Класс характеристики

редактировать

Связь классов когомологий с главными связками

В математике характеристика class - это способ связать с каждым главным расслоением X класс когомологий X. Класс когомологий измеряет степень "скрученности" расслоения и наличие у него разделы. Классы характеристик - это глобальные инварианты, которые измеряют отклонение локальной структуры продукта от глобальной структуры продукта. Они являются одним из объединяющих геометрических понятий в алгебраической топологии, дифференциальной геометрии и алгебраической геометрии.

. Понятие характеристического класса возникло в 1935 году в работе Эдуард Штифель и Хасслер-Уитни о векторных полях на многообразиях.

Содержание

1 Определение
2 Номера характеристик
3 Мотивация
4 Стабильность
5 См. Также
6 Примечания
7 Ссылки

Определение

Пусть G будет топологической группой, и для топологического пространства $X {\ displaystyle X}$ $X$ напишите $b G (X) {\ displaystyle b_ {G } (X)}$ ${\ displaystyle b_ {G} (X)}$ для набора классов изоморфизма из основных G-связок над $X {\ displaystyle X}$ $X$ . Этот $b G {\ displaystyle b_ {G}}$ ${\ displaystyle b_ {G}}$ является контравариантным функтором из Top (категория топологических пространств и непрерывные функции ) в Установить (категория устанавливает и функции ), отправив карту $f: X → Y {\ displaystyle f \ двоеточие X \ к Y}$ $f \ двоеточие X \ в Y$ к операции откат $f ∗: b G (Y) → b G (X) {\ displaystyle f ^ { *} \ двоеточие b_ {G} (Y) \ в b_ {G} (X)}$ ${\ displaystyle f ^ {*} \ двоеточие b_ {G} (Y) \ to b_ {G} (X)}$ .

A характеристический класс c главных G-связок тогда является естественным преобразованием из $b G {\ displaystyle b_ {G}}$ ${\ displaystyle b_ {G}}$ к функтору когомологии $H ∗ {\ displaystyle H ^ {*}}$ $H ^ {*}$ , который также рассматривается как функтор для Установить .

Другими словами, характеристический класс ассоциируется с каждым основным G-пучком $P → X {\ displaystyle P \ to X}$ $P \ to X$ в $b G (X) {\ displaystyle b_ {G} (X)}$ ${\ displaystyle b_ {G} (X)}$ элемент c (P) в H * (X) такой, что, если f: Y → X - непрерывное отображение, то c (f * P) = f * c (P). Слева - класс отката P к Y; справа - образ класса P при индуцированном отображении в когомологиях.

Характеристические числа

Характеристические классы - это элементы групп когомологий; целые числа можно получить из характеристических классов, называемых характеристическими числами . Важными примерами характеристических чисел являются числа Штифеля – Уитни, числа Черна, числа Понтрягина и характеристика Эйлера.

для ориентированного многообразия. M размерности n с фундаментальным классом $[M] ∈ H n (M) {\ displaystyle [M] \ in H_ {n} (M)}$ $[M] \ in H_ {n} (M)$ , и G-расслоение с характеристическими классами $c 1,…, ck {\ displaystyle c_ {1}, \ dots, c_ {k}}$ $c_ {1}, \ точки, c_ {k}$ , можно объединить в пары произведение характеристических классов общей степени n с фундаментальным классом. Количество различных характеристических чисел - это количество одночленов степени n в характеристических классах или, что эквивалентно, разбиение n на $deg ci {\ displaystyle {\ t_dv {deg}} \, c_ {i}}$ ${\ t_dv {deg}} \, c_ {i}$ .

Формально, учитывая $i 1,…, il {\ displaystyle i_ {1}, \ dots, i_ {l}}$ $i_ {1}, \ dots, i_ {l}$ такое, что $∑ deg cij = n {\ displaystyle \ sum {\ t_dv {deg}} \, c_ {i_ {j}} = n}$ $\ sum {\ t_dv {deg}} \, c_ {i_ {j}} = n$ , соответствующее характеристическое число:

ci 1 ⌣ ci 2 ⌣ ⋯ ⌣ cil ([M]) {\ displaystyle c_ {i_ {1}} \ smile c_ {i_ {2}} \ smile \ dots \ smile c_ {i_ {l}} ([M])}

{\ displaystyle c_ {i_ {1}} \ smile c_ {i_ {2}} \ smile \ dots \ smile c_ {i_ {l}} ([M])}

где $⌣ {\ displaystyle \ smile}$ $\ smile$ обозначает чашечное произведение классов когомологий. Они обозначаются различными способами: либо как произведение характеристических классов, например $c 1 2 {\ displaystyle c_ {1} ^ {2}}$ $c_ {1} ^ {2}$ , либо как некоторые альтернативные обозначения, такие как $P 1, 1 {\ displaystyle P_ {1,1}}$ $P_ {1,1}$ для числа Понтрягина, соответствующего $p 1 2 {\ displaystyle p_ {1} ^ {2}}$ $p_ {1} ^ {2}$ или $χ {\ displaystyle \ chi}$ $\ chi$ для характеристики Эйлера.

С точки зрения когомологии де Рама, можно взять дифференциальные формы, представляющие характеристические классы, взять произведение клина, чтобы получить форму высшей размерности, затем интегрирует по многообразию; это аналогично взятию произведения в когомологиях и спариванию с фундаментальным классом.

Это также работает для неориентируемых многообразий, которые имеют $Z / 2 Z {\ displaystyle \ mathbf {Z} / 2 \ mathbf {Z}}$ $\ mathbf {Z} / 2 \ mathbf {Z}$ -ориентацию, в этом случае получают $Z / 2 Z {\ displaystyle \ mathbf {Z} / 2 \ mathbf {Z}}$ $\ mathbf {Z} / 2 \ mathbf {Z}$ -значные характеристические числа, такие как числа Штифеля-Уитни.

Характеристические числа решают ориентированные и неориентированные вопросы бордизма : два многообразия (соответственно ориентированные или неориентированные) кобордантны тогда и только тогда, когда их характеристические числа равны.

Мотивация

Классы характеристик являются феноменами теории когомологий по существу - они являются контравариантными конструкциями, как section - это своего рода функция в пространстве, и, чтобы привести к противоречию из-за существования секции, нам действительно нужна эта дисперсия. Фактически теория когомологий выросла после гомологии и теории гомотопии, которые являются ковариантными теориями, основанными на отображении в пространство; и теория характеристических классов, зародившаяся в 1930-е годы (как часть теории препятствий ), была одной из основных причин, по которой искали «двойственную» теорию гомологии. Подход характеристического класса к инвариантам кривизны был особой причиной для создания теории, для доказательства общей теоремы Гаусса – Бонне.

, когда теория была поставлена на организованную основу примерно в 1950 году (с определения, сведенные к теории гомотопий) стало ясно, что наиболее фундаментальные характеристические классы, известные в то время (класс Штифеля – Уитни, класс Черна и классы Понтрягина ) были отражениями классических линейных групп и их структуры максимального тора. Более того, класс Черна сам по себе не был таким новым, поскольку он нашел отражение в исчислении Шуберта на грассманианах и в работах итальянской школы алгебраической геометрии. С другой стороны, теперь существовала структура, которая создавала семейства классов всякий раз, когда задействовался векторный пакет .

Первичный механизм тогда выглядел так: дано пространство X, несущее векторное расслоение, что подразумевает в гомотопической категории отображение из X в классифицирующее пространство BG, для соответствующей линейной группы G. Для теории гомотопии релевантная информация переносится компактными подгруппами, такими как ортогональные группы и унитарные группы группы G. После когомологии $H ∗ (BG) {\ displaystyle H ^ {*} (BG)}$ ${\ displaystyle H ^ {*} (BG)}$ был рассчитан раз и навсегда, свойство контравариантности когомологий означало, что характеристические классы для связки будут определены в $H * (X) {\ displaystyle H ^ {*} (X)}$ $H ^ {*} (X)$ в тех же размерах. Например, класс Черна - это действительно один класс с градуированными компонентами в каждом четном измерении.

Это по-прежнему классическое объяснение, хотя в данной геометрической теории полезно принимать во внимание дополнительную структуру. Когда когомологии стали «экстраординарными» с появлением K-теории и теории кобордизмов с 1955 г. и далее, действительно было необходимо только повсюду изменить букву H, чтобы указать, каковы характеристические классы..

Характеристические классы позже были найдены для слоений многообразий ; у них есть (в модифицированном смысле для слоений с некоторыми разрешенными особенностями) теория классифицирующих пространств в гомотопической теории.

В более поздних работах после сближения математики и физики новые характеристические классы были обнаружены Саймоном Дональдсоном и Дитером Кочиком в инстантон теория. Работа и точка зрения Черна также оказались важными: см. теория Черна – Саймонса.

Стабильность

На языке стабильной теории гомотопий, класс Черна, класс Штифеля – Уитни и класс Понтрягина устойчивы, а класс Эйлера нестабильны.

Конкретно стабильный класс - это класс, который не меняется при добавлении тривиального пакета: $c (V ⊕ 1) = c (V) {\ displaystyle c (V \ oplus 1) = c (V)}$ $c (V \ oplus 1) = c ( V)$ . Более абстрактно это означает, что класс когомологий в классифицирующем пространстве для $BG (n) {\ displaystyle BG (n)}$ $BG (n)$ отходит от класса когомологий в $BG (n + 1) {\ displaystyle BG (n + 1)}$ $BG (n + 1)$ при включении $BG (n) → BG (n + 1) {\ displaystyle BG (n) \ to BG (n + 1)}$ $BG ( n) \ в BG (n + 1)$ (что соответствует включению $R n → R n + 1 {\ displaystyle \ mathbf {R} ^ {n} \ to \ mathbf {R} ^ {n +1}}$ $\ mathbf {R} ^ {n} \ to \ mathbf {R} ^ {n + 1}$ и аналогичные). Эквивалентно, все конечные характеристические классы отходят от стабильного класса в $BG {\ displaystyle BG}$ $BG$ .

. Это не относится к классу Эйлера, как подробно описано там, не в последнюю очередь потому, что класс Эйлера k-мерного пучок живет в $ЧАС К (Икс) {\ Displaystyle H ^ {k} (X)}$ $H ^ {k} (X)$ (отсюда откатывается от $H k (BO (k)) {\ Displaystyle H ^ {k} (BO (k))}$ $H ^ {k} (BO (k))$ , поэтому он не может выйти из класса в $H k + 1 {\ displaystyle H ^ {k + 1}}$ $H ^ {k + 1}$ , поскольку размеры различаются.

См. Также

Примечания

^Неформально характеристические классы «живут» в когомологиях.
^Согласно теории Черна – Вейля, это многочлены от кривизны; согласно теории Ходжа, они могут принимать гармоническую форму.

Ссылки

Черн, Шиинг-Шен (1995). Комплексные многообразия без теории потенциала. Springer-Verlag Press. ISBN 0-387-90422-0.ISBN 3-540-90422-0.
Приложение к этой книге: «Геометрия чара «стерические классы» - это очень аккуратное и глубокое введение в развитие идей характеристических классов.
Хэтчер, Аллен, Векторные пучки и K-теория
Хусемоллер, Дейл (1966)). Пучки волокон (3-е издание, издание Springer 1993 г.). Макгроу Хилл. ISBN 0387940871.
Милнор, Джон У. ; Сташев, Джим (1974). Характерные классы. Анналы математических исследований. 76. Princeton University Press, Принстон, Нью-Джерси; University of Tokyo Press, Токио. ISBN 0-691-08122-0.