Погружение (математика)

редактировать

«Обычная точка» перенаправляется сюда. Для «регулярной точки алгебраического многообразия» см. Особая точка алгебраического многообразия.

В математике, погружение является дифференцируемое отображение между дифференцируемые многообразия которых дифференциал всюду сюръективно. Это основная концепция дифференциальной топологии. Понятие погружения двойственно понятию погружения.

СОДЕРЖАНИЕ

1 Определение
2 Теорема о погружении
3 Примеры
- 3.1 Карты между сферами
- 3.2 Семейства алгебраических многообразий
4 Локальная нормальная форма
5 Топологические погружения многообразий
6 См. Также
7 Примечания
8 ссылки

Определение

Пусть M и N будут дифференцируемые многообразия и быть дифференцируемое отображение между ними. Отображение f является погружением в точку, если его дифференциал ${\ displaystyle f \ двоеточие от M \ до N}$ ${\ displaystyle f \ двоеточие от M \ до N}$ ${\ displaystyle p \ in M}$ $р \ в М$

{\ displaystyle Df_ {p} \ двоеточие T_ {p} M \ to T_ {f (p)} N}

{\ displaystyle Df_ {p} \ двоеточие T_ {p} M \ to T_ {f (p)} N}

является сюръективным линейным отображением. В этом случае р называется регулярной точкой отображения F, в противном случае, р является критической точкой. Точка является регулярным значением из F, если все точки р в прообразе являются регулярными точками. Дифференцируемое отображение f, являющееся субмерсией в каждой точке, называется субмерсией. Эквивалентно, F является погружение в воду, если ее дифференциал имеет постоянный ранг, равный размерности N. ${\ displaystyle q \ in N}$ ${\ displaystyle q \ in N}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} (q)}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} (q)}$ ${\ displaystyle p \ in M}$ $р \ в М$ ${\ displaystyle Df_ {p}}$ ${\ displaystyle Df_ {p}}$

Слово предупреждения: некоторые авторы используют термин критическую точку для описания точки, где ранг из матрицы Якоби из е в р не является максимальным. В самом деле, это более полезное понятие в теории особенностей. Если размерность M больше или равна размерности N, то эти два понятия критической точки совпадают. Но если размерность M меньше размерности N, все точки являются критическими в соответствии с приведенным выше определением (дифференциал не может быть сюръективным), но ранг якобиана может быть максимальным (если он равен dim M). Приведенное выше определение используется чаще; например, в формулировке теоремы Сарда.

Теорема о погружении

Учитывая субмерсию между гладким многообразием размерности и, для каждого есть сюръективные графики по всему, и по всему, таким образом, что ограничивается до погружения в воду, которые, когда выраженная в координатах, как, становится обычной ортогональной проекция. В качестве приложения для каждого обозначенного соответствующего слоя, можно снабдить структурой гладкого подмногообразия, размерность которого равна разности размеров и. ${\ displaystyle f \ двоеточие от M \ до N}$ $f \ двоеточие M \ to N$ ${\ displaystyle m}$ $м$ ${\ displaystyle n}$ $п$ ${\ displaystyle x \ in M}$ $х \ в М$ ${\ displaystyle \ phi: U \ to \ mathbb {R} ^ {m}}$ ${\ displaystyle \ phi: U \ to \ mathbb {R} ^ {m}}$ ${\ displaystyle M}$ $M$ ${\ displaystyle x}$ $Икс$ ${\ displaystyle \ psi: V \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ psi: V \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle N}$ $N$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ ${\ displaystyle f}$ $ж$ ${\ displaystyle f \ двоеточие от U \ до V}$ ${\ displaystyle f \ двоеточие от U \ до V}$ ${\ displaystyle \ psi \ circ f \ circ \ phi ^ {- 1}: \ mathbb {R} ^ {m} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ psi \ circ f \ circ \ phi ^ {- 1}: \ mathbb {R} ^ {m} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle p \ in N}$ $p \ in N$ ${\ displaystyle f}$ $ж$ ${\ Displaystyle M_ {p} = е ^ {- 1} (\ {p \})}$ ${\ Displaystyle M_ {p} = е ^ {- 1} (\ {p \})}$ ${\ displaystyle M}$ $M$ ${\ displaystyle N}$ $N$ ${\ displaystyle M}$ $M$

Например, рассмотрим задается матрица якобиан ${\ Displaystyle е \ двоеточие \ mathbb {R} ^ {3} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle е \ двоеточие \ mathbb {R} ^ {3} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f (x, y, z) = x ^ {4} + y ^ {4} + z ^ {4}.}$ ${\ displaystyle f (x, y, z) = x ^ {4} + y ^ {4} + z ^ {4}.}$

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} amp; {\ frac {\ partial f} {\ partial y}} и {\ frac {\ partial f} {\ partial z}} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 4x ^ {3} amp; 4y ^ {3} amp; 4z ^ {3} \ end {bmatrix}}.}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} amp; {\ frac {\ partial f} {\ partial y}} и {\ frac {\ partial f} {\ partial z}} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 4x ^ {3} amp; 4y ^ {3} amp; 4z ^ {3} \ end {bmatrix}}.}

Он имеет максимальный ранг во всех точках, кроме. Также волокна ${\ displaystyle (0,0,0)}$ $(0,0,0)$

{\ displaystyle f ^ {- 1} (\ {t \}) ​​= \ left \ {(a, b, c) \ in \ mathbb {R} ^ {3}: a ^ {4} + b ^ {4 } + c ^ {4} = t \ right \}}

{\ displaystyle f ^ {- 1} (\ {t \}) ​​= \ left \ {(a, b, c) \ in \ mathbb {R} ^ {3}: a ^ {4} + b ^ {4 } + c ^ {4} = t \ right \}}

являются опорожнить для и равна в момент, когда. Следовательно, у нас есть только гладкая субмерсия, а подмножества являются двумерными гладкими многообразиями для. ${\ displaystyle t lt;0}$ $т lt;0$ ${\ displaystyle t = 0}$ $t = 0$ ${\ Displaystyle е \ двоеточие \ mathbb {R} ^ {3} \ setminus \ {(0,0,0) \} \ to \ mathbb {R} _ {gt; 0},}$ ${\ Displaystyle е \ двоеточие \ mathbb {R} ^ {3} \ setminus \ {(0,0,0) \} \ to \ mathbb {R} _ {gt; 0},}$ ${\ displaystyle M_ {t} = \ left \ {(a, b, c) \ in \ mathbb {R} ^ {3}: a ^ {4} + b ^ {4} + c ^ {4} = t \верно\}}$ ${\ displaystyle M_ {t} = \ left \ {(a, b, c) \ in \ mathbb {R} ^ {3}: a ^ {4} + b ^ {4} + c ^ {4} = t \верно\}}$ ${\ displaystyle tgt; 0}$ $tgt; 0$

Примеры

Любая проекция ${\ displaystyle \ pi \ двоеточие \ mathbb {R} ^ {m + n} \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {n} \ subset \ mathbb {R} ^ {m + n}}$ ${\ displaystyle \ pi \ двоеточие \ mathbb {R} ^ {m + n} \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {n} \ subset \ mathbb {R} ^ {m + n}}$
Локальные диффеоморфизмы
Римановы погружения
Проекция в гладком векторном расслоении или более общем гладком расслоении. Сюръективность дифференциала - необходимое условие существования локальной тривиализации.

Карты между сферами

Один большой класс примеров погружений - это погружения между сферами более высокого измерения, такими как

{\ displaystyle f: S ^ {n + k} \ к S ^ {k}}

{\ displaystyle f: S ^ {n + k} \ к S ^ {k}}

волокна которого имеют размер. Это связано с тем, что слои (прообразы элементов) представляют собой гладкие многообразия размерности. Тогда, если мы пойдем по пути ${\ displaystyle n}$ $п$ ${\ displaystyle p \ in S ^ {k}}$ ${\ displaystyle p \ in S ^ {k}}$ ${\ displaystyle n}$ $п$

{\ displaystyle \ gamma: I \ to S ^ {k}}

{\ displaystyle \ gamma: I \ to S ^ {k}}

и возьми откат

{\ displaystyle {\ begin {matrix} M_ {I} amp; \ to amp; S ^ {n + k} \\\ downarrow amp;amp; \ downarrow f \\ I amp; \ xrightarrow {\ gamma} amp; S ^ {k} \ end {matrix} }}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} M_ {I} amp; \ to amp; S ^ {n + k} \\\ downarrow amp;amp; \ downarrow f \\ I amp; \ xrightarrow {\ gamma} amp; S ^ {k} \ end {matrix} }}

мы получаем пример особого вида бордизма, называемого рамочным бордизмом. Фактически, группы оснащенных кобордизмов тесно связаны со стабильными гомотопическими группами. ${\ displaystyle \ Omega _ {n} ^ {fr}}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {n} ^ {fr}}$

Семейства алгебраических многообразий

Другой большой класс субмерсий - это семейства алгебраических многообразий, слои которых являются гладкими алгебраическими многообразиями. Если мы рассмотрим многообразия, лежащие в основе этих многообразий, мы получим гладкие многообразия. Например, семейство Weierstauss из эллиптических кривых является широко изученным погружением в воду, потому что она включает в себя множество технических сложностей, используемых для демонстрации более сложной теории, такие как пересечение гомология и извращенных пучки. Эту семью дает ${\ displaystyle \ pi: {\ mathfrak {X}} \ to S}$ ${\ displaystyle \ pi: {\ mathfrak {X}} \ to S}$ ${\ displaystyle \ pi: {\ mathcal {W}} \ to \ mathbb {A} ^ {1}}$ ${\ displaystyle \ pi: {\ mathcal {W}} \ to \ mathbb {A} ^ {1}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {W}} = \ {(t, x, y) \ in \ mathbb {A} ^ {1} \ times \ mathbb {A} ^ {2}: y ^ {2} = x (x-1) (xt) \}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {W}} = \ {(t, x, y) \ in \ mathbb {A} ^ {1} \ times \ mathbb {A} ^ {2}: y ^ {2} = x (x-1) (xt) \}}$

где - аффинная линия, - аффинная плоскость. Поскольку мы рассматриваем комплексные многообразия, это эквивалентно пространства комплексной прямой и комплексной плоскости. Обратите внимание, что на самом деле мы должны удалить точки, потому что есть особенности (поскольку есть двойной корень). ${\ displaystyle \ mathbb {A} ^ {1}}$ ${\ mathbb {A}} ^ {1}$ ${\ displaystyle \ mathbb {A} ^ {2}}$ ${\ mathbb {A}} ^ {2}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C}, \ mathbb {C} ^ {2}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C}, \ mathbb {C} ^ {2}}$ ${\ displaystyle t = 0,1}$ ${\ displaystyle t = 0,1}$

Местная нормальная форма

Если F: М → Н является погружение в воду на р и ф ( р) = д ∈ N, то существует открытая окрестность U из р в М, открытая окрестность V из д в N, и локальные координаты ( х 1,..., x m) в p и ( x 1,…, x n) в q, такие что f ( U) = V, и отображение f в этих локальных координатах является стандартной проекцией

{\ displaystyle f (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}, x_ {n + 1}, \ ldots, x_ {m}) = (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}).}

f (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}, x _ {{n + 1}}, \ ldots, x_ {m}) = (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}).

Отсюда следует, что полный прообраз f ⁻¹ ( q) в M регулярного значения q в N при дифференцируемом отображении f: M → N либо пуст, либо является дифференцируемым многообразием размерности dim M - dim N, возможно, несвязным. Это содержание теоремы о регулярном значении (также известной как теорема о погружении). В частности, заключение верно для всех q в N, если отображение f является субмерсией.

Топологические многообразия субмерсий

Субмерсии также хорошо определены для общих топологических многообразий. Субмерсия топологического многообразия - это непрерывная сюръекция f : M → N такая, что для всех p в M для некоторых непрерывных карт ψ в p и φ в f (p) отображение ψ ⁻¹ ∘ f ∘ φ равно проекции отображение из R ^m в R ⁿ, где m = dim ( M) ≥ n = dim ( N).

Смотрите также

Теорема Эресмана о расслоении

Заметки

Рекомендации

Арнольд, Владимир И. ; Гусейн-Заде, Сабир М. ; Варченко, Александр Н. (1985). Особенности дифференцируемых отображений: Том 1. Birkhäuser. ISBN 0-8176-3187-9.
Брюс, Джеймс У.; Гиблин, Питер Дж. (1984). Кривые и особенности. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-42999-4. Руководство по ремонту 0774048.
Крампин, Майкл; Пирани, Феликс Арнольд Эдвард (1994). Применимая дифференциальная геометрия. Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-23190-9.
ду Карму, Манфредо Пердигао (1994). Риманова геометрия. ISBN 978-0-8176-3490-2.
Франкель, Теодор (1997). Геометрия физики. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-38753-1. Руководство по ремонту 1481707.
Галло, Сильвестр; Хулин, Доминик; Лафонтен, Жак (2004). Риманова геометрия (3-е изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-20493-0.
Косинский, Антони Альберт (2007) [1993]. Дифференциальные многообразия. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-46244-8.
Ланг, Серж (1999). Основы дифференциальной геометрии. Тексты для выпускников по математике. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0-387-98593-0.
Штернберг, Шломо Цви (2012). Кривизна в математике и физике. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-47855-5.