Размерность (векторное пространство)

редактировать

В математике измерение векторного пространства V - это мощность (то есть количество векторов) базиса V по его базовому полю. Иногда его называют размерностью Гамеля (после Георга Хамеля ) или алгебраическим измерением, чтобы отличить его от других типов размерности.

Для каждого векторного пространства. существует базис, и все базисы векторного пространства имеют одинаковую мощность; в результате размерность векторного пространства определяется однозначно. Мы говорим, что V конечномерно, если размерность V конечна, и бесконечномерно, если его размерность бесконечна.

Размерность векторного пространства V над полем F можно записать как dim F (V) или как [V: F], читать «размерность V над F». Когда F можно вывести из контекста, обычно пишут dim (V).

Содержание

1 Примеры
2 Факты
3 Обобщения
- 3.1 Трассировка
4 См. Также
5 Примечания
6 Ссылки
7 Внешние ссылки

Примеры

векторное пространство R имеет

{(1 0 0), (0 1 0), (0 0 1)} {\ displaystyle \ left \ {{\ begin { pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \ end {pmatrix}}, {\ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \ end {pmatrix}}, {\ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \ end {pmatrix}} \ right \}}

\ left \ {{\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \ end {pmatrix}}, {\ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \ end {pmatrix}}, {\ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \ end {pmatrix}} \ right \}

как стандартный базис, и поэтому мы имеем dim R(R) = 3. В более общем случае dim R(R) = n и даже больше. обычно dim F (F) = n для любого поля F.

Комплексные числа Cявляются как действительным, так и комплексным векторным пространством; у нас dim R(C) = 2 и dim C(C) = 1. Таким образом, размер зависит от базового поля.

Единственное векторное пространство с размерностью 0 - это {0}, векторное пространство, состоящее только из его нулевого элемента.

Факты

Если W является линейным подпространством в V, то dim (W) ≤ dim (V).

Чтобы показать, что два конечномерных векторных пространства равны, часто используется следующий критерий: если V - конечномерное векторное пространство, а W - линейное подпространство в V с dim (W) = dim ( V), то W = V.

Rимеет стандартный базис {e1,..., en}, где ei- i-й столбец соответствующей единичной матрицы. Следовательно, R имеет размерность n.

Любые два векторных пространства над F, имеющие одинаковую размерность, изоморфны. Любое биективное отображение между их базами может быть однозначно расширено до биективного линейного отображения между векторными пространствами. Если B - некоторое множество, векторное пространство размерности | B | над F можно построить следующим образом: возьмем множество F всех функций f: B → F таких, что f (b) = 0 для всех, кроме конечного числа b в B. Эти функции можно складывать и умножать на элементы из F, и получаем искомое F-векторное пространство.

Важный результат, касающийся размеров, дает теорема о нулевом ранге для линейных карт.

Если F / K является расширением поля, тогда F, в частности, является векторным пространством над K. Кроме того, каждое F-векторное пространство V также является K-векторным пространством. Размеры связаны формулой

dim K (V) = dim K (F) dim F (V).

В частности, каждое комплексное векторное пространство размерности n является вещественным векторным пространством размерности 2n.

Некоторые простые формулы связывают размерность векторного пространства с мощностью базового поля и мощностью самого пространства. Если V - векторное пространство над полем F, то, обозначая размерность V через dim V, мы имеем:

Если dim V конечно, то | V | = | F |.

Если dim V бесконечно, то | V | = max (| F |, dim V).

Обобщения

Векторное пространство можно рассматривать как частный случай матроида, и в последнем есть хорошо- определенное понятие размерности. Длина модуля и ранг абелевой группы имеют несколько свойств, аналогичных размерности векторных пространств.

Размерность Крулля коммутативного кольца, названного в честь Вольфганга Крулля (1899–1971), определяется как максимальное количество строгие включения в возрастающую цепочку простых идеалов в кольце.

Трасса

Размерность векторного пространства может быть альтернативно охарактеризована как трасса оператора идентичности. Например, $tr ⁡ id R 2 = tr ⁡ (1 0 0 1) = 1 + 1 = 2. {\ displaystyle \ operatorname {tr} \ \ operatorname {id} _ {\ mathbf {R} ^ { 2}} = \ operatorname {tr} \ left ({\ begin {smallmatrix} 1 0 \\ 0 1 \ end {smallmatrix}} \ right) = 1 + 1 = 2.}$ $\ operatorname {tr} \ \ operatorname {id} _ {\ mathbf {R} ^ {2 }} = \ operatorname {tr} \ left ({\ begin {smallmatrix} 1 0 \\ 0 1 \ end {smallmatrix}} \ right) = 1 + 1 = 2.$ Это похоже на круговое определение, но оно допускает полезные обобщения.

Во-первых, это позволяет определить понятие измерения, когда у него есть след, но нет естественного чувства основы. Например, у кого-то может быть алгебра A с отображениями $η: K → A {\ displaystyle \ eta \ двоеточие K \ to A}$ $\ eta \ двоеточие K \ to A$ (включение скаляров, называемое единица) и карту $ϵ: A → K {\ displaystyle \ epsilon \ двоеточие A \ to K}$ $\ epsilon \ двоеточие A \ to K$ (соответствует следу, называемому counit ). Композиция $ϵ ∘ η: K → K {\ displaystyle \ epsilon \ circ \ eta \ двоеточие K \ to K}$ $\ epsilon \ circ \ eta \ двоеточие K \ to K$ является скаляром (являющимся линейным оператором в одномерном пространстве) соответствует до «следа идентичности» и дает понятие размерности абстрактной алгебры. На практике в биалгебрах требуется, чтобы эта карта была тождеством, которое может быть получено путем нормализации счетчика путем деления на размерность ( $ϵ: = 1 n tr {\ displaystyle \ epsilon: = \ textstyle {\ frac {1} {n}} \ operatorname {tr}}$ $\ epsilon: = \ textstyle { \ frac {1} {n}} \ operatorname {tr}$ ), поэтому в этих случаях нормализующая константа соответствует размеру.

В качестве альтернативы можно взять след операторов в бесконечномерном пространстве; в этом случае определяется (конечный) след, даже если (конечной) размерности не существует, и дает понятие «размерности оператора». Они подпадают под рубрику «трассировки класса операторов» в гильбертовом пространстве или, в более общем смысле, ядерных операторов в банаховом пространстве.

A более тонкое обобщение - рассматривать след семейства операторов как своего рода «скрученное» измерение. Это существенно происходит в теории представлений, где символ представления является следом представления, следовательно, скалярная функция в группе $χ: G → К, {\ Displaystyle \ чи \ двоеточие G \ к K,}$ $\ chi \ двоеточие G \ to K,$ , значение которого в тождестве $1 ∈ G {\ displaystyle 1 \ in G}$ $1 \ in G$ - размерность представления, поскольку представление переводит единицу в группе в единичную матрицу: $χ (1 G) = tr ⁡ IV = dim ⁡ V. {\ displaystyle \ chi (1_ {G}) = \ operatorname {tr} \ I_ {V} = \ dim V.}$ $\ chi (1_ {G}) = \ operat orname {tr} \ I_ {V} = \ dim V.$ Можно просмотреть другие значения $χ (g) {\ displaystyle \ chi (g)}$ $\ chi (g)$ символа как "скрученные" измерения и найдите аналоги или обобщения утверждений о размерах утверждениям о символах или представлениях. Изощренный пример этого встречается в теории чудовищного самогона : j-инвариант - это градуированное измерение бесконечномерного градуированного представления группа монстров, и замена измерения на символ дает серию Маккея – Томпсона для каждого элемента группы монстров.

См. также

Фрактальное измерение
Измерение Крулля
Ранг матроида
Ранг (линейная алгебра)
Топологическое измерение, также называемое покрывающим измерением Лебега

Примечания

Ссылки

Внешние ссылки

Лекция по линейной алгебре Массачусетского технологического института о независимости, основе и размерности Гилберта Стрэнга в MIT OpenCourseWare