Вариационное исчисление

редактировать

Вариационное исчисление - это область математического анализа, в которой используются варианты, которые предоставляют собой небольшие изменения в функциих и функционалах, чтобы найти максимумы и минимумы функционалов: отображение из набора функций в действительные числа. Функционалы часто выражаются как их интегралы, включающие функции и производные. Функции, которые максимизируют или минимизируют функции, могут быть найдены с помощью уравнения Эйлера - Лагранжа вариационного исчисления.

Простой пример такой задачи - найти кривую наименьшей длины, соединяющую две точки. Если ограничений нет, решением будет прямая линия между точками. Однако, если кривая должна лежать на поверхности рассмотрения, тогда решение будет менее очевидным, и, возможно, может создать систему решений. Такие решения как известны геодезические. Связанная с этим проблема связана с принципом Ферма : свет следует по пути кратчайшей оптической длины, соединяющему две точки, где оптическая длина зависит от материала. Одной из соответствующих концепций в механике является принципа наименьшего / стационарного действия.

Многие важные проблемы связаны с функциями нескольких переменных. Решения краевых задач для уравнения Лапласа удовлетворяют принципу Дирихле. Проблема Плато требует найти поверхность минимальной площади, которая охватывает заданный контур в пространстве: решение часто можно найти, окунув рамку в раствор мыльной пены. Хотя такие эксперименты относительно легко выполнить, их математическая интерпретация далеко не проста: может существовать несколько локально минимизирующих поверхностей, и они могут иметь нетривиальную поверхность топологию.

Содержание

  • 1 История
  • 2 Экстремумы
  • 3 Уравнение Эйлера - Лагранжа
    • 3.1 Пример
  • 4 Тождество Бельтрами
  • 5 Уравнение Эйлера - Пуассона
  • 6 Теорема Дюбуа-Реймонда
  • 7 Феномен Лаврентьева
  • 8 Функции несколько функций
    • 8.1 Принцип Дирихле
    • 8.2 Обобщение на другие краевые задачи
  • 9 Задачи на собственные значения
    • 9.1 Задачи Штурма - Лиувилля
    • 9.2 Проблемы на собственных значениях нескольких измерений
  • 10 Приложения
    • 10.1 Оптика
      • 10.1.1 Закон Снеллиуса
      • 10.1.2 Трехмерный принцип Ферма
        • 10.1.2.1 Связь с волновым уравнением
    • 10.2 Механика
    • 10.3 Другие приложения
  • 11 Варианты и достаточное условие минимум
  • 12 См. также
  • 13 Примечания
  • 14 Ссылки
  • 15 Дополнительная литература
  • 16 Внешние ссылки

История

Можно сказать, что вариационное исчисление началось с задачи минимального сопротивления Ньютона в 1687 году, за которую следует проблема кривой брахистохрона, поднятая Иоганном. Бернулли (1696 г.). Это немедленно привлекло внимание Якоба Бернулли и маркиза де л'Опиталь, но Леонард Эйлер впервые подробно остановился на этой теме, начиная с 1733 года. Лагранж <находился под работоспособностью Эйлера и внес значительный вклад в теорию. После того, как Эйлер увидел работу 19-летнего Лагранжа 1755 года, Эйлер отказался от своего частично геометрического подхода в пользу чисто аналитического подхода Лагранжа и переименовал предмет в вариационное исчисление в своей лекции 1756 года Elementa Calculi Variationum.

Лежандр (1786) изложил метод, не совсем удовлетворительный, для различения максимумов и минимумов. Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц также рано обратили внимание на эту тему. К этой дискриминации Винченцо Бруначчи (1810), Карл Фридрих Гаусс (1829), Симеон Пуассон (1831), Михаил Остроградский (1834)), и Карл Якоби (1837) были среди авторов. Важной общей работой является работа Сарруса (1842), которая была сокращена и улучшена Коши (1844). Другие ценные трактаты и воспоминания написаны Штраухом (1849), Джеллеттом (1850), Отто Гессе (1857), Альфредом Клебшем (1858) и (1885), но, возможно, самая важная работа века - это работа Вейерштрасса. Его знаменитый теоретический курс является эпохальным, и можно утверждать, что он был первым, кто положил его на прочную и неоспоримую основу. 20-я и 23-я проблема Гильберта, опубликованная в 1900 году, способствовали дальнейшему развитию.

В 20-м веке Дэвид Гильберт, Эмми Нётер, Леонида Тонелли, Анри Лебег и Жак Адамар и другие внесли значительный вклад. Марстон Морс прикладное вариационное исчисление в том, что сейчас называется теорией Морса. Лев Понтрягин, Ральф Рокафеллар и Ф.Х. Кларк разработали новые математические инструменты для вариационного исчисления в теория оптимального управления. динамическое программирование из Ричард Беллман является альтернативой вариационному исчислению.

Экстремумы

Вариационное исчисление связано с максимумами или минимумы (вместе называемые экстремумами ) функционалов. Функционал отображает , функции в скаляры, функционалы, продвигающие как «функции функции». Функционалы имеют экстремумы по отношению к элементу данного функционального пространства, определенного для данной области. Говорят, что функционал J [y] имеет экстремум на функции f, если ΔJ = J [y] - J [f] имеет один и тот же знак для всех y в сколь угодно малой окрестности f. Функция f называется экстремальной функцией или экстремальной. Экстремум J [f] называется локальным максимумом, если ΔJ ≤ 0 всюду в сколь угодно малой окрестности f, локальным минимумом, если там ΔJ ≥ 0. Для функционального пространства непрерывных функций экстремумы соответствующие функции называются слабыми экстремумами или сильными экстремумами, в зависимости от того, все ли первые производные непрерывных функций непрерывны или нет.

И сильные, и слабые экстремумы функционалов, пространству непрерывных функций, но для слабых экстремумов требуется дополнительное требование, чтобы первые производные функции в непрерывных непрерывных функциях. Таким образом, сильный экстремум также является слабым экстремумом, но обратное может не быть. Найти сильные экстремумы сложнее, чем найти слабые. Примером необходимых условий, используется для поиска слабых экстремумов, используется уравнение Эйлера - Лагранжа.

уравнение Эйлера - Лагранжа

Нахождение экстремумов функционалов аналогично поиску максимумы и минимумы функций. Максимумы и минимумы функции можно найти, найдя точки, в которых ее производная равна нулю (т.е. равна нулю). Экстремумы функционалов могут быть получены путем поиска функций, у которых функциональная производная равна нулю. Это приводит к решению связанного уравнения Эйлера - Лагранжа.

Рассмотрим функционал

J [y] = ∫ x 1 x 2 L (x, y (x), y ′ (x)) d x. {\ displaystyle J [y] = \ int _ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} L (x, y (x), y '(x)) \, dx \,.}{\displaystyle J[y]=\int _{x_{1}}^{x_{2}}L(x,y(x),y'(x))\,dx\,.}

где

x1, x 2 - константы,
y (x) периодически непрерывно дифференцируемый,
y ′ (x) = dy / dx,
L (x, y (x), y ′ (x)) постоянно непрерывно дифференцируемо по своему аргументам x, y, y ′.

Если функционал J [y] достигает локальный минимума в точке f, а η (x) - произвольная функция, которая имеет хотя бы одну производную и обращается в нуль на концах x 1 и x 2, то для любого числа ε, близкого к 0,

J [f] ≤ J [f + ε η]. {\ displaystyle J [f] \ leq J [f + \ varepsilon \ eta] \,.}J [f] \ leq J [f + \ varepsilon \ eta] \,.

член εη называется вариация функции f и обозначается δf.

Подставляя f + εη вместо y в функционал J [y], результат является функцией ε,

Φ (ε) = J [f + ε η]. {\ displaystyle \ Phi (\ varepsilon) = J [f + \ varepsilon \ eta] \,.}\ Phi (\ varepsilon) = J [е + \ varepsilon \ eta] \,.

iPhone функционал J [y] имеет минимум для y = f, функция Φ (ε) имеет минимум в ε = 0 и, следовательно,

Φ ′ (0) ≡ d Φ d ε | ε = 0 знак равно ∫ x 1 x 2 d L d ε | ε знак равно 0 д х = 0. {\ Displaystyle \ Phi '(0) \ Equiv \ left. {\ frac {d \ Phi} {d \ varepsilon}} \ right | _ {\ varepsilon = 0} = \ int _ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} \ left. {\ frac {dL} {d \ varepsilon}} \ right | _ {\ varepsilon = 0} dx = 0 \,.}\Phi '(0)\equiv \left.{\frac {d\Phi }{d\varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left.{\frac {dL}{d\varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}dx=0\,.

Взяв полную производную функции L [x, y, y ′], где y = f + ε η и y ′ = f ′ + ε η ′ рассматривает как функции от ε, а не x, дает

d L d ε = ∂ L ∂ ydyd ε + ∂ L ∂ Y ′ dy ′ d ε {\ displaystyle {\ frac {dL} {d \ varepsilon}} = {\ frac {\ partial L} {\ partial y}} {\ frac {dy} {d \ varepsilon}} + {\ frac {\ partial L} {\ partial y '}} {\ frac { dy '} {d \ varepsilon}}}{\frac {dL}{d\varepsilon }}={\frac {\partial L}{\partial y}}{\frac {dy}{d\varepsilon }}+{\frac {\partial L}{\partial y'}}{\frac {dy'}{d\varepsilon }}

и поскольку dy / dε = η и dy ′ / dε = η',

d L d ε = ∂ L ∂ y η + ∂ L ∂ y ′ η ′. {\ displaystyle {\ frac {dL} {d \ varepsilon}} = {\ frac {\ partial L} {\ partial y}} \ eta + {\ frac {\ partial L} {\ partial y '}} \ eta '.}{\displaystyle {\frac {dL}{d\varepsilon }}={\frac {\partial L}{\partial y}}\eta +{\frac {\partial L}{\partial y'}}\eta '.}

Следовательно,

∫ x 1 x 2 d L d ε | ε = 0 d x = ∫ x 1 x 2 (∂ L ∂ f η + ∂ L ∂ f ′ η ′) d x = ∫ x 1 x 2 ∂ L ∂ f η d x + ∂ L ∂ f ′ η | Икс 1 Икс 2 - ∫ Икс 1 Икс 2 η ddx ∂ L ∂ f ′ dx = ∫ x 1 x 2 (∂ L ∂ f η - η ddx ∂ L ∂ f ′) dx {\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} \ left. {\ frac {dL} {d \ varepsilon}} \ right | _ {\ varepsilon = 0} dx = \ int _ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} \ left ({\ frac {\ partial L} {\ partial f}} \ eta + {\ frac { \ partial L} {\ partial f '}} \ eta' \ right) \, dx \\ = \ int _ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} {\ frac {\ partial L} {\ частичное f}} \ eta \, dx + \ left. {\ frac {\ partial L} {\ partial f '}} \ eta \ right | _ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} - \ int _ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} \ eta {\ frac {d} {dx}} {\ frac {\ partial L } {\ partial f '}} \, dx \\ = \ int _ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} \ left ({\ frac {\ partial L} {\ partial f}} \ eta - \ eta {\ frac {d} {dx}} {\ frac {\ partial L} {\ partial f '}} \ right) \, dx \\ \ end {align}}}{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left.{\frac {dL}{d\varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}dx=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left({\frac {\partial L}{\partial f}}\eta +{\frac {\partial L}{\partial f'}}\eta '\right)\,dx\\=\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\frac {\partial L}{\partial f}}\eta \,dx+\left.{\frac {\partial L}{\partial f'}}\eta \right|_{x_{1}}^{x_{2}}-\int _{x_{1}}^{x_{2}}\eta {\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}\,dx\\=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left({\frac {\partial L}{\partial f}}\eta -\eta {\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}\right)\,dx\\\end{aligned}}}

где L [x, y, y ′] → L [x, f, f ′], когда ε = 0, и мы использовали интегрирование по частям на второй срок. Второй член во второй исчезает, поскольку η = 0 в x 1 и x 2 по определению. Кроме того, как упоминалось ранее, левая часть уравнения равна нулю, так что

∫ x 1 x 2 η (x) (∂ L ∂ f - ddx ∂ L ∂ f ′) dx = 0. {\ displaystyle \ int _ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} \ eta (x) \ left ({\ frac {\ partial L} {\ partial f}} - {\ frac {d} {dx}} {\ frac { \ partial L} {\ partial f '}} \ right) \, dx = 0 \,.}{\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{2}}\eta (x)\left({\frac {\partial L}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}\right)\,dx=0\,.}

Согласно фундаментальной лемме вариационного исчисления, часть подынтегрального выражения в круглых скобках равно нулю, то есть

∂ L ∂ е - ddx ∂ L ∂ f '= 0 {\ displaystyle {\ frac {\ partial L} {\ partial f}} - {\ frac {d} {dx}} {\ frac {\ partial L } {\ partial f '}} = 0}{\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}=0}

, которое называется уравнением Эйлера - Лагранжа . Левая часть этого уравнения называется функциональной производной от J [f] и обозначается δJ / δf (x).

В целом это дает обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, которое может быть решено для достижения экстремальной функции f (x). Уравнение Эйлера - Лагранжа является необходим, но не достаточным условием экстремума J [f]. Достаточное условие минимума приведено в <разделе214>Варианты процесса, достаточное условие минимума.

Пример

Чтобы проиллюстрировать задачу поиска экстремальной функции y = f (x), которая является кратчайшей кривой, соединяющей две точки (x 1, y 1) и (x 2, y 2). длина дуги, определяемая как

A [y] = ∫ x 1 x 2 1 + [y ′ (x)] 2 dx, {\ displaystyle A [y] = \ int _ {x_ { 1}} ^ {x_ {2}} {\ sqrt {1+ [y '(x)] ^ {2}}} \, dx \,,}A[y]=\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {1+[y'(x)]^{2}}}\,dx\,,

с

y ′ (х) = dydx, y 1 = f (x 1), y 2 = f (x 2). {\ Displaystyle y \, '(x) = {\ frac {dy} {dx}} \,, \ \ y_ {1} = f (x_ {1}) \,, \ \ y_ {2} = f ( x_ {2}) \,.}y\,'(x)={\frac {dy}{dx}}\,,\ \ y_{1}=f(x_{1})\,,\ \ y_{2}=f(x_{2})\,.

Теперь уравнение Эйлера - Лагранжа будет установка для нахождения экстремальной функции f (x), которая минимизирует функционал A [y].

∂ L ∂ е - ddx ∂ L ∂ f ′ = 0 {\ displaystyle {\ frac {\ partial L} {\ partial f}} - {\ frac {d} {dx}} {\ frac {\ partial L} {\ partial f '}} = 0}{\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}=0}

с

L = 1 + [f ′ (x)] 2. {\ displaystyle L = {\ sqrt {1+ [f' (x)] ^ {2}}} \,.}L={\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,.

Буква f не появляется явно в L, первый член в уравнении Эйлера - Лагранжа обращается в нуль для всех f (x) и, следовательно,

ddx ∂ L ∂ f ′ = 0. {\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} {\ frac {\ partial L} {\ partial f '}} = 0 \,.}{\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}=0\,.}

Подставив L и взяв производную,

ddxf ′ (Х) 1 + [f ′ (x)] 2 = 0. {\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ {\ frac {f '(x)} {\ sqrt {1+ [f' (x)] ^ {2}}}} \ = 0 \,. }{\frac {d}{dx}}\ {\frac {f'(x)}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}}\ =0\,.

Таким образом,

f '(x) 1 + [f' (x)] 2 = c, {\ displaystyle {\ frac {f '(x)} {\ sqrt {1+ [f' (x)] ^ {2}}}} = c \,,}{\displaystyle {\frac {f'(x)}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}}=c\,,}

для некоторой константы c. Тогда

[f ′ (x)] 2 1 + [f ′ (x)] 2 = c 2, {\ displaystyle {\ frac {[f '(x)] ^ {2}} {1+ [f '(x)] ^ {2}}} = c ^ {2} \,,}{\displaystyle {\frac {[f'(x)]^{2}}{1+[f'(x)]^{2}}}=c^{2}\,,}

где

0 ≤ c 2 < 1. {\displaystyle 0\leq c^{2}<1.}{\ displaystyle 0 \ leq c ^ {2} <1.}

Решая, получаем

[f ′ (x)] 2 = c 2 1 - c 2 {\ displaystyle [f '(x)] ^ {2} = {\ frac {c ^ {2}} {1-c ^ {2}}} \,}{\displaystyle [f'(x)]^{2}={\frac {c^{2}}{1-c^{2}}}\,}

что подразумевает что

f ′ (x) = m {\ displaystyle f '(x) = m}{\displaystyle f'(x)=m}

является константой, и поэтому самая короткая кривая, соединяющая две точки (x 1, y 1) и (x 2, y 2) равно

f (x) = mx + b с m = y 2 - y 1 x 2 - Икс 1 и б знак равно Икс 2 Y 1 - Икс 1 Y 2 Икс 2 - Икс 1 {\ Displaystyle F (x) = mx + b \ qquad {\ text {with}} \ \ m = {\ frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}} \ quad {\ text {and}} \ quad b = {\ frac {x_ {2} y_ {1} -x_ {1} y_ { 2}} {x_ {2} -x_ {1}}}}{\ displaystyle f (x) = mx + b \ qquad {\ text {with}} \ \ m = {\ frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}} \ quad {\ text {and}} \ quad b = {\ frac {x_ {2} y_ {1} -x_ {1} y_ {2}} {x_ {2} -x_ {1}}}}

и, таким образом, мы нашли экстремальную функцию f (x), которая минимизирует функционал A [y] так, чтобы A [f] было минимальным. Уравнение прямой линии y = f (x). Другими словами, кратчайшее расстояние между двумя точками - это прямая линия.

Идентичность Бельтрами

Физическая задача может быть так, что ∂ L ∂ x = 0 {\ displaystyle {\ frac {\ partial L} {\ partial x}} = 0 }{\ displaystyle {\ frac {\ partial L} {\ partial x}} = 0} , что означает, что подынтегральное выражение является функцией f (x) {\ displaystyle f (x)}f (x) и f '(x) {\ displaystyle f '(x)}f'(x), но x {\ displaystyle x}x не отображается отдельно. В этом случае уравнение Эйлера - Лагранжа можно упростить до тождества Бельтрами

L - f ′ ∂ L ∂ f ′ = C, {\ displaystyle Lf '{\ frac {\ partial L} {\ partial f'}} = C \,,}{\displaystyle L-f'{\frac {\partial L}{\partial f'}}=C\,,}

, где C {\ displaystyle C}C - константа. Левая часть - это преобразование Лежандра из L {\ displaystyle L}L относительно f '(x) {\ displaystyle f' (x)}f'(x).

Интуиция, стоящая за этим результатом, заключается в том, что если переменная x на самом деле является временем, то выражение ∂ L ∂ x = 0 {\ displaystyle {\ frac {\ partial L} {\ partial x}} = 0 }{\ displaystyle {\ frac {\ partial L} {\ partial x}} = 0} означает, что лагранжиан не зависит от времени. Согласно теореме Нётер существует связанная сохраняющаяся величина. В данном случае эта величина является гамильтонианом, преобразованием Лежандра лагранжиана, которое (часто) совпадает с энергией системы. Это (минус) константа в личности Бельтрами.

уравнение Эйлера - Пуассона

Если S {\ displaystyle S}S зависит от старших производных от y (x) {\ displaystyle y (x)}y (x) , то есть если

S = ∫ abf (x, y (x), y ′ (x),..., yn (x)) dx, {\ displaystyle S = \ int \ limits _ {a} ^ {b} f (x, y (x), y '(x), затем..., y ^ {n} (x)) dx,}{\displaystyle S=\int \limits _{a}^{b}f(x,y(x),y'(x),...,y^{n}(x))dx,}

y {\ displaystyle y}y должен удовлетворять уравнение Эйлера - Пуассона,

∂ f ∂ y - ddx (∂ f ∂ y ′) +... + (- 1) ndndxn [∂ е ∂ Y (n)] = 0. {\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial y}} - {\ frac {d} {dx}} \ left ({ \ frac {\ partial f} {\ partial y '}} \ right) +... + (- 1) ^ {n} {\ frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} \ left [{\ frac {\ partial f} {\ partial y ^ {(n)}}} \ right] = 0.}{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}-{\frac {d}{dx}}\left({\frac {\partial f}{\partial y'}}\right)+...+(-1)^{n}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left[{\frac {\partial f}{\partial y^{(n)}}}\right]=0.}

Теорема Дюбуа-Реймона

До сих пор обсуждение предполагало, что экстремальные функции Имеются два непрерывных производных, хотя для существования интеграла требуются только первые производные от пробных функций. Условие обращения в нуль первой вариации на экстремали можно рассматривать как слабую форму уравнения Эйлера - Лагранжа. Теорема Дюбуа-Реймона утверждает, что из этой слабой формы следует сильная. Если L имеет непрерывную первую и вторую производные по всем своим аргументам, и если

∂ 2 L ∂ f ′ 2 ≠ 0, {\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} L} {\ partial f '^ { 2}}} \ neq 0,}{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}L}{\partial f'^{2}}}\neq 0,}

, то f {\ displaystyle f}f имеет две непрерывные производные и удовлетворяет уравнению Эйлера - Лагранжа.

Явление Лаврентьева

Гильберт был первым, кто дал хорошие условия, чтобы уравнения Эйлера - Лагранжа давали стационарное решение. В пределах выпуклой области и положительных трижды дифференцируемого набора решений состоят из счетного набора сечений, которые либо проходят вдоль границы, либо удовлетворяют уравнениям Эйлера - Лагранжа внутри.

Однако Лаврентьев в 1926 году показал, что есть обстоятельства, при нет оптимального решения, но к нему можно подойти сколь близко, увеличивая количество разделов. Феномен Лаврентьева определяет разницу в нижней грани задачи минимизации для разных классов допустимых функций. Например, следующая задача, представленная Маниа в 1934 году:

L [x] = ∫ 0 1 (x 3 - t) 2 x ′ 6, {\ displaystyle L [x] = \ int _ {0} ^ {1 } (x ^ {3} -t) ^ {2} x '^ {6}, \,}{\displaystyle L[x]=\int _{0}^{1}(x^{3}-t)^{2}x'^{6},\,}
A = {x ∈ W 1, 1 (0, 1): x (0) = 0, х (1) = 1}. {\ displaystyle {A} = \ {x \ in W ^ {1,1} (0,1): x (0) = 0, \ x (1) = 1 \}.}{\ displaystyle {A} = \ {x \ in W ^ {1,1} (0,1): х (0) = 0, \ x (1) = 1 \}.}

Очевидно, x (t) = t 1 3 {\ displaystyle x (t) = t ^ {\ frac {1} {3}}}{\ displaystyle x (t) = t ^ {\ frac {1} {3} }} минимизирует функционал, но мы находим любую функцию x ∈ W 1, ∞ {\ displaystyle x \ in W ^ {1, \ infty}}{\ displaystyle x \ in W ^ {1, \ infty}} дает значение, отделенное от нижнего предела!

Примеры (в одномерном измерении) традиционно проявляются в W 1, 1 {\ displaystyle W ^ {1,1}}W ^ {{1,1}} и W 1, ∞ {\ displaystyle W ^ {1, \ infty}}{\ displaystyle W ^ {1, \ infty}} , но Болл и Мизель предоставили первый функционал, отображающий феномен Лаврентьева на W 1, p {\ displaystyle W ^ {1, p}}W ^ {1, p} и W 1, q {\ displaystyle W ^ {1, q}}{\ displaystyle W ^ {1, q}} для 1 ≤ p < q < ∞. {\displaystyle 1\leq p{\ displaystyle 1 \ leq p <q <\ infty.} Есть несколько результатов, которые дают при котором это явление не происходит - например, «стандартный рост», лагранжи без зависимости от второго критерия или аппроксимирующая последовательность, удовлетворяющая условию Чезари (D), - но результаты часто бывают частными и применимы к небольшому классу функционалов..

С феноменом Лаврентьева свойство отталкивания: любой функционал, отображающий феномен Лаврентьева, будет отображать свойство слабого отталкивания.

Функции нескольких чисел

, если φ (x, y) обозначает смещение мембраны над областью D в плоскости x, y, тогда ее потенциальная энергия пропорциональна площади ее поверхности:

U [ φ] = D 1 + ∇ φ ⋅ ∇ φ dxdy. {\ Displaystyle U [\ varphi] = \ iint _ {D} {\ sqrt {1+ \ nabla \ varphi \ cdot \ nabla \ varphi}} \, dx \, dy. \,}{\ displaystyl е U [\ varphi] = \ iint _ {D} {\ sqrt {1+ \ nabla \ varphi \ cdot \ nabla \ varphi}} \, dx \, dy. \,}

Проблема Плато состоит в нахождении функций, которая минимизирует площадь поверхности, высокие заданные значения на границе D; решения называются минимальными поверхностями . Уравнение Эйлера - Лагранжа для этой задачи является нелинейным:

φ xx (1 + φ y 2) + φ yy (1 + φ x 2) - 2 φ x φ y φ xy = 0. {\ displaystyle \ varphi _ { xx} (1+ \ varphi _ {y} ^ {2}) + \ varphi _ {yy} (1+ \ varphi _ {x} ^ {2}) - 2 \ varphi _ {x} \ varphi _ {y } \ varphi _ {xy} = 0. \,}\ varphi _ {xx} (1+ \ varphi _ {y} ^ {2}) + \ varphi _ {yy} (1+ \ varphi _ {x} ^ {2}) - 2 \ varphi _ {x} \ varphi _ {y} \ varphi _ {xy} = 0. \,

Подробнее см. Курант (1950).

Принцип Дирихле

Часто бывает достаточно рассмотреть только небольшие с территории мембраны, разница в энергии которых ототсутствия сравнима равна

V [φ] = 1 2 ∬ D ∇ φ ⋅ ∇ φ dxdy. {\ displaystyle V [\ varphi] = {\ frac {1} {2}} \ iint _ {D} \ nabla \ varphi \ cdot \ nabla \ varphi \, dx \, dy. \,}V [\ varphi] = {\ frac {1} {2}} \ iint _ {D} \ nabla \ varphi \ cdot \ nabla \ varphi \, dx \, ды. \,

Функционал V должен быть минимизирован среди всех пробных функций φ, которые принимают заданные значения на границе D. Если u - минимизирующая функция, а v - произвольная гладкая функция, которая обращается в нуль на границе D, то первая вариация V [u + ε v] {\ displaystyle V [u + \ varepsilon v]}V [u + \ varepsilon v] должно исчезнуть:

dd ε V [u + ε v] | ε знак равно 0 знак равно ∬ D ∇ U ⋅ ∇ vdxdy = 0. {\ displaystyle {\ frac {d} {d \ varepsilon}} V [u + \ varepsilon v] | _ {\ varepsilon = 0} = \ iint _ {D} \ nabla u \ cdot \ nabla v \, dx \, dy = 0. \,}{\ frac {d} {d \ varepsilon}} V [u + \ varepsilon v] | _ {\ varepsilon = 0} = \ iint _ {D} \ nabla u \ cdot \ nabla v \, dx \, dy = 0. \,

При условии, что u имеет две производные, мы можем применить теорему о расходимости, чтобы получить

∬ D ∇ ⋅ (v ∇ u) dxdy знак равно ∬ D ∇ U ⋅ ∇ v + v ∇ ⋅ ∇ udxdy = ∫ C v ∂ u ∂ nds, {\ displaystyle \ iint _ {D } \ nabla \ cdot (v \ nabla u) \, dx \, dy = \ iint _ {D} \ nabla u \ cdot \ nabla v + v \ nabla \ cdot \ nabla u \, dx \, dy = \ int _ {C} v {\ frac {\ partial u} {\ partial n}} \, ds,}{\ displaystyle \ iint _ {D} \ nabla \ cdot (v \ nabla u) \, dx \, dy = \ iint _ {D} \ nabla u \ cdot \ nabla v + v \ nabla \ cdot \ nabla u \, dx \, dy = \ int _ {C} v {\ frac {\ partial u} {\ partial n}} \, ds,}

где C - граница D, s - длина дуги вдоль C, а ∂ u / ∂ n { \ displaystyle \ partial u / \ partial n}{\ displaystyle \ partial u / \ partial n} - нормальная производная от u на C. Так как v обращается в нуль на C и первая вариация равна нулю, результат будет

∬ D v ∇ ⋅ ∇ udxdy = 0 {\ displaystyle \ iint _ {D} v \ nabla \ cdot \ nabla u \, dx \, dy = 0 \,}\ iint _ {D} v \ nabla \ cdot \ nabla u \, dx \, dy = 0 \,

для всех гладких функций v, обращенных в нуль на границе D. Доказательство для случая одного случая интегралов может быть адаптировано к этому случаю, чтобы показать, ч то

∇ ⋅ ∇ u = 0 {\ displaystyle \ nabla \ cdot \ nabla u = 0 \,}\ nabla \ cdot \ nabla u = 0 \, в D.

Сложность этого рассуждения заключается в предположении, что минимизирующая функция должна иметь две производные. Риман утверждал, что существование гладкой минимизирующей функции было обеспечено связью с физической проблемой: мембраны действительно принимают конфигурацию с минимальной потенциальной энергией. Риман назвал эту идею принципом Дирихле в честь своего учителя Петера Густава Лежена Дирихле. Однако Вейерштрасс привел пример вариационной задачи без решения: минимизировать

W [φ] = ∫ - 1 1 (x φ ′) 2 dx {\ displaystyle W [\ varphi] = \ int _ {- 1} ^ {1} ( x \ varphi ') ^ {2} \, dx \,}W[\varphi ]=\int _{-1}^{1}(x\varphi ')^{2}\,dx\,

среди всех функций φ, которые удовлетворяют φ (- 1) = - 1 {\ displaystyle \ varphi (-1) = - 1}\ va rphi (-1) = - 1 и φ (1) = 1. {\ displaystyle \ varphi (1) = 1.}\ varphi (1) = 1. W {\ displaystyle W}W может быть произвольно маленьким, выбирая кусочно -линейные функции, переходящие от −1 к 1 в малой окрестности начала координат. Однако нет функции, которая делает W = 0 {\ displaystyle W = 0}W = 0 . В конце концов было показано, что принцип дирихле верен, но требует сложного применения теории регулярности для эллиптических уравнений в частных производных ; см. Йост и Ли - Йост (1998).

Обобщение на другие краевые задачи

Более общее выражение для потенциальной энергии мембраны:

V [φ] = ∬ D [1 2 ∇ φ ⋅ ∇ φ + f (x, y) φ] dxdy + ∫ C [1 2 σ (s) φ 2 + g (s) φ] ds. {\ Displaystyle V [\ varphi] = \ iint _ {D} \ left [{\ frac {1} {2}} \ nabla \ varphi \ cdot \ nabla \ varphi + f (x, y) \ varphi \ right] \, dx \, dy \, + \ int _ {C} \ left [{\ frac {1} {2}} \ sigma (s) \ varphi ^ {2} + g (s) \ varphi \ right] \, ds.}V [\ varphi] = \ iint _ {D} \ left [{\ frac {1} {2}} \ nabla \ varphi \ cdot \ nabla \ varphi + f (x, y) \ varphi \ right] \, dx \, dy \, + \ int _ {C} \ left [{\ frac {1} {2}} \ sigma (s) \ varphi ^ {2 } + g (s) \ varphi \ right] \, ds.

Это соответствует плотности внешней силы f (x, y) {\ displaystyle f (x, y)}f (x, y) в D, external силе g (s) { \ displaystyle g (s)}г (s) на границе C, и силы упругости с модулем σ (s) {\ displaystyle \ sigma (s)}\ sigma (s) , действующие на C. Функция, которая минимизирует потенциальную энергию без ограничения ее граничных значений, будет обозначена u. При условии, что f и g непрерывны, теория регулярности подразумевает, что минимизирующая функция u будет иметь две производные. При выборе первого варианта не требуется налагать граничное условие на приращение v. Дан первый вариант V [u + ε v] {\ displaystyle V [u + \ varepsilon v]}V [u + \ varepsilon v] по

∬ D [∇ U ⋅ ∇ v + fv] dxdy + ∫ C [σ uv + gv] ds = 0. {\ displaystyle \ iint _ {D} \ left [\ nabla u \ cdot \ nabla v + fv \ right] \, dx \, dy + \ int _ {C} \ left [\ sigma uv + gv \ right] \, ds = 0. \,}\ iint _ {D} \ left [\ nabla u \ cdot \ nabla v + fv \ right] \, dx \, dy + \ int _ {C} \ left [\ sigma uv + gv \ right] \, ds = 0. \,

Если мы применимы теорему о расходимости, результат будет

∬ D [- v ∇ ⋅ ∇ U + vf] dxdy + ∫ C v [∂ u ∂ N + σ u + g] ds = 0. {\ displaystyle \ iint _ {D} \ left [-v \ nabla \ cdot \ nabla u + vf \ right] \, dx \, dy + \ int _ {C} v \ left [{\ frac {\ partial u} {\ partial n}} + \ sigma u + g \ right] \, ds = 0. \,}{\ displaystyle \ iint _ { D} \ left [-v \ nabla \ cdot \ nabla u + vf \ right] \, dx \, dy + \ int _ {C} v \ left [{\ frac {\ partial u} {\ partial n}} + \ sigma u + g \ right] \, ds = 0. \,}

Если мы сначала установим v = 0 на C, граничный интеграл обращается в нуль, и мы сделаем, как и раньше, что

- ∇ ⋅ ∇ u + f = 0 {\ displaystyle - \ nabla \ cdot \ nabla u + f = 0 \,}- \ nabla \ cdot \ nabla u + f = 0 \,

в D. Тогда, если мы позволим принимать произвольные граничные значения, это означает, что u до лжен удовлетворять граничному условию

∂ u ∂ n + σ u + g Знак равно 0, {\ displaystyle {\ frac {\ part ial u} {\ partial n}} + \ sigma u + g = 0, \,}{\ displaystyle { \ frac {\ partial u} {\ partial n}} + \ sigma u + g = 0, \,}

на C. Это граничное условие является следствием минимизирующего свойства u: оно не налагается заранее. Такие условия называются естественными граничными условиями .

. Предыдущее рассуждение недействительно, если σ {\ displaystyle \ sigma}\ sigma одинаково обращается в нуль на C. В таком случае мы могли бы допустить пробную функцию φ ≡ c {\ displaystyle \ varphi \ Equiv c}\ varphi \ Equiv c , где c - константа. Для такой пробной функции

V [c] = c [∬ D f d x d y + ∫ C g d s]. {\ displaystyle V [c] = c \ left [\ iint _ {D} f \, dx \, dy + \ int _ {C} g \, ds \ right].}{\ displaystyle V [c] = c \ left [\ iint _ {D} f \, dx \, dy + \ int _ {C} g \, ds \ right].}

Приемем выборе c, V может принимать любое значение, если только количество в скобках не обращается в нуль. Следовательно, вариационная задача бессмысленна, если

∬ D fdxdy + ∫ C gds = 0. {\ displaystyle \ iint _ {D} f \, dx \, dy + \ int _ {C} g \, ds = 0. \,}\ iint _ {D} f \, dx \, dy + \ int _ {C} g \, ds = 0. \,

Это означает, что чистые внешние силы, действующие на систему находятся в равновесии. Если эти силы находятся в равновесии, то оно не единственное, но оно не единственное, так как можно добавить произвольную константу. Дальнейшие подробности и примеры найти у Куранта и Гильберта (1953).

Задачи на собственные значения

Как одномерные, так и многомерные задачи задачи на собственные значения могут быть сформулированы как вариационные задачи.

Задачи Штурма - Лиувилля

Задача на собственные значения Штурма - Лиувилля включает общую квадратичную форму

Q [φ] = ∫ x 1 x 2 [p (x) φ ′ (x) 2 + Q (Икс) φ (Икс) 2] dx, {\ Displaystyle Q [\ varphi] = \ int _ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} \ left [p (x) \ varphi '( x) ^ {2} + q (x) \ varphi (x) ^ {2} \ right] \, dx, \,}Q[\varphi ]=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left[p(x)\varphi '(x)^{2}+q(x)\varphi (x)^{2}\right]\,dx,\,

где φ {\ displaystyle \ varphi}\ varphi ограничивается функции, которые удовлетворяют граничным условиям

φ (x 1) = 0, φ (x 2) = 0. {\ displaystyle \ varphi (x_ {1}) = 0, \ quad \ varphi (x_ {2)}) = 0. \,}\ varphi (x_ {1}) = 0, \ quad \ varphi (x_ {2}) = 0. \,

Пусть R - нормализационный интеграл

R [φ] = ∫ x 1 x 2 r (x) φ (x) 2 dx. {\ Displaystyle R [\ varphi] = \ int _ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} r (x) \ varphi (x) ^ {2} \, dx. \,}R [\ varphi] = \ int _ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} r (x) \ varphi (x) ^ {2} \, дх. \,

Функции p (x) {\ displaystyle p (x)}p (x) и r (x) {\ displaystyle r (x)}r (x) должны быть везде положительными и отделен от нуля. Основная вариационная задача состоит в том, чтобы минимизировать отношение Q / R среди всех φ, удовлетворяющих условиям конечной точки. Ниже показано, что уравнение Эйлера - Лагранжа для минимизации u имеет вид

- (pu ′) ′ + qu - λ ru = 0, {\ displaystyle - (pu ')' + qu- \ lambda ru = 0, \, }-(pu')'+qu-\lambda ru=0,\,

где λ - частное

λ = Q [u] R [u]. {\ displaystyle \ lambda = {\ frac {Q [u]} {R [u]}}. \,}\ лямбда = {\ frac {Q [u]} {R [u]}}. \,

Можно показать (см. Гельфанд и Фомин, 1963 г.), что минимизирующая u имеет две производные и удовлетворяет Уравнение Эйлера - Лагранжа. Соответствующий λ будет обозначен как λ 1 {\ displaystyle \ lambda _ {1}}\ лямбда _ {1} ; это наименьшее собственное значение для этого уравнения и граничных условий. Соответствующая функция минимизации будет обозначена как u 1 (x) {\ displaystyle u_ {1} (x)}u_ {1} (x) . Эта вариационная характеристика собственных значений приводит к методу Рэлея-Ритца : выбирают аппроксимирующую u как линейную комбинацию базисных функций (например, тригонометрические функции) и выполняет конечную минимизацию такихных комбинаций. Этот метод часто бывает на удивление точным.

Следующее наименьшее собственное значение и собственная функция могут быть получены путем минимизации Q при дополнительном ограничении

∫ x 1 x 2 r (x) u 1 (x) φ (x) dx = 0. {\ displaystyle \ int _ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} r (x) u_ {1} (x) \ varphi (x) \, dx = 0. \,}\ int _ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} r (x) u_ {1} (x) \ varphi (x) \, dx = 0. \,

Эту возможность можно расширить до получить полную последовательность значений и собственных функций для задач.

Вариационная задача также применима к более общим граничным условиям. Вместо того, чтобы требовать, чтобы φ обращалось в конечные точки, мы не можем налагать никакие условия на конечные точки и установить

Q [φ] = ∫ x 1 x 2 [p (x) φ ′ (x) 2 + q (x) φ (x) 2] dx + a 1 φ (x 1) 2 + a 2 φ (x 2) 2, {\ displaystyle Q [\ varphi] = \ int _ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} \ left [p (x) \ varphi '(x) ^ {2} + q (x) \ varphi (x) ^ {2} \ right] \, dx + a_ {1} \ varphi (x_ {1}) ^ {2} + a_ {2} \ varphi (x_ {2}) ^ {2}, \,}Q[\varphi ]=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left[p(x)\varphi '(x)^{2}+q(x)\varphi (x)^{2}\right]\,dx+a_{1}\varphi (x_{1})^{2}+a_{2}\varphi (x_{2})^{2},\,

где a 1 {\ displaystyle a_ {1}}a_ {1} и a 2 {\ displaystyle a_ {2}}a_ {2} имеют произвольными. Если мы установим φ = u + ε v {\ displaystyle \ varphi = u + \ varepsilon v}\ varphi = u + \ varepsilon v первый вариант Q / R {\ displaystyle Q / R}Q / R равно

V 1 = 2 R [u] (∫ x 1 x 2 [p (x) u ′ (x) v ′ (x) + q (x) u (x) v (x) - λ). U (Икс) v (Икс)] dx + a 1 U (Икс 1) v (Икс 1) + a 2 U (X 2) v (Икс 2)), {\ Displaystyle V_ {1} = {\ frac { 2} {R [u]}} \ left (\ int _ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} \ left [p (x) u '(x) v' (x) + q (x) u (x) v (x) - \ lambda u (x) v (x) \ right] \, dx + a_ {1} u (x_ {1}) v (x_ {1}) + a_ {2} u (x_ {2}) v (x_ {2}) \ right), \,}V_{1}={\frac {2}{R[u]}}\left(\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left[p(x)u'(x)v'(x)+q(x)u(x)v(x)-\lambda u(x)v(x)\right]\,dx+a_{1}u(x_{1})v(x_{1})+a_{2}u(x_{2})v(x_{2})\right),\,

где λ задается спросением Q [u] / R [u] {\ displaystyle Q [u] / R [u ]}Q [u] / R [u] как раньше. После интегрирования по частям

R [u] 2 V 1 = ∫ x 1 x 2 v (x) [- (pu ′) ′ + qu - λ ru] dx + v (x 1) [- p (x 1) u ′ (x 1) + a 1 u (x 1)] + v (x 2) [p (x 2) u ′ (x 2) + a 2 u (x 2)]. {\ displaystyle {\ frac {R [u]} {2}} V_ {1} = \ int _ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} v (x) \ left [- (pu ')' + qu- \ lambda ru \ right] \, dx + v (x_ {1}) [- p (x_ {1}) u '(x_ {1}) + a_ {1} u (x_ {1})] + v (x_ {2}) [p (x_ {2}) u '(x_ {2}) + a_ {2} u (x_ {2})]. \,}{\frac {R[u]}{2}}V_{1}=\int _{x_{1}}^{x_{2}}v(x)\left[-(pu')'+qu-\lambda ru\right]\,dx+v(x_{1})[-p(x_{1})u'(x_{1})+a_{1}u(x_{1})]+v(x_{2})[p(x_{2})u'(x_{2})+a_{2}u(x_{2})].\,

Если мы сначала потребуем, чтобы v обращаются в нуль на концах, первая вариация исчезнет для всех таких v, только если

- (pu ′) ′ + qu - λ ru = 0 для x 1 < x < x 2. {\displaystyle -(pu')'+qu-\lambda ru=0\quad {\hbox{for}}\quad x_{1}-(pu')'+qu-\lambda ru=0\quad {\hbox{for}}\quad x_{1}<x<x_{2}.\,

Если u удовлетворяет это условие, то первая вариация исчезнет для произвольного v, только если

- p (x 1) u ′ (x 1) + a 1 u (x 1) = 0, а p (x 2) u ′ (Икс 2) + a 2 u (x 2) = 0. {\ displaystyle -p (x_ {1}) u '(x_ {1}) + a_ {1} u (x_ {1}) = 0, \ quad {\ hbox {and}} \ quad p (x_ {2}) u '(x_ {2}) + a_ {2} u (x_ {2}) = 0. \,}-p(x_{1})u'(x_{1})+a_{1}u(x_{1})=0,\quad {\hbox{and}}\quad p(x_{2})u'(x_{2})+a_{2}u(x_{2})=0.\,

Эти последние условия Существуют естественными граничными условиями для этого проблема, поскольку они не накладываются на пробные функции для минимизации, а являются следствием минимизации.

Задачи на собственных значениях в нескольких измерениях

Задачи на собственных значениях в более высоких измерениях по аналогии с одномерным случаем. Например, для области D с границей B в трех измерениях мы можем определить

Q [φ] = ∭ D p (X) ∇ φ ⋅ ∇ φ + q (X) φ 2 dxdydz + ∬ B σ (S) φ 2 d S, {\ Displaystyle Q [\ varphi] = \ iiint _ {D} p (X) \ nabla \ varphi \ cdot \ nabla \ varphi + q (X) \ varphi ^ {2} \, dx \, dy \, dz + \ iint _ {B} \ sigma (S) \ varphi ^ {2} \, dS, \,}Q [\ varphi] = \ iiint _ {D} p (X) \ nabla \ varphi \ cdot \ nabla \ varphi + q (X) \ varphi ^ {2} \, dx \, dy \, dz + \ iint _ {B} \ sigma (S) \ varphi ^ {2} \, dS, \,

и

R [φ] = ∭ D r (X) φ (X) 2 dxdydz. {\ displaystyle R [\ varphi] = \ iiint _ {D} r (X) \ varphi (X) ^ {2} \, dx \, dy \, dz. \,}R [\ varphi] = \ iiint _ {D } r (X) \ varphi (X) ^ {2} \, dx \, dy \, dz. \,

Пусть u - функция, которая минимизирует частное Q [φ] / R [φ], {\ displaystyle Q [\ varphi] / R [\ varphi],}Q [\ varphi] / R [\ varphi], без каких-либо условий, предписанных на границе B. Эйлер– Уравнение Лагранжа, которому удовлетворяет u, равно

- ∇ ⋅ (p (X) ∇ u) + q (x) u - λ r (x) u = 0, {\ displaystyle - \ nabla \ cdot (p (X) \ nabla u) + q (x) u- \ lambda r (x) u = 0, \,}- \ nabla \ cdot (p (X) \ nabla u) + q (x) u) - \ lambda r (x) u = 0, \,

где

λ = Q [u] R [u]. {\ displaystyle \ lambda = {\ frac {Q [u]} {R [u]}}. \,}\ лямбда = {\ frac {Q [u]} {R [u]}}. \,

Минимизирующее u также должно удовлетворять естественному граничному условию

p (S) ∂ u ∂ n + σ (S) u = 0, {\ displaystyle p (S) {\ frac {\ partial u} {\ partial n}} + \ sigma (S) u = 0,}{\ displaystyle p (S) {\ frac {\ partial u} {\ partial n}} + \ sigma (S) u = 0,}

на границе B. Это результат зависит от теории регулярности эллиптических уравнений в частных производных; подробнее см. Jost and Li – Jost (1998). Многие расширения, включая результаты о полноте, асимптотические свойства собственных значений и результаты, касающиеся узлов собственных функций, содержатся в Куранте и Гильберте (1953).

Приложения

Оптика

Принцип Ферма гласит, что свет проходит путь, который (локально) минимизирует оптическую длину между его конечными точками. Если в качестве параметра на пути выбрана координата x, а вдоль пути y = f (x) {\ displaystyle y = f (x)}y=f(x), то задается оптическая длина по

A [f] = ∫ x = x 0 x 1 n (x, f (x)) 1 + f '(x) 2 dx, {\ displaystyle A [f] = \ int _ {x = x_ {0}} ^ {x_ {1}} n (x, f (x)) {\ sqrt {1 + f '(x) ^ {2}}} dx, \,}A[f]=\int _{x=x_{0}}^{x_{1}}n(x,f(x)){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}dx,\,

где показатель преломления n (x, y) {\ displaystyle n (x, y)}n (x, y) зависит от материала. Если мы попробуем f (x) = f 0 (x) + ε f 1 (x) {\ displaystyle f (x) = f_ {0} (x) + \ varepsilon f_ {1} (x)}f (x) = f_ {0} (x) + \ varepsilon f_ {1} (x) , то первая вариация A (производная A по ε) равна

δ A [f 0, f 1] = ∫ x = x 0 x 1 [n (x, f 0) f 0 ′ (x) f 1 ′ (x) 1 + f 0 ′ (x) 2 + ny (x, f 0) f 1 1 + f 0 ′ (x) 2] dx. {\ displaystyle \ delta A [f_ {0}, f_ {1}] = \ int _ {x = x_ {0}} ^ {x_ {1}} \ left [{\ frac {n (x, f_ {0 }) f_ {0} '(x) f_ {1}' (x)} {\ sqrt {1 + f_ {0} '(x) ^ {2}}}} + n_ {y} (x, f_ { 0}) f_ {1} {\ sqrt {1 + f_ {0} '(x) ^ {2}}} \ right] dx.}\delta A[f_{0},f_{1}]=\int _{x=x_{0}}^{x_{1}}\left[{\frac {n(x,f_{0})f_{0}'(x)f_{1}'(x)}{\sqrt {1+f_{0}'(x)^{2}}}}+n_{y}(x,f_{0})f_{1}{\sqrt {1+f_{0}'(x)^{2}}}\right]dx.

После интегрирования по частям первого члена в скобках мы получаем Уравнение Эйлера – Лагранжа

- ddx [n (x, f 0) f 0 ′ 1 + f 0 ′ 2] + ny (x, f 0) 1 + f 0 ′ (x) 2 = 0. {\ displaystyle - {\ frac {d} {dx}} \ left [{\ frac {n (x, f_ {0}) f_ {0} '} {\ sqrt {1 + f_ {0}' ^ {2}}} } \ right] + n_ {y} (x, f_ {0}) {\ sqrt {1 + f_ {0} '(x) ^ {2}}} = 0. \,}-{\frac {d}{dx}}\left[{\frac {n(x,f_{0})f_{0}'}{\sqrt {1+f_{0}'^{2}}}}\right]+n_{y}(x,f_{0}){\sqrt {1+f_{0}'(x)^{2}}}=0.\,

Лучи света могут определяться интегрированием этого уравнения. Этот формализм используется в контексте лагранжевой оптики и гамильтоновой оптики.

закона Снеллиуса

. Когда свет попадает в линзу или покидает линзу, наблюдается разрыв показателя преломления. Пусть

n (x, y) = n (-), если x < 0, {\displaystyle n(x,y)=n_{(-)}\quad {\hbox{if}}\quad x<0,\,}{\ displaystyle n (x, y) = n_ {(-)} \ quad {\ hbox {if}} \ quad x <0, \,}
n (x, y) = n (+), если x>0, {\ displaystyle n (x, y) = n _ {(+)} \ quad {\ hbox {if}} \ quad x>0, \,}{\displaystyle n(x,y)=n_{(+)}\quad {\hbox{if}}\quad x>0, \,}

где n (-) {\ displaystyle n _ {(-)}}{\ displaystyle n _ {(-)}} Тогда и{\ displaystyle n _ {(-)}} 317>n (+) {\ displaystyle n _ {(+)}}{\ displaystyle n _ {(+)} } - константы. уравнение Эйлера - Лагранжа выполняется, как и раньше, в области, где x <0 or x>0, как показатель преломления постоянным. При x = 0 f должно быть непрерывным, но f 'может быть разрывным.

δ A [f 0, f 1] = f 1 (0) [n (-) f 0 ′ (0 -) 1 + f 0 ′ (0 -) 2 - n (+) f 0 ′ (0 +) 1 + f 0 ′ (0 +) 2]. {\ Displaystyle \ delta A [f_ {0}, f_ {1}] = f_ {1} (0) \ left [n _ {(-)} { \ frac {f_ {0} '(0 ^ {-})} {\ sqrt {1 + f_ {0} '(0 ^ {-}) ^ {2}}}} - n _ {(+)} {\ frac {f_ {0}' (0 ^ {+})} {\ sqrt {1 + f_ {0} '(0 ^ {+}) ^ {2}}}} \ right]. \,}{\displaystyle \delta A[f_{0},f_{1}]=f_{1}(0)\left[n_{(-)}{\frac {f_{0}'(0^{-})}{\sqrt {1+f_{0}'(0^{-})^{2}}}}-n_{(+)}{\frac {f_{0}'(0^{+})}{\sqrt {1+f_{0}'(0^{+})^{2}}}}\right].\,}

Фактор мульт iplying n (-) {\ displaystyle n _ {(-)}}{\ displaystyle n _ {(-)}} - это синус угла падающего луча с осью x и множитель n (+) {\ displaystyle n _ {(+)}}{\ displaystyle n _ {(+)} } - это синус угла преломленного луча с осью x. Закон Снеллиуса для того, чтобы эти члены были преломлены. Как показывает этот расчет, закон Снеллиуса эквивалентен обращению в нуль первой вариации длины оптического пути.

Принцип Ферма в трех измерениях

Целно использовать использование обозначения: let X = (x 1, x 2, x 3), {\ displaystyle X = (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}),}X = (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}), пусть t будет параметром, пусть X (t) {\ displaystyle X (t)}X (t) будет параметрическим представлением кривой C, и пусть Икс ˙ (t) {\ displaystyle {\ dot {X}} (t)}{\ dot {X}} (t) будет его касательным вектором. Оптическая длина определяется как

A [C] = ∫ t = t 0 t 1 n (X) X ˙ ⋅ X ˙ d t. {\ displaystyle A [C] = \ int _ {t = t_ {0}} ^ {t_ {1}} n (X) {\ sqrt {{\ dot {X}} \ cdot {\ dot {X}} }} \, dt. \,}{\ displaystyle A [C] = \ int _ {t = t_ {0}} ^ {t_ {1}} n (X) {\ sqrt {{\ точка {X}} \ cdot {\ dot {X}}}} \, dt. \,}

Отметим, что этот интеграл инвариантен относительно изменений параметрического представления C. Уравнения Эйлера - Лагранжа для минимизирующей кривой имеют симметричный вид

ddt P = X ˙ ⋅ Икс ˙ ∇ N, {\ displaystyle {\ frac {d } {dt}} P = {\ sqrt {{\ dot {X}} \ cdot {\ dot {X}}}} \, \ nabla n, \,}{\ Displaystyle {\ frac {d} {dt}} P = {\ sqrt {{\ dot {X}} \) cdot {\ dot {X} }}} \, \ nabla n, \,}

где

P = n (X) X ˙ X ˙ ⋅ X ˙. {\ displaystyle P = {\ frac {n (X) {\ dot {X}}} {\ sqrt {{\ dot {X}} \ cdot {\ dot {X}}}}}}. \,}P = {\ frac {n (X) {\ dot {X}}} {\ sqrt {{ \ точка {X}} \ cdot {\ точка {X}}}}}. \,

Из определения, что удовлетворяет

P ⋅ P = n (X) 2. {\ displaystyle P \ cdot P = n (X) ^ {2}. \,}P \ cdot P = n (X) ^ {2}. \,

Следовательно, интеграл также может быть записан как

A [C] = ∫ t = t 0 t 1 P ⋅ X ˙ дт. {\ displaystyle A [C] = \ int _ {t = t_ {0}} ^ {t_ {1}} P \ cdot {\ dot {X}} \, dt. \,}A [C] = \ int _ {t = t_ {0}} ^ {t_ {1}} P \ cdot {\ dot {X}} \, dt. \,

Эта форма предполагает, что если мы можем найти функцию ψ, градиент которой задается P, то интеграл A определяется разностью ψ на концах интервала интегрирования. Таким образом, проблема изучения кривых, делающих интеграл стационарным, может быть связана с изучением уровня ψ. Чтобы найти такую ​​функцию, обратимся к волновому уравнению, распространение света. Эта формализм используется в контексте лагранжевой оптики и гамильтоновой оптики.

Связь с волновым уравнением

Волновое уравнение для неоднородной среды имеет вид

utt = c 2 ∇ ⋅ ∇ u, {\ displaystyle u_ {tt} = c ^ {2} \ nabla \ cdot \ nabla u, \,}u_ {tt} = c ^ {2} \ nabla \ cdot \ nabla и, \,

где c - скорость, которая обычно зависит от X Волновые фронты для света за всегда поверхностями для этого уравнения в частных производных: они удовлетворяют

φ t 2 = c (X) 2 ∇ φ ⋅ ∇ φ. {\ displaystyle \ varphi _ {t} ^ {2} = c (X) ^ {2} \, \ nabla \ varphi \ cdot \ nabla \ varphi. \,}{\ displaystyle \ varphi _ {t} ^ {2} = c (X) ^ {2} \, \ nabla \ varphi \ cdot \ nabla \ varphi. \,}

Мы можем искать решения в форме

φ (t, X) = t - ψ (X). {\ Displaystyle \ varphi (T, X) = t- \ psi (X). \,}\ varphi (t, Х) = t- \ psi (X). \,

В этом случае ψ удовлетворяет

∇ ψ ⋅ ∇ ψ = n 2, {\ displaystyle \ nabla \ psi \ cdot \ nabla \ psi = n ^ {2}, \,}\ nabla \ psi \ cdot \ набла \ psi = n ^ {2}, \,

, где n = 1 / c. {\ displaystyle n = 1 / c.}n = 1 / c. Согласно теории дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, если P = ∇ ψ, {\ displaystyle P = \ nabla \ psi,}P = \ nabla \ psi, , тогда удовлетворяет

d P ds = n ∇ n, {\ displaystyle {\ frac {dP} {ds}} = n \, \ nabla n,}{\ displaystyle {\ frac {dP} {ds}} = n \, \ nabla n,}

вдоль системы кривых (световых лучей ), которые задаются как

d X ds = P. {\ displaystyle {\ frac {dX} {ds}} = P. \,}{\ frac {dX} {ds}} = P. \,

Эти уравнения для решения дифференциального уравнения с частными производными первого порядка уравнения уравнения Эйлера - Лагранжа, если мы сделаем идентификацию

dsdt знак равно X ˙ ⋅ X ˙ n. {\ displaystyle {\ frac {ds} {dt}} = {\ frac {\ sqrt {{\ dot {X}} \ cdot {\ dot {X}}}} {n}}. \,}{\ frac {ds} {dt}} = {\ frac {\ sqrt {{\ dot {X}} \ cdot {\ dot {X}}}} {n}}. \,

Мы заключаем, что функция ψ представляет собой значение минимизирующего интеграла A как функцию верхней конечной точки. То есть, когда построено семейство минимизирующих кривых, значения оптической длины соответствуют соответствующему уравнению, соответствующему волновому уравнению. Следовательно, соответствующее уравнение в частных производных первого порядка эквивалентно нахождения семейств решений вариационной задачи. Это основное содержание теории Гамильтона - Якоби, которая используется к более общим вариационным задачам.

Механика

В классической механике действие S определяется как временной интеграл лагранжиана Л. Лагранжиан - это разность энергий,

L = T - U, {\ displaystyle L = TU, \,}L = TU, \,

где T - кинетическая энергия механической системы, а U - его потенциальная энергия. Принцип Гамильтона (или принцип действия) утверждает, что движение консервативной голономной (интегрируемые связи) механической системы таково, что интеграл действия

S = ∫ t = t 0 t 1 L (x, Икс ˙, t) dt {\ displaystyle S = \ int _ {t = t_ {0}} ^ {t_ {1}} L (x, {\ dot {x}}, t) \, dt}{\ displaystyle S = \ int _ {t = t_ {0}} ^ {t_ {1}} L (x, {\ dot {x}}, t) \, dt}

является стационарным относительно вариаций пути x (t). Уравнения Эйлера - Лагранжа для этой системы известны как уравнения Лагранжа:

ddt ∂ L ∂ x ˙ = ∂ L ∂ x, {\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {x}}}} = {\ frac {\ partial L} {\ partial x}}, \,}{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {x}}}} = { \ frac {\ partial L} {\ partial x}}, \,}

, и они эквивалентны уравнениям движения Ньютона (для таких систем).

Сопряженные импульсы P распознавания как

p = ∂ L ∂ x ˙. {\ displaystyle p = {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {x}}}}. \,}{\ displaystyle p = {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {x}}}}. \,}

Например, если

T = 1 2 mx ˙ 2, {\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} m {\ dot {x}} ^ {2}, \, }T = {\ frac {1} {2}} m {\ dot {x}} ^ {2}, \,

, затем

p = mx ˙. {\ displaystyle p = m {\ dot {x}}. \,}p = m {\ dot {x}}. \,

гамильтонова механика приводит к тому, что сопряженные импульсы вводятся вместо x ˙ {\ displaystyle {\ dot {x}}}{\ dot {x}} преобразованием Лежандра лагранжиана L в гамильтониан H, имеют как

H (x, p, t) = px ˙ - L (x, x ˙, t). {\ displaystyle H (x, p, t) = p \, {\ dot {x}} - L (x, {\ dot {x}}, t). \,}H (x, p, t) = p \, {\ dot {x}} - L (x, {\ dot {x}}, t). \,

Гамильтониан - это полная энергия системы: H = T + U. Аналогия с принципом Ферма предполагает, что решения уравнения Лагранжа (траектории частиц) могут быть предложены в терминах уровня некоторой функции X. Эта функция является решением Гамильтона –Уравнение Якоби :

∂ ψ ∂ t + H (x, ∂ ψ ∂ x, t) = 0. {\ displaystyle {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial t}} + H \ left ( x, {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial x}}, t \ right) = 0. \,}{\ displaystyle {\ frac {\ partia l \ psi} {\ partial t}} + H \ left (x, {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial x}}, t \ right) = 0. \,}

Другие приложения

Другие приложения вариационного исчисления включают следующее:

Варианты и суточные условия для минимума

Вариационное исчисление связано с в ариациями функционалов, которые представляют собой небольшие изменения в значении функций, которые являются его аргументом. первый вариант определяется как линейная часть изменения функционала, а второй вариант определяется как квадратичная часть.

Например, если J [y] - это функционал с функцией y = y (x) в качестве аргумента, и есть небольшое изменение в его аргументе с y на y + h, где h = h (x) - функция в том же функциональном месте как y, это изменение в функционале будет

Δ J [h] = J [y + h] - J [y]. {\ displaystyle \ Delta J [h] = J [y + h] -J [y].}{\ displaystyle \ Delta J [h] = J [y + h] -J [y].}

Функционал J [y] называется дифференцируемым, если

Δ J [час] знак равно φ [час] + ε ‖ час ‖, {\ displaystyle \ Delta J [h] = \ varphi [h] + \ varepsilon \ | h \ |,}{\ displaystyle \ Delta J [h] = \ varphi [h] + \ varepsilon \ | h \ |,}

где φ [h] - линейный функционал, || ч || - норма h, а ε → 0 при || ч || → 0. Линейный первый функционал φ [h] является вариацией J [y] и обозначается как,

δ J [h] = φ [h]. {\ displaystyle \ delta J [h] = \ varphi [h].}{\ displaystyle \ delta J [h] = \ varphi [h].}

Функционал J [y] называется дважды дифференцируемым, если

Δ J [h] = φ 1 [час] + φ 2 [час] + ε ‖ час ‖ 2, {\ displaystyle \ Delta J [h] = \ varphi _ {1} [h] + \ varphi _ {2} [h] + \ varepsilon \ | h \ | ^ {2},}{\ displaystyle \ Delta J [h] = \ varphi _ {1} [h] + \ varphi _ {2} [h] + \ varepsilon \ | час \ | ^ {2},}

где φ 1 [h] - линейный функционал (первая вариация), φ 2 [h] - квадратичный функционал, и ε → 0 при | | ч || → 0. Квадратичный функционал φ 2 [h] является второй вариацией J [y] и обозначается как,

δ 2 J [h] = φ 2 [h]. {\ displaystyle \ delta ^ {2} J [h] = \ varphi _ {2} [h].}{\ displaystyle \ delta ^ {2} J [h] = \ varphi _ {2} [h].}

Вторая вариация δJ [h] называется строго положительной, если

δ 2 J [час] ≥ К ‖ час ‖ 2, {\ displaystyle \ delta ^ {2} J [h] \ geq k \ | h \ | ^ {2},}{\ Displaystyle \ дельта ^ {2} J [ч] \ GEQ к \ | ч \ | ^ {2},}

для всех h и некоторых константа k>0.

Используя приведенные выше определения, особенности первой вариации, второй вариант и строго положительные значения, можно указать соответствующее условие для минимума функционала.

Достаточное первое условие для минимума:
Функционал J [y] имеет минимум при y = ŷ, если его вариация δJ [h] = 0 при y =, а вторая вариация δJ [h] строго положительна. при y = ŷ.

См. также

Примечания

Ссылки

Дополнительная литература

Внешние ссылки

Последняя правка сделана 2021-05-13 13:59:53
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте