {1}, \ точки, V_ {n}}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle f: \ prod _ {i = 1} ^ {n} V_ {i} \ to W}$${\ displaystyle a = (a_ {1}, \ dots, a_ {n}) \ in \ prod _ {i = 1} ^ {n} V_ {i}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle \ varphi _ {i}: V_ {i} \ to W}$

${\ Displaystyle \ varphi _ {я} (х) = е (а_ {1}, \ точки, а_ {я-1}, х, а_ {я + 1}, \ точки а_ {п})}$

дифференцируема по Фреше в точке (в описанном выше смысле). В этом случае мы определяем и называем i-ю частную производную от в точке. Важно отметить, что это линейное преобразование из в. Эвристически, если имеет i-й частный дифференциал at, то линейно аппроксимирует изменение функции, когда мы фиксируем все ее элементы как для, и мы изменяем только i-ю запись. Мы можем выразить это в обозначениях Ландау как ${\ displaystyle a_ {i}}$${\ Displaystyle \ partial _ {я} е (а): = D \ varphi _ {я} (а_ {я})}$${\ Displaystyle \ partial _ {я} е (а)}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle a}$${\ Displaystyle \ partial _ {я} е (а)}$${\ displaystyle V_ {i}}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle a}$${\ Displaystyle \ partial _ {я} е (а)}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle a_ {j}}$${\ displaystyle j \ neq i}$

${\ displaystyle f (a_ {1}, \ dots, a_ {i} + h, \ dots a_ {n}) - f (a_ {1}, \ dots, a_ {n}) = \ partial _ {i} f (a) (h) + o (h).}$

Понятие производной Фреше можно обобщить на произвольные топологические векторные пространства (TVS) X и Y. Пусть U будет открытым подмножеством X, содержащим начало координат и заданной функцией, так что мы сначала определяем, что значит для этой функции иметь 0 в качестве производной. Мы говорим, что эта функция f касается 0, если для каждой открытой окрестности 0 существует открытая окрестность 0 и функция такая, что ${\ displaystyle f: от U \ до Y}$${\ displaystyle f (0) = 0,}$${\ Displaystyle W \ подмножество Y}$${\ Displaystyle V \ подмножество X}$${\ displaystyle o: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle \ lim _ {t \ to 0} {\ frac {o (t)} {t}} = 0,}$

и для всех t в некоторой окрестности начала координат${\ Displaystyle е (ТВ) \ подмножество о (т) W.}$

Теперь мы можем снять ограничение, определяя f как дифференцируемую по Фреше в точке, если существует такой непрерывный линейный оператор, который, рассматриваемый как функция h, касается 0. (Lang p. 6) ${\ displaystyle f (0) = 0}$${\ displaystyle x_ {0} \ in U}$${\ displaystyle \ lambda: X \ to Y}$${\ displaystyle f (x_ {0} + h) -f (x_ {0}) - \ lambda h}$

Если производная Фреше существует, то она единственна. Кроме того, производная Гато также должна существовать и быть равной производной Фреше в том, что для всех, ${\ displaystyle v \ in X}$

${\ displaystyle \ lim _ {\ tau \ to 0} {\ frac {f (x_ {0} + \ tau v) -f (x_ {0})} {\ tau}} = f '(x_ {0}) v,}$

где - производная Фреше. Функция, дифференцируемая по Фреше в точке, обязательно непрерывна там, а суммы и скалярные кратные дифференцируемых по Фреше функций дифференцируемы, так что пространство функций, дифференцируемых по Фреше в точке, образует подпространство функций, непрерывных в этой точке. Цепное правило также выполняется, как и правило Лейбница, когда Y - алгебра, и TVS, в которой умножение непрерывно. ${\ displaystyle f '(x_ {0})}$

• Обобщения производной
• Градиент # Производная Фреше
• Бесконечномерная голоморфность

• Картан, Анри (1967), Calcul différentiel, Paris: Hermann, MR   0223194.
• Дьедонне, Жан (1969), Основы современного анализа, Бостон, Массачусетс: Academic Press, MR   0349288.
• Ланг, Серж (1995), Дифференциальные и римановы многообразия, Springer, ISBN   0-387-94338-2.
• Мункрес, Джеймс Р. (1991), Анализ на многообразиях, Аддисон-Уэсли, ISBN   978-0-201-51035-5, Руководство по ремонту   1079066.
• Превиато, Эмма, изд. (2003), Словарь прикладной математики для инженеров и ученых, Большой математический словарь, Лондон: CRC Press, ISBN   978-1-58488-053-0, MR   1966695.
• Коулман, Родни, изд. (2012), Исчисление в нормированных векторных пространствах, Universitext, Springer, ISBN   978-1-4614-3894-6.

• Б.А. Фригик, С. Сривастава и М.Р. Гупта, Введение в функциональные производные, Технический отчет UWEE за 2008-0001 гг.
• http://www.probability.net. Эта веб-страница в основном посвящена основам теории вероятностей и меры, но есть хорошая глава о производной Фреше в банаховых пространствах (глава о формуле Якобиана). Все результаты приведены с доказательством.