Коэффициент разности

В исчислении с одной переменной коэффициент разности - обычно имя выражения

$f\; (x\; +\; h)\; -\; f\; (x)\; h\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (x\; +\; h)\; -f\; (x)\}\; \{h\}\}\}$

, который при приближении к пределу, когда h приближается к 0, дает производную функции функции f. Название выражения связано с тем, что оно является частным от разницы значений функции на разность соответствующих значений ее аргумента (последняя равна (x + h) -x = h в этом случае). Коэффициент разности является мерой средней скорости изменения функции на интервале (в данном случае - интервале длиной h). Таким образом, предел коэффициента разности (т. Е. Производной) составляет мгновенную скорость изменения.

Путем небольшого изменения обозначений (и точки зрения) для интервала [a, b ], коэффициент разности

$f\; (b)\; -\; f\; (a)\; b\; -\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (b)\; -f\; (a)\}\; \{ba\}\}\}$

называется средним ( или среднее) значение производной f на интервале [a, b]. Это название оправдано теоремой о среднем значении, которая утверждает, что для дифференцируемой функции f ее производная f 'достигает своего среднего значения в какой-то момент интервал. Геометрически этот коэффициент разности измеряет наклон секущей линии , проходящей через точки с координатами (a, f (a)) и (b, f (b)).

Коэффициенты разности используются как приближения в числовом дифференцировании, но они также подвергались критике в этом приложении.

Коэффициент разности иногда также называют Ньютоном частное (после Исаака Ньютона ) или коэффициент разности Ферма (после Пьера де Ферма ).

• 1 Обзор
• 2 Определение диапазона точек
• 3 Частное первичной разности (= 1)
  • 3.1 Как производная
  • 3.2 Как разделенная разность
• 4 Разностные отношения высшего порядка
  • 4.1 Второй порядок
  • 4.2 Третий порядок
  • 4.3 Ń-й порядок
• 5 Применение разделенной разности
• 6 См. Также
• 7 Ссылки
• 8 Внешние ссылки

Типичное понятие коэффициента разницы, обсуждавшееся выше, выглядит следующим образом: частный случай более общей концепции. Ключевым элементом исчисления и другой высшей математики является функция . Его «входным значением» является его аргумент, обычно точка («P»), отображаемая на графике. Разница между двумя точками сама по себе известна как их Дельта (ΔP), как и разница в их функциональном результате, причем конкретное обозначение определяется направлением образования:

• Прямая разница: ΔF (P) = F (P + ΔP) - F (P);
• Центральная разность: δF (P) = F (P + ½ΔP) - F (P - ½ΔP);
• Разница в обратном направлении: ∇F (P) = F (P) - F (P - ΔP).

Общее предпочтение - прямая ориентация, поскольку F (P) - это основание, по отношению к которому различия (т.е. «ΔP» s) добавляются к нему. Кроме того,

• Если | ΔP | конечна (что означает измеримость), то ΔF (P) называется конечной разностью с конкретными обозначениями DP и DF (P);
• If | ΔP | бесконечно малая (бесконечно малая величина - $\iota \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; iota\}$- обычно выражается в стандартном анализе как предел: $lim\; \Delta \; P\; \to \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{\backslash \; Delta\; P\; \backslash \; rightarrow\; 0\}\; \backslash ,\; \backslash !\}$), тогда ΔF (P) известна как бесконечно малая разность с определенными обозначениями dP и dF (P) (в графическом исчислении точка почти всегда обозначается как «x», а F (x) как «y»).

Разность функций, деленная на разность точек, известна как «коэффициент разности»:

$\Delta \; F\; (P)\; \Delta \; P\; =\; F\; (P\; +\; \Delta \; P)\; -\; F\; (P)\; \Delta \; P\; =\; \nabla \; F\; (P\; +\; \Delta \; P)\; \Delta \; P.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Delta\; F\; (P)\}\; \{\backslash \; Delta\; P\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{F\; (P\; +\; \backslash \; Delta\; P)\; -F\; (P)\}\; \{\backslash \; Delta\; P\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; nabla\; F\; (P\; +\; \backslash \; Delta\; P)\}\; \{\backslash \; Delta\; P\}\}.\; \backslash ,\; \backslash !\}$

Если ΔP бесконечно малая, то разностное отношение является производной, в противном случае - разделенная разница :

$Если\; |\; \Delta \; P\; |\; =\; \iota :\; \Delta \; F\; (P)\; \Delta \; P\; =\; d\; F\; (P)\; d\; P\; =\; F\; \prime \; (P)\; =\; G\; (P);\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{If\}\}\; |\; \backslash \; Delta\; P\; |\; =\; \{\backslash \; mathit\; \{\backslash \; iota\}\}:\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Delta\; F\; (P)\}\; \{\backslash \; Delta\; P\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{dF\; (P)\}\; \{dP\}\}\; =\; F\; \text{'}(P)\; =\; G\; (P);\; \backslash ,\; \backslash !\}$

$Если\; |\; \Delta \; P\; |>\iota :\; \Delta \; F\; (P)\; \Delta \; P\; =\; D\; F\; (P)\; D\; P\; =\; F\; [P,\; P\; +\; \Delta \; P].\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{If\}\}\; |\; \backslash \; Delta\; P\; |>\{\backslash \; mathit\; \{\backslash \; iota\}\}:\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Delta\; F\; (P)\}\; \{\backslash \; Delta\; P\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{DF\; (P)\}\; \{DP\}\}\; =\; F\; [P,\; P\; +\; \backslash \; Delta\; P].\; \backslash ,\; \backslash !\}$

Независимо от того, бесконечно ли ΔP или нет, является (по крайней мере - в случае производной - теоретически) точечным диапазоном, где границы составляют P ± (0,5) ΔP (в зависимости от ориентации - ΔF (P), δF (P) или ∇F (P)) :

LB = нижняя граница; UB = верхняя граница;

Производные можно рассматривать как сами функции, укрывающие свои собственные производные. Таким образом, каждая функция является домом для последовательных степеней ("более высоких порядков") деривации или дифференцирования. Это свойство можно обобщить на все коэффициенты разности.. Поскольку для этого упорядочивания требуется соответствующая граница расщепление, целесообразно разбить диапазон точек на более мелкие части одинакового размера, каждая из которых помечена промежуточной точкой (P i), где LB = P 0 и UB = P ń, n-я точка, равная степени / порядку:

LB = P 0 = P 0 + 0Δ 1 P = P ń - (Ń-0) Δ 1 P; P 1 = P 0 + 1Δ 1 P = P ń - (Ń-1) Δ 1 П; P 2 = P 0 + 2Δ 1 P = P ń - (Ń-2) Δ 1 П; P 3 = P 0 + 3Δ 1 P = P ń - (Ń-3) Δ 1 П; ↓ ↓ ↓ ↓ P ń-3 = P 0 + (Ń-3) Δ 1 P = P ń - 3Δ 1 P; P ń-2 = P 0 + (Ń-2) Δ 1 P = P ń - 2Δ 1 P; P ń-1 = P 0 + (Ń-1) Δ 1 P = P ń - 1Δ 1 P; UB = P ń-0 = P 0 + (Ń-0) Δ 1 P = P ń - 0Δ 1 P = P ń;

ΔP = Δ 1 P = P 1 - P 0 = P 2 - P 1 = P 3 - P 2 =... = P ń - P ń-1 ;

ΔB = UB - LB = P ń - P 0 = Δ ń P = ŃΔ 1 P.

$\Delta \; F\; (P\; 0)\; \Delta \; P\; =\; F\; (P\; n\; ´)\; -\; F\; (P\; 0)\; \Delta \; n\; ´\; P\; =\; F\; (P\; 1)\; -\; F\; (P\; 0)\; \Delta \; 1\; P\; =\; F\; (P\; 1)\; -\; F\; (P\; 0)\; P\; 1\; -\; P\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Delta\; F\; (P\_\; \{0\})\}\; \{\backslash \; Delta\; P\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{F\; (P\; \_\; \{\backslash \; строго\; \{n\}\})\; -\; F\; (P\_\; \{0\})\}\; \{\backslash \; Дельта\; \_\; \{\backslash \; строго\; \{n\}\}\; P\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{F\; (P\_\; \{1\})\; -\; F\; (P\_\; \{0\})\}\; \{\backslash \; Delta\; \_\; \{1\}\; P\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{F\; (\; P\_\; \{1\})\; -\; F\; (P\_\; \{0\})\}\; \{P\_\; \{1\}\; -P\_\; \{0\}\}\}.\; \backslash ,\; \backslash !\}$

В качестве производной

Фактор разности в качестве производной не требует объяснения, за исключением указания на то, что, поскольку P 0 по существу равно P 1 = P 2 =... = P ń ( поскольку различия бесконечно малы), нотация Лейбница и производные выражения не различают P и P 0 или P ń:

$d\; F\; (P)\; d\; P\; =\; F\; (P\; 1)\; -\; F\; (P\; 0)\; d\; P\; =\; F\; \prime \; (P)\; =\; G\; (P).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dF\; (P)\}\; \{dP\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{F\; (P\_\; \{1\})\; -\; F\; (P\_\; \{0\})\}\; \{dP\}\}\; =\; F\; \text{'}(P)\; =\; G\; (\; P).\; \backslash ,\; \backslash !\}$

Существуют другие производные обозначения, но это наиболее известные стандартные обозначения.

В качестве разделенной разности

Разделенная разность, однако, требует дальнейшего пояснения, так как она равна средней производной между LB и UB включительно:

В этой интерпретации P ã представляет собой извлеченную функцию, среднее значение P (среднее значение, но обычно не совсем среднее), конкретная оценка зависит от при усреднении функции он извлекается из. Более формально, P ã находится в теореме о среднем значении исчисления, которая гласит:

Для любой функции, которая является непрерывной на [ LB, UB] и дифференцируемых на (LB, UB) существует некоторое P ã в интервале (LB, UB) такое, что секанс, соединяющий концы интервала [LB, UB], параллелен касательная в точке P ã.

По сути, P ã обозначает некоторое значение P между LB и UB - следовательно,

, который связывает результат среднего значения с разделенной разностью :

Как есть, по само его определение, ощутимая разница между LB / P 0 и UB / P ń, выражения Лейбница и производные выражения требуют разделения аргумент функции.

Второй порядок

$\Delta \; 2\; F\; (P\; 0)\; \Delta \; 1\; P\; 2\; =\; \Delta \; F\; \text{'}(P\; 0)\; \Delta \; 1\; P\; =\; \Delta \; F\; (P\; 1)\; \Delta \; 1\; P\; -\; \Delta \; F\; (P\; 0)\; \Delta \; 1\; P\; \Delta \; 1\; P,\; =\; F\; (P\; 2)\; -\; F\; (P\; 1)\; \Delta \; 1\; P\; -\; F\; (P\; 1)\; -\; F\; (P\; 0)\; \Delta \; 1\; P\; \Delta \; 1\; P,\; =\; F\; (P\; 2)\; -\; 2\; F\; (P\; 1)\; +\; F\; (P\; 0)\; \Delta \; 1\; P\; 2;\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Delta\; ^\; \{2\}\; F\; (P\_\; \{0\})\}\; \{\backslash \; Delta\; \_\; \{1\}\; P\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Delta\; F\; \text{'}(P\_\; \{0\})\}\; \{\backslash \; Delta\; \_\; \{1\}\; P\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Delta\; F\; (P\_\; \{1\})\}\; \{\backslash \; Delta\; \_\; \{1\}\; P\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Delta\; F\; (P\_\; \{0\})\}\; \{\backslash \; Delta\; \_\; \{1\}\; P\}\}\}\; \{\backslash \; Delta\; \_\; \{1\}\; P\}\},\; \backslash \backslash \; [10pt]\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; frac\; \{F\; (P\_\; \{2\})\; -\; F\; (P\_\; \{1\})\}\; \{\backslash \; Delta\; \_\; \{1\}\; P\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{F\; (P\_\; \{1\})\; -\; F\; (P\_\; \{0\})\}\; \{\backslash \; Delta\; \_\; \{1\}\; P\}\}\}\; \{\backslash \; Delta\; \_\; \{1\}\; P\}\},\; \backslash \backslash \; [10pt]\; =\; \{\backslash \; frac\; \{F\; (P\_\; \{2\})\; -\; 2F\; (P\_\; \{1\})\; +\; F\; (P\_\; \{0\; \})\}\; \{\backslash \; Delta\; \_\; \{1\}\; P\; ^\; \{2\}\}\};\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

$d\; 2\; F\; (P)\; d\; P\; 2\; =\; d\; F\; \prime \; (P)\; d\; P\; =\; F\; \prime \; (\; P\; 1)\; -\; F\; \prime \; (P\; 0)\; d\; P,\; =\; d\; G\; (P)\; d\; P\; =\; G\; (P\; 1)\; -\; G\; (P\; 0)\; d\; P,\; =\; F\; (P\; 2)\; -\; 2\; F\; (P\; 1)\; +\; F\; (P\; 0)\; d\; P\; 2,\; =\; F\; ″\; (P)\; =\; G\; \prime \; (P)\; =\; H\; (P)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{2\}\; F\; (P)\}\; \{\; dP\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{dF\; \text{'}(P)\}\; \{dP\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{F\text{'}\; (P\_\; \{1\})\; -\; F\; \text{'}(P\_\; \{0\})\}\; \{dP\}\},\; \backslash \backslash \; [10pt]\; =\; \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{dG\; (P)\}\; \{dP\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{G\; (P\_\; \{1\})\; -\; G\; (P\_\; \{0\})\}\; \{dP\}\},\; \backslash \backslash \; [10pt]\; =\; \{\backslash \; frac\; \{F\; (P\_\; \{2\})\; -\; 2F\; (P\_\; \{1\})\; +\; F\; (P\_\; \{0\})\}\; \{dP\; ^\; \{2\}\}\},\; \backslash \backslash \; [10pt]\; =\; F\; \text{'}\text{'}\; (P)\; =\; G\; \text{'}(P)\; =\; H\; (P)\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Третий порядок

$Δ 3 F (P 0) Δ 1 P 3 = Δ 2 F ′ (P 0) Δ 1 P 2 = Δ F ″ (P 0) Δ 1 P = Δ F ′ (P 1) Δ 1 P - Δ F ′ (P 0) Δ 1 P Δ 1 P, = Δ F (P 2) Δ 1 P - Δ F '(P 1) Δ 1 P Δ 1 P - Δ F' (P 1) Δ 1 P - Δ F '(P 0) Δ 1 P Δ 1 P Δ 1 P, = F (P 3) - 2 F (P 2) + F (P 1) Δ 1 P 2 - F (P 2) - 2 F (P 1) + F (P 0) Δ 1 P 2 Δ 1 P, = F (P 3) - 3 F (P 2) + 3 F (P 1) - F (P 0) Δ 1 P 3; {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ Delta ^ {3} F (P_ {0})} {\ Delta _ {1} P ^ {3}}} = {\ frac {\ Delta ^ {2} F '(P_ {0})} {\ Delta _ {1} P ^ {2}}} = {\ frac {\ Delta F' '(P_ {0})} {\ Delta _ {1} P}} = {\ frac {{\ frac {\ Delta F '(P_ {1})} {\ Delta _ {1} P}} - {\ frac {\ Delta F' (P_ {0})} { \ Delta _ {1} P}}} {\ Delta _ {1} P}}, \\ [10pt] = {\ frac {{\ frac {{\ frac {\ Delta F (P_ {2})} {\ Delta _ {1} P}} - {\ frac {\ Delta F '(P_ {1})} {\ Delta _ {1} P}}} {\ Delta _ {1} P}} - {\ frac {{\ frac {\ Delta F '(P_ {1})} {\ Delta _ {1} P}} - {\ frac {\ Delta F' (P_ {0})} {\ Delta _ {1} P}}} {\ Delta _ {1} P}}} {\ Delta _ {1} P}}, \\ [10pt] = {\ frac {{\ frac {F (P_ {3}) - 2F (P_ {2}) + F (P_ {1})} {\ Delta _ {1} P ^ {2}}} - {\ frac {F (P_ {2}) - 2F (P_ {1}) + F (P_ {0})} {\ Delta _ {1} P ^ {2}}}} {\ Delta _ {1} P}}, \\ [10pt] = {\ frac {F (P_ {3 }) - 3F (P_ {2}) + 3F (P_ {1}) - F (P_ {0})} {\ Delta _ {1} P ^ {3}}}; \ end {align}}}$

$d\; 3\; F\; (P)\; d\; P\; 3\; =\; d\; 2\; F\; \prime \; (P)\; d\; P\; 2\; =\; d\; F\; ″\; (P)\; d\; P\; =\; F\; ″\; (P\; 1)\; -\; F\; ″\; (P\; 0)\; d\; P,\; =\; d\; 2\; G\; (P)\; d\; P\; 2\; =\; d\; G\; \prime \; (P)\; d\; P\; =\; G\; \prime \; (P\; 1)\; -\; G\; \prime \; (P\; 0)\; d\; P,.\; =\; d\; H\; (P)\; d\; P\; =\; H\; (P\; 1)\; -\; H\; (P\; 0)\; d\; P,\; =\; G\; (P\; 2)\; -\; 2\; G\; (P\; 1)\; +\; G\; (P\; 0)\; d\; P\; 2,\; =\; F\; (P\; 3)\; -\; 3\; F\; (P\; 2)\; +\; 3\; F\; (P\; 1)\; -\; F\; (P\; 0)\; d\; P\; 3,\; =\; F\; ‴\; (P)\; =\; G\; ″\; (P)\; =\; H\; \prime \; (P)\; =\; I\; (P);\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{3\}\; F\; (P)\}\; \{dP\; ^\; \{3\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{2\}\; F\; \text{'}(P)\}\; \{dP\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{dF\; \text{'}\text{'}\; (P)\}\; \{dP\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{F\; \text{'}\text{'}\; (P\_\; \{1\})\; -\; F\; \text{'}\text{'}\; (P\_\; \{0\})\}\; \{dP\}\; \},\; \backslash \backslash \; [10pt]\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{2\}\; G\; (P)\}\; \{dP\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; =\; \{\backslash \; frac\; \{dG\; \text{'}(P)\}\; \{dP\}\}\; \backslash \; =\; \{\; \backslash \; frac\; \{G\; \text{'}(P\_\; \{1\})\; -\; G\text{'}\; (P\_\; \{0\})\}\; \{dP\}\},\; \backslash \backslash \; [10pt]\; \{\backslash \; color\; \{white\}.\}\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; \backslash \; \backslash \; =\; \{\backslash \; frac\; \{dH\; (P)\}\; \{dP\}\}\; \backslash \; =\; \{\backslash \; frac\; \{H\; (P\_\; \{1\})\; -\; H\; (P\_\; \{0\})\}\; \{dP\}\},\; \backslash \backslash \; [10pt]\; =\; \{\backslash \; frac\; \{G\; (\; P\_\; \{2\})\; -\; 2G\; (P\_\; \{1\})\; +\; G\; (P\_\; \{0\})\}\; \{dP\; ^\; \{2\}\}\},\; \backslash \backslash \; [10pt]\; =\; \{\backslash \; frac\; \{F\; (P\_\; \{3\})\; -\; 3F\; (P\_\; \{2\})\; +\; 3F\; (P\_\; \{1\})\; -\; F\; (P\_\; \{0\})\}\; \{dP\; ^\; \{3\}\}\},\; \backslash \backslash \; [10pt]\; =\; F\; \text{'}\text{'}\; \text{'}(P)\; =\; G\text{'}\; \text{'}(P)\; =\; H\text{'}\; (P)\; =\; I\; (P);\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Ń -й порядок

$Δ n ´ F (P 0) = F (n ´ - 1) (P 1) - F (n ´ - 1) (P 0), = F (n ´ - 2) (P 2) - F (n ´ - 2) (P 1) Δ 1 P - F (n ´ - 2) (P 1) - F (n ´ - 2) (P 0) Δ 1 P, = F (n ´ - 3) (P 3) - F (n ´ - 3) (P 2) Δ 1 P - F (n ´ - 3) (P 2) - F (n ´ - 3) (P 1) Δ 1 P Δ 1 P. - F (n ´ - 3) (P 2) - F (n ´ - 3) (P 1) Δ 1 P - F (n ´ - 3) ( P 1) - F (n ´ - 3) (п 0) Δ 1 п Δ 1 п, знак равно ⋯ {\ displaystyle {\ begin {выровнено} \ Delta ^ {\ строго {n}} F (P_ {0}) = F ^ {({\ строго {n}} - 1)} (P_ {1}) - F ^ {({\ строго {n}} - 1)} (P_ {0}), \\ [10pt] = {\ frac {F ^ {({\ строго {n}} - 2)} (P_ {2}) - F ^ {({\ строго {n}} - 2)} (P_ {1})} {\ Delta _ {1} P }} - {\ frac {F ^ {({\ строго {n}} - 2)} (P_ {1}) - F ^ {({\ строго {n}} - 2)} (P_ {0}) } {\ Delta _ {1} P}}, \\ [10pt] = {\ frac {{\ frac {F ^ {({\ строго {n}} - 3)} (P_ {3}) - F ^ {({\ строго {n}} - 3)} (P_ {2})} {\ Delta _ {1} P}} - {\ frac {F ^ {({\ строго {n}} - 3) } (P_ {2}) - F ^ {({\ строго {n}} - 3)} (P_ {1})} {\ Delta _ {1} P}}} {\ Delta _ {1} P} } \\ [10pt] {\ color {white}.} \ Qquad - {\ frac {{\ frac {F ^ {({\ строго {n}} - 3)} (P_ {2}) - F ^ {({\ строго {n}} - 3)} (P_ {1})} {\ Delta _ {1} P}} - {\ frac {F ^ {({\ строго {n}} - 3)} (P_ {1}) - F ^ {({\ строго {n}} - 3)} (P_ {0})} {\ Delta _ {1} P}}} {\ Delta _ {1} P}}, \\ [10pt] = \ cdots \ end {align}}}$

$\Delta \; n\; ´\; F\; (P\; 0)\; \Delta \; 1\; P\; n\; ´\; =\; \sum \; I\; =\; 0\; N\; ´\; (-\; 1\; N\; ´\; -\; I)\; (N\; Z\; I)\; F\; (P\; 0\; +\; I\; \Delta \; 1\; P)\; \Delta \; 1\; P\; n\; ´;\; \nabla \; n\; ´\; F\; (P\; n\; ´)\; \Delta \; 1\; P\; n\; ´\; =\; \sum \; I\; =\; 0\; N\; ´\; (-\; 1\; I)\; (N\; ´\; I)\; F\; (P\; n\; ´\; -\; I\; \Delta \; 1\; P)\; \Delta \; 1\; P\; n\; ´;\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Delta\; ^\; \{\backslash \; Acute\; \{n\}\}\; F\; (P\_\; \{0\})\}\; \{\backslash \; Delta\; \_\; \{1\}\; P\; ^\; \{\backslash \; Acute\; \{n\}\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{I\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; строго\; \{N\}\}\; \{-\; 1\; \backslash \; choose\; \{\backslash \; строго\; \{N\}\}\; -\; I\}\; \{\{\backslash \; строго\; \{N\}\}\; \backslash \; выбрать\; I\}\; F\; (\; P\_\; \{0\}\; +\; I\; \backslash \; Delta\; \_\; \{1\}\; P)\}\; \{\backslash \; Delta\; \_\; \{1\}\; P\; ^\; \{\backslash \; sharp\; \{n\}\}\}\};\; \backslash \backslash \; [10pt]\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; nabla\; ^\; \{\backslash \; строго\; \{n\}\}\; F\; (P\; \_\; \{\backslash \; строго\; \{n\}\})\}\; \{\backslash \; Delta\; \_\; \{1\}\; P\; ^\; \{\backslash \; строго\; \{n\}\}\}\}\; \backslash \backslash \; [10pt]\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{I\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; строго\; \{N\}\}\; \{-\; 1\; \backslash \; choose\; I\}\; \{\{\backslash \; строго\; \{N\}\}\; \backslash \; choose\; I\}\; F\; (P\; \_\; \{\backslash \; строго\; \{n\}\}\; -\; I\; \backslash \; Delta\; \_\; \{1\}\; P)\; \}\; \{\backslash \; Delta\; \_\; \{1\}\; P\; ^\; \{\backslash \; строго\; \{n\}\}\}\};\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

$dn ´ F (P 0) d P n ´ = dn ´ - 1 F ′ (P 0) d P n ´ - 1 = dn ´ - 2 F ″ (P 0) d P n ´ - 2 = dn ´ - 3 F ‴ (P 0) d P n ´ - 3 = ⋯ = dn ´ - r F (r) (P 0) d P n ´ - r, = dn ´ - 1 G (P 0) d P n ´ - 1 = dn ´ - 2 G ′ (P 0) d P n ´ - 2 = dn ´ - 3 G ″ (P 0) d P n ´ - 3 = ⋯ = dn ´ - r G (r - 1) (P 0) d P n ´ - r,. = dn ´ - 2 H (P 0) d P n ´ - 2 = dn ´ - 3 H ′ (P 0) d P n ´ - 3 = ⋯ = dn ´ - r H (r - 2) (P 0) d P n ´ - r,. = dn ´ - 3 I (P 0) d P n ´ - 3 = ⋯ = dn ´ - r I (r - 3) (P 0) d P n ´ - r, = F (n ´) (P) = G (n ´ - 1) (P) = H (n ´ - 2) (P) = I (n ´ - 3) (P) = ⋯ {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {d ^ { \ Acustric {n}} F (P_ {0})} {dP ^ {\ Acute {n}}}} = {\ frac {d ^ {{\ sharp {n}} - 1} F '(P_ { 0})} {dP ^ {{\ sharp {n}} - 1}}} = {\ frac {d ^ {{\ sharp {n}} - 2} F '' (P_ {0})} {dP ^ {{\ sharp {n}} - 2}}} = {\ frac {d ^ {{\ sharp {n}} - 3} F '' '(P_ {0})} {dP ^ {{\ строго {n}} - 3}}} = \ cdots = {\ frac {d ^ {{\ строго {n}} - r} F ^ {(r)} (P_ {0})} {dP ^ {{\ острый {n}} - r}}}, \\ [10pt] = {\ frac {d ^ {{\ sharp {n}} - 1} G (P_ {0})} {dP ^ {{\ sharp {n}} - 1}}} \\ [10pt] = {\ frac {d ^ {{\ строго {n}} - 2} G '(P_ {0})} {dP ^ {{\ строго { n}} - 2}}} = \ {\ frac {d ^ {{\ строго {n}} - 3} G '' (P_ {0})} {dP ^ {{\ строго {n}} - 3 }}} = \ cdots = {\ frac {d ^ {{\ строго {n}} - r} G ^ {(r-1)} (P_ {0})} {dP ^ {{\ строго {n} } -r}}}, \\ [10pt] {\ color {white}.} \ qquad \ qquad \ qquad = {\ frac {d ^ {{\ строго {n}} - 2} H (P_ {0 })} {dP ^ {{\ строго {n}} - 2}}} = \ {\ frac {d ^ {{\ строго {n}} - 3} H '(P_ {0})} {dP ^ {{\ sharp {n}} - 3}}} = \ cdots = {\ frac {d ^ {{\ строго {n}} - r} H ^ {(r-2)} (P_ {0})} {dP ^ {{\ строго {n}} - r}}}, \\ {\ color {white}.} \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ = \ {\ frac {d ^ {{\ строго {n}} - 3} I (P_ {0})} {dP ^ {{\ строго {n}} - 3}}} = \ cdots = {\ frac {d ^ {{\ строго {n}} - r} I ^ {(r-3)} (P_ {0})} {dP ^ {{\ строго {n}} - r}}}, \\ [10pt] = F ^ {({\ строго { n}})} (P) = G ^ {({\ строго {n}} - 1)} (P) = H ^ {({\ строго {n}} - 2)} (P) = I ^ { ({\ строго {п}} - 3)} (Р) = \ cdots \ end {выровнено}}$

Наиболее существенное применение разделенной разности заключается в представлении определенного интеграла, который представляет собой не что иное, как конечную разность:

При условии, что среднее значение, форма производного выражения предоставляет всю ту же информацию, что и классическая интегральная запись, форма среднего значения может быть предпочтительное выражение, например, в письменной форме только для поддержки / принятия стандартного текста ASCII или в случаях, когда требуется только средняя производная (например, при нахождении среднего радиуса в эллиптическом интеграле). Это особенно верно для определенных интегралов, которые технически имеют (например) 0 и либо $\pi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; \backslash ,\; \backslash !\}$, либо $2\; \pi \; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; \backslash \; pi\; \backslash ,\; \backslash !\}$в качестве границ, с такой же разделенной разницей, что и для границ 0 и $\pi \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}\}\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\}$(что требует меньших усилий по усреднению):

Это также становится особенно полезным при работе с повторные и кратные интегралы (ΔA = AU - AL, ΔB = BU - BL, ΔC = CU - CL):

Следовательно,

и

• Разделенные различия
• Теория Ферма
• Новый полином тонна
• Метод прямоугольника
• Правило частного
• Фактор симметричной разности

• Колледж Сент-Винсент: Br. Дэвид Карлсон, OSB - MA109 Коэффициент разницы
• Университет Бирмингема: Дирк Херманс - Разделенные различия
• Mathworld:
  • Разделенная разница
  • Теорема о среднем значении
• Университет Висконсина: Томас В. Репс и Луис Б. Ралл - Вычислительная разделенная разность и арифметика разделенных разностей
• Интерактивный симулятор отношения разности для объяснения производной