Сюръективная функция

редактировать

«Онто» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о других значениях, см. Викисловарь: on.

Функция
х ↦ е ( х)
Примеры доменов и кодоменов

Классы / свойства
Постоянный Личность Линейный Полиномиальный Рациональный Алгебраический Аналитический Гладкий; плавный Непрерывный Измеримый Инъективный Сюръективный Биективный
Конструкции
Ограничение Состав λ Обратный
Обобщения
Частичное Многозначный Скрытый
v т е

В математике, A Сюръекция (также известная как сюръекции, или на функцию) является функция F, которая отображает элемент х к каждому элементу у ; то есть для каждого y существует такой x, что f ( x) = y. Другими словами, каждый элемент функции в области значений является изображение по меньшей мере одного элемента своей области. Не требуется, чтобы x был уникальным ; функцияе может отображать один или несколько элементов X к одному элементу из Y.

Неинъективная сюръективная функция (сюръекция, а не биекция)
Инъективная сюръективная функция (биекция)
Инъективная несюръективная функция (инъекция, а не биекция)
Неинъективная несюръективная функция (также не биекция)

Термин сюръективный и связанные с ним термины инъективный и биективный были введены Николя Бурбаки, группой преимущественно французских математиков 20-го века, которые под этим псевдонимом написали серию книг, представляющих изложение современной продвинутой математики, начиная с 1935 года. Слово sur означает " сверх" или " выше" и относится к тому факту, что изображение области сюръективной функции полностью покрывает область определения функции.

Любая функция вызывает сюръекцию, ограничивая область своей области до образа ее области. Каждая сюръективная функция имеет правый обратный, и каждая функция с правым обратным обязательно является сюръекцией. Состав сюръективных функций всегда сюръективно. Любую функцию можно разложить на сюръекцию и инъекцию.

СОДЕРЖАНИЕ

1 Определение
2 Примеры
3 свойства
- 3.1 Сюръекции как обратимые справа функции
- 3.2 Сюръекции как эпиморфизмы
- 3.3 Сюрприз как бинарные отношения
- 3.4 Мощность области сюръекции
- 3.5 Состав и разложение
- 3.6 Индуцированная сюръекция и индуцированная биекция
4 См. Также
5 ссылки
6 Дальнейшее чтение

Определение

Дополнительная информация об обозначениях: Функция (математика) § Обозначения

Сюръекция является функцией которого изображения равно его области значений. Эквивалентно, функция с доменом и codomain сюръективна, если для каждого in существует хотя бы один in with. Вырезки иногда обозначаются двуглавой стрелкой вправо ( U + 21A0 ↠ ДВУХГОЛОВАЯ СТРЕЛКА ВПРАВО), как в. ${\ displaystyle f}$ $ж$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle Y}$ $Y$ ${\ displaystyle y}$ $у$ ${\ displaystyle Y}$ $Y$ ${\ displaystyle x}$ $Икс$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ Displaystyle е (х) = у}$ $f (x) = y$ ${\ Displaystyle f \ двоеточие X \ twoheadrightarrow Y}$ ${\ Displaystyle f \ двоеточие X \ twoheadrightarrow Y}$

Символично,

Если, то называется сюръективным, если

{\ displaystyle f \ двоеточие X \ rightarrow Y}

е \ двоеточие X \ стрелка вправо Y

{\ displaystyle f}

ж

{\ Displaystyle \ forall y \ in Y, \, \ существует x \ in X, \; \; f (x) = y}

\ forall y \ in Y, \, \ существует x \ in X, \; \; f (x) = y

Примеры

Не-Сюръекция из области X в кообласть Y. Меньший желтый овал внутри Y - это изображение (также называемое диапазоном ) f. Эта функция не является сюръективной, потому что изображение не заполняет весь кодомен. Другими словами, Y окрашивается в два этапа: во-первых, для каждого x в X точка f ( x) окрашивается в желтый цвет; Во-вторых, все остальные точки Y, кроме желтых, окрашены в синий цвет. Функция f была бы сюръективной, только если бы не было синих точек.

Для любого множества X, то функция тождества идентификатор X на X сюръективно.
Функция f : Z → {0, 1}, определяемая формулой f ( n) = n mod 2 (то есть, четные целые числа отображаются в 0, а нечетные целые числа в 1), является сюръективной.
Функция f : R → R, определяемая формулой f ( x) = 2 x + 1, является сюръективной (и даже биективной ), потому что для каждого действительного числа y у нас есть x такое, что f ( x) = y: такой подходящий x равно ( y - 1) / 2.
Функция f : R → R, определяемая формулой f ( x) = x ³ - 3 x, является сюръективной, потому что прообраз любого действительного числа y является множеством решений кубического полиномиального уравнения x ³ - 3 x - y = 0, и каждый кубический многочлен с действительными коэффициентами имеет хотя бы один действительный корень. Однако эта функция не является инъективной (и, следовательно, не биективной ), поскольку, например, прообраз y = 2 равен { x = −1, x = 2}. (Фактически, прообраз этой функции для каждого y, −2 ≤ y ≤ 2 имеет более одного элемента.)
Функция g : R → R, определенная формулой g ( x) = x ², не является сюръективной, поскольку не существует действительного числа x такого, что x ² = −1. Однако функция g : R → R ≥0, определенная формулой g ( x) = x ² (с ограниченной областью), является сюръективной, поскольку для каждого y в неотрицательной вещественной области Y существует по крайней мере один x в действительной области X такое, что x ² = y.
Натуральный логарифм функция LN: (0, + ∞) → R является сюръективным и даже биективен (отображение из множества положительных действительных чисел на множестве всех действительных чисел). Его обратная, экспоненциальная функция, если она определена с набором действительных чисел в качестве области определения, не является сюръективным (поскольку ее диапазон - это набор положительных действительных чисел).
Матрица экспоненциальный не сюръективен когда рассматриваются как отображение из пространства все п х п матриц к себе. Однако обычно его определяют как отображение пространства всех матриц размера n × n в общую линейную группу степени n (то есть группу всех обратимых матриц размера n × n). Согласно этому определению, матричная экспонента сюръективна для комплексных матриц, но все же не сюръективна для вещественных матриц.
Проекция из декартова произведения × B к одному из его факторов сюръективна, если другой фактор не пуст.
В трехмерной видеоигре векторы проецируются на плоский двумерный экран с помощью сюръективной функции.

Интерпретация сюръективных функций в декартовой плоскости, определяемая отображением f : X → Y, где y = f ( x), X = область определения функции, Y = диапазон функции. Каждый элемент в диапазоне отображается на элемент в домене по правилу f. Может быть несколько элементов домена, которые соответствуют одному и тому же элементу диапазона. То есть каждый y в Y отображается из элемента x в X, более одного x может отображаться в один и тот же y. Слева: показана только одна область, что делает f сюръективным. Справа: показаны две возможные области X 1 и X 2.

Несюръективные функции на декартовой плоскости. Хотя некоторые части функции являются сюръективными, где элементы y в Y действительно имеют значение x в X такое, что y = f ( x), некоторые части - нет. Слева: есть y 0 в Y, но нет x 0 в X, такого что y 0 = f ( x 0). Справа: есть y 1, y 2 и y 3 в Y, но нет x 1, x 2 и x 3 в X таких, что y 1 = f ( x 1), y 2 = f ( x 2), и y 3 = f ( x 3).

Характеристики

Функция биективна тогда и только тогда, когда она одновременно сюръективна и инъективна.

Если (как это часто делается) функция отождествляется со своим графиком, то сюръективность не является свойством самой функции, а скорее свойством отображения. Это функция вместе с ее содоменом. В отличие от инъективности, сюръективность не может быть прочитана только по графику функции.

Сюрприз как правые обратимые функции

Функция g : Y → X называется правым обратным к функции f : X → Y, если f ( g ( y)) = y для любого y в Y ( g может быть отменено функцией f). Другими словами, g является правым обратным к f, если композиция f o g из g и f в этом порядке является тождественной функцией в области Y для g. Функция г не должно быть полным обратным из F, так как композиция в другом порядке, г о е, не может быть тождественной функции на области X из F. Другими словами, f может отменить или " перевернуть " g, но не обязательно с его помощью.

Каждая функция с правым обратным обязательно является сюръекцией. Утверждение, что каждая сюръективная функция имеет правый обратный, эквивалентно аксиоме выбора.

Если F : X → Y сюръективно и В представляет собой подмножество из Y, то F ( F ^-1 ( B)) = B. Таким образом, B может быть восстановлен по его прообразу f ⁻¹ ( B).

Например, в первой иллюстрации выше, есть некоторая функция г такая, что г ( С) = 4. Существует также некоторая функция F такая, что F (4) = C. Неважно, что g ( C) также может равняться 3; имеет значение только то, что f "переворачивает" g.

Сюръективная композиция: первая функция не обязательно должна быть сюръективной.
Еще одна сюръективная функция. (Это, как оказалось, биекция )
Не -surjective функции. (Это инъекция )

Сюрпризы как эпиморфизмы

Функция f : X → Y сюръективна тогда и только тогда, когда она сокращается справа : для любых функций g, h : Y → Z, всякий раз, когда g o f = h o f, то g = h. Это свойство формулируется в терминах функций и их состава и могут быть обобщены на более общее понятие морфизмов в виде категории и их состав. Морфизмы с правым сокращением называются эпиморфизмами. В частности, сюръективные функции - это в точности эпиморфизмы в категории множеств. Приставка epi образована от греческого предлога πί, означающего над, выше, на.

Любой морфизм с правым обратным является эпиморфизмом, но обратное, вообще говоря, неверно. Правый обратный г морфизм F называется разделом из F. Морфизм с правым обратным называется расщепленным эпиморфизмом.

Сюрпризы как бинарные отношения

Любую функцию с доменом X и codomain Y можно рассматривать как полное слева и уникальное справа двоичное отношение между X и Y, отождествляя его с его графиком функций. Сюръективная функция с областью определения X и областью области Y является тогда бинарным отношением между X и Y, которое уникально справа и является как полным слева, так и полным справа.

Мощность области сюръекции

Мощность в области сюръективного функции больше или равна мощности его значений: Если F : X → Y является Сюръекция, то X имеет, по меньшей мере столько же элементов, что и Y, в смысле кардинальных чисел. (Доказательство апеллирует к выбранной аксиоме, чтобы показать, что функция g : Y → X, удовлетворяющая f ( g ( y)) = y для всех y в Y, существует. Легко видеть, что g инъективна, поэтому формальное определение | Y | ≤ | X | выполняется.)

В частности, если оба Х и Y имеет конечные с тем же числом элементов, то F : X → Y сюръективно тогда и только тогда, когда F является инъективным.

Даны два множества X и Y, обозначение X ≤ ^* Y используется, чтобы сказать, что либо X пусто или что сюръекция из Y на X. Используя аксиому выбора, можно показать, что из X ≤ ^* Y и Y ≤ ^* X вместе следует, что | Y | = | X | - вариант теоремы Шредера – Бернштейна.

Состав и разложение

Состав сюръективных функций всегда сюръективен: Если е и г оба сюръективны и кообласть г равна области е, то е о г сюрьективна. И наоборот, если f o g сюръективен, то f сюръективен (но g, функция, применяемая первой, не обязательно должна быть). Эти свойства являются обобщением сюръекций в категории множеств на любые эпиморфизмы в любой категории.

Любую функцию можно разложить на сюръекцию и инъекцию : для любой функции h : X → Z существуют сюръекция f : X → Y и инъекция g : Y → Z такие, что h = g o f. Чтобы убедиться в этом, определим Y как набор прообразов h ⁻¹ ( z), где z находится в h ( X). Эти прообразы являются непересекающимися и разбиение X. Затем f переносит каждый x в элемент Y, который его содержит, а g переносит каждый элемент Y в точку в Z, в которую h отправляет свои точки. Тогда f сюръективен, поскольку это отображение проекции, а g инъективен по определению.

Индуцированная сюръекция и индуцированная биекция

Любая функция вызывает сюръекцию, ограничивая свой домен своим диапазоном. Любая сюръективная функция индуцирует биекцию, определенную на частном ее предметной области, путем сворачивания всех сопоставлений аргументов в заданное фиксированное изображение. Более точно, каждая сюръекция f : A → B может быть факторизована как проекция с последующей биекцией следующим образом. Пусть / ~ быть на классы эквивалентности из А под следующим отношением эквивалентности : х ~ Y тогда и только тогда, когда F ( х) = е ( у). Эквивалентно, A / ~ - это множество всех прообразов при f. Пусть P (~): A → A / ~ - отображение проекции, которое переводит каждый x из A в его класс эквивалентности [ x ] ~, и пусть f P : A / ~ → B - корректно определенная функция, задаваемая f P ([ x ] ~) = f ( x). Тогда f = f P o P (~).

Смотрите также

использованная литература

дальнейшее чтение

Бурбаки, Н. (2004) [1968]. Теория множеств. Элементы математики. 1. Springer. DOI : 10.1007 / 978-3-642-59309-3. ISBN 978-3-540-22525-6. LCCN 2004110815.