Диффеоморфизм

Изоморфизм гладких многообразий; гладкая биекция с гладким обратным

В математике, диффеоморфизм - это изоморфизм гладких многообразий. Это обратимая функция, которая отображает одно дифференцируемое многообразие в другое, так что и функция, и ее обратный гладкие.

изображение прямоугольной сетки на квадрате при диффеоморфизме квадрата на себя.

Содержание

• 1 Определение
• 2 Диффеоморфизмы подмножеств многообразий
• 3 Локальное описание
• 4 Примеры
  • 4.1 Деформации поверхности
• 5 Группа диффеоморфизмов
  • 5.1 Топология
  • 5.2 Алгебра Ли
  • 5.3 Примеры
  • 5.4 Транзитивность
  • 5.5 Расширения диффеоморфизмов
  • 5.6 Связность
  • 5.7 Гомотопические типы
• 6 Гомеоморфизм и диффеоморфизм
• 7 См. Также
• 8 Примечания
• 9 Ссылки

Определение

Даны два многообразия $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$и $N\; \{\backslash \; displaystyle\; N\}$, a дифференцируемая map $f:\; M\; \to \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; двоеточие\; M\; \backslash \; rightarrow\; N\}$называется диффеоморфизмом, если это биекция и его i nverse $f\; -\; 1:\; N\; \to \; M\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; двоеточие\; N\; \backslash \; rightarrow\; M\}$также дифференцируемо. Если эти функции $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$раз непрерывно дифференцируемы, $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$называется $C\; r\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; ^\; \{r\}\}$-диффеоморфизм .

Два многообразия $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$и $N\; \{\backslash \; displaystyle\; N\}$диффеоморфны (обычно обозначаются $M\; \simeq \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; \backslash \; simeq\; N\}$), если существует диффеоморфизм $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \}$от $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$до $N\; \{\backslash \; displaystyle\; N\}$. Они $C\; r\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; ^\; \{r\}\}$-диффеоморфны, если существует $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$раз непрерывно дифференцируемое биективное отображение между ними, чье инверсия также $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$раз непрерывно дифференцируема.

Диффеоморфизмы подмножеств многообразий

Для подмножества X многообразия M и подмножества Y многообразия N, функция f: X → Y называется быть гладким, если для всех p в X существует окрестность U ⊆ M точки p и гладкая функция g: U → N такая, что ограничения совпадают: $g\; |\; U\; \cap \; X\; =\; f\; |\; U\; \cap \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; g\_\; \{|\; U\; \backslash \; cap\; X\}\; =\; f\_\; \{|\; U\; \backslash \; cap\; X\}\}$(обратите внимание, что g является расширением f). Функция f называется диффеоморфизмом, если она биективна, гладкая и обратная к ней гладкая.

Локальное описание

Теорема Адамара-Каччопполи

Если U, V подключены открытые подмножества из R так, что V является односвязное, дифференцируемое отображение f: U → V является диффеоморфизмом, если оно собственно и если дифференциал Dfx: R→ Rбиективен (и, следовательно, линейный изоморфизм ) в каждой точке x в U.

Первое замечание

Важно, чтобы V было односвязным для функции f будет глобально обратимым (при единственном условии, что его производная будет биективным отображением в каждой точке). Например, рассмотрим «реализацию» комплексной квадратной функции

$\{f:\; R\; 2\; \setminus \; \{(0,\; 0)\}\; \to \; R\; 2\; \setminus \; \{(0,\; 0)\}\; (x,\; y)\; \mapsto \; (х\; 2\; -\; у\; 2,\; 2\; ху).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; f:\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; setminus\; \backslash \; \{(0,0)\; \backslash \}\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; setminus\; \backslash \; \{(0,0)\; \backslash \}\; \backslash \backslash \; (x,\; y)\; \backslash \; mapsto\; (x\; ^\; \{2\}\; -y\; ^\; \{2\},\; 2xy).\; \backslash \; end\; \{cases\}\}\}$

Тогда f сюръективно и удовлетворяет

$det\; D\; fx\; =\; 4\; (x\; 2\; +\; y\; 2)\; \ne \; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; det\; Df\_\; \{x\}\; =\; 4\; (x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\})\; \backslash \; neq\; 0.\}$

Таким образом, хотя Df x биективен в каждой точке, f не обратим, потому что он не может быть инъективным (например, f (1, 0) = (1, 0) = f (−1, 0).

Второе замечание

Поскольку дифференциал в точке (для дифференцируемой функции)

$D\; fx:\; T\; x\; U\; \to \; T\; f\; (x)\; V\; \{\backslash \; displaystyle\; Df\_\; \{x\}\; :\; T\_\; \{x\}\; U\; \backslash \; to\; T\_\; \{f\; (x)\}\; V\}$

- это линейное отображение, оно имеет четко определенную инверсию тогда и только тогда, когда Df x является биекцией. Матрица представление Df x представляет собой n × n-матрицу частных производных первого порядка, чья запись в i-й строке и j -й столбец: $\partial \; fi\; /\; \partial \; xj\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; f\_\; \{i\}\; /\; \backslash \; partial\; x\_\; \{j\}\}$. Эта так называемая матрица Якоби часто en используется для явных вычислений.

Третье замечание

Диффеоморфизмы обязательно существуют между многообразиями одной и той же размерности. Представьте, что f переходит из размерности n в размерность k. Если n < k then Dfxникогда не может быть сюръективным, а если n>k, то Df x никогда не может быть инъективным. Следовательно, в обоих случаях Df x не может быть биекцией.

Четвертое замечание

Если Df x является биекцией в x, то f называется локальным диффеоморфизмом (поскольку по непрерывности Df y также будет биективным для всех y, достаточно близких к x).

Пятое замечание

Для гладкого отображения размерности n в размерность k, если Df (или, локально, Df x) сюръективно, f называется погружением (или, локально, «локальное погружение»); и если Df (или локально Df x) инъективен, f называется погружением (или, локально, «локальным погружением»).

Шестое замечание

Дифференцируемая биекция не обязательно является диффеоморфизмом. Например, f (x) = x не является диффеоморфизмом от R к самому себе, потому что его производная равна нулю в 0 (и, следовательно, его обратный элемент не дифференцируем в 0). Это пример гомеоморфизма , который не является диффеоморфизмом.

Седьмое замечание

Когда f является отображением между дифференцируемыми многообразиями, диффеоморфное f является более сильным условием, чем гомеоморфное f. Для диффеоморфизма f и обратный к нему должны быть дифференцируемыми ; для гомеоморфизма f и обратный к нему должны быть только непрерывными. Каждый диффеоморфизм является гомеоморфизмом, но не всякий гомеоморфизм является диффеоморфизмом.

f: M → N называется диффеоморфизмом, если в координатных картах он удовлетворяет приведенному выше определению. Точнее: выберите любое покрытие M совместимыми координатными картами и сделайте то же самое для N. Пусть φ и ψ - карты на M и N, соответственно, с U и V как изображениями φ и ψ. Отображение ψfφ: U → V является диффеоморфизмом, как в определении выше, если f (φ (U)) ⊆ ψ (V).

Примеры

Так как любое многообразие можно параметризовать локально, мы можем рассмотреть некоторые явные отображения из R в R.

• Пусть

$f\; (x,\; y)\; =\; (х\; 2\; +\; у\; 3,\; х\; 2\; -\; у\; 3).\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x,\; y)\; =\; \backslash \; left\; (x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{3\},\; x\; ^\; \{2\}\; -y\; ^\; \{3\}\; \backslash \; right).\}$

Мы можем вычислить матрицу Якоби :

$J\; f\; =\; (2\; x\; 3\; y\; 2\; 2\; x\; -\; 3\; y\; 2).\; \{\backslash \; displaystyle\; J\_\; \{f\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 2x\; 3y\; ^\; \{2\}\; \backslash \backslash \; 2x\; -3y\; ^\; \{2\}\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}.\}$

Матрица Якоби имеет нулевой детерминант тогда и только тогда, когда xy = 0. Мы видим, что f может быть только диффеоморфизмом вне оси x и оси y. Однако f не является биективным, поскольку f (x, y) = f (-x, y), и, следовательно, не может быть диффеоморфизмом.

• Пусть

$g\; (x,\; y)\; =\; (a\; 0\; +\; a\; 1,\; 0\; Икс\; +\; a\; 0,\; 1\; Y\; +\; \cdots ,\; b\; 0\; +\; b\; 1,\; 0\; Икс\; +\; b\; 0,\; 1\; Y\; +\; \cdots )\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (x,\; y)\; =\; \backslash \; left\; (a\_\; \{0\}\; +\; a\_\; \{1,\; 0\}\; x\; +\; a\_\; \{0,1\}\; y\; +\; \backslash \; cdots,\; \backslash \; b\_\; \{0\}\; +\; b\_\; \{1,0\}\; x\; +\; b\_\; \{0,1\}\; y\; +\; \backslash \; cdots\; \backslash \; right)\}$

где $ai,\; j\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{i,\; j\}\}$и $bi,\; j\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{i,\; j\}\}$произвольные действительные числа, а пропущенные члены имеют степень по крайней мере два по x и y. Мы можем вычислить матрицу Якоби при 0:

$J\; g\; (0,\; 0)\; =\; (a\; 1,\; 0\; a\; 0,\; 1\; b\; 1,\; 0\; b\; 0,\; 1).\; \{\backslash \; displaystyle\; J\_\; \{g\}\; (0,0)\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; a\_\; \{1,0\}\; a\_\; \{0,1\}\; \backslash \backslash \; b\_\; \{1,0\}\; b\_\; \{0,1\}\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\; \}.\}$

Мы видим, что g является локальным диффеоморфизмом в 0 тогда и только тогда, когда,

$a\; 1,\; 0\; b\; 0,\; 1\; -\; a\; 0,\; 1\; b\; 1,\; 0\; \ne \; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{1,0\}\; b\_\; \{0,1\}\; -a\_\; \{0,1\}\; b\_\; \{1,0\}\; \backslash \; neq\; 0,\}$

т.е. линейные члены в компонентах g являются линейно независимыми как полиномами.

• Пусть

$h\; (x,\; y)\; =\; (sin\; \; (x\; 2\; +\; y\; 2),\; cos\; \; (\; х\; 2\; +\; у\; 2)).\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; (x,\; y)\; =\; \backslash \; left\; (\backslash \; sin\; (x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}),\; \backslash \; cos\; (x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\})\; \backslash \; right).\}$

Мы можем вычислить матрицу Якоби:

$J\; h\; =\; (2\; x\; cos\; \; (x\; 2\; +\; y\; 2)\; 2\; y\; cos\; \; (x\; 2\; +\; y\; 2)\; -\; 2\; x\; sin\; \; (x\; 2\; +\; y\; 2)\; -\; 2\; y\; sin\; \; (x\; 2\; +\; y\; 2)).\; \{\backslash \; displaystyle\; J\_\; \{h\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 2x\; \backslash \; cos\; (x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\})\; 2y\; \backslash \; cos\; (x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\})\; \backslash \backslash \; -\; 2x\; \backslash \; sin\; (x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\})\; -\; 2y\; \backslash \; sin\; (x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\})\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}.\}$

Матрица Якоби имеет нулевой определитель везде! Фактически мы видим, что изображение h - это единичный круг.

Деформации поверхности

В механике преобразование, вызванное напряжением, называется деформацией и может быть описан диффеоморфизмом. Диффеоморфизм f: U → V между двумя поверхностями U и V имеет матрицу Якоби Df, которая является обратимой матрицей. Фактически, требуется, чтобы для p в U существовала окрестность точки p, в которой якобиан Df остается невырожденным. Поскольку якобиан представляет собой вещественную матрицу 2 × 2, Df можно читать как один из трех типов комплексного числа : обычное комплексное число, разделенное комплексное число или двойное число. Предположим, что в карте поверхности $f\; (x,\; y)\; =\; (u,\; v).\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x,\; y)\; =\; (u,\; v).\}$

полный дифференциал u равен

$du\; =\; \partial \; u\; \partial \; xdx\; +\; \partial \; u\; \partial \; ydy\; \{\backslash \; displaystyle\; du\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; dx\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; dy\}$, и аналогично для v.

Тогда изображение $(du,\; dv)\; =\; (dx,\; dy)\; D\; f\; \{\backslash \; displaystyle\; (du,\; dv)\; =\; (dx,\; dy)\; Df\}$- это линейное преобразование, фиксирующее происхождение и выражается как действие комплексного числа определенного типа. Когда (dx, dy) также интерпретируется как этот тип комплексного числа, действие представляет собой комплексное умножение в соответствующей плоскости комплексных чисел. Таким образом, существует тип угла (евклидов, гиперболический или наклон ), который сохраняется при таком умножении. Поскольку Df обратим, тип комплексного числа однороден по поверхности. Следовательно, деформация поверхности или диффеоморфизм поверхностей обладает конформным свойством сохранения (соответствующего типа) углов.

Группа диффеоморфизмов

Пусть M - дифференцируемое многообразие, которое подсчитывает секунды и Хаусдорф. Группа диффеоморфизмов M - это группа всех C диффеоморфизмов M к самой себе, обозначаемая Diff (M) или, когда r понимается, Diff (M). Это «большая» группа в том смысле, что - при условии, что M не является нульмерной - она ​​не локально компактна.

Топология

Группа диффеоморфизмов имеет две естественные топологии : слабый и сильный (Hirsch 1997). Когда многообразие компактно, эти две топологии согласуются. Слабая топология всегда метризуема. Когда многообразие не компактно, сильная топология фиксирует поведение функций «на бесконечности» и не является метризуемой. Однако это все еще Бэр.

Если зафиксировать риманову метрику на M, слабой топологией будет топология, индуцированная семейством метрик

$d\; K\; (f,\; g)\; =\; sup\; x\; \in \; K\; d\; (е\; (x),\; g\; (x))\; +\; \sum \; 1\; \le \; p\; \le \; r\; sup\; x\; \in \; K\; \Vert \; D\; pf\; (x)\; -\; D\; pg\; (x)\; \Vert \; \{\backslash \; displaystyle\; d\_\; \{K\}\; (f,\; g)\; =\; \backslash \; sup\; \backslash \; nolimits\; \_\; \{x\; \backslash \; in\; K\}\; d\; (f\; (x),\; g\; (x))\; +\; \backslash \; sum\; \backslash \; nolimits\; \_\; \{1\; \backslash \; leq\; p\; \backslash \; leq\; r\}\; \backslash \; sup\; \backslash \; nolimits\; \_\; \{x\; \backslash \; in\; K\; \}\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; D\; ^\; \{p\}\; f\; (x)\; -D\; ^\; \{p\}\; g\; (x)\; \backslash \; right\; \backslash \; |\}$

при изменении K на компактных подмножествах M. В самом деле, поскольку M σ-компактно, существует последовательность компактных подмножеств K n, union которой есть M. Тогда:

$d\; (f,\; g)\; =\; \sum \; n\; 2\; -\; nd\; K\; n\; (f,\; g)\; 1\; +\; d\; K\; n\; (f,\; g).\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; (f,\; g)\; =\; \backslash \; sum\; \backslash \; nolimits\; \_\; \{n\}\; 2\; ^\; \{-\; n\}\; \{\backslash \; frac\; \{d\_\; \{K\_\; \{n\}\}\; (f,\; g)\}\; \{1\; +\; d\_\; \{K\_\; \{n\}\; \}\; (f,\; g)\}\}.\}$

Группа диффеоморфизмов со своей слабой топологией локально гомеоморфна пространству векторных полей C (Leslie 1967). На компактном подмножестве M это следует, зафиксировав риманову метрику на M и используя экспоненциальное отображение для этой метрики. Если r конечно и многообразие компактно, пространство векторных полей является банаховым пространством. Более того, отображения переходов от одной карты этого атласа к другой гладкие, что превращает группу диффеоморфизмов в банахово многообразие с гладкими правыми переводами; левые переводы и инверсия только непрерывны. Если r = ∞, пространство векторных полей - это пространство Фреше. Более того, отображения переходов гладкие, что превращает группу диффеоморфизмов в многообразие Фреше и даже в регулярную группу Фреше. Если многообразие σ-компактно и не компактно, полная группа диффеоморфизмов не является локально стягиваемой ни для одной из двух топологий. Необходимо ограничить группу, контролируя отклонение от тождества вблизи бесконечности, чтобы получить группу диффеоморфизмов, которая является многообразием; см. (Michor Mumford 2013).

Алгебра Ли

Алгебра Ли группы диффеоморфизмов M состоит из всех векторных полей на M, снабженных скобкой Ли векторных полей. Отчасти формально это можно увидеть, сделав небольшое изменение координаты $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$в каждой точке пространства:

$x\; \mu \; \mapsto \; x\; \mu \; +\; \epsilon \; h\; \mu \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \; mapsto\; x\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; +\; \backslash \; varepsilon\; h\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; (x)\}$

, поэтому генераторы бесконечно малых - это векторные поля

$L\; h\; =\; h\; \mu \; (\; х)\; \partial \; \partial \; x\; \mu .\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{h\}\; =\; h\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; (x)\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{\backslash \; mu\}\}\}.\}$

Примеры

• Когда M = G является Группа Ли, существует естественное включение G в ее собственную группу диффеоморфизмов через левый сдвиг. Пусть Diff (G) обозначает группу диффеоморфизмов группы G, тогда существует расщепление Diff (G) ≃ G × Diff (G, e), где Diff (G, e) - подгруппа группы Diff ( G), который фиксирует единичный элемент группы.
• Группа диффеоморфизмов евклидова пространства R состоит из двух компонентов, состоящих из сохраняющей ориентацию и ориентации- обращающие диффеоморфизмы. Фактически, общая линейная группа является деформационным ретрактом подгруппы Diff (R, 0) диффеоморфизмов, фиксирующих начало координат при отображении f (x) ↦ f (tx) / t, t ∈ (0,1]. В частности, общая линейная группа также является деформационным ретрактом полной группы диффеоморфизмов.
• Для конечного множества точек, группа диффеоморфизмов - это просто симметрическая группа . Аналогично, если M - любое многообразие, существует расширение группы 0 → Diff 0 (M) → Diff (M) → Σ (π 0 (M)). Здесь Diff 0 (M) - подгруппа в Diff (M), сохраняющая все компоненты M, а Σ (π 0 (M)) - группа перестановок множества π 0 (M) (компонентов M). Более того, образ карты Diff (M) → Σ (π 0 (M)) - биекции π 0 (M), сохраняющие классы диффеоморфизмов.

Транзитивность

Для связного многообразия M, группа диффеоморфизмов действует транзитивно на M. В более общем смысле, диффеомор Группа физики действует транзитивно на конфигурационном пространстве CkM. Если M хотя бы двумерна, группа диффеоморфизмов действует транзитивно на конфигурационном пространстве FkM, и действие на M является транзитивным умножением (Banyaga 1997, p 29).

Расширения диффеоморфизмов

В 1926 году Тибор Радо спросил, есть ли гармоническое расширение какого-либо гомеоморфизма или диффеоморфизма единичной окружности на единичный круг дает диффеоморфизм на открытом диске. Вскоре после этого Хельмут Кнезер представил элегантное доказательство. В 1945 г. Гюстав Шоке, по-видимому, не подозревая об этом результате, представил совершенно другое доказательство.

Группа диффеоморфизмов (сохраняющих ориентацию) окружности линейно связна. Это можно увидеть, заметив, что любой такой диффеоморфизм можно поднять до диффеоморфизма f вещественных чисел, удовлетворяющих [f (x + 1) = f (x) + 1]; это пространство выпукло и, следовательно, линейно связно. Гладкий, в конечном итоге постоянный путь к идентичности дает второй, более элементарный способ расширения диффеоморфизма с круга на открытый единичный диск (частный случай трюка Александера ). Более того, группа диффеоморфизмов окружности имеет гомотопический тип ортогональной группы O (2).

Соответствующая проблема расширения для диффеоморфизмов многомерных сфер S широко изучалась в 1950-х и 1960-х годах, при этом заметный вклад внесли Рене Том, Джон Милнор и Стивен Смейл. Препятствием для таких расширений является конечная абелева группа Γn, «группа скрученных сфер », определяемая как частное абелевой компоненты . группа группы диффеоморфизмов подгруппой классов, продолжающихся до диффеоморфизмов шара B.

Связность

Для многообразий группа диффеоморфизмов обычно несвязна. Его группа компонентов называется группой классов отображения . В размерности 2 (т. Е. поверхностей ) группа классов отображения - это конечно представленная группа, порожденная скручиванием Дена (Ден, Ликориш, Хэтчер ). Макс Ден и Якоб Нильсен показали, что его можно идентифицировать с группой внешнего автоморфизма фундаментальная группа поверхности.

Уильям Терстон уточнил этот анализ путем классификации элементов группы классов отображения на три типа: эквивалентные периодическому диффеоморфизму; эквивалентные диффеоморфизму, оставляющему инвариантной простую замкнутую кривую; и эквивалентные псевдоаносовским диффеоморфизмам. В случае тора S× S= R/Zгруппа классов отображения - это просто модульная группа SL (2, Z ), и классификация становится классической с точки зрения эллиптические, параболические и гиперболические матрицы. Терстон завершил свою классификацию, заметив, что группа классов отображения естественным образом действует на компактификации пространства Тейхмюллера ; поскольку это увеличенное пространство было гомеоморфно замкнутому шару, стала применима теорема Брауэра о неподвижной точке. Смейл предположил, что если M является ориентированным гладким замкнутым многообразием, компонента тождества группы сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов будет простым. Это было впервые доказано для продукта кругов; это было полностью доказано Терстоном.

Гомотопические типы

• Группа диффеоморфизмов S имеет гомотопический тип подгруппы O (3). Это было доказано Стивом Смейлом.
• Группа диффеоморфизмов тора имеет гомотопический тип своих линейных автоморфизмов : S× S× GL (2, Z).
• Группы диффеоморфизмов ориентируемых поверхностей род g>1 имеют гомотопический тип своих групп классов отображений (т. Е. Компоненты стягиваемы).
• Гомотопический тип групп диффеоморфизмов трехмерных многообразий достаточно хорошо понят через работы Иванова, Хатчера, Габая и Рубинштейна, хотя есть несколько выдающихся открытых случаев (в первую очередь, 3-многообразия с конечными фундаментальными группами ).
• Гомотопическим типом групп диффеоморфизмов n-многообразий для n>3 являются плохо изучены. Например, остается открытым вопрос, имеет ли Diff (S ) более двух компонентов. Однако известно, что при n>6 Diff (через Милнор, Кан и Антонелли) S ) не имеет гомотопического типа конечного CW-комплекса.

гомеоморфизм и диффеоморфизм

в отличие от недиффеоморфного гомеоморфизма мс относительно трудно найти пару гомеоморфных многообразий, которые не являются диффеоморфными. В размерностях 1, 2 и 3 любая пара гладких гомеоморфных многообразий диффеоморфна. В размерности 4 и более найдены примеры гомеоморфных, но не диффеоморфных пар. Первый такой пример был построен Джоном Милнором в размерности 7. Он построил гладкое 7-мерное многообразие (теперь называемое сферой Милнора ), которое гомеоморфно стандартной 7-сфере, но не диффеоморфный ему. Фактически существует 28 классов ориентированных диффеоморфизмов многообразий, гомеоморфных 7-сфере (каждый из них является тотальным пространством расслоения над 4-сферой с 3-сферой как волокно).

Более необычные явления происходят для 4-многообразий. В начале 1980-х комбинация результатов, полученных от Саймона Дональдсона и Майкла Фридмана, привела к открытию экзотики Rs : их несчетное количество попарно недиффеоморфные открытые подмножества R, каждое из которых гомеоморфно R, а также существует несчетное количество попарно недиффеоморфных дифференцируемых многообразий, гомеоморфных R которые не плавно встраиваются в R.

См. также

• этальный морфизм
• Большой диффеоморфизм
• Локальный диффеоморфизм
• Супердиффеоморфизм

Примечания

Ссылки

• Кранц, Стивен Дж.; Парки, Гарольд Р. (2013). Теорема о неявной функции: история, теория и приложения. Современная классика Биркхойзера. Бостон. ISBN 978-1-4614-5980-4.
• Чаудхури, Шьямоли; Кавай, Хикару; Тай, С.-Х. Генри (1987-08-15). «Интегральная формулировка замкнутых цепочек» (PDF). Physical Review D. 36 (4): 1148–1168. Bibcode : 1987PhRvD..36.1148C. DOI : 10.1103 / Physrevd.36.1148. ISSN 0556-2821. PMID 9958280.
• Banyaga, Augustin (1997), Структура классических групп диффеоморфизмов, Математика и ее приложения, 400, Kluwer Academic, ISBN 0-7923-4475-8
• Duren, Peter L. (2004), Harmonic Mappings in the Plane, Cambridge Mathematical Tracts, 156, Cambridge University Press, ISBN 0-521-64121-7
• , Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Хирш, Моррис (1997), Дифференциальная топология, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90148-0
• Kriegl, Andreas; Мичор, Питер (1997), Удобная настройка глобального анализа, Mathematical Surveys and Monographs, 53, Американское математическое общество, ISBN 0-8218-0780-3
• Лесли, Дж. А. (1967), «О дифференциальной структуре группы диффеоморфизмов», Топология, 6(2): 263–271, doi : 10.1016 / 0040- 9383 (67) 90038-9, ISSN 0040-9383, MR 0210147
• Michor, Peter W.; Мамфорд, Дэвид (2013), «Зоопарк групп диффеоморфизмов на R .», Annals of Global Analysis and Geometry, 44 (4): 529–540, arXiv : 1211.5704, doi : 10.1007 / s10455-013-9380-2
• Милнор, Джон У. (2007), Сборник сочинений, том. III, Дифференциальная топология, Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-4230-0
• Омори, Хидеки (1997), Бесконечномерные группы Ли, Переводы математических монографий, 158, Американское математическое общество, ISBN 0-8218-4575-6
• Kneser, Hellmuth (1926), «Lösung der Aufgabe 41.», Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (на немецком языке), 35 (2): 123