Векторный набор

редактировать

(бесконечно расширенная) лента Мёбиуса представляет собой линейный набор на 1-сфера S. Локально вокруг каждой точки в S он выглядит как U × R (где U - открытая дуга, включая точку), но общий пучок отличается от S× R(который вместо этого является цилиндром ).

В математике векторный пакет - это топологическая конструкция, которая делает уточнить идею семейства векторных пространств, параметризованных другим пространством X (например, X может быть топологическим пространством, многообразием, или алгебраическое многообразие ): каждой точке x пространства X мы связываем (или «прикрепляем») векторное пространство V (x) таким образом, что эти векторные пространства подходят друг к другу, образуя другое пространство того же типа, что и X (например, топологическое пространство, многообразие или алгебраическое многообразие), которое затем называется векторным расслоением над X .

Простейшим примером является случай, когда семейство векторных пространств является постоянным, т. е., существует фиксированное векторное пространство V такое, что V (x) = V для всех x в X: в этом случае существует копия V для каждого x в X и эти копии складываются вместе, образуя векторное расслоение X × V над X. Такие векторные расслоения называются тривиальными. Более сложным (и прототипическим) классом примеров являются касательные расслоения гладких (или дифференцируемых) многообразий : к каждой точке такого многообразия мы присоединяем касательное пространство к коллектору в этой точке. Касательные расслоения, вообще говоря, не являются тривиальными. Например, касательное расслоение сферы нетривиально по теореме о волосатом шаре. В общем случае многообразие называется параллелизуемым тогда и только тогда, когда его касательное расслоение тривиально.

Однако почти всегда требуется, чтобы векторные пучки были локально тривиальными, что означает, что они являются примерами пучков волокон. Кроме того, векторные пространства обычно должны быть над действительными или комплексными числами, и в этом случае векторное расслоение называется действительным или комплексным векторным расслоением (соответственно). Комплексные векторные расслоения можно рассматривать как реальные векторные расслоения с дополнительной структурой. Далее мы сосредоточимся на реальных векторных расслоениях в категории топологических пространств.

Содержание

1 Определение и первые следствия
- 1.1 Переходные функции
2 Морфизмы векторных расслоений
3 Разделы и локально свободные пучки
4 Операции над векторными расслоениями
5 Дополнительные структуры и обобщения
6 Гладкие векторные расслоения
7 K-теория
8 См. также
- 8.1 Общие понятия
- 8.2 Топология и дифференциальная геометрия
- 8.3 Алгебраическая и аналитическая геометрия
9 Примечания
10 Источники
11 Внешние ссылки

Определение и первые следствия

A Реальный векторный пучок состоит из:

топологического пространства X (базовое пространство) и E (общее пространство)
a непрерывная сюръекция π: E → X (проекция пучка)
для каждого x в X, структура конечное вещественное векторное пространство на волокне π ({x})

, где выполняется следующее условие совместимости : для каждой точки p в X существует открытая окрестность U ⊆ X o fp, a натуральное число k и гомеоморфизм

φ: U × R k → π - 1 (U) {\ displaystyle \ varphi \ двоеточие U \ times \ mathbf {R} ^ {k} \ to \ pi ^ {- 1} (U)}

{\ displaystyle \ varphi \ двоеточие U \ раз \ mathbf {R} ^ {k} \ to \ pi ^ {- 1} (U)}

такой, что для всех x ∈ U

$(π ∘ φ) (x, v) = x {\ displaystyle (\ pi \ circ \ varphi) (x, v) = x}$ $(\ pi \ circ \ varphi) (x, v) = x$ для всех векторов v в R и
на карте $v ↦ φ (x, v) {\ displaystyle v \ mapsto \ varphi (x, v)}$ ${\ displaystyle v \ mapsto \ varphi (x, v)}$ - это линейный изоморфизм между векторными пространствами R и π ({x}).

Открытая окрестность U вместе с гомеоморфизмом $φ {\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ называется локальной тривиализацией векторного расслоения. Локальная тривиализация показывает, что локально отображение π «выглядит» как проекция U × R на U.

Каждый слой π ({x}) является конечномерным вещественным векторным пространством и, следовательно, имеет размерность k x. Локальные тривиализации показывают, что функция x ↦ k x является локально постоянной и, следовательно, постоянной на каждом компоненте связности X. Если k x равно константе k на всем X, то k называется rank векторного расслоения, а E называется векторным расслоением ранг к . Часто определение векторного расслоения включает в себя то, что ранг определен правильно, так что k x является постоянным. Векторные расслоения ранга 1 называются линейными расслоениями, тогда как расслоения ранга 2 реже называются плоскими расслоениями.

Декартово произведение X × R, снабженное проекцией X × R → X, называется тривиальным пучком ранга k над X.

Функции перехода

Для векторного расслоения E → X ранга k и пары окрестностей U и V, над которыми расслоение тривиализуется с помощью

φ U: U × R К → ≅ π - 1 (U), φ V: V × R K → ≅ π - 1 (V) {\ displaystyle {\ begin {align} \ varphi _ {U} \ двоеточие U \ раз \ mathbf {R} ^ {k} {\ xrightarrow {\ cong}} \ pi ^ {- 1} (U), \\\ varphi _ {V} \ двоеточие V \ times \ mathbf {R} ^ { k} {\ xrightarrow {\ cong}} \ pi ^ {- 1} (V) \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ varphi _ {U} \ двоеточие U \ times \ mathbf {R} ^ {k} {\ xrightarrow { \ cong}} \ pi ^ {- 1} (U), \\\ varphi _ {V} \ двоеточие V \ times \ mathbf {R} ^ {k} {\ xrightarrow {\ cong}} \ pi ^ { -1} (V) \ конец {выровнено}}}

составная функция

φ U - 1 ∘ φ V: (U ∩ V) × р К → (U ∩ V) × р К {\ Displaystyle \ varphi _ {U} ^ {- 1} \ circ \ varphi _ {V} \ двоеточие (U \ cap V) \ times \ mathbf {R} ^ {k} \ to (U \ cap V) \ times \ mathbf {R} ^ {k}}

{\ displaystyle \ varphi _ {U} ^ {- 1} \ circ \ varphi _ {V} \ двоеточие (U \ cap V) \ times \ mathbf {R} ^ {k} \ to (U \ cap V) \ times \ mathbf {R} ^ {k}}

хорошо определено на перекрытии и удовлетворяет

φ U - 1 ∘ φ V (x, v) = (Икс, г УФ (х) v) {\ Displaystyle \ varphi _ {U} ^ {- 1} \ circ \ varphi _ {V} (х, v) = \ left (x, g_ {UV} ( x) v \ right)}

{\ displaystyle \ varphi _ {U} ^ {- 1} \ circ \ varphi _ {V} (x, v) = \ left (x, g_ { UV} (x) v \ right)}

для некоторого GL ( k) -значная функция

g U V: U ∩ V → GL ⁡ (k). {\ displaystyle g_ {UV} \ двоеточие U \ cap V \ to \ operatorname {GL} (k).}

{\ displaystyle g_ {UV} \ двоеточие U \ cap V \ to \ operatorname {GL} (k).}

Они называются функциями перехода (или преобразованиями координат ) векторного расслоения.

Набор функций перехода образует коцикл Чеха в том смысле, что

g UU (x) = I, g UV (x) g VW (x) g WU (x) = I {\ displaystyle g_ {UU} (x) = I, \ quad g_ {UV} (x) g_ {VW} (x) g_ {WU} (x) = I}

g_ {UU} (x) = I, \ quad g _ {UV} (x) g_ {VW} (x) g_ {WU} (x) = I

для всех U, V, W, над которым набор упрощается, удовлетворяя $U ∩ V ∩ W ≠ ∅ {\ displaystyle U \ cap V \ cap W \ neq \ emptyset}$ ${\ displaystyle U \ cap V \ cap W \ neq \ emptyset}$ . Таким образом, данные (E, X, π, R ) определяют пучок волокон ; дополнительные данные g UV определяют структурную группу GL (k), в которой действие на волокно является стандартным действием GL (k).

И наоборот, для расслоения волокон (E, X, π, R ) с коциклом GL (k), действующим стандартным образом на волокне R, есть ассоциированное векторное расслоение. Иногда это используется как определение векторного расслоения.

Морфизмы векторных расслоений

A морфизм из векторного расслоения π 1 : E 1 → X 1 в векторное расслоение π 2 : E 2 → X 2 задается парой непрерывных отображений f : E 1 → E 2 и g: X 1 → X 2 такие, что

g ∘ π 1 = π 2 ∘ f

для каждого x в X 1, отображение π 1 ({x}) → π 2 ({g (x)}), индуцированное f, является линейным отображением между векторными пространствами.

Обратите внимание, что g определяется f (потому что π 1 равно сюръективный), и тогда говорят, что f покрывает g .

. Класс всех векторных расслоений вместе с морфизмами расслоений образует категорию. Ограничиваясь векторными расслоениями, для которых пространства являются многообразиями (а проекции расслоений являются гладкими отображениями) и морфизмами гладких расслоений, мы получаем категорию гладких векторных расслоений. Морфизмы векторных расслоений - это частный случай понятия отображение расслоений между расслоениями, и их также часто называют гомоморфизмами (векторных) расслоений .

Гомоморфизм расслоений из E 1 - E 2 с инверсией, которая также является гомоморфизмом расслоения (от E 2 до E 1), называется (векторный) изоморфизм расслоения, и тогда E 1 и E 2 называются изоморфными векторными расслоениями. Изоморфизм векторного расслоения E (ранга k) над X с тривиальным расслоением (ранга k над X) называется тривиализацией E, и тогда E называется тривиальным (или тривиализуемый ). Определение векторного расслоения показывает, что любое векторное расслоение локально тривиально .

. Мы также можем рассматривать категорию всех векторных расслоений над фиксированным базовым пространством X. В качестве морфизмов в этой категории мы берем те морфизмы векторных расслоений, которые карта в базовом пространстве - это тождественная карта на X. То есть морфизмы расслоения, для которых следующая диаграмма коммутирует :

(обратите внимание, что эта категория не абелева ; ядро морфизма векторных расслоений, вообще говоря, не является векторным расслоением каким-либо естественным образом.)

Морфизм векторного расслоения между векторными расслоениями π 1 : E 1 → X 1 и π 2 : E 2 → X 2, покрывающее карту g из X 1 в X 2 также можно рассматривать как морфизм векторного расслоения над X 1 от E 1 до pullback bundle g * E 2.

Сечения и локально свободные пучки

Карта, связывающая нормаль с каждой точкой на поверхности, может рассматриваться как сечение. Поверхность - это пространство X, и в каждой точке x есть вектор в векторном пространстве, присоединенный к точке x.

Учитывая векторное расслоение π: E → X и открытое подмножество U в X, мы можем рассмотреть сечения π на U, т.е. непрерывные функции s: U → E, где составное π∘s таково, что (π∘s) (u) = u для всех u в U. По существу, секция непрерывно назначает каждой точке U вектор из присоединенного векторного пространства. Например, сечения касательного расслоения к дифференциальному многообразию - это не что иное, как векторные поля на этом многообразии.

Пусть F (U) будет набором всех секций на U. F (U) всегда содержит хотя бы один элемент, а именно нулевую секцию : функцию s, которая отображает каждый элемент x элемента U в нулевой элемент векторного пространства π ({x}). При поточечном сложении и скалярном умножении сечений F (U) становится действительным векторным пространством. Набор этих векторных пространств представляет собой пучок векторных пространств на X.

Если s является элементом F (U) и α: U → R является непрерывное отображение, то αs (поточечное скалярное умножение) принадлежит F (U). Мы видим, что F (U) является модулем над кольцом непрерывных вещественнозначных функций на U. Кроме того, если O X обозначает структурный пучок непрерывных вещественнозначных функций на X, то F становится связкой O X -модулей.

Не каждый пучок O X -модулей возникает таким образом из векторного пучка: только локально свободные модули. (Причина: локально мы ищем сечения проекции U × R → U; это в точности непрерывные функции U → R, и такая функция является набором из k непрерывных функций U → R .)

Более того: категория вещественных векторных расслоений на X эквивалентна категории локально свободных и конечно порожденных пучков O X -модули. Таким образом, мы можем рассматривать категорию реальных векторных расслоений на X как находящуюся внутри категории пучков O X -модулей ; эта последняя категория абелева, поэтому здесь мы можем вычислять ядра и коядра морфизмов векторных расслоений.

Векторное расслоение ранга n тривиально тогда и только тогда, когда оно имеет n линейно независимых глобальных секций.

Операции над векторными расслоениями

Большинство операций над векторными пространствами можно расширить до векторных расслоений, выполняя операцию векторного пространства послойно.

Например, если E - векторное расслоение над X, то существует расслоение E * над X, называемое двойным расслоением, слой которого в точке x ∈ X - это двойное векторное пространство (Ex) *. Формально E * можно определить как множество пар (x, φ), где x ∈ X и φ ∈ (E x) *. Двойственное расслоение локально тривиально, потому что двойственное пространство инверсии локальной тривиализации E является локальной тривиализацией E *: ключевым моментом здесь является то, что операция взятия двойственного векторного пространства функториал.

Существует множество функториальных операций, которые могут быть выполнены с парами векторных пространств (над одним и тем же полем), и они прямо распространяются на пары векторных расслоений E, F на X (над данным полем). Ниже приведены несколько примеров.

сумма Уитни (названная в честь Хасслера Уитни ) или расслоение прямой суммы E и F представляет собой векторное расслоение E ⊕ F над X, слой которого x является прямой суммой Ex⊕ F x векторных пространств E x и F x.
. Пакет тензорного произведения E ⊗ F определяется аналогичным образом, используя послойное тензорное произведение векторных пространств.
Hom-расслоение Hom (E, F) - это векторное расслоение, слой которого в точке x является пространством линейных отображений из E x в F x (которое часто обозначается Hom (E x, F x) или L (E x, F x)). Hom-расслоение является так называемым (и полезным), потому что существует биекция между гомоморфизмами векторного расслоения из E в F над X и секциями Hom (E, F) над X.
Основываясь на предыдущем примере по сечению s расслоения эндоморфизмов Hom (E, E) и функции f: X → R можно построить собственное расслоение, взяв слой над точкой x ∈ X - это f (x) - собственное подпространство линейного отображения s (x): E x → E x. Хотя эта конструкция естественна, если не позаботиться о ней, полученный объект не будет иметь локальной тривиализации. Рассмотрим случай, когда s является нулевым сечением, а f имеет изолированные нули. Слой над этими нулями в результирующем «собственном расслоении» будет изоморфен слою над ними в E, в то время как везде слой является тривиальным 0-мерным векторным пространством.
дуальное векторное расслоение E * - это расслоение Hom Hom (E, R × X) гомоморфизмов расслоений E и тривиального расслоения R × X. Имеется канонический изоморфизм векторных расслоений Hom ( E, F) = E * ⊗ F.

Каждая из этих операций является частным примером общей особенности связок: многие операции, которые могут быть выполнены с категорией векторных пространств, могут быть выполнены и с категорией векторных пространств. связывает функториальным способом. Это уточняется на языке гладких функторов. Операция другой природы - это конструкция pullback bundle. Для векторного расслоения E → Y и непрерывного отображения f: X → Y можно «стянуть» E к векторному расслоению f * E над X. Слой над точкой x ∈ X по сути является просто слоем над f (x) ∈ Y. Следовательно, суммирование Уитни E ⊕ F может быть определено как расслоение обратных связей диагонального отображения из X в X × X, где расслоение над X × X есть E × F.

Замечание : Пусть X быть компактным пространством. Любое векторное расслоение E над X является прямым слагаемым тривиального расслоения; т.е. существует такое расслоение E ', что E ⊕ E' тривиально. Это не удается, если X не компактно: например, тавтологическое линейное расслоение над бесконечным реальным проективным пространством не обладает этим свойством.

Дополнительные структуры и обобщения

Вектор пучкам часто придают большую структуру. Например, векторные пучки могут быть снабжены метрикой векторных пучков. Обычно требуется, чтобы эта метрика была положительно определенной, и в этом случае каждый слой E становится евклидовым пространством. Векторное расслоение со сложной структурой соответствует комплексному векторному расслоению, которое также может быть получено заменой вещественных векторных пространств в определении на комплексные и требуя, чтобы все отображения были комплексными - линейные в волокнах. В более общем смысле, можно обычно понимать дополнительную структуру, налагаемую на векторное расслоение, в терминах результирующего сокращения структурной группы связки. Также можно использовать векторные расслоения над более общими топологическими полями .

Если вместо конечномерного векторного пространства, если слой F взят как банахово пространство, то банахово расслоение будет получено. В частности, необходимо потребовать, чтобы локальные тривиализации были изоморфизмами банаховых пространств (а не просто линейными изоморфизмами) на каждом из слоев и, кроме того, чтобы переходы

g UV: U ∩ V → GL ⁡ (F) {\ displaystyle g_ {UV} \ двоеточие U \ cap V \ to \ operatorname {GL} (F)}

{\ отображает tyle g_ {UV} \ двоеточие U \ cap V \ to \ operatorname {GL} (F)}

- непрерывные отображения банаховых многообразий. В соответствующей теории для C-расслоений все отображения должны быть C.

Векторные расслоения - это специальные расслоения, слои которых являются векторными пространствами и чей коцикл соответствует структуре векторного пространства. Могут быть созданы более общие пучки волокон, в которых волокно может иметь другие структуры; например, связки сфер расслоены сферами.

Гладкие векторные расслоения

Векторное расслоение (E, p, M) гладкое, если E и M - гладкие многообразия, p: E → M - гладкое map, а локальные тривиализации - это диффеоморфизмы. В зависимости от требуемой степени гладкости существуют различные соответствующие понятия C расслоений, бесконечно дифференцируемых C-расслоений и вещественно-аналитических C-расслоений. В этом разделе мы сконцентрируемся на C-связках. Наиболее важным примером C-векторного расслоения является касательное расслоение (TM, π TM, M) C-многообразия M.

C- векторные расслоения (E, p, M) обладают очень важным свойством, которым не обладают более общие C-расслоения. А именно, касательное пространство T v(Ex) при любом v ∈ E x можно естественным образом отождествить с самим слоем E x. Эта идентификация достигается посредством вертикального подъема vl v : E x → T v(Ex), определяемого как

vl v ⁡ w [f]: = d d t | t = 0 f (v + t w), f ∈ C ∞ (E x). {\ displaystyle \ operatorname {vl} _ {v} w [f]: = \ left. {\ frac {d} {dt}} \ right | _ {t = 0} f (v + tw), \ quad f \ in C ^ {\ infty} (E_ {x}).}

{\ displaystyle \ operatorname {vl} _ {v} w [f]: = \ left. {\ frac {d} {dt}} \ right | _ {t = 0} f (v + tw), \ quad f \ in C ^ {\ infty} (E_ {x}).}

Вертикальный подъем также можно рассматривать как естественный изоморфизм C-векторных расслоений p * E → VE, где (p * E, p * p, E) - обратное расслоение (E, p, M) над E через p: E → M, а VE: = Ker (p *) ⊂ TE - вертикальное касательное расслоение, естественное векторное подрасслоение касательного расслоения (TE, π TE, E) полного пространства E.

Тотальное пространство E любого гладкого векторного расслоения несет естественное векторное поле V v : = vl v v, известное как каноническое векторное поле. Более формально V является гладким сечением (TE, π TE, E), и его также можно определить как бесконечно малый генератор действия группы Ли (t, v) ↦ev, задаваемый послойное скалярное умножение. Каноническое векторное поле V полностью характеризует структуру гладкого векторного расслоения следующим образом. В качестве подготовки обратите внимание, что когда X - гладкое векторное поле на гладком многообразии M и x∈M такое, что X x = 0, линейное отображение

C x (X): T x M → Т х М; С Икс (Икс) Y знак равно (∇ YX) Икс {\ Displaystyle C_ {x} (X): T_ {x} M \ to T_ {x} M; \ quad C_ {x} (X) Y = (\ набла _ {Y} X) _ {x}}

{\ displaystyle C_ {x} (X): T_ {x} M \ to T_ {x} M; \ quad C_ {x} (X) Y = (\ nabla _ {Y} X) _ {x}}

не зависит от выбора линейной ковариантной производной ∇ на M. Каноническое векторное поле V на E удовлетворяет аксиомам

1. Поток (t, v) → Φ V (v) в V определен глобально.

2. Для каждого v∈V существует единственное lim t → ∞ ΦV(v) ∈V.

3. C v (V) ∘C v (V) = C v (V), если V v = 0.

4. Нулевое множество V является гладким подмногообразием в E, коразмерность которого равна рангу C v (V).

И наоборот, если E - любое гладкое многообразие, а V - гладкое векторное поле на E, удовлетворяющее требованиям 1–4, то на E существует единственная структура векторного расслоения, каноническое векторное поле которой равно V.

Для любого гладкого векторного расслоения (E, p, M) тотальное пространство TE его касательного расслоения (TE, π TE, E) имеет естественную структуру вторичного векторного расслоения (TE, p *, TM), где p * - продвижение канонической проекции p: E → M. Операции векторного расслоения в этой вторичной структуре векторного расслоения - это продвижение вперед + * : T (E × E) → TE и λ * : TE → TE исходного сложения + : E × E → E и скалярное умножение λ: E → E.

K-теория

Группа K-теории K (X) компактного хаусдорфового топологического пространства определяется как абелева группа, порожденная классами изоморфизма [E] комплекса векторные пучки по модулю отношения, что всякий раз, когда у нас есть точная последовательность

0 → A → B → C → 0 {\ displaystyle 0 \ to A \ to B \ to C \ to 0}

0 \ to A \ к B \ к C \ к 0

тогда

[B] = [A] + [C] {\ displaystyle [B] = [A] + [C]}

[B] = [A] + [C]

в топологической K-теории. KO-теория - вариант этой конструкции, которая рассматривает вещественные векторные расслоения. K-теория с компактными носителями также может быть определена, как и группы высшей K-теории.

Знаменитая теорема периодичности из Рауля Ботта утверждает, что K-теория любого пространства X изоморфна теории SX, двойной надстройки X.

В алгебраической геометрии рассматриваются группы K-теории, состоящие из когерентных пучков на схеме X, а также K-теория группы векторных расслоений на схеме с указанным выше отношением эквивалентности. Две конструкции идентичны при условии, что основная схема гладкая.

См. Также

Общие понятия

Грассманиан : классифицирующие пространства для векторного расслоения, среди которые проективные пространства для линейных расслоений
Характеристический класс
Принцип расщепления
Стабильное расслоение

Топология и дифференциальная геометрия

Калибровочная теория : общее изучение связи на векторных расслоениях и главных расслоениях и их связь с физикой.
Связь : понятие, необходимое для различения участков векторных расслоений.

Алгебраическая и аналитическая геометрия

Примечания

Источники

Внешние ссылки