Производная Гато

В математике, дифференциал Гато или Производная Гато является обобщением концепции производной по направлению в дифференциальном исчислении. Названный в честь Рене Гато, французского математика, умершего молодым в Первой мировой войне, он определен для функций между локально выпуклыми топологическими векторными пространствами такие как банаховы пространства. Подобно производной Фреше в банаховом пространстве, дифференциал Гато часто используется для формализации функциональной производной, обычно используемой в вариационном исчислении и физике..

В отличие от других форм производных, дифференциал Гато функции может быть нелинейным. Однако часто определение дифференциала Гато также требует, чтобы это было непрерывное линейное преобразование. Некоторые авторы, такие как Тихомиров (2001), проводят дополнительное различие между дифференциалом Гато (который может быть нелинейным) и производной Гато (который они считают линейным). В большинстве приложений непрерывная линейность следует из некоторых более примитивных условий, которые естественны для конкретной ситуации, например, наложения комплексной дифференцируемости в контексте бесконечномерной голоморфности или непрерывной дифференцируемости. в нелинейном анализе.

• 1 Определение
• 2 Линейность и непрерывность
• 3 Высшие производные
• 4 Свойства
• 5 Пример
• 6 См. Также
• 7 Ссылки

Предположим, что $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$и $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$являются локально выпуклыми топологическими векторными пространствами. (например, банаховы пространства ), $U\; \subset \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; \backslash \; subset\; X\}$открыто, и $F:\; X\; \to \; Y\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; F:\; от\; X\; \backslash \; до\; Y\}$. Дифференциал Гато $d\; F\; (u;\; \psi )\; \{\backslash \; displaystyle\; dF\; (u;\; \backslash \; psi)\}$из $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$в $u\; \in \; U\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; \backslash \; in\; U\}$в направлении $\psi \; \in \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; \backslash \; in\; X\}$определяется как

$d\; F\; (\; u;\; \psi )\; =\; lim\; \tau \; \to \; 0\; F\; (u\; +\; \tau \; \psi )\; -\; F\; (u)\; \tau \; =\; dd\; \tau \; F\; (u\; +\; \tau \; \psi )\; |\; \tau \; знак\; равно\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; dF\; (u;\; \backslash \; psi)\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{\backslash \; tau\; \backslash \; rightarrow\; 0\}\; \{\backslash \; frac\; \{F\; (u\; +\; \backslash \; tau\; \backslash \; psi)\; -F\; (u)\}\; \{\backslash \; tau\}\}\; =\; \backslash \; left.\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{d\; \backslash \; tau\}\}\; F\; (u\; +\; \backslash \; tau\; \backslash \; psi)\; \backslash \; right\; |\; \_\; \{\backslash \; tau\; =\; 0\}\}$

(1)

Если предел существует для всех $\psi \; \in \; Икс\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; \backslash \; in\; X\}$, тогда говорят, что $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$дифференцируема по Гато в $u\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; \}$.

Предел, указанный в (1), берется относительно топологии $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$. Если $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$и $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$являются реальными топологическими векторными пространствами, то предел берется для реальный $\tau \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\}$. С другой стороны, если $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$и $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$являются сложными топологическими векторными пространствами, тогда указанный выше предел обычно берется как $\tau \; \to \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\; \backslash \; to\; 0\}$в комплексной плоскости, как в определении комплексной дифференцируемости. В некоторых случаях вместо сильного предела берется слабый предел, что приводит к понятию слабой производной Гато.

В каждой точке $u\; \in \; U\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; \backslash \; in\; U\}$дифференциал Гато определяет функцию

$d\; F\; (u;\; \cdot ):\; X\; \to \; Y.\; \{\backslash \; displaystyle\; dF\; (u;\; \backslash \; cdot):\; X\; \backslash \; rightarrow\; Y.\}$

Эта функция однородна в том смысле, что для всех скаляров $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$,

$d\; F\; (u;\; \alpha \; \psi )\; =\; \alpha \; d\; F\; (u;\; \psi ).\; \{\backslash \; displaystyle\; dF\; (u;\; \backslash \; alpha\; \backslash \; psi)\; =\; \backslash \; alpha\; dF\; (u;\; \backslash \; psi).\; \backslash ,\}$

Однако эта функция не обязательно должна быть аддитивной, так что дифференциал Гато может не быть линейным, в отличие от производная Фреше. Даже если он линейный, он может не зависеть непрерывно от $\psi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\}$, если $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$и $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$бесконечномерны. Кроме того, для дифференциалов Гато, линейных и непрерывных в $\psi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\}$, есть несколько неэквивалентных способов сформулировать их непрерывную дифференцируемость.

. Например, рассмотрим действительную -значная функция $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$двух вещественных переменных, определенных как

$F\; (x,\; y)\; =\; \{x\; 3\; x\; 2\; +\; y\; 2\; if\; (x,\; y)\; \ne \; (\; 0,\; 0),\; 0,\; если\; (x,\; y)\; =\; (0,\; 0).\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (x,\; y)\; =\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; \{\backslash \; dfrac\; \{x\; ^\; \{3\}\}\; \{x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\}\}\; \{\backslash \; text\; \{if\}\}\; (x,\; y)\; \backslash \; neq\; (0,0),\; \backslash \backslash \; 0\; \{\backslash \; text\; \{if\}\}\; (x,\; y)\; =\; (0,0).\; \backslash \; end\; \{ases\}\}\}$

Это дифференцируемая по Гато в (0, 0) с дифференциалом

$d\; F\; (0,\; 0;\; a,\; b)\; =\; \{a\; 3\; a\; 2\; +\; b\; 2\; (a,\; b)\; \ne \; (0,\; 0),\; 0\; (a,\; b)\; =\; (0,\; 0).\; \{\backslash \; displaystyle\; dF\; (0,0;\; a,\; b)\; =\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; \{\backslash \; dfrac\; \{a\; ^\; \{3\}\}\; \{a\; ^\; \{2\}\; +\; b\; ^\; \{2\}\}\}\; (a,\; b)\; \backslash \; not\; =\; (0,0),\; \backslash \backslash \; 0\; (a,\; b)\; =\; (0,0).\; \backslash \; end\; \{cases\}\}\}$

Однако это непрерывно, но не линейно по аргументам $(a,\; б)\; \{\backslash \; Displaystyle\; (а,\; б)\}$. В бесконечных измерениях любой прерывистый линейный функционал на $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$является дифференцируемым по Гато, но его дифференциал Гато в $0\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\}$является линейным, но не непрерывным.

Связь с производной Фреше

Если $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$дифференцируема по Фреше, то она также дифференцируема по Гато, и ее производные по Фреше и Гато согласуются. Обратное явно неверно, поскольку производная Гато может не быть линейной или непрерывной. Фактически, производная Гато даже может быть линейной и непрерывной, но производная Фреше может не существовать.

Тем не менее, для функций $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$из сложного банахова пространства $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$в другое сложное банахово пространство $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$, производная Гато (где предел берется по комплексному $\tau \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\}$, стремящемуся к нулю, как в определении комплексной дифференцируемости ) автоматически линейно, согласно теореме Zorn (1945). Кроме того, если $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$является (комплексным) дифференцируемым по Гато в каждом $u\; \in \; U\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; \backslash \; in\; U\}$с производной

$DF\; (u):\; \psi \; \mapsto \; d\; F\; (u;\; \psi )\; \{\backslash \; displaystyle\; DF\; (u):\; \backslash \; psi\; \backslash \; mapsto\; dF\; (u;\; \backslash \; psi)\}$

, затем $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$дифференцируема по Фреше на $U\; \{\backslash \; displaystyle\; U\}$с производной Фреше $DF\; \{\backslash \; displaystyle\; DF\}$(Zorn 1946). Это аналогично результату базового комплексного анализа о том, что функция является аналитической, если она комплексно дифференцируема в открытом множестве, и является фундаментальным результатом при изучении бесконечного размерная голоморфность.

Непрерывная дифференцируемость

Непрерывная дифференцируемость по Гато может быть определена двумя неэквивалентными способами. Предположим, что $F:\; U\; \to \; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; F:\; U\; \backslash \; to\; Y\}$дифференцируем по Гато в каждой точке открытого множества $U\; \{\backslash \; displaystyle\; U\}$. Одно из понятий непрерывной дифференцируемости в $U\; \{\backslash \; displaystyle\; U\}$требует, чтобы отображение в пространстве продукта

$d\; F:\; U\; \times \; X\; \to \; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; dF:\; U\; \backslash \; умножить\; на\; X\; \backslash \; rightarrow\; Y\; \backslash ,\}$

быть непрерывным. Не нужно предполагать линейность: если $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$и $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$являются пространствами Фреше, то $d\; F\; (u\; ;\; \cdot )\; \{\backslash \; displaystyle\; dF\; (u;\; \backslash \; cdot)\}$автоматически ограничено и линейно для всех $u\; \{\backslash \; displaystyle\; u\}$(Hamilton 1982).

Более сильное понятие непрерывной дифференцируемости требует, чтобы

$u\; \mapsto \; DF\; (u)\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; \backslash \; mapsto\; DF\; (u)\; \backslash ,\}$

было непрерывным отображением

$U\; \to \; L\; (\; X,\; Y)\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; \backslash \; до\; L\; (X,\; Y)\; \backslash ,\}$

от $U\; \{\backslash \; displaystyle\; U\}$до пространства непрерывных линейных функций от $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$до $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$. Обратите внимание, что это уже предполагает линейность $DF\; (u)\; \{\backslash \; displaystyle\; DF\; (u)\}$.

С технической точки зрения это последнее понятие непрерывной дифференцируемости типично (но не универсально), когда пробелы $Икс\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$и $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$являются банаховыми, поскольку $L\; (X,\; Y)\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; (X,\; Y)\}$также является банаховым, и тогда можно использовать стандартные результаты функционального анализа. Первое является более общим определением в областях нелинейного анализа, где задействованные функциональные пространства не обязательно являются банаховыми пространствами. Например, дифференцирование в пространствах Фреше имеет приложения, такие как теорема Нэша – Мозера об обратной функции, в которой интересующие функциональные пространства часто состоят из гладких функций на многообразие.

В то время как производные Фреше высшего порядка естественным образом определяются как полилинейные функции путем итерации, используя изоморфизмы $L\; n\; (X,\; Y)\; =\; L\; (Икс,\; L\; N\; -\; 1\; (X,\; Y))\; \{\backslash \; Displaystyle\; L\; ^\; \{n\}\; (X,\; Y)\; =\; L\; (X,\; L\; ^\; \{n-1\}\; (X,\; Y))\}$производная Гато более высокого порядка не может быть определена таким образом. Вместо этого $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$производная Гато-го порядка функции $F:\; U\; \subset \; X\; \to \; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; F:\; U\; \backslash \; subset\; X\; \backslash \; to\; Y\}$в направлении $h\; \{\backslash \; displaystyle\; h\}$определяется как

$dn\; F\; (u;\; h)\; =\; dnd\; \tau \; n\; F\; (u\; +\; \tau \; h)\; |\; \tau \; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; ^\; \{n\}\; F\; (u;\; h)\; =\; \backslash \; left.\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{n\}\}\; \{d\; \backslash \; tau\; ^\; \{n\}\}\}\; F\; (u\; +\; \backslash \; tau\; h)\; \backslash \; right\; |\; \_\; \{\; \backslash \; tau\; =\; 0\}.\}$

(2)

Вместо полилинейной функции это однородная функция степени $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$in $h\; \{\backslash \; displaystyle\; h\}$.

Существует еще один кандидат на определение производной более высокого порядка, функция

$D\; 2\; F\; (u)\; \{h,\; k\}\; =\; lim\; \tau \; \to \; 0\; DF\; (\; u\; +\; \tau \; k)\; h\; -\; DF\; (u)\; h\; \tau \; =\; \partial \; 2\; \partial \; \tau \; \partial \; \sigma \; F\; (u\; +\; \sigma \; h\; +\; \tau \; k)\; |\; \tau \; знак\; равно\; \sigma \; знак\; равно\; 0\; \{\backslash \; Displaystyle\; D\; ^\; \{2\}\; F\; (u)\; \backslash \; \{h,\; k\; \backslash \}\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{\backslash \; tau\; \backslash \; to\; 0\}\; \{\backslash \; frac\; \{DF\; (u\; +\; \backslash \; tau\; k)\; h-DF\; (\; u)\; h\}\; \{\backslash \; tau\}\}\; =\; \backslash \; left.\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; tau\; \backslash ,\; \backslash \; partial\; \backslash \; sigma\}\}\; F\; (u\; +\; \backslash \; sigma\; h\; +\; \backslash \; tau\; k)\; \backslash \; right\; |\; \_\; \{\backslash \; tau\; =\; \backslash \; sigma\; =\; 0\}\}$

(3)

, которое естественно возникает в вариационном исчислении как $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$, по крайней мере, в особый случай, когда $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$имеет скалярное значение. Однако он может вообще не иметь каких-либо разумных свойств, кроме того, что он по отдельности однороден в $h\; \{\backslash \; displaystyle\; h\}$и $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$. Желательно иметь достаточные условия, чтобы гарантировать, что $D\; 2\; F\; (u)\; \{h,\; k\}\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; ^\; \{2\}\; F\; (u)\; \backslash \; \{h,\; k\; \backslash \}\}$является симметричной билинейной функцией от $h\; \{\backslash \; displaystyle\; h\}$и $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$, и это согласуется с поляризацией из $dn\; F\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; ^\; \{n\}\; F\}$.

Например, выполняется следующее достаточное условие (Hamilton 1982). Предположим, что $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$равно $C\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; ^\; \{1\}\}$в том смысле, что отображение

$DF:\; U\; \times \; X\; \to \; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; DF:\; U\; \backslash \; times\; X\; \backslash \; to\; Y\}$

непрерывно в топологии продукта, и, кроме того, вторая производная, определенная посредством (3), также непрерывна в том смысле, что

$D\; 2\; F:\; U\; \times \; X\; \times \; X\; \to \; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; ^\; \{2\}\; F:\; U\; \backslash \; times\; X\; \backslash \; times\; X\; \backslash \; to\; Y\}$

непрерывно. Тогда $D\; 2\; F\; (u)\; \{h,\; k\}\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; ^\; \{2\}\; F\; (u)\; \backslash \; \{h,\; k\; \backslash \}\}$билинейно и симметрично в $h\; \{\backslash \; displaystyle\; h\}$и $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$. В силу билинейности выполняется поляризационное тождество

$D\; 2\; F\; (u)\; \{h,\; k\}\; =\; 1\; 2\; d\; 2\; F\; (u;\; h\; +\; k)\; -\; d\; 2\; F\; (u;\; h)\; -\; d\; 2\; F\; (U;\; К)\; \{\backslash \; Displaystyle\; D\; ^\; \{2\}\; F\; (и)\; \backslash \; \{ч,\; к\; \backslash \}\; =\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{1\}\; \{2\}\}\; d\; ^\; \{2\}\; F\; (и;\; ч\; +\; к)\; -d\; ^\; \{2\}\; F\; (u;\; h)\; -d\; ^\; \{2\}\; F\; (u;\; k)\}$

, относящаяся к производной второго порядка $D\; 2\; F\; (u)\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; ^\; \{2\}\; F\; (\; u)\}$с дифференциалом $d\; 2\; F\; (u;\; -)\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; ^\; \{2\}\; F\; (u\; ;-)\}$. Аналогичные выводы справедливы и для производных более высокого порядка.

Версия фундаментальной теоремы исчисления верна для производной Гато от $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$при условии $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$предполагается достаточно непрерывно дифференцируемым. В частности:

• Предположим, что $F:\; X\; \to \; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; F:\; X\; \backslash \; to\; Y\}$равно $C\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; ^\; \{1\}\}$в том смысле, что производная Гато является непрерывной функцией $d\; F:\; U\; \times \; X\; \to \; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; dF:\; U\; \backslash \; times\; X\; \backslash \; to\; Y\}$. Тогда для любых $u\; \in \; U\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; \backslash \; in\; U\}$и $h\; \in \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; \backslash \; in\; X\}$,

$F\; (u\; +\; h)\; -\; F\; (\; u)\; знак\; равно\; \int \; 0\; 1\; d\; F\; (u\; +\; th;\; час)\; dt\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (u\; +\; h)\; -F\; (u)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{1\}\; dF\; (u\; +\; th;\; h)\; \backslash ,\; dt\}$

где интеграл - это интеграл Гельфанда – Петтиса (слабый интеграл).

Из этого вытекают многие другие известные свойства производной, такие как полилинейность и коммутативность производные высшего порядка. Дополнительные свойства, также следствия фундаментальной теоремы, включают:

• (Цепное правило )

$d\; (G\; \circ \; F)\; (u;\; x)\; =\; d\; G\; (F\; (u);\; d\; F\; (u;\; x))\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; (G\; \backslash \; circ\; F)\; (u;\; x)\; =\; dG\; (F\; (u);\; dF\; (u;\; x))\}$

для всех $u\; \in \; U\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; \backslash \; in\; U\}$и $x\; \in \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; in\; X\}$. (Обратите внимание, что, как и в случае с простыми частными производными, производная Гато не удовлетворяет цепному правилу, если производной разрешено быть разрывной.)

• (Теорема Тейлора с остатком )

Предположим, что отрезок между $u\; \in \; U\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; \backslash \; in\; U\}$и $u\; +\; h\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; +\; h\}$полностью лежит в пределах $U\; \{\backslash \; displaystyle\; U\}$. Если $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$равно $C\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; ^\; \{k\}\}$, тогда

$F\; (u\; +\; h)\; =\; F\; (\; и)\; +\; d\; F\; (и;\; ч)\; +\; 1\; 2!\; d\; 2\; F\; (и;\; ч)\; +\; \cdots \; +\; 1\; (к\; -\; 1)!\; dk\; -\; 1\; F\; (u;\; час)\; +\; р\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (u\; +\; h)\; =\; F\; (u)\; +\; dF\; (u;\; h)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2!\}\}\; d\; ^\; \{2\}\; F\; (u;\; h)\; +\; \backslash \; dots\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(k-1)!\}\}\; D\; ^\; \{k-1\}\; F\; (u;\; h)\; +\; R\_\; \{k\}\}$

где остаток член определяется как

$R\; k\; (u;\; h)\; =\; 1\; (k\; -\; 1)!\; \int \; 0\; 1\; (1\; -\; t)\; k\; -\; 1\; dk\; F\; (u\; +\; th;\; h)\; dt\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{k\}\; (u;\; h)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(k-1)!\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{1\}\; (1-t)\; ^\; \{k-1\}\; d\; ^\; \{k\}\; F\; (u\; +\; th;\; h)\; \backslash ,\; dt\}$

Пусть $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$быть гильбертовым пространством квадратично интегрируемых функций на измеримом множестве по Лебегу $\Omega \; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\}$в евклидовом пространстве $R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}$. Функционал

$E:\; X\; \to \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; E:\; X\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$

$E\; (u)\; =\; \int \; \Omega \; F\; (u\; (x))\; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; (u)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; Omega\}\; F\; (u\; (x))\; \backslash ,\; dx\}$

где $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$- действительная -значная функция от вещественная переменная и $u\; \{\backslash \; displaystyle\; u\}$определена на $\Omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\}$с действительными значениями, имеет производную Гато

$d\; E\; (u,\; \psi )\; =\; ⟨F\; \prime \; (u),\; \psi ⟩:\; =\; \int \; \Omega \; F\; \prime \; (u\; (x))\; \psi \; (x)\; dx.\; \{\backslash \; Displaystyle\; dE\; (и,\; \backslash \; psi)\; =\; \backslash \; langle\; F\; \text{'}(u),\; \backslash \; psi\; \backslash \; rangle:\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; Omega\}\; F\text{'}\; (u\; (x))\; \backslash ,\; \backslash \; psi\; (x)\; \backslash ,\; dx.\}$

Действительно, указанное выше является пределом $\tau \; \to \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\; \backslash \; to\; 0\}$из

$E\; (u\; +\; \tau \; \psi )\; -\; E\; (u)\; \tau \; =\; 1\; \tau \; (\int \; \Omega \; F\; (u\; +\; \tau \; \psi )\; dx\; -\; \int \; \Omega \; F\; (u)\; dx)\; =\; 1\; \tau \; (\int \; \Omega \; \int \; 0\; 1\; dds\; F\; (u\; +\; s\; \tau \; \psi )\; dsdx)\; =\; \int \; \Omega \; \int \; 0\; 1\; F\; \prime \; (U\; +\; s\; \tau \; \psi )\; \psi \; dsdx.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; frac\; \{E\; (u\; +\; \backslash \; tau\; \backslash \; psi)\; -E\; (u)\}\; \{\backslash \; tau\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; tau\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; Omega\}\; F\; (u\; +\; \backslash \; tau\; \backslash ,\; \backslash \; psi)\; \backslash ,\; dx-\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; Omega\}\; F\; (u)\; \backslash ,\; dx\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; [6pt]\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\; \backslash \; tau\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; Omega\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{1\}\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{ds\}\}\; F\; (u\; +\; s\; \backslash ,\; \backslash \; tau\; \backslash ,\; \backslash \; psi)\; \backslash ,\; ds\; \backslash ,\; dx\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; [6pt]\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; Omega\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{1\}\; F\; \text{'}(u\; +\; s\; \backslash \; tau\; \backslash \; psi)\; \backslash ,\; \backslash \; psi\; \backslash ,\; ds\; \backslash ,\; dx.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

• Производная Адамара
• Производная (обобщения)
• Дифференциация в пространствах Фреше
• Фрактальная производная
• Квазипроизводная
• Кватернионный анализ

• Gateaux, R (1913), «Sur les fonctionnelles continue et les fonctionnelles analytiques», Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences, Париж, 157 : 325–327, получено 2 сентября 2012 г..
• Gateaux, R (1919), «Fonctions d'une infinité de variables indépendantes», Bulletin de la Société Mathématique de Франция, 47 : 70–96.
• Гамильтон, RS (1982), «Обратная забава Теорема Нэша и Мозера », Bull. Амер. Математика. Soc., 7 (1): 65–222, doi : 10.1090 / S0273-0979-1982-15004-2, MR 0656198
• Хилле, Эйнар ; Филлипс, Ральф С. (1974), Функциональный анализ и полугруппы, Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество, MR 0423094.
• Тихомиров, В.М. (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press.
• Zorn, Max (1945), «Характеризация аналитических функций в банаховых пространствах», Annals of Математика, Вторая серия, 46 (4): 585–593, doi : 10.2307 / 1969198, ISSN 0003-486X, JSTOR 1969198, MR 0014190.
• Zorn, Max (1946), «Производные и дифференциалы Фреше», Бюллетень Американского математического общества, 52 (2): 133–137, doi : 10.1090 / S0002-9904-1946-08524-9, MR 0014595.