Теория калибров (математика)

В математике, и особенно дифференциальной геометрии и математике физика, калибровочная теория - это общее изучение связей на векторных расслоениях, главных расслоениях и расслоениях. Калибровочную теорию в математике не следует путать с тесно связанной концепцией калибровочной теории в физике, которая является теорией поля, допускающей калибровочную симметрию.. В математике теория означает математическую теорию, заключающую в себе общее исследование совокупности понятий или явлений, тогда как в физическом смысле калибровочная теория - это физическая модель некоторого природного явления.

Калибровочная теория в математике обычно связана с изучением теоретико-калибровочных уравнений. Это дифференциальные уравнения, включающие связи в векторных расслоениях или главных расслоениях или включающие сечения векторных расслоений, и поэтому между калибровочной теорией и геометрическим анализом существует сильная связь. Эти уравнения часто имеют физический смысл, соответствующие важным концепциям в квантовой теории поля или теории струн, но также имеют важное математическое значение. Например, уравнения Янга – Миллса представляют собой систему дифференциальных уравнений в частных производных для связи в главном пучке, и в физике решения этих уравнений соответствуют вакуумным решениям к уравнениям движения для классической теории поля, частицы, известные как инстантоны.

, калибровочная теория нашла применение при построении новых инвариантов гладких многообразий., построение экзотических геометрических структур, таких как гиперкэлеровых многообразий, а также предоставление альтернативных описаний важных структур в алгебраической геометрии, таких как пространства модулей векторные связки и когерентные пучки.

• 1 История
• 2 Основные интересующие объекты
  • 2.1 Основные связки
  • 2.2 Векторные пучки
  • 2.3 Связанные связки
  • 2.4 Калибровочные преобразования
  • 2.5 Соединения в основных связках
  • 2.6 Соединения в векторных связках
  • 2.7 Индуцированные соединения
  • 2.8 Пространство соединений ns
• 3 Условные обозначения
  • 3.1 Словарь математической и физической терминологии
• 4 Теория Янга – Миллса
  • 4.1 Уравнения самодуальности и анти-самодуальности
  • 4.2 Уменьшение размеров
• 5-го калибра Теория в одном и двух измерениях
  • 5.1 Теория Янга – Миллса
  • 5.2 Уравнения Нама
  • 5.3 Уравнения Хитчина и расслоения Хиггса
• 6 Трехмерная калибровочная теория
  • 6.1 Монополи
  • 6.2 Черна – Саймонса теория
  • 6.3 Гомология Флоера
• 7 Калибровочная теория в четырех измерениях
  • 7.1 Уравнения антиавтодуальности
  • 7.2 Уравнения Зайберга – Виттена
• 8 Калибровочная теория в высших измерениях
  • 8.1 Эрмитов Ян– Уравнения Миллса
  • 8.2 Исключительные инстантоны голономии
  • 8.3 Теория струн
• 9 См. Также
• 10 Ссылки

Калибровочная теория берет свое начало еще в формулировке Уравнения Максвелла, описывающие классический электромагнетизм, который можно сформулировать как калибровочную теорию со структурной группой круговой группой. Работа Поля Дирака по магнитным монополям и релятивистской квантовой механике подтолкнула к идее, что связки и соединения были правильным способом формулирования многих проблем квантовой механики. Калибровочная теория в математической физике возникла как важная область исследований с основополагающими работами Роберта Миллса и Чен-Нина Янга по так называемой калибровочной теории Янга – Миллса, которая сейчас является фундаментальная модель, лежащая в основе стандартной модели физики элементарных частиц.

Математическое исследование калибровочной теории берет свое начало в работах Майкла Атья, Исадора Сингера и Найджел Хитчин об уравнениях самодуальности на римановом многообразии в четырех измерениях. В этой работе было изучено пространство модулей самодвойственных связей (инстантонов) на евклидовом пространстве, и было показано, что оно имеет размерность $8\; k\; -\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; 8k-3\}$где $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$- положительный целочисленный параметр. Это было связано с открытием инстантонов BPST, вакуумных решений уравнений Янга – Миллса в четырех измерениях. Примерно в то же время Атья и Ричард Уорд обнаружили связь между решениями уравнений самодуальности и алгебраическими связками над комплексным проективным пространством $CP\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{CP\; \}\; ^\; \{3\}\}$. Другим значительным ранним открытием была разработка конструкции ADHM Атьей, Владимиром Дринфельдом, Хитчином и Юрием Маниным. Эта конструкция позволила решить уравнения антиавтодуальности в евклидовом пространстве $R\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{4\}\}$на основе чисто линейных алгебраических данных.

Значительный прорыв, способствовавший развитию математической калибровочной теории, произошел в начале 1980-х годов. В это время важная работа Атьи и Рауля Ботта об уравнениях Янга – Миллса над римановыми поверхностями показала, что калибровочные теоретические задачи могут привести к возникновению интересных геометрических структур, стимулирующих развитие бесконечномерного момента отображает, эквивариантную теорию Морса и отношения между калибровочной теорией и алгебраической геометрией. Важные аналитические инструменты в геометрическом анализе были разработаны в это время Карен Уленбек, которая изучила аналитические свойства соединений и кривизны, доказав важные результаты компактности. Наиболее значительный прогресс в этой области произошел благодаря работе Саймона Дональдсона и Эдварда Виттена.

Дональдсон использовал комбинацию алгебраической геометрии и методов геометрического анализа для построения новых инвариантов из четырех многообразий, теперь известных как инварианты Дональдсона. Благодаря этим инвариантам новые результаты, такие как существование топологических многообразий, не допускающих гладких структур, или существование множества различных гладких структур в евклидовом пространстве $R\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{4\}\}$можно доказать. За эту работу Дональдсон был награжден медалью Филдса в 1986 году.

Виттен аналогичным образом наблюдал силу калибровочной теории для описания топологических инвариантов, связывая величины, вытекающие из теории Черна – Саймонса в трех измерениях к полиному Джонса, инварианту узлов. Эта работа и открытие инвариантов Дональдсона, а также новая работа Андреаса Флоера о гомологии Флоера вдохновили на изучение топологической квантовой теории поля.

. Из-за способности калибровочной теории определять инварианты многообразий область математической калибровочной теории приобрела популярность. Были обнаружены и другие инварианты, такие как инварианты Зайберга – Виттена и. Сильные связи с алгебраической геометрией были реализованы в работах Дональдсона, Уленбека и Шинг-Тунг Яу по соответствию Кобаяши – Хитчина, связывающему связи Янга – Миллса со стабильными векторными расслоениями . Работа Найджела Хитчина и Карлоса Симпсона над расслоениями Хиггса продемонстрировала, что пространства модулей, возникающие из калибровочной теории, могут иметь экзотические геометрические структуры, такие как структура гиперкэлеровых многообразий, например а также ссылки на интегрируемые системы через систему Hitchin. Были реализованы ссылки на теорию струн и зеркальную симметрию, где калибровочная теория важна для формулировки гипотезы гомологической зеркальной симметрии и AdS / CFT-соответствия.

Фундаментальные объекты интереса в калибровочной теории - это связи на векторных расслоениях и главных расслоениях. В этом разделе мы кратко напоминаем об этих конструкциях и отсылаем к основным статьям о них для подробностей. Описанные здесь структуры являются стандартными в литературе по дифференциальной геометрии, а введение в тему с теоретико-калибровочной точки зрения можно найти в книге Дональдсона и Питера Кронхеймера.

Основные связки

центральными объектами изучения калибровочной теории являются главные расслоения и векторные расслоения. Выбор того, что изучать, по существу произвольный, так как можно переходить между ними, но основные связки являются естественными объектами с физической точки зрения для описания калибровочных полей, и математически они более элегантно кодируют соответствующую теорию связей. и кривизна для связанных с ними векторных расслоений.

A основной пакет со структурной группой $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$или основной пакет $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$-bundle, состоит из пятерки $(P,\; X,\; \pi ,\; G,\; \rho )\; \{\backslash \; displaystyle\; (P,\; X,\; \backslash \; pi,\; G,\; \backslash \; rho)\}$где $\pi \; :\; P\; \to \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi:\; P\; \backslash \; to\; X\}$- гладкое расслоение с пространством слоев, изоморфным группе Ли $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$, а $\rho \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\}$представляет свободный и переходный правый групповое действие из $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$на $P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\}$, которое сохраняет волокна в том смысле,что для всех $p\; \in \; P\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; \backslash \; in\; P\}$, $\pi \; (pg)\; =\; \pi \; (p)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; (pg)\; =\; \backslash \; pi\; (p)\}$для всех $г\; \in \; G\; \{\backslash \; Displaystyle\; г\; \backslash \; в\; G\}$. Здесь $P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\}$- это общее пространство, а $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$- базовое пространство. Используя правильное групповое действие для каждого $x\; \in \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; in\; X\}$и любого выбора $p\; \in \; P\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; \backslash \; in\; P\_\; \{x\}\}$, карта $g\; \mapsto \; pg\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; \backslash \; mapsto\; pg\}$определяет диффеоморфизм $P\; x\; \cong \; G\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{x\; \}\; \backslash \; cong\; G\}$между волокном над $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$и группой Ли $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$как гладкие многообразия. Обратите внимание, однако, что нет естественного способа снабдить слои $P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\}$естественной структурой групп Ли, поскольку нет естественного выбора такого элемента $p\; \in \; P\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; \backslash \; in\; P\_\; \{x\}\}$для каждого $x\; \in \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; in\; X\}$.

Приведены простейшие примеры основных связок, когда $G\; =\; U\; \; (1)\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; =\; \backslash \; operatorname\; \{U\}\; (1)\}$- группа кругов. В этом случае главный пучок имеет размерность $dim\; \; P\; =\; n\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; dim\; P\; =\; n\; +\; 1\}$, где $dim\; \; X\; =\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; dim\; X\; =\; n\}$. Другой естественный пример - это когда $P\; =\; F\; (TX)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; =\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; (TX)\}$- это пакет кадров из касательное расслоение многообразия $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$или, в более общем смысле, расслоение фреймов векторного расслоения над $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$. В этом случае волокно $P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\}$задается общей линейной группой $GL\; \; (n,\; R)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{\; GL\}\; (n,\; \backslash \; mathbb\; \{R\})\}$.

Поскольку основное расслоение является расслоением, оно локально имеет структуру продукта. То есть существует открытое покрытие $\{U\; \alpha \}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{U\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; \backslash \}\}$из $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$и диффеоморфизмы $\phi \; \alpha :\; PU\; \alpha \; \to \; U\; \alpha \; \times \; G\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; \_\; \{\backslash \; alpha\}:\; P\_\; \{U\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\}\; \backslash \; to\; U\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; \backslash \; times\; G\}$переключение с проекциями $\pi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\}$и $pr\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{pr\}\; \_\; \{1\}\}$, так что функции перехода $g\; \alpha \; \beta :\; U\; \alpha \; \cap \; U\; \beta \; \to \; G\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}:\; U\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; \backslash \; cap\; U\; \_\; \{\backslash \; beta\}\; \backslash \; to\; G\}$определены по $\phi \; \alpha \; \circ \; \phi \; \beta \; -\; 1\; (x,\; g)\; =\; (x,\; g\; \alpha \; \beta \; (x)\; g)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; \backslash \; circ\; \backslash \; varphi\; \_\; \{\backslash \; beta\}\; ^\; \{-\; 1\}\; (x,\; g)\; =\; (x,\; g\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; (x)\; g)\}$удовлетворяют условию коцикла

$g\; \alpha \; \beta \; (x)\; g\; \beta \; \gamma \; (\; x)\; =\; g\; \alpha \; \gamma \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; (x)\; g\; \_\; \{\backslash \; beta\; \backslash \; gamma\}\; (x)\; =\; g\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; gamma\}\; (x)\}$

на любой тройке перекрытие $U\; \alpha \; \cap \; U\; \beta \; \cap \; U\; \gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; U\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; \backslash \; cap\; U\; \_\; \{\backslash \; beta\}\; \backslash \; cap\; U\; \_\; \{\backslash \; gamma\}\}$. Чтобы определить главное расслоение, достаточно указать такой выбор функций перехода. Затем набор определяется путем склеивания тривиальных связок $U\; \alpha \; \times \; G\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; \backslash \; times\; G\}$вдоль пересечений $U\; \alpha \; \cap \; U\; \beta \; \{\backslash \; displaystyle\; U\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; \backslash \; cap\; U\; \_\; \{\backslash \; beta\}\}$с использованием функций перехода. Условие коцикла точно гарантирует, что это определяет отношение эквивалентности на непересекающемся объединении $⨆\; \alpha \; U\; \alpha \; \times \; G\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; bigsqcup\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; U\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; \backslash \; times\; G\}$и, следовательно, факторное пространство $P\; =\; ⨆\; \alpha \; U\; \alpha \; \times \; G\; /\; \sim \; \{\backslash \; displaystyle\; P\; =\; \backslash \; bigsqcup\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; U\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; \backslash \; times\; G\; /\; \{\backslash \; sim\}\}$четко определено.

Обратите внимание, что выбор локального раздела $s\; \alpha :\; U\; \alpha \; \to \; PU\; \alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; s\; \_\; \{\backslash \; alpha\}:\; U\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; \backslash \; to\; P\_\; \{U\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\}\}$удовлетворение $\pi \; \circ \; s\; \alpha \; =\; Id\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; \backslash \; circ\; s\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; =\; \backslash \; operatorname\; \{Id\}\}$- это эквивалентный метод определения локальной карты тривиализации. А именно, можно определить $\phi \; \alpha \; (p)\; =\; (\pi \; (p),\; s\; ~\; \alpha \; (p))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; (p)\; =\; (\backslash \; pi\; (p),\; \{\backslash \; тильда\; \{s\}\}\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; (p))\}$где $s\; ~\; \alpha \; (p)\; \in \; G\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{s\}\}\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; (p)\; \backslash \; in\; G\}$- уникальный групповой элемент такой, что $ps\; ~\; \alpha \; (p)\; -\; 1\; =\; s\; \alpha \; (\pi \; (p))\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; \{\backslash \; tilde\; \{s\}\}\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; (p)\; ^\; \{-\; 1\}\; =\; s\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; (\backslash \; pi\; (p))\}$.

Векторные расслоения

A векторное расслоение представляет собой тройку $(E,\; X,\; \pi )\; \{\backslash \; displaystyle\; (E,\; X,\; \backslash \; pi)\}$где $\pi :\; E\; \to \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi:\; E\; \backslash \; to\; X\}$- это пучок волокон с волокном, заданным векторным пространством $K\; r\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{K\}\; ^\; \{r\}\}$где $K\; =\; R,\; C\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{K\}\; =\; \backslash \; mathbb\; \{R\},\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\}$- это поле. Число $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$- это ранг векторного расслоения.Опять же, имеется локальное описание векторного расслоения в терминах тривиализирующего открытого покрытия. Если $\{U\; \alpha \}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{U\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; \backslash \}\}$является таким покрытием, то при изоморфизме

$\phi \; \alpha :\; EU\; \alpha \; \to \; U\; \alpha \; \times \; K\; r\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; \_\; \{\backslash \; alpha\}:\; E\_\; \{U\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\}\; \backslash \; to\; U\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbb\; \{K\}\; ^\; \{r\}\}$

получается $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$выделенные локальные участки $E\; \{\backslash \; displaystyle\; E\}$, соответствующие $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$базисные векторы координат $e\; 1,\dots ,\; er\; \{\backslash \; displaystyle\; e\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; e\_\; \{r\}\}$из $K\; r\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{K\}\; ^\; \{r\}\}$, обозначается $e\; 1,\dots ,\; er\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{e\}\}\; \_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{e\}\}\; \_\; \{r\}\}$. Они определяются уравнением

$\phi \; \alpha \; (e\; i\; (x))\; =\; (x,\; e\; i).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{e\}\}\; \_\; \{i\}\; (x))\; =\; (x,\; e\_\; \{i\}).\}$

Чтобы указать тривиализацию, эквивалентно дать набор $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$локальных секций, которые везде линейно независимы, и используют это выражение для определения соответствующего изоморфизма. Такой набор локальных секций называется каркасом.

Аналогично основным расслоениям получаются функции перехода $g\; \alpha \; \beta :\; U\; \alpha \; \cap \; U\; \beta \; \to \; GL\; \; (r,\; K)\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}:\; U\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \}\; \backslash \; cap\; U\; \_\; \{\backslash \; beta\}\; \backslash \; to\; \backslash \; operatorname\; \{GL\}\; (r,\; \backslash \; mathbb\; \{K\})\}$для векторного расслоения, определенного как

$\phi \; \alpha \; \circ \; \phi \; \beta \; -\; 1\; (x,\; v)\; =\; (x,\; g\; \alpha \; \beta \; (x)\; v).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; \backslash \; circ\; \backslash \; varphi\; \_\; \{\backslash \; beta\}\; ^\; \{-\; 1\}\; (x,\; v)\; =\; (x,\; g\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; (x)\; v).\}$

Если взять эти функции перехода и использовать их для построения локальной тривиализации для главного расслоения со слоем, равным структурной группе $GL\; \; (r,\; K)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{GL\}\; (r,\; \backslash \; mathbb\; \{K\; \})\}$, получается точно пакет кадров $E\; \{\backslash \; displaystyle\; E\}$, главный $GL\; \; (r,\; K)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{GL\}\; (r,\; \backslash \; mathbb\; \{K\})\}$-бандл.

Связанные пакеты

При наличии основного $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$-bundle $P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\}$и представление $\rho \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\}$из $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$в векторном пространстве $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$, можно построить связанный векторный набор $E\; =\; P\; \times \; \rho \; V\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; =\; P\; \backslash \; times\; \_\; \{\backslash \; rho\}\; V\}$с волокном в векторном пространстве $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$. Чтобы определить это векторное расслоение, нужно рассмотреть правильное действие над продуктом $P\; \times \; V\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; \backslash \; times\; V\}$, определенным как $(p,\; v)\; g\; =\; (pg,\; \rho \; (g\; -\; 1)\; v)\; \{\backslash \; displaystyle\; (p,\; v)\; g\; =\; (pg,\; \backslash \; rho\; (g\; ^\; \{-\; 1\})\; v)\}$и определяет $P\; \times \; \rho \; V\; =\; (\; P\; \times \; V)\; /\; G\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; \backslash \; times\; \_\; \{\backslash \; rho\}\; V\; =\; (P\; \backslash \; times\; V)\; /\; G\}$как фактор-пространство относительно этого действия.

С точки зрения функций перехода связанный пакет можно понять более просто. Если основной пакет $P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\}$имеет функции перехода $g\; \alpha \; \beta \; \{\backslash \; displaystyle\; g\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\}$по отношению к локальному trivialisation $\{U\; \alpha \}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{U\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; \backslash \}\}$, затем строится связанное векторное расслоение, используя функции перехода $\rho \; \circ \; g\; \alpha \; \beta :\; U\; \alpha \; \cap \; U\; \beta \; \to \; GL\; \; (V)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; \backslash \; circ\; g\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}:\; U\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; \backslash \; cap\; U\; \_\; \{\backslash \; beta\}\; \backslash \; to\; \backslash \; operatorname\; \{GL\}\; (V)\}$.

Соответствующее построение связки может быть выполнено для любого волоконного пространства $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$, а не только для векторного пространства, при условии, что $\rho :\; G\; \to \; Aut\; \; (F)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho:\; G\; \backslash \; to\; \backslash \; operatorname\; \{Aut\}\; (F)\}$- гомоморфизм группы. Одним из ключевых примеров является сопряженный пучок заглавных A $Ad\; \; (P)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Ad\}\; (P)\}$с волокном $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$, построенный с использованием гомоморфизма групп $\rho :\; G\; \to \; Aut\; \; (G)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho:\; G\; \backslash \; to\; \backslash \; operatorname\; \{Aut\}\; (G)\}$, определяемого спряжением $г\; \mapsto \; (час\; \mapsto \; ghg\; -\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; \backslash \; mapsto\; (h\; \backslash \; mapsto\; ghg\; ^\; \{-\; 1\})\}$. Обратите внимание, что несмотря на наличие волокна $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$, присоединенный пучок не является ни главным пучком, ни изоморфен как пучок волокон $P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\}$себя. Например, если $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$является абелевым, тогда действие спряжения тривиально и $Ad\; \; (P)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Ad\}\; (P)\}$будет тривиальной связкой $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$-fibre над $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$независимо от того, <473 или нет>P {\ displaystyle P}является тривиальным пучком волокон. Другой ключевой пример - это строчная a присоединенная связка $ad\; \; (P)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{ad\}\; (P)\}$ объявление ⁡ (P)) {\ displaystyle A \ in \ Omega ^ {1} (X, \ operatorname {ad} (P))}. Это также происходит из-за использования $A\; \alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\}$для обозначения локальной формы соединения в векторном пучке, которое впоследствии происходит от электромагнитного потенциала $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$по физике. Иногда символ $\omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\}$также используется для обозначения формы соединения, обычно в основном связке, и обычно в этом случае $\omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\}$относится к одной форме глобального соединения $\omega \; \in \; \Omega \; 1\; (P,\; g)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; \backslash \; in\; \backslash \; Omega\; ^\; \{1\}\; (P,\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\})\; \}$на общем пространстве основного пучка, а не на соответствующих локальных формах соединений. Этого соглашения обычно избегают в математической литературе, поскольку оно часто противоречит использованию $\omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\}$для кэлеровской формы, когда лежащее в основе многообразие $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$- это коллектор Кэлера.

Символ $\nabla \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\}$чаще всего используется для обозначения соединения на векторное расслоение как дифференциальный оператор, и в этом смысле используется взаимозаменяемо с буквой $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$. Он также используется для обозначения операторов ковариантной производной $\nabla \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; \_\; \{X\}\}$. Альтернативная запись для оператора связи и ковариантных производных операторов: $\nabla \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; \_\; \{A\}\}$, чтобы подчеркнуть зависимость от выбора $A\; \in \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathcal\; \{A\}\}\}$или $DA\; \{\backslash \; displaystyle\; D\_\; \{A\}\}$или $d\; A\; \{\backslash \; displaystyle\; d\_\; \{A\}\}$.

Оператор $d\; A\; \{\backslash \; displaystyle\; d\_\; \{A\}\}$чаще всего относится к внешней ковариантной производной соединения $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$(и поэтому иногда пишется $d\; \nabla \; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \_\; \{\backslash \; nabla\}\}$для соединения $\nabla \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\}$). Поскольку внешняя ковариантная производная в степени 0 такая же, как и обычная ковариантная производная, сама связность или ковариантная производная часто обозначается $d\; A\; \{\backslash \; displaystyle\; d\_\; \{A\}\}$вместо $\nabla \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\}$.

символ $FA\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{A\}\}$или $F\; \nabla \; \{\backslash \; displaystyle\; F\; \_\; \{\backslash \; nabla\}\}$чаще всего используется для обозначения кривизны соединения. Когда соединение обозначается как $\omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\}$, кривизна обозначается как $\Omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\}$, а не $F\; \omega \; \{\backslash \; Displaystyle\; F\; \_\; \{\backslash \; omega\}\}$. Другие условные обозначения включают $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$или $RA\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{A\}\}$или $R\; \nabla \; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \_\; \{\backslash \; nabla\; \}\}$, по аналогии с тензором римановой кривизны в римановой геометрии, который обозначается $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$.

Буквой $H\; \{\backslash \; displaystyle\; H\}$часто используется для обозначения соединения основного пучка или соединения Эресмана, когда акцент делается на горизонтальном распределении $H\; \subset \; TP\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; \backslash \; subset\; TP\}$. В этом случае обычно обозначается оператор вертикальной проекции, соответствующий $H\; \{\backslash \; displaystyle\; H\}$(одна форма соединения на $P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\}$) $\omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\}$, или $v\; \{\backslash \; displaystyle\; v\}$, или $\nu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\}$. Используя это соглашение, кривизна иногда обозначается $FH\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{H\}\}$, чтобы подчеркнуть зависимость, и $FH\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{H\}\}$может относиться к оператору кривизны на всем пространстве $FH\; \in \; \Omega \; 2\; (P,\; g)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{H\}\; \backslash \; in\; \backslash \; Omega\; ^\; \{2\}\; (P,\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\})\}$, или кривизна в основании $FH\; \in \; \Omega \; 2\; (X,\; ad\; \; (P))\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{H\}\; \backslash \; in\; \backslash \; Omega\; ^\; \{2\}\; (X,\; \backslash \; operatorname\; \{\; ad\}\; (P))\}$.

Алгебра Ли сопряженный пучок обычно обозначается $ad\; \; (P)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{ad\}\; (P)\}$, а присоединенное расслоение группы Ли - на $Ad\; \; (P)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Ad\}\; (P)\}$. Это не согласуется с соглашением в теории групп Ли, где $Ad\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Ad\}\}$относится к представлению $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$на $g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$и $ad\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{ad\}\}$относится к представлению алгебры Ли элемента $g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$на самом себе с помощью скобки Ли. В теории групп Ли действие сопряжения (которое определяет связку $Ad\; \; (P)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Ad\}\; (P)\}$) часто обозначается как $\Psi \; g\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; Psi\; \_\; \{g\}\}$.

Словарь математической и физической терминологии

Математические и физические области калибровочной теории включают изучение одних и тех же объектов, но используют разную терминологию для их описания. Ниже приводится краткое описание того, как эти термины соотносятся друг с другом.

В качестве демонстрации этого словаря рассмотрим взаимодействующий член поля частицы с положением электрона и электромагнитного поля в лагранжиане квантовой электродинамики :

$L\; =\; \psi \; ¯\; (i\; \gamma \; \mu \; D\; \mu \; -\; m)\; \psi \; -\; 1\; 4\; F\; \mu \; \nu \; F\; \mu \; \nu ,\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; =\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; psi\}\}\; (я\; \backslash \; gamma\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; D\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; -m)\; \backslash \; psi\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\; F\; \_\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\; F\; ^\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\},\}$

Математически это могло быть переписано

$L\; =\; ⟨\psi ,\; (D\; /\; A\; -\; m)\; \psi ⟩\; L\; 2\; +\; \Vert \; FA\; \Vert \; L\; 2\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; =\; \backslash \; langle\; \backslash \; psi,\; (\{D\; \backslash !\; \backslash !\; \backslash !\; \backslash !\; /\}\; \_\; \{A\}\; -m)\; \backslash \; psi\; \backslash \; rangle\; \_\; \{L\; ^\; \{2\}\}\; +\; \backslash \; |\; F\_\; \{A\}\; \backslash \; |\; \_\; \{L\; ^\; \{2\}\}\; ^\; \{2\}\}$

где $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$является подключением к принципалу $U\; \; (1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{U\}\; (1)\}$bundle $P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\}$, $\psi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; фунт\; /\; кв.\; дюйм\}$- это часть связанного спинорного пучка, а $D\; /\; A\; \{\backslash \; displaystyle\; \{D\; \backslash !\; \backslash !\; \backslash !\; \backslash !\; /\}\; \_\; \{A\}\}$- индуцированный Оператор Дирака индуцированной ковариантной производной $\nabla \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; \_\; \{A\}\}$на этом связанном пучке. Первый член является взаимодействующим членом в лагранжиане между спинорным полем (поле, представляющим электрон-позитрон) и калибровочным полем (представляющим электромагнитное поле). Второй член - это обычный функционал Янга – Миллса, который описывает основные невзаимодействующие свойства электромагнитного поля (соединение $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$). Термин формы $\nabla \; A\; \psi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; \_\; \{A\}\; \backslash \; psi\}$является примером того, что в физике называется минимальной связью, то есть простейшим возможным взаимодействием между поле материи $\psi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\}$и калибровочное поле $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$.

Преобладающая теория, встречающаяся в математическая калибровочная теория - это теория Янга – Миллса. Эта теория включает изучение связей, которые являются критическими точками функционала Янга – Миллса, определенного

$YM\; \; (A)\; =\; \int \; X\; \Vert \; FA\; \Vert \; 2\; dvolg\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{YM\}\; (A)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{X\}\; \backslash \; |\; F\_\; \{A\}\; \backslash \; |\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mathrm\; \{vol\}\; \_\; \{g\}\}$

где $(X,\; g)\; \{\backslash \; displaystyle\; (X,\; g)\}$- ориентированное риманово многообразие с $dvolg\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \backslash \; mathrm\; \{vol\}\; \_\; \{g\}\}$риманова форма объема и $\Vert \; \cdot \; \Vert \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; |\; \backslash \; cdot\; \backslash \; |\; ^\; \{2\}\}$an $L\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; ^\; \{2\}\}$-норма в присоединенном пучке $ad\; \; (P)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{ad\}\; (P)\}$. Этот функционал является квадратом $L\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; ^\; \{2\}\}$-нормы кривизны соединения $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$, поэтому соединения, которые являются критическими точками этой функции, имеют как можно меньшую кривизну (или более высокие локальные минимумы $YM\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{YM\}\}$).

Эти критические точкихарактеризуютсякак решения связанных уравнений Эйлера – Лагранжа, уравнений Янга – Миллса

$d\; A\; \star \; FA\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; d\_\; \{A\; \}\; \backslash \; star\; F\_\; \{A\}\; =\; 0\}$

где $d\; A\; \{\backslash \; displaystyle\; d\_\; \{A\}\}$- индуцированная внешняя ковариантная производная от $\nabla \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; \_\; \{A\}\}$на $объявлении\; \; (P)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{ad\}\; (P)\}$и $\star \; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; star\}$- это оператор звезды Ходжа. Такие решения называются связями Янга – Миллса и представляют значительный геометрический интерес.

Идентификатор Бьянки утверждает, что для любого соединения $d\; A\; F\; A\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; d\_\; \{A\}\; F\_\; \{A\}\; =\; 0\}$. По аналогии для дифференциальных форм гармоническая форма $\omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\}$характеризуется условием

$d\; \star \; \omega \; =\; d\; \omega \; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \backslash \; star\; \backslash \; omega\; =\; d\; \backslash \; omega\; =\; 0.\}$

Если определить гармоническое соединение условием, что

$d\; A\; \star \; FA\; =\; d\; AFA\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; d\_\; \{A\}\; \backslash \; star\; F\_\; \{A\; \}\; =\; d\_\; \{A\}\; F\_\; \{A\}\; =\; 0\}$

тогдашнее изучение связей Янга – Миллса по своей природе аналогично изучению гармонических форм. Теория Ходжа предоставляет уникальный гармонический представитель каждой когомологии де Рама класса $[\omega ]\; \{\backslash \; displaystyle\; [\backslash \; omega]\}$. Замена класса когомологий калибровочной орбитой $\{u\; \cdot \; A\; \mid \; u\; \in \; G\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{u\; \backslash \; cdot\; A\; \backslash \; mid\; u\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathcal\; \{G\}\}\; \backslash \}\}$, изучение связей Янга – Миллса можно рассматривать как попытку найти уникальных представителей для каждой орбиты в фактор-пространстве $A\; /\; G\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{A\}\}\; /\; \{\backslash \; mathcal\; \{G\}\}\}$связей по модулю калибровочных преобразований.

Уравнения самодуальности и анти-самодуальности

В четвертом измерении звездный оператор Ходжа переводит две формы в две формы, $\star :\; \Omega \; 2\; (X)\; \to \; \Omega \; 2\; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; star:\; \backslash \; Omega\; ^\; \{2\}\; (X)\; \backslash \; to\; \backslash \; Omega\; ^\; \{2\}\; (X)\}$и квадраты до оператора тождества, $\star \; 2\; =\; Id\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; star\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; operatorname\; \{Id\}\}$. Таким образом, звезда Ходжа, оперирующая двумя формами, имеет собственные значения $\pm \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pm\; 1\}$, а две формы на ориентированном римановом четырехмерном многообразии расщепляются как прямая сумма

$\Omega \; 2\; (Икс)\; знак\; равно\; \Omega \; +\; (Икс)\; \oplus \; \Omega \; -\; (Икс)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Omega\; ^\; \{2\}\; (X)\; =\; \backslash \; Omega\; \_\; \{+\}\; (X)\; \backslash \; oplus\; \backslash \; Omega\; \_\; \{-\}\; (X)\; \}$

в две формы самодвойственный и анти-самодвойственный, заданные как $+\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; +1\}$и $-\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; -1\}$собственное подпространство звездного оператора Ходжа соответственно. То есть $\alpha \; \in \; \Omega \; 2\; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; \backslash \; in\; \backslash \; Omega\; ^\; \{2\}\; (X)\}$самодвойственный, если $\star \; \alpha \; =\; \alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; star\; \backslash \; alpha\; =\; \backslash \; alpha\}$и двойственный анти-я, если $\star \; \alpha \; =\; -\; \alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; star\; \backslash \; alpha\; =\; -\; \backslash \; alpha\}$, и каждая дифференциальная двойная форма допускает разделение $\alpha \; =\; \alpha \; +\; +\; \alpha \; -\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; =\; \backslash \; alpha\; \_\; \{+\}\; +\; \backslash \; alpha\; \_\; \{-\}\}$на самодуальную и анти -самостоятельно-сдвоенные части.

Если кривизна связи $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$на главном расслоении над четырехмерным многообразием является самодвойственной или анти-самодвойственной, то по Бианки идентичность $d\; A\; \star \; FA\; =\; \pm \; d\; AFA\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; d\_\; \{A\}\; \backslash \; star\; F\_\; \{A\}\; =\; \backslash \; pm\; d\_\; \{A\}\; F\_\; \{A\}\; =\; 0\}$, поэтому соединение автоматически является уравнением Янга – Миллса. Уравнение

$\star \; FA\; =\; \pm \; FA\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; star\; F\_\; \{A\}\; =\; \backslash \; pm\; F\_\; \{A\}\}$

является уравнением в частных производных первого порядка для связи $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$, и поэтому его проще изучать, чем полное уравнение Янга – Миллса второго порядка. Уравнение $\star \; FA\; =\; FA\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; star\; F\_\; \{A\}\; =\; F\_\; \{A\}\}$называется уравнением самодуальности, а уравнение $\star \; FA\; =\; -\; FA\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; star\; F\_\; \{A\}\; =\; -\; F\_\; \{A\}\}$называется уравнением антиавтодуальности, и решениями этих уравнений являются самодвойственные соединения или антисамодвойственные соединения соответственно.

Уменьшение размерности

Один из способов вывести новые и интересные калибровочно-теоретические уравнения - применить процесс уменьшения размерности к уравнениям Янга – Миллса. Этот процесс включает взятие уравнений Янга – Миллса над многообразием $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$(обычно принимается за евклидово пространство $X\; =\; R\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; =\; \backslash \; mathbb\; \{\; R\}\; ^\; \{4\}\}$), и предписывая, чтобы решения уравнений были инвариантными относительно группы трансляционных или других симметрий. Через этот процесс уравнения Янга – Миллса приводят к уравнениям Богомольного, описывающим монополи на $R\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{3\}\}$, описывающие Расслоения Хиггса на римановых поверхностях и уравнения Нама на вещественных интервалах путем наложения симметрии относительно сдвигов в одном, двух и трех направлениях соответственно.

Здесь обсуждаются уравнения Янга – Миллса, когда базовое многообразие $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$имеет низкую размерность. В этой постановке уравнения резко упрощаются из-за того, что в размерности один нет двух форм, а в размерности два звездный оператор Ходжа на двух формах действует как $\star :\; \Omega \; 2\; (X)\; \to \; C\; \infty \; (\; X)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; star:\; \backslash \; Omega\; ^\; \{2\}\; (X)\; \backslash \; to\; C\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; (X)\}$.

Теория Янга – Миллса

Можно изучать уравнения Янга – Миллса непосредственно на коллекторе размерности два. Теория уравнений Янга – Миллса, когда базовым многообразием является компактная риманова поверхность, была реализована Майклом Атьей и Раулем Боттом. В этом случае пространство модулей связностей Янга – Миллса над комплексным векторным расслоением $E\; \{\backslash \; displaystyle\; E\}$допускает различные богатые интерпретации, и теория служит простейшим случаем для понимания уравнений в высшем Габаритные размеры. Уравнения Янга – Миллса в этом случае становятся

$\star \; FA\; =\; \lambda \; (E)\; Id\; E\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; star\; F\_\; \{A\}\; =\; \backslash \; lambda\; (E)\; \backslash \; operatorname\; \{Id\}\; \_\; \{E\}\}$

для некоторая топологическая константа $\lambda \; (E)\; \in \; C\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; (E)\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\}$в зависимости от $E\; \{\backslash \; displaystyle\; E\}$. Такие связи называются проективно плоскими, и в случае, когда векторное расслоение топологически тривиально (поэтому $\lambda \; (E)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; (E)\; =\; 0\}$), они в точности плоские соединения.

Когда ранг и векторное расслоение взаимно просты, пространство модулей $M\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\}$Ян– Связности Миллса гладкие и имеют естественную структуру симплектического многообразия. Атья и Ботт заметили, что, поскольку связности Янга – Миллса проективно плоские, их голономия дает проективные унитарные представления фундаментальной группы поверхности, так что это пространство имеет эквивалентное описание как пространство модулей проективных унитарных представлений фундаментальная группа римановой поверхности, символьное многообразие. Теорема Нарасимхана и Сешадри дает альтернативное описание этого пространства представлений как пространства модулей стабильных голоморфных векторных расслоений, которые гладко изоморфны $E\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; \}$. Благодаря этому изоморфизму пространство модулей связностей Янга – Миллса приобретает сложную структуру, которая взаимодействует с симплектической структурой Атьи и Ботта, превращая его в компактное кэлерово многообразие.

Саймон Дональдсон дал альтернативное доказательство теоремы Нарасимхана и Сешадри, которое напрямую перешло от связностей Янга – Миллса к стабильным голоморфным структурам. Атья и Ботт использовали эту переформулировку проблемы, чтобы осветить тесную взаимосвязь между экстремальными связностями Янга – Миллса и стабильностью векторных расслоений в виде бесконечномерного отображения моментов для действия калибровочной группы $G\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{G\}\}\}$, заданный картой кривизны $A\; \mapsto \; FA\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \backslash \; mapsto\; F\_\; \{A\}\}$непосредственно. Это наблюдение формулирует теорему Нарасимхана – Сешадри как своего рода бесконечномерную версию теоремы Кемпфа – Несса из геометрической теории инвариантов, связывающей критические точки квадрата нормы карты момента (в данном случае связности Янга – Миллса) с устойчивыми точками на соответствующем алгебраическом фактор-расслоении (в данном случае - стабильными голоморфными векторными расслоениями). Эта идея впоследствии очень повлияла на калибровочную теорию и комплексную геометрию с момента ее появления.

Уравнения Нама

Уравнения Нама, введенные Вернером Нахмом, получены как размерное сокращение антиавтодуальности в четырех измерениях до одного измерения посредством навязывание трансляционной инвариантности по трем направлениям. Конкретно, требуется, чтобы форма соединения $A\; =\; A\; 0\; dx\; 0\; +\; A\; 1\; dx\; 1\; +\; A\; 2\; dx\; 2\; +\; A\; 3\; dx\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; A\_\; \{0\}\; \backslash ,\; dx\; ^\; \{0\}\; +\; A\_\; \{1\}\; \backslash ,\; dx\; ^\; \{1\}\; +\; A\_\; \{2\}\; \backslash ,\; dx\; ^\; \{2\}\; +\; A\_\; \{3\}\; \backslash ,\; dx\; ^\; \{3\}\}$не зависит от координат $x\; 1,\; x\; 2,\; x\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{1\},\; x\; ^\; \{2\},\; x\; ^\; \{3\}\}$. В этой постановке уравнения Нама между системой уравнений на интервале $I\; \subset \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; \backslash \; subset\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$для четырех матриц $T\; 0,\; T\; 1,\; T\; 2,\; T\; 3\; \in \; C\; \infty \; (I,\; g)\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{0\},\; T\_\; \{1\},\; T\_\; \{2\},\; T\_\; \{3\}\; \backslash \; in\; C\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; (I,\; \{\backslash \; mathfrak\; \{\; g\}\})\}$, удовлетворяющее тройке уравнений

$\{d\; T\; 1\; dt\; +\; [T\; 0,\; T\; 1]\; +\; [T\; 2,\; T\; 3]\; =\; 0\; d\; T\; 2\; dt\; +\; [T\; 0,\; T\; 2]\; +\; [T\; 3,\; T\; 1]\; =\; 0\; d\; T\; 3\; dt\; +\; [T\; 0,\; T\; 3]\; +\; [T\; 1,\; T\; 2]\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; \{\backslash frac\; \{\; dT\_\; \{1\}\}\; \{dt\; \}\}\; +\; [T\_\; \{0\},\; T\_\; \{1\}]\; +\; [T\_\; \{2\},\; T\_\; \{3\}]\; =\; 0\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{dT\_\; \{2\}\}\; \{dt\}\}\; +\; [T\_\; \{0\},\; T\_\; \{2\}]\; +\; [T\_\; \{3\},\; T\_\; \{1\}]\; =\; 0\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{dT\_\; \{3\}\}\; \{dt\}\}\; +\; [T\_\; \{0\},\; T\_\; \{\; 3\}]\; +\; [T\_\; \{1\},\; T\_\; \{2\}]\; =\; 0.\; \backslash \; end\; \{ases\}\}\}$

Нахм показал, что решения этих уравнений (которые могут быть получены довольно легко, поскольку они являются система обыкновенных дифференциальных уравнений ) может быть использована для построения решений уравнений Богомольного, которые описывают монополи на $R\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{3\}\; \}$. Найджел Хитчин ш благодаря тому, что решения уравнений Богомольного можно было использовать для построения решений уравнений Нама, показав, что решения этих двух проблем эквивалентны. Дональдсон также показал, что решения уравнений Нама эквивалентны рациональным отображениям степени $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$из комплексной проективной линии $CP\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{CP\}\; ^\; \{1\}\}$самому себе, где $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$- заряд соответствующего магнитного монополя.

Пространство модулей решений уравнений Нама имеет структуру гиперкэлерового многообразия.

Уравнения Хитчина и расслоения Хиггса

Уравнения Хитчина, введенные Найджелом Хитчином, получены как размерное сокращение уравнений самодуальности в четырех измерениях до двух измерений, путем навязывания трансляционного инварианта в двух направлениях. В этой настройке два дополнительных компонента формы соединения $A\; 3\; dx\; 3\; +\; A\; 4\; dx\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{3\}\; \backslash ,\; dx\; ^\; \{3\}\; +\; A\_\; \{4\}\; \backslash ,\; dx\; ^\; \{4\}\}$можно объединить в один комплекснозначный эндоморфизм $\Phi \; =\; A\; 3\; +\; i\; A\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\; =\; A\_\; \{3\}\; +\; iA\_\; \{4\}\}$, и когда сформулированные таким образом уравнения становятся конформно инвариантными и поэтому их естественно изучать на компактной римановой поверхности, а не на $R\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{2\}\}$. Уравнения Хитчина утверждают, что для пары $(A,\; \Phi )\; \{\backslash \; displaystyle\; (A,\; \backslash \; Phi)\}$на сложном векторном пучке $E\; \to \; \Sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; E\; \backslash \; to\; \backslash \; Sigma\; \}$где $\Phi \; \in \; \Omega \; 1,\; 0\; (\Sigma ,\; конец\; \; (E))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\; \backslash \; in\; \backslash \; Omega\; ^\; \{1,0\}\; (\backslash \; Sigma,\; \backslash \; operatorname\; \{End\}\; (E))\}$, что

$\{FA\; +\; [\Phi ,\; \Phi \; \ast ]\; =\; 0\; \partial \; ¯\; A\; \Phi \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; F\_\; \{A\}\; +\; [\backslash \; Phi,\; \backslash \; Phi\; ^\; \{*\}]\; =\; 0\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; partial\}\}\; \_\; \{A\}\; \backslash \; Phi\; =\; 0\; \backslash \; end\; \{cases\}\}\}$

где $\partial \; ¯\; A\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; partial\}\}\; \_\; \{A\}\}$- это $(0,\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; (0,1)\}$-компонент $d\; A\; \{\backslash \; displaystyle\; d\_\; \{A\}\}$. Решения уравнений Хитчина называются парами Хитчина .

В то время как решения уравнений Янга – Миллса на компактной римановой поверхности соответствуют проективным унитарным представлениям группы поверхностей, Хитчин показал, что решения уравнений Хитчина соответствуют проективным комплексным представлениям поверхностная группа. Пространство модулей пар Хитчина естественным образом имеет (когда ранг и степень расслоения взаимно просты) структуру кэлерова многообразия. Используя аналог наблюдения Атьи и Ботта относительно уравнений Янга – Миллса, Хитчин показал, что пары Хитчина соответствуют так называемым стабильным расслоениям Хиггса, где расслоение Хиггса - это пара $(E,\; \Phi )\; \{\backslash \; displaystyle\; (E,\; \backslash \; Phi)\}$где $E\; \to \; \Sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; E\; \backslash \; to\; \backslash \; Sigma\}$- голоморфное векторное расслоение, а $\Phi :\; E\; \to \; E\; \otimes \; K\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi:\; E\; \backslash \; to\; E\; \backslash \; otimes\; K\}$- голоморфный эндоморфизм $E\; \{\backslash \; displaystyle\; E\}$со значениями в каноническое расслоение римановой поверхности $\Sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Sigma\}$. Это демонстрируется посредством построения бесконечномерного отображения момента, и это пространство модулей расслоений Хиггса также имеет сложную структуру, которая отличается от структуры, исходящей от пар Хитчина, что приводит к двум сложным структурам в пространстве модулей $M\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\}$пучков Хиггса. Они объединяются, чтобы дать третье, что делает это пространство модулей гиперкэлеровым многообразием.

Работа Хитчина была впоследствии значительно обобщена Карлосом Симпсоном, и соответствие между решениями уравнений Хитчина и расслоениями Хиггса над произвольным кэлеровым многообразие известно как неабелева теорема Ходжа.

Монополи

Размерное сокращение уравнений Янга – Миллса до трех измерений путем наложения трансляционного инварианта в одном направление приводит к уравнениям Богомольного для пары $(A,\; \Phi )\; \{\backslash \; displaystyle\; (A,\; \backslash \; Phi)\}$где $\Phi :\; R\; 3\; \to \; g\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi:\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{3\}\; \backslash \; to\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$- это семейство матриц. Уравнения следующие:

$F\; A\; =\; \star \; d\; A\; \Phi .\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{A\}\; =\; \backslash \; star\; d\_\; \{A\}\; \backslash \; Phi.\}$

Когда главный пучок $P\; \to \; R\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{3\}\}$имеетмоделяхВселенная 10-мерная, состоящая из четырех измерений регулярного пространства-времени и 6-мерного многообразия Калаби – Яу. В таких теориях поля, действующие на струны, живут на расслоениях над этими многомерными пространствами, и каждый интересуется калибровочно-теоретическими проблемами, связанными с ними. Например, предел естественных теорий поля в теории суперструн, когда радиус струны приближается к нулю (так называемый предел большого объема) на 6-мерном многообразии Калаби – Яу, определяется эрмитовыми уравнениями Янга – Миллса на этом многообразии. Уходя от предела большого объема, получаем деформированное эрмитово уравнение Янга – Миллса, которое описывает уравнения движения для D-браны в B-модели теории суперструн. Зеркальная симметрия предсказывает, что решения этих уравнений должны соответствовать специальным лагранжевым подмногообразиям зеркально дуального Калаби – Яу.

• Калибровочная теория
• Введение в калибровочную теорию
• Группа калибров (математика)
• Теория Янга – Миллса
• Уравнения Янга – Миллса