Матрица экспоненциальная

В математике, то матрица экспоненциальный является матрица - функция на квадратных матрицах, аналогичных обычную экспоненциальную функцию. Он используется для решения систем линейных дифференциальных уравнений. В теории групп Ли матричная экспонента устанавливает связь между матричной алгеброй Ли и соответствующей группой Ли.

Пусть X - вещественная или комплексная матрица размера n × n. Экспонента X, обозначаемая e ^X или exp ( X), представляет собой матрицу n × n, заданную степенным рядом

${\ displaystyle e ^ {X} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {1 \ over k!} X ^ {k}}$

где определяется как единичная матрица с теми же размерами, что и. ${\ displaystyle X ^ {0}}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle X}$

Вышеупомянутый ряд всегда сходится, поэтому экспонента X хорошо определена. Если Х представляет собой матрицу размером 1 × 1 матрица экспонентой X является 1 × 1 матрица, один элемент является обычным экспоненциальным из одного элемента из X.

СОДЕРЖАНИЕ

• 1 Недвижимость
  • 1.1 Элементарные свойства
  • 1.2 Системы линейных дифференциальных уравнений
  • 1.3 Определитель матричной экспоненты
  • 1.4 Вещественные симметричные матрицы
• 2 Показатель сумм
  • 2.1 Формула произведения Ли
  • 2.2 Формула Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа
• 3 Неравенства для экспонент эрмитовых матриц
• 4 Экспоненциальное отображение
• 5 Вычисление матричной экспоненты
  • 5.1 Диагонализируемый случай
  • 5.2 Пример: диагонализуемость
  • 5.3 Нильпотентный случай
  • 5.4 Общий случай
    • 5.4.1 Использование разложения Жордана – Шевалле
    • 5.4.2 Использование канонической формы Жордана
  • 5.5 Проекционный футляр
  • 5.6 Случай вращения
• 6 Оценка серии Laurent
• 7 Оценка путем реализации формулы Сильвестра
• 8 Иллюстрации
• 9 приложений
  • 9.1 Линейные дифференциальные уравнения
    • 9.1.1 Пример (однородный)
    • 9.1.2 Пример (неоднородный)
  • 9.2 Обобщение неоднородного случая: вариация параметров
• 10 Матрично-матричные экспоненты
• 11 См. Также
• 12 Ссылки
• 13 Внешние ссылки

Характеристики

Элементарные свойства

Пусть X и Y - комплексные матрицы размера n × n, а a и b - произвольные комплексные числа. Обозначим единичную матрицу размера n × n через I, а нулевую матрицу - через 0. Матричная экспонента удовлетворяет следующим свойствам.

Начнем со свойств, которые являются непосредственными следствиями определения в виде степенного ряда:

• е ⁰ = я
• ехр ( Х ^Т) = (ехр Х) ^Т, где Х ^Т обозначает транспонирование из X.
• ехр ( Х ^*) = (ехр Х) ^*, где Х ^* обозначает сопряженное транспонирование из X.
• Если Y является обратимым, то е ^{YXY -1} = Е. ^X Y ^-1.

Следующий ключевой результат:

• Если тогда.${\ displaystyle XY = YX}$${\ displaystyle e ^ {X} e ^ {Y} = e ^ {X + Y}}$

Доказательство этого тождества такое же, как и стандартный аргумент степенного ряда для соответствующего тождества экспоненты действительных чисел. Другими словами, пока и коммутируют${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$, для аргумента не имеет значения, являются ли и числами или матрицами. Важно отметить, что это тождество обычно не выполняется, если и не коммутируют (см. Неравенство Голдена-Томпсона ниже). ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$

Последствия предыдущего тождества следующие:

• е ^aX e ^bX = e ^{( a + b) X}
• е ^Х е ^{- Х} = I

Используя приведенные выше результаты, мы можем легко проверить следующие утверждения. Если X является симметричным, то е ^X также симметричны, и если X является кососимметричен то е ^X является ортогональным. Если X является эрмитовым, то е ^X также эрмитова, и если X является косоэрмиты то е ^X является унитарными.

Наконец, преобразование Лапласа матричных экспонент составляет резольвенту,

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- ts} e ^ {tX} \, dt = (sI-X) ^ {- 1}}$

для всех достаточно больших положительных значений s.

Системы линейных дифференциальных уравнений

Основная статья: Матричное дифференциальное уравнение

Одна из причин важности матричной экспоненты заключается в том, что ее можно использовать для решения систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Решение

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} y (t) = Ay (t), \ quad y (0) = y_ {0},}$

где A - постоянная матрица, задается формулой

${\ displaystyle y (t) = e ^ {At} y_ {0}. \,}$

Матричную экспоненту также можно использовать для решения неоднородного уравнения

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} y (t) = Ay (t) + z (t), \ quad y (0) = y_ {0}.}$

Примеры см. В разделе о приложениях ниже.

Для дифференциальных уравнений вида не существует решения в замкнутой форме

${\ Displaystyle {\ гидроразрыва {d} {dt}} y (t) = A (t) \, y (t), \ quad y (0) = y_ {0},}$

где A не является константой, но ряд Магнуса дает решение в виде бесконечной суммы.

Определитель матричной экспоненты

По формуле Якоби для любой комплексной квадратной матрицы выполняется следующее тождество следа :

${\ displaystyle \ det \ left (e ^ {A} \ right) = e ^ {\ operatorname {tr} (A)} ~.}$

Эта формула не только предоставляет вычислительный инструмент, но и демонстрирует, что экспоненциальная матрица всегда является обратимой матрицей. Это следует из того факта, что правая часть приведенного выше уравнения всегда отлична от нуля, и поэтому det ( e ^A) ≠ 0, что означает, что e ^A должна быть обратимой.

В вещественном случае формула также показывает отображение

${\ displaystyle \ exp \ двоеточие M_ {n} (\ mathbb {R}) \ to \ mathrm {GL} (n, \ mathbb {R})}$

не быть сюръективным, в отличие от сложного случая, упомянутого ранее. Это следует из того, что для вещественнозначных матриц правая часть формулы всегда положительна, а существуют обратимые матрицы с отрицательным определителем.

Действительные симметричные матрицы

Матричная экспонента вещественной симметричной матрицы положительно определена. Позвольте быть действительной симметричной матрицей n × n и вектор-столбцом. Используя элементарные свойства матричной экспоненты и симметричных матриц, имеем: ${\ displaystyle S}$${\ Displaystyle х \ в \ mathbb {R} ^ {п}}$

${\ displaystyle x ^ {T} e ^ {S} x = x ^ {T} e ^ {S / 2} e ^ {S / 2} x = x ^ {T} (e ^ {S / 2}) ^ {T} e ^ {S / 2} x = (e ^ {S / 2} x) ^ {T} e ^ {S / 2} x = \ lVert e ^ {S / 2} x \ rVert _ { 2} ^ {2} \ geq 0}$.

Поскольку является обратимым, равенство выполняется только для, а мы имеем для всех ненулевых. Следовательно, положительно определен. ${\ displaystyle e ^ {S / 2}}$${\ displaystyle x = 0}$${\ displaystyle x ^ {T} e ^ {S} xgt; 0}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle e ^ {S}}$

Экспонента сумм

Для любых действительных чисел (скаляров) x и y мы знаем, что экспоненциальная функция удовлетворяет условию e ^{x + y} = e ^x e ^y. То же верно и для коммутирующих матриц. Если матрицы X и Y коммутируют (что означает, что XY = YX), то,

${\ displaystyle e ^ {X + Y} = e ^ {X} e ^ {Y}.}$

Однако для матриц, которые не коммутируют, указанное выше равенство не обязательно выполняется.

Формула произведения Ли

Даже если X и Y не коммутируют, экспоненту e ^{X + Y} можно вычислить по формуле произведения Ли

${\ displaystyle e ^ {X + Y} = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left (e ^ {{\ frac {1} {n}} X} e ^ {{\ frac {1} {n) }} Y} \ right) ^ {n}}$.

Формула Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа.

С другой стороны, если X и Y - достаточно малые (но не обязательно коммутирующие) матрицы, мы имеем

${\ displaystyle e ^ {X} e ^ {Y} = e ^ {Z},}$

где Z может быть вычислена в виде ряда коммутаторов из X и Y с помощью формулы Бейкера-Кемпбелла-Хаусдорфа :

${\ displaystyle Z = X + Y + {\ frac {1} {2}} [X, Y] + {\ frac {1} {12}} [X, [X, Y]] + \ cdots}$,

где остальные члены все итерация коммутаторы с участием X и Y. Если X и Y коммутируют, то все коммутаторы равны нулю, и мы имеем просто Z = X + Y.

Неравенства для экспонент эрмитовых матриц

Основная статья: неравенство Голдена – Томпсона

Для эрмитовых матриц есть известная теорема, связанная со следом матричных экспонент.

Если A и B эрмитовы матрицы, то

${\ displaystyle \ operatorname {tr} \ exp (A + B) \ leq \ operatorname {tr} \ left [\ exp (A) \ exp (B) \ right].}$

Нет требования коммутативности. Существуют контрпримеры, показывающие, что неравенство Голдена – Томпсона нельзя распространить на три матрицы - и, в любом случае, tr (exp ( A) exp ( B) exp ( C)) не гарантируется, что будет действительным для эрмитов A, B, С. Однако Либ доказал, что его можно обобщить на три матрицы, если мы изменим выражение следующим образом

${\ displaystyle \ operatorname {tr} \ exp (A + B + C) \ leq \ int _ {0} ^ {\ infty} \ mathrm {d} t \, \ operatorname {tr} \ left [e ^ {A } \ left (e ^ {- B} + t \ right) ^ {- 1} e ^ {C} \ left (e ^ {- B} + t \ right) ^ {- 1} \ right].}$

Экспоненциальная карта

Экспонента матрицы всегда является обратимой матрицей. Обратная матрица е ^X задается е ^{- X}. Это аналогично тому, что экспонента комплексного числа всегда отлична от нуля. Тогда матричная экспонента дает нам карту

${\ displaystyle \ exp \ двоеточие M_ {n} (\ mathbb {C}) \ to \ mathrm {GL} (n, \ mathbb {C})}$

из пространства всех матриц размера n × n в общую линейную группу степени n, т. е. группу всех обратимых матриц размера n × n. Фактически, это отображение сюръективно, что означает, что любую обратимую матрицу можно записать как экспоненту какой-либо другой матрицы (для этого важно рассматривать поле комплексных чисел C, а не R).

Для любых двух матриц X и Y,

${\ displaystyle \ left \ | е ^ {X + Y} -e ^ {X} \ right \ | \ leq \ | Y \ | e ^ {\ | X \ |} e ^ {\ | Y \ |}, }$

где ‖ ‖ обозначает произвольную матричную норму. Отсюда следует, что экспоненциальное отображение непрерывно и липшицево на компактных подмножествах M n ( C).

Карта

${\ displaystyle t \ mapsto e ^ {tX}, \ qquad t \ in \ mathbb {R}}$

определяет гладкую кривую в общей линейной группе, которая проходит через единичный элемент при t = 0.

Фактически, это дает однопараметрическую подгруппу общей линейной группы, поскольку

${\ displaystyle e ^ {tX} e ^ {sX} = e ^ {(t + s) X}.}$

Производная этой кривой (или касательный вектор ) в точке t определяется выражением

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} e ^ {tX} = Xe ^ {tX} = e ^ {tX} X.}$

( 1)

Производная при t = 0 - это просто матрица X, то есть X порождает эту однопараметрическую подгруппу.

В более общем смысле, для общего показателя, зависящего от t, X ( t),

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} e ^ {X (t)} = \ int _ {0} ^ {1} e ^ {\ alpha X (t)} {\ frac {dX (t) } {dt}} e ^ {(1- \ alpha) X (t)} \, d \ alpha ~.}$

Вынося указанное выше выражение e ^{X ( t)} за знак интеграла и разлагая подынтегральное выражение с помощью леммы Адамара, можно получить следующее полезное выражение для производной матричной экспоненты:

${\ displaystyle \ left ({\ frac {d} {dt}} e ^ {X (t)} \ right) e ^ {- X (t)} = {\ frac {d} {dt}} X (t) + {\ frac {1} {2!}} \ left [X (t), {\ frac {d} {dt}} X (t) \ right] + {\ frac {1} {3!}} \ left [X (t), \ left [X (t), {\ frac {d} {dt}} X (t) \ right] \ right] + \ cdots}$

Коэффициенты в приведенном выше выражении отличаются от коэффициентов экспоненты. Для закрытой формы см производную экспоненциального отображения.

Вычисление матричной экспоненты

Найти надежные и точные методы для вычисления экспоненты матрицы сложно, и это все еще является темой значительных текущих исследований в области математики и численного анализа. Matlab, GNU Octave и SciPy используют аппроксимацию Паде. В этом разделе мы обсуждаем методы, которые в принципе применимы к любой матрице и которые могут быть реализованы явно для небольших матриц. В следующих разделах описаны методы, подходящие для численной оценки на больших матрицах.

Диагонализируемый корпус

Если матрица диагональная :

${\ displaystyle A = {\ begin {bmatrix} a_ {1} amp; 0 amp; \ cdots amp; 0 \\ 0 amp; a_ {2} amp; \ cdots amp; 0 \\\ vdots amp; \ vdots amp; \ ddots amp; \ vdots \\ 0 amp; 0 amp; \ cdots amp; a_ {n } \ end {bmatrix}}}$,

тогда его экспоненту можно получить возведением в степень каждой записи на главной диагонали:

${\ displaystyle e ^ {A} = {\ begin {bmatrix} e ^ {a_ {1}} amp; 0 amp; \ cdots amp; 0 \\ 0 amp; e ^ {a_ {2}} amp; \ cdots amp; 0 \\\ vdots amp; \ vdots amp; \ ddots amp; \ vdots \\ 0 amp; 0 amp; \ cdots amp; e ^ {a_ {n}} \ end {bmatrix}}}$.

Этот результат также позволяет возвести в степень диагонализуемые матрицы. Если

А = УДУ ^-1

и D диагональна, то

е ^A = Ue ^D U ⁻¹.

Применение формулы Сильвестра дает тот же результат. (Чтобы увидеть это, обратите внимание, что сложение и умножение, а следовательно, и возведение в степень диагональных матриц эквивалентно поэлементному сложению и умножению, и, следовательно, возведению в степень; в частности, «одномерное» возведение в степень чувствуется поэлементно для диагональных матриц. дело.)

Пример: диагонализуемость

Например, матрица

${\ displaystyle A = {\ begin {bmatrix} 1 amp; 4 \\ 1 amp; 1 \\\ end {bmatrix}}}$

можно диагонализовать как

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} -2 amp; 2 \\ 1 amp; 1 \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} -1 amp; 0 \\ 0 amp; 3 \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} -2 amp; 2 \ \ 1 amp; 1 \\\ end {bmatrix}} ^ {- 1}.}$

Таким образом,

${\ displaystyle e ^ {A} = {\ begin {bmatrix} -2 amp; 2 \\ 1 amp; 1 \\\ end {bmatrix}} e ^ {\ begin {bmatrix} -1 amp; 0 \\ 0 amp; 3 \\\ end {bmatrix}} { \ begin {bmatrix} -2 amp; 2 \\ 1 amp; 1 \\\ end {bmatrix}} ^ {- 1} = {\ begin {bmatrix} -2 amp; 2 \\ 1 amp; 1 \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} { \ frac {1} {e}} amp; 0 \\ 0 amp; e ^ {3} \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} -2 amp; 2 \\ 1 amp; 1 \\\ end {bmatrix}} ^ {- 1} = {\ begin {bmatrix} {\ frac {e ^ {4} +1} {2e}} amp; {\ frac {e ^ {4} -1} {e}} \\ {\ frac {e ^ {4} -1} {4e}} amp; {\ frac {e ^ {4} +1} {2e}} \\\ end {bmatrix}}.}$

Нильпотентный случай

Матрица Н является нильпотентной, если N ^д = 0 для некоторого целого ц. В этом случае матричная экспонента e ^N может быть вычислена непосредственно из разложения ряда, поскольку ряд завершается после конечного числа членов:

${\ displaystyle e ^ {N} = I + N + {\ frac {1} {2}} N ^ {2} + {\ frac {1} {6}} N ^ {3} + \ cdots + {\ frac {1} {(q-1)!}} N ^ {q-1} ~.}$

Поскольку серия состоит из конечного числа шагов, это матричный полином, который можно эффективно вычислить.

Общий случай

Используя разложение Жордана – Шевалле

С помощью разложения Жордана – Шевалле любая матрица X с комплексными элементами может быть выражена как ${\ Displaystyle п \ раз п}$

${\ Displaystyle Х = А + N \,}$

куда

• A диагонализуема
• N нильпотентен
• A коммутирует с N

Это означает, что мы можем вычислить экспоненту X, сведя к двум предыдущим случаям:

${\ displaystyle e ^ {X} = e ^ {A + N} = e ^ {A} e ^ {N}. \,}$

Обратите внимание, что нам нужна коммутативность A и N для работы последнего шага.

Используя каноническую форму Жордана

Близкородственные методы, если поле алгебраически замкнуто, чтобы работать с жордановой формой из X. Предположу, что Х = ПЭП  ^-1, где J представляет собой Жорданов форма X. Затем

${\ displaystyle e ^ {X} = Pe ^ {J} P ^ {- 1}. \,}$

Кроме того, поскольку

${\ displaystyle {\ begin {align} J amp; = J_ {a_ {1}} (\ lambda _ {1}) \ oplus J_ {a_ {2}} (\ lambda _ {2}) \ oplus \ cdots \ oplus J_ {a_ {n}} (\ lambda _ {n}), \\ e ^ {J} amp; = \ exp {\ big (} J_ {a_ {1}} (\ lambda _ {1}) \ oplus J_ { a_ {2}} (\ lambda _ {2}) \ oplus \ cdots \ oplus J_ {a_ {n}} (\ lambda _ {n}) {\ big)} \\ amp; = \ exp {\ big (} J_ {a_ {1}} (\ lambda _ {1}) {\ big)} \ oplus \ exp {\ big (} J_ {a_ {2}} (\ lambda _ {2}) {\ big)} \ oplus \ cdots \ oplus \ exp {\ big (} J_ {a_ {n}} (\ lambda _ {n}) {\ big)}. \ end {align}}}$

Следовательно, нам нужно только знать, как вычислить матричную экспоненту жордановой клетки. Но каждый жорданов блок имеет вид

${\ displaystyle {\ begin {align} amp;amp; J_ {a} (\ lambda) amp; = \ lambda I + N \\ amp; \ Rightarrow amp; e ^ {J_ {a} (\ lambda)} amp; = e ^ {\ lambda I + N} = e ^ {\ lambda} e ^ {N}. \ End {align}}}$

где N - специальная нильпотентная матрица. Матричная экспонента J тогда определяется выражением

${\ displaystyle e ^ {J} = e ^ {\ lambda _ {1}} e ^ {N_ {a_ {1}}} \ oplus e ^ {\ lambda _ {2}} e ^ {N_ {a_ {2 }}} \ oplus \ cdots \ oplus e ^ {\ lambda _ {n}} e ^ {N_ {a_ {n}}}}$

Проекционный футляр

Если P является матрицей проекции (т. Е. Идемпотентной : P ² = P), ее матричная экспонента равна:

е ^Р = I + ( е - 1) Р.

Получив это путем разложения экспоненциальной функции, каждая степень P сводится к P, который становится общим множителем суммы:

${\ displaystyle e ^ {P} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {P ^ {k}} {k!}} = I + \ left (\ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {k!}} \ right) P = I + (e-1) P ~.}$

Случай вращения

Для простого вращения, в котором перпендикулярные единичные векторы a и b задают плоскость, матрица вращения R может быть выражена через аналогичную экспоненциальную функцию, включающую образующую G и угол θ.

${\ displaystyle {\ begin {align} G amp; = \ mathbf {ba} ^ {\ mathsf {T}} - \ mathbf {ab} ^ {\ mathsf {T}} amp; P amp; = - G ^ {2} = \ mathbf { aa} ^ {\ mathsf {T}} + \ mathbf {bb} ^ {\ mathsf {T}} \\ P ^ {2} amp; = P amp; PG amp; = G = GP ~, \ end {align}}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} R \ left (\ theta \ right) = e ^ {G \ theta} amp; = I + G \ sin (\ theta) + G ^ {2} (1- \ cos (\ theta)) \\ amp; = I-P + P \ cos (\ theta) + G \ sin (\ theta) ~. \\\ конец {выровнено}}}$

Формула для экспоненты является результатом уменьшения степеней G в разложении ряда и отождествления соответствующих коэффициентов ряда G ² и G с −cos ( θ) и sin ( θ) соответственно. Второе выражение здесь для e ^Gθ совпадает с выражением для R ( θ) в статье, содержащей вывод генератора, R ( θ) = e ^Gθ.

В двух измерениях, если и, то, и ${\ displaystyle a = \ left [{\ begin {smallmatrix} 1 \\ 0 \ end {smallmatrix}} \ right]}$${\ displaystyle b = \ left [{\ begin {smallmatrix} 0 \\ 1 \ end {smallmatrix}} \ right]}$${\ displaystyle G = \ left [{\ begin {smallmatrix} 0 amp; -1 \\ 1 amp; 0 \ end {smallmatrix}} \ right]}$${\ displaystyle G ^ {2} = \ left [{\ begin {smallmatrix} -1 amp; 0 \\ 0 amp; -1 \ end {smallmatrix}} \ right]}$

${\ Displaystyle R (\ theta) = {\ begin {bmatrix} \ cos (\ theta) amp; - \ sin (\ theta) \\\ sin (\ theta) amp; \ cos (\ theta) \ end {bmatrix}} = I \ cos (\ theta) + G \ sin (\ theta)}$

сводится к стандартной матрице поворота плоскости.

Матрица P = - G ² проецирует вектор на плоскость ab, и вращение влияет только на эту часть вектора. Пример, иллюстрирующий это, - поворот на 30 ° = π / 6 в плоскости, охватываемой точками a и b,

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {a} amp; = {\ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\\ end {bmatrix}} amp; \ mathbf {b} amp; = {\ frac {1 } {\ sqrt {5}}} {\ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \\\ end {bmatrix}} \ end {align}}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} G = {\ frac {1} {\ sqrt {5}}} amp; {\ begin {bmatrix} 0 amp; -1 amp; -2 \\ 1 amp; 0 amp; 0 \\ 2 amp; 0 amp; 0 \\\ end {bmatrix} } amp; P = -G ^ {2} amp; = {\ frac {1} {5}} {\ begin {bmatrix} 5 amp; 0 amp; 0 \\ 0 amp; 1 amp; 2 \\ 0 amp; 2 amp; 4 \\\ end {bmatrix}} \\ P {\ begin {bmatrix } 1 \\ 2 \\ 3 \\\ end {bmatrix}} = {\ frac {1} {5}} amp; {\ begin {bmatrix} 5 \\ 8 \\ 16 \\\ end {bmatrix}} = \ mathbf {a} + {\ frac {8} {\ sqrt {5}}} \ mathbf {b} amp; R \ left ({\ frac {\ pi} {6}} \ right) amp; = {\ frac {1 } {10}} {\ begin {bmatrix} 5 {\ sqrt {3}} amp; - {\ sqrt {5}} amp; - 2 {\ sqrt {5}} \\ {\ sqrt {5}} amp; 8 + {\ sqrt {3}} amp; - 4 + 2 {\ sqrt {3}} \\ 2 {\ sqrt {5}} amp; - 4 + 2 {\ sqrt {3}} amp; 2 + 4 {\ sqrt {3}} \ \\ конец {bmatrix}} \\\ конец {выровненный}}}$

Пусть N = I - P, поэтому N ² = N и его произведения на P и G равны нулю. Это позволит нам оценить силы R.

${\ displaystyle {\ begin {align} R \ left ({\ frac {\ pi} {6}} \ right) amp; = N + P {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} + G {\ frac {1} {2}} \\ R \ left ({\ frac {\ pi} {6}} \ right) ^ {2} amp; = N + P {\ frac {1} {2}} + G { \ frac {\ sqrt {3}} {2}} \\ R \ left ({\ frac {\ pi} {6}} \ right) ^ {3} amp; = N + G \\ R \ left ({\ frac {\ pi} {6}} \ right) ^ {6} amp; = NP \\ R \ left ({\ frac {\ pi} {6}} \ right) ^ {12} amp; = N + P = I \\\ конец {выровнен}}}$

Дополнительная информация: формула вращения Родригеса и представление угла оси § Экспоненциальная карта от so (3) до SO (3)

Оценка серии Laurent

В силу теоремы Кэли – Гамильтона матричная экспонента выражается в виде полинома порядка n - 1.

Если P и Q t - ненулевые многочлены от одной переменной, такие что P ( A) = 0, и если мероморфная функция

${\ Displaystyle f (z) = {\ гидроразрыва {e ^ {tz} -Q_ {t} (z)} {P (z)}}}$

это целое, то

${\ displaystyle e ^ {tA} = Q_ {t} (A)}$.

Чтобы доказать это, умножить первое из двух указанных выше равенств на P ( г) и заменить г на А.

Такой многочлен Q t ( z) можно найти следующим образом - см . Формулу Сильвестра. Позволить быть корнем P, Q а, т ( г) решаются из продукта Р в основной части из ряда Лорана из F в: Он пропорционален соответствующей фробениусовом ковариантном. Тогда сумма S t из Q a, t, где a пробегает все корни P, может быть взята как конкретное Q t. Все остальные Q т будет получен добавлением кратного P к S т ( г). В частности, S т ( г), то многочлен Лагранжа-Сильвестра, является единственным Q т, степень которого меньше, чем у P.

Пример: рассмотрим случай произвольной матрицы 2 × 2,

${\ displaystyle A: = {\ begin {bmatrix} a amp; b \\ c amp; d \ end {bmatrix}}.}$

Экспоненциальная матрица e ^tA в силу теоремы Кэли – Гамильтона должна иметь вид

${\ Displaystyle е ^ {tA} = s_ {0} (t) \, I + s_ {1} (t) \, A}$.

(Для любого комплексного числа z и любой C -алгебры B мы снова обозначим через z произведение z на единицу B.)

Пусть α и р быть корни характеристического полинома из А,

${\ Displaystyle P (z) = z ^ {2} - (a + d) \ z + ad-bc = (z- \ alpha) (z- \ beta) ~.}$

Тогда у нас есть

${\ Displaystyle S_ {T} (z) = e ^ {\ alpha t} {\ frac {z- \ beta} {\ alpha - \ beta}} + e ^ {\ beta t} {\ frac {z- \ альфа} {\ beta - \ alpha}} ~,}$

следовательно

${\ displaystyle {\ begin {align} s_ {0} (t) amp; = {\ frac {\ alpha \, e ^ {\ beta t} - \ beta \, e ^ {\ alpha t}} {\ alpha - \ beta}}, amp; s_ {1} (t) amp; = {\ frac {e ^ {\ alpha t} -e ^ {\ beta t}} {\ alpha - \ beta}} \ end {align}}}$

если α ≠ β ; а если α = β,

${\ Displaystyle S_ {т} (г) = е ^ {\ альфа т} (1 + т (г- \ альфа)) ~,}$

и что

${\ displaystyle {\ begin {align} s_ {0} (t) amp; = (1- \ alpha \, t) \, e ^ {\ alpha t}, amp; s_ {1} (t) amp; = t \, e ^ {\ alpha t} ~. \ end {выравнивается}}}$

Определение

${\ displaystyle {\ begin {align} s amp; \ Equiv {\ frac {\ alpha + \ beta} {2}} = {\ frac {\ operatorname {tr} A} {2}} ~, amp; q amp; \ Equiv {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}} = \ pm {\ sqrt {- \ det \ left (A-sI \ right)}}, \ end {align}}}$

у нас есть

${\ displaystyle {\ begin {align} s_ {0} (t) amp; = e ^ {st} \ left (\ cosh (qt) -s {\ frac {\ sinh (qt)} {q}} \ right), amp; s_ {1} (t) amp; = e ^ {st} {\ frac {\ sinh (qt)} {q}}, \ end {align}}}$

где sin ( qt) / q равно 0, если t = 0, и t, если q = 0.

Таким образом,

${\ displaystyle e ^ {tA} = e ^ {st} \ left (\ left (\ cosh (qt) -s {\ frac {\ sinh (qt)} {q}} \ right) ~ I ~ + {\ frac {\ sinh (qt)} {q}} A \ right) ~.}$

Таким образом, как указано выше, матрица A, разложившаяся на сумму двух взаимно коммутирующих частей, отслеживаемого фрагмента и бесследного фрагмента,

${\ Displaystyle A = sI + (A-sI) ~,}$

матричная экспонента сводится к простому произведению экспонент двух соответствующих частей. Эта формула часто используется в физике, поскольку она составляет аналог формулы Эйлера для спиновых матриц Паули, то есть повороты дублетного представления группы SU (2).

Многочлену S t также можно дать следующую « интерполяционную » характеристику. Определим е т ( г) ≡ е ^TZ и п ≡ град Р. Тогда S т ( г) является единственной степенью lt; п полином, который удовлетворяет S т ^{( к)} () = е т ^(к) () всякий раз, когда к меньше, чем кратность как корень Р. Мы предполагаем, что мы, очевидно, может, что P являются минимальным многочленом от А. Далее мы предполагаем, что A - диагонализуемая матрица. В частности, корни P простые, и характеристика " интерполяции " указывает, что S t задается формулой интерполяции Лагранжа, так что это полином Лагранжа-Сильвестра.

С другой стороны, если P = ( z - a) ⁿ, то

${\ displaystyle S_ {t} = e ^ {at} \ \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} \ {\ frac {t ^ {k}} {k!}} \ (za) ^ { k} ~.}$

Простейший случай не распространяется на вышеуказанных наблюдениях, когда с более ≠ б, что дает ${\ Displaystyle P = (za) ^ {2} \, (zb)}$

${\ displaystyle S_ {t} = e ^ {at} \ {\ frac {zb} {ab}} \ {\ Bigg (} 1+ \ left (t + {\ frac {1} {ba}} \ right) ( za) {\ Bigg)} + e ^ {bt} \ {\ frac {(za) ^ {2}} {(ba) ^ {2}}}.}.}$

Оценка по реализации формулы Сильвестра

Практическое ускоренное вычисление вышеизложенного сводится к следующим быстрым шагам. Напомним, что матрица exp ( tA) размера n × n представляет собой линейную комбинацию первых n −1 степеней матрицы A по теореме Кэли – Гамильтона. Для диагонализуемых матриц, как показано выше, например, в случае 2 × 2, формула Сильвестра дает ехр ( Ta) = B α ехр ( tα) + B amp; beta ; ехр ( Т amp; beta ;), где B s являются фробениусовы коварианты из A.

Однако проще всего просто решить эти B s напрямую, оценив это выражение и его первую производную при t = 0 в терминах A и I, чтобы найти тот же ответ, что и выше.

Но эта простая процедура также работает для дефектных матриц в обобщении Бухгейма. Это проиллюстрировано здесь на примере матрицы 4 × 4, которая не является диагонализуемой, и B s не являются проекционными матрицами.

Рассматривать

${\ displaystyle A = {\ begin {bmatrix} 1 amp; 1 amp; 0 amp; 0 \\ 0 amp; 1 amp; 1 amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; 1 amp; - {\ frac {1} {8}} \\ 0 amp; 0 amp; {\ frac {1} {2}} amp; {\ frac {1} { 2}} \ end {bmatrix}} ~,}$

с собственными значениями λ 1 = 3/4 и λ 2 = 1, каждое с кратностью два.

Рассмотрим экспоненту каждого собственного значения, умноженную на t, exp ( λ i t). Умножьте каждое возведенное в степень собственное значение на соответствующую матрицу неопределенных коэффициентов B i. Если собственные значения имеют алгебраическую кратность больше 1, повторите процесс, но теперь умножая на дополнительный коэффициент t для каждого повторения, чтобы гарантировать линейную независимость.

(Если бы одно собственное значение имело кратность трем, тогда было бы три члена:. Напротив, когда все собственные значения различны, B s - это просто коварианты Фробениуса, и решение для них, как показано ниже, просто равносильно обращению Матрица Вандермонда этих 4 собственных значений.) ${\ displaystyle B_ {i_ {1}} e ^ {\ lambda _ {i} t}, ~ B_ {i_ {2}} te ^ {\ lambda _ {i} t}, ~ B_ {i_ {3}} t ^ {2} e ^ {\ lambda _ {i} t}}$

Суммируем все такие слагаемые, вот таких четыре,

${\ displaystyle {\ begin {align} e ^ {At} amp; = B_ {1_ {1}} e ^ {\ lambda _ {1} t} + B_ {1_ {2}} te ^ {\ lambda _ {1 } t} + B_ {2_ {1}} e ^ {\ lambda _ {2} t} + B_ {2_ {2}} te ^ {\ lambda _ {2} t}, \\ e ^ {At} amp; = B_ {1_ {1}} e ^ {{\ frac {3} {4}} t} + B_ {1_ {2}} te ^ {{\ frac {3} {4}} t} + B_ {2_ {1}} e ^ {1t} + B_ {2_ {2}} te ^ {1t} ~. \ End {align}}}$

Чтобы найти все неизвестные матрицы B в терминах первых трех степеней A и тождества, нужно четыре уравнения, одно из которых дает одно такое при t = 0. Далее продифференцируйте его по t,

${\ displaystyle Ae ^ {At} = {\ frac {3} {4}} B_ {1_ {1}} e ^ {{\ frac {3} {4}} t} + \ left ({\ frac {3 } {4}} t + 1 \ right) B_ {1_ {2}} e ^ {{\ frac {3} {4}} t} + 1B_ {2_ {1}} e ^ {1t} + \ left ( 1t + 1 \ right) B_ {2_ {2}} e ^ {1t} ~,}$

и снова,

${\ displaystyle {\ begin {align} A ^ {2} e ^ {At} amp; = \ left ({\ frac {3} {4}} \ right) ^ {2} B_ {1_ {1}} e ^ {{\ frac {3} {4}} t} + \ left (\ left ({\ frac {3} {4}} \ right) ^ {2} t + \ left ({\ frac {3} {4}) } +1 \ cdot {\ frac {3} {4}} \ right) \ right) B_ {1_ {2}} e ^ {{\ frac {3} {4}} t} + B_ {2_ {1} } e ^ {1t} + \ left (1 ^ {2} t + (1 + 1 \ cdot 1) \ right) B_ {2_ {2}} e ^ {1t} \\ amp; = \ left ({\ frac { 3} {4}} \ right) ^ {2} B_ {1_ {1}} e ^ {{\ frac {3} {4}} t} + \ left (\ left ({\ frac {3} {4 }} \ right) ^ {2} t + {\ frac {3} {2}} \ right) B_ {1_ {2}} e ^ {{\ frac {3} {4}} t} + B_ {2_ { 1}} e ^ {t} + \ left (t + 2 \ right) B_ {2_ {2}} e ^ {t} ~, \ end {align}}}$

и еще раз

${\ displaystyle {\ begin {align} A ^ {3} e ^ {At} amp; = \ left ({\ frac {3} {4}} \ right) ^ {3} B_ {1_ {1}} e ^ {{\ frac {3} {4}} t} + \ left (\ left ({\ frac {3} {4}} \ right) ^ {3} t + \ left (\ left ({\ frac {3}) {4}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {3} {2}} \ right) \ cdot {\ frac {3} {4}} \ right) \ right) B_ {1_ { 2}} e ^ {{\ frac {3} {4}} t} + B_ {2_ {1}} e ^ {1t} + \ left (1 ^ {3} t + (1 + 2) \ cdot 1 \ справа) B_ {2_ {2}} e ^ {1t} \\ amp; = \ left ({\ frac {3} {4}} \ right) ^ {3} B_ {1_ {1}} e ^ {{\ гидроразрыв {3} {4}} t} \! + \ left (\ left ({\ frac {3} {4}} \ right) ^ {3} t \! + {\ frac {27} {16}} \ right) B_ {1_ {2}} e ^ {{\ frac {3} {4}} t} \! + B_ {2_ {1}} e ^ {t} \! + \ left (t + 3 \ cdot 1 \ right) B_ {2_ {2}} e ^ {t} ~. \ end {align}}}$

(В общем случае нужно взять n - 1 производную.)

Положив t = 0 в этих четырех уравнениях, теперь можно решить четыре матрицы коэффициентов B s для,

${\ displaystyle {\ begin {align} I amp; = B_ {1_ {1}} + B_ {2_ {1}} \\ A amp; = {\ frac {3} {4}} B_ {1_ {1}} + B_ { 1_ {2}} + B_ {2_ {1}} + B_ {2_ {2}} \\ A ^ {2} amp; = \ left ({\ frac {3} {4}} \ right) ^ {2} B_ {1_ {1}} + {\ frac {3} {2}} B_ {1_ {2}} + B_ {2_ {1}} + 2B_ {2_ {2}} \\ A ^ {3} amp; = \ left ({\ frac {3} {4}} \ right) ^ {3} B_ {1_ {1}} + {\ frac {27} {16}} B_ {1_ {2}} + B_ {2_ { 1}} + 3B_ {2_ {2}} ~, \ end {align}}}$

уступить

${\ displaystyle {\ begin {align} B_ {1_ {1}} amp; = 128A ^ {3} -366A ^ {2} + 288A-80I \\ B_ {1_ {2}} amp; = 16A ^ {3} - 44A ^ {2} + 40A-12I \\ B_ {2_ {1}} amp; = - 128A ^ {3} + 366A ^ {2} -288A + 80I \\ B_ {2_ {2}} amp; = 16A ^ { 3} -40A ^ {2} + 33A-9I ~. \ End {align}}}$

Подстановка значения для A дает матрицы коэффициентов

${\ displaystyle {\ begin {align} B_ {1_ {1}} amp; = {\ begin {bmatrix} 0 amp; 0 amp; 48 amp; -16 \\ 0 amp; 0 amp; -8 amp; 2 \\ 0 amp; 0 amp; 1 amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; 0 amp; 1 \ end {bmatrix}} \\ B_ {1_ { 2}} amp; = {\ begin {bmatrix} 0 amp; 0 amp; 4 amp; -2 \\ 0 amp; 0 amp; -1 amp; {\ frac {1} {2}} \\ 0 amp; 0 amp; {\ frac {1} {4}} amp; - {\ frac {1} {8}} \\ 0 amp; 0 amp; {\ frac {1} {2}} amp; - {\ frac {1} {4}} \ end {bmatrix}} \\ B_ {2_ {1}} amp; = {\ begin { bmatrix} 1 amp; 0 amp; -48 amp; 16 \\ 0 amp; 1 amp; 8 amp; -2 \\ 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 \ end {bmatrix}} \\ B_ {2_ {2}} amp; = {\ begin {bmatrix} 0 amp; 1 amp; 8 amp; -2 \\ 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 \ end {bmatrix}} \ end {align}}}$

так что окончательный ответ

${\ displaystyle e ^ {tA} = {\ begin {bmatrix} e ^ {t} amp; te ^ {t} amp; \ left (8t-48 \ right) e ^ {t} \! + \ left (4t + 48 \ справа) e ^ {{\ frac {3} {4}} t} amp; \ left (16-2 \, t \ right) e ^ {t} \! + \ left (-2t-16 \ right) e ^ {{\ frac {3} {4}} t} \\ 0 amp; e ^ {t} amp; 8e ^ {t} \! + \ left (-t-8 \ right) e ^ {{\ frac {3} {4} } t} amp; - 2e ^ {t} + {\ frac {t + 4} {2}} e ^ {{\ frac {3} {4}} t} \\ 0 amp; 0 amp; {\ frac {t + 4} { 4}} e ^ {{\ frac {3} {4}} t} amp; - {\ frac {t} {8}} e ^ {{\ frac {3} {4}} t} \\ 0 amp; 0 amp; {\ гидроразрыв {t} {2}} e ^ {{\ frac {3} {4}} t} amp; - {\ frac {t-4} {4}} e ^ {{\ frac {3} {4}} t} ~. \ end {bmatrix}}}$

Процедура намного короче алгоритма Путцера, который иногда используется в таких случаях.

Смотрите также: Производная экспоненциальной карты

Иллюстрации

Предположим, мы хотим вычислить экспоненту

${\ displaystyle B = {\ begin {bmatrix} 21 amp; 17 amp; 6 \\ - 5 amp; -1 amp; -6 \\ 4 amp; 4 amp; 16 \ end {bmatrix}}.}$

Его Жорданова форма является

${\ displaystyle J = P ^ {- 1} BP = {\ begin {bmatrix} 4 amp; 0 amp; 0 \\ 0 amp; 16 amp; 1 \\ 0 amp; 0 amp; 16 \ end {bmatrix}},}$

где матрица P имеет вид

${\ displaystyle P = {\ begin {bmatrix} - {\ frac {1} {4}} amp; 2 amp; {\ frac {5} {4}} \\ {\ frac {1} {4}} amp; - 2 amp; - { \ frac {1} {4}} \\ 0 amp; 4 amp; 0 \ end {bmatrix}}.}$

Сначала вычислим exp ( J). У нас есть

${\ Displaystyle J = J_ {1} (4) \ oplus J_ {2} (16) \,}$

Экспонента матрицы 1 × 1 - это просто экспонента одного элемента матрицы, поэтому exp ( J 1 (4)) = [ e ⁴ ]. Показатель J 2 (16) может быть вычислен по формуле e ^{(λ I  +  N)} =  e ^λ e ^N, упомянутой выше; это дает

${\ displaystyle {\ begin {align} amp; \ exp \ left ({\ begin {bmatrix} 16 amp; 1 \\ 0 amp; 16 \ end {bmatrix}} \ right) = e ^ {16} \ exp \ left ({\ begin {bmatrix } 0 amp; 1 \\ 0 amp; 0 \ end {bmatrix}} \ right) = \\ [6pt] {} = {} amp; e ^ {16} \ left ({\ begin {bmatrix} 1 amp; 0 \\ 0 amp; 1 \ end {bmatrix}} + {\ begin {bmatrix} 0 amp; 1 \\ 0 amp; 0 \ end {bmatrix}} + {1 \ over 2!} {\ begin {bmatrix} 0 amp; 0 \\ 0 amp; 0 \ end {bmatrix}} + \ cdots {} \ right) = { \ begin {bmatrix} e ^ {16} amp; e ^ {16} \\ 0 amp; e ^ {16} \ end {bmatrix}}. \ end {align}}}$

Следовательно, экспонента исходной матрицы B равна

${\ displaystyle {\ begin {align} \ exp (B) amp; = P \ exp (J) P ^ {- 1} = P {\ begin {bmatrix} e ^ {4} amp; 0 amp; 0 \\ 0 amp; e ^ {16} amp; e ^ {16} \\ 0 amp; 0 amp; e ^ {16} \ end {bmatrix}} P ^ {- 1} \\ [6pt] amp; = {1 \ over 4} {\ begin {bmatrix} 13e ^ {16} -e ^ {4} amp; 13e ^ {16} -5e ^ {4} amp; 2e ^ {16} -2e ^ {4} \\ - 9e ^ {16} + e ^ {4} amp; - 9e ^ {16} + 5e ^ { 4} amp; - 2e ^ {16} + 2e ^ {4} \\ 16e ^ {16} amp; 16e ^ {16} amp; 4e ^ {16} \ end {bmatrix}}. \ End {align}}}$

Приложения

Линейные дифференциальные уравнения

Матричная экспонента имеет приложения к системам линейных дифференциальных уравнений. (См. Также матричное дифференциальное уравнение. ) Напомним, как уже говорилось ранее в этой статье, что однородное дифференциальное уравнение вида

${\ displaystyle \ mathbf {y} '= A \ mathbf {y}}$

имеет решение e ^At y (0).

Если рассматривать вектор

${\ displaystyle \ mathbf {y} (t) = {\ begin {bmatrix} y_ {1} (t) \\\ vdots \\ y_ {n} (t) \ end {bmatrix}} ~,}$

мы можем выразить систему неоднородных связанных линейных дифференциальных уравнений как

${\ displaystyle \ mathbf {y} '(t) = A \ mathbf {y} (t) + \ mathbf {b} (t).}$

Составление анзаца для использования интегрирующего коэффициента e ^{- At} и умножение повсюду дает

${\ displaystyle {\ begin {align} amp;amp; e ^ {- At} \ mathbf {y} '-e ^ {- At} A \ mathbf {y} amp; = e ^ {- At} \ mathbf {b} \\ amp; \ Rightarrow amp; e ^ {- At} \ mathbf {y} '-Ae ^ {- At} \ mathbf {y} amp; = e ^ {- At} \ mathbf {b} \\ amp; \ Rightarrow amp; {\ frac {d } {dt}} \ left (e ^ {- At} \ mathbf {y} \ right) amp; = e ^ {- At} \ mathbf {b} ~. \ end {align}}}$

Второй шаг возможен благодаря тому, что если AB = BA, то e ^At B = Be ^At. Таким образом, вычисление e ^At приводит к решению системы путем простого интегрирования третьего шага по t.

Пример (однородный)

Рассмотрим систему

${\ displaystyle {\ begin {matrix} x 'amp; = amp; 2x amp; -y amp; + z \\ y' amp; = amp;amp; 3y amp; -1z \\ z 'amp; = amp; 2x amp; + y amp; + 3z \ end {matrix}} ~.}$

Соответствующая дефектный матрица является

${\ displaystyle A = {\ begin {bmatrix} 2 amp; -1 amp; 1 \\ 0 amp; 3 amp; -1 \\ 2 amp; 1 amp; 3 \ end {bmatrix}} ~.}$

Матричная экспонента равна

${\ displaystyle e ^ {tA} = {\ frac {1} {2}} {\ begin {bmatrix} e ^ {2t} \ left (1 + e ^ {2t} -2t \ right) amp; - 2te ^ { 2t} amp; e ^ {2t} \ left (-1 + e ^ {2t} \ right) \\ - e ^ {2t} \ left (-1 + e ^ {2t} -2t \ right) amp; 2 (t + 1) e ^ {2t} amp; - e ^ {2t} \ left (-1 + e ^ {2t} \ right) \\ e ^ {2t} \ left (-1 + e ^ {2t} + 2t \ right) amp; 2te ^ {2t} amp; e ^ {2t} \ left (1 + e ^ {2t} \ right) \ end {bmatrix}} ~,}$

так что общее решение однородной системы

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} x \\ y \\ z \ end {bmatrix}} = {\ frac {x (0)} {2}} {\ begin {bmatrix} e ^ {2t} \ left ( 1 + e ^ {2t} -2t \ right) \\ - e ^ {2t} \ left (-1 + e ^ {2t} -2t \ right) \\ e ^ {2t} \ left (-1 + e ^ {2t} + 2t \ right) \ end {bmatrix}} + {\ frac {y (0)} {2}} {\ begin {bmatrix} -2te ^ {2t} \\ 2 (t + 1) e ^ {2t} \\ 2te ^ {2t} \ end {bmatrix}} + {\ frac {z (0)} {2}} {\ begin {bmatrix} e ^ {2t} \ left (-1 + e ^ {2t} \ right) \\ - e ^ {2t} \ left (-1 + e ^ {2t} \ right) \\ e ^ {2t} \ left (1 + e ^ {2t} \ right) \ end {bmatrix}} ~,}$

в размере

${\ displaystyle {\ begin {align} 2x amp; = x (0) e ^ {2t} \ left (1 + e ^ {2t} -2t \ right) + y (0) \ left (-2te ^ {2t} \ right) + z (0) e ^ {2t} \ left (-1 + e ^ {2t} \ right) \\ [2pt] 2y amp; = x (0) \ left (-e ^ {2t} \ right) \ left (-1 + e ^ {2t} -2t \ right) + y (0) 2 (t + 1) e ^ {2t} + z (0) \ left (-e ^ {2t} \ right) \ left (-1 + e ^ {2t} \ right) \\ [2pt] 2z amp; = x (0) e ^ {2t} \ left (-1 + e ^ {2t} + 2t \ right) + y (0) 2te ^ {2t} + z (0) e ^ {2t} \ left (1 + e ^ {2t} \ right) ~. \ End {align}}}$

Пример (неоднородный)

Рассмотрим теперь неоднородную систему

${\ displaystyle {\ begin {matrix} x 'amp; = amp; 2x amp; - amp; y amp; + amp; z amp; + amp; e ^ {2t} \\ y' amp; = amp;amp;amp; 3y amp; - amp; z amp; \\ z 'amp; = amp; 2x amp; + amp; y amp; + amp; 3z amp; + amp; e ^ {2t} \ end {matrix}} ~.}$

У нас снова есть

${\ displaystyle A = \ left [{\ begin {array} {rrr} 2 amp; -1 amp; 1 \\ 0 amp; 3 amp; -1 \\ 2 amp; 1 amp; 3 \ end {array}} \ right] ~,}$

и

${\ displaystyle \ mathbf {b} = e ^ {2t} {\ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \ end {bmatrix}}.}$

Ранее у нас уже есть общее решение однородного уравнения. Поскольку сумма однородных и частных решений дает общее решение неоднородной задачи, теперь нам нужно найти только частное решение.

У нас есть, согласно вышеизложенному,

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {y} _ {p} amp; = e ^ {tA} \ int _ {0} ^ {t} e ^ {(- u) A} {\ begin {bmatrix} e ^ {2u} \\ 0 \\ e ^ {2u} \ end {bmatrix}} \, du + e ^ {tA} \ mathbf {c} \\ [6pt] amp; = e ^ {tA} \ int _ {0} ^ {t} {\ begin {bmatrix} 2e ^ {u} -2ue ^ {2u} amp; - 2ue ^ {2u} amp; 0 \\ - 2e ^ {u} +2 (u + 1) e ^ { 2u} amp; 2 (u + 1) e ^ {2u} amp; 0 \\ 2ue ^ {2u} amp; 2ue ^ {2u} amp; 2e ^ {u} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} e ^ {2u} \\ 0 \\ e ^ {2u} \ end {bmatrix}} \, du + e ^ {tA} \ mathbf {c} \\ [6pt] amp; = e ^ {tA} \ int _ {0} ^ {t} {\ begin {bmatrix} e ^ {2u} \ left (2e ^ {u} -2ue ^ {2u} \ right) \\ e ^ {2u} \ left (-2e ^ {u} +2 (1 + u) e ^ {2u} \ right) \\ 2e ^ {3u} + 2ue ^ {4u} \ end {bmatrix}} \, du + e ^ {tA} \ mathbf {c} \\ [6pt] amp; = e ^ {tA} {\ begin {bmatrix} - {1 \ over 24} e ^ {3t} \ left (3e ^ {t} (4t-1) -16 \ right) \\ {1 \ over 24} e ^ {3t} \ left (3e ^ {t} (4t + 4) -16 \ right) \\ {1 \ over 24} e ^ {3t} \ left (3e ^ {t} (4t-1) -16 \ справа) \ end {bmatrix}} + {\ begin {bmatrix} 2e ^ {t} -2te ^ {2t} amp; - 2te ^ {2t} amp; 0 \\ - 2e ^ {t} +2 (t + 1) e ^ {2t} amp; 2 (t + 1) e ^ {2t} amp; 0 \\ 2te ^ {2t} amp; 2te ^ {2t} amp; 2e ^ {t} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} c_ {1} \ \ c_ {2} \\ c_ {3} \ end {bmatrix}} ~, \ end {align}}}$

который можно было бы еще больше упростить, чтобы получить необходимое конкретное решение, определяемое путем изменения параметров. Обратите внимание: c = y p (0). Для большей строгости см. Следующее обобщение.

Обобщение неоднородного случая: вариация параметров

Для неоднородного случая можно использовать интегрирующие множители (метод, родственный варьированию параметров ). Ищем частное решение вида y p ( t) = exp ( tA)  z ( t),

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {y} _ {p} '(t) amp; = \ left (e ^ {tA} \ right)' \ mathbf {z} (t) + e ^ {tA} \ mathbf {z} '(t) \\ [6pt] amp; = Ae ^ {tA} \ mathbf {z} (t) + e ^ {tA} \ mathbf {z}' (t) \\ [6pt] amp; = A \ mathbf {y} _ {p} (t) + e ^ {tA} \ mathbf {z} '(t) ~. \ End {выравнивается}}}$

Чтобы y p было решением,

${\ displaystyle {\ begin {align} e ^ {tA} \ mathbf {z} '(t) amp; = \ mathbf {b} (t) \\ [6pt] \ mathbf {z}' (t) amp; = \ left (e ^ {tA} \ right) ^ {- 1} \ mathbf {b} (t) \\ [6pt] \ mathbf {z} (t) amp; = \ int _ {0} ^ {t} e ^ {-uA} \ mathbf {b} (u) \, du + \ mathbf {c} ~. \ end {выровнено}}}$

Таким образом,

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {y} _ {p} (t) amp; = e ^ {tA} \ int _ {0} ^ {t} e ^ {- uA} \ mathbf {b} ( u) \, du + e ^ {tA} \ mathbf {c} \\ amp; = \ int _ {0} ^ {t} e ^ {(tu) A} \ mathbf {b} (u) \, du + е ^ {tA} \ mathbf {c} ~, \ end {выровнено}}}$

где c определяется начальными условиями задачи.

Точнее, рассмотрим уравнение

${\ Displaystyle Y'-A \ Y = F (t)}$

с начальным условием Y ( t 0) = Y 0, где

A - это комплексная матрица размером n на n,

F - непрерывная функция от некоторого открытого интервала I до ℂ ⁿ,

${\ displaystyle t_ {0}}$точка I, и

${\ displaystyle Y_ {0}}$вектор из ℂ ⁿ.

Умножение приведенного выше равенства слева на e ^−tA дает

${\ Displaystyle Y (T) = e ^ {(t-t_ {0}) A} \ Y_ {0} + \ int _ {t_ {0}} ^ {t} e ^ {(tx) A} \ F (x) \ dx ~.}$

Мы утверждаем, что решение уравнения

${\ Displaystyle Р (д / дт) \ у = е (т)}$

с начальными условиями для 0 ≤ k lt; n есть ${\ Displaystyle у ^ {(к)} (т_ {0}) = у_ {к}}$

${\ displaystyle y (t) = \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} \ y_ {k} \ s_ {k} (t-t_ {0}) + \ int _ {t_ {0}} ^ {t} s_ {n-1} (tx) \ f (x) \ dx ~,}$

где обозначения следующие:

${\ Displaystyle P \ in \ mathbb {C} [X]}$- унитарный многочлен степени n gt; 0,

f - непрерывная комплекснозначная функция, определенная на некотором открытом интервале I,

${\ displaystyle t_ {0}}$это точка я,

${\ displaystyle y_ {k}}$ комплексное число, и

s k ( t) - коэффициентв полиноме, обозначенном вышев подразделе Оценка ряда Лорана. ${\ displaystyle X ^ {k}}$${\ Displaystyle S_ {т} \ in \ mathbb {C} [X]}$

Чтобы оправдать это утверждение, мы преобразуем наше скалярное уравнение порядка n в векторное уравнение первого порядка путем обычного сведения к системе первого порядка. Наше векторное уравнение принимает вид

${\ displaystyle {\ frac {dY} {dt}} - A \ Y = F (t), \ quad Y (t_ {0}) = Y_ {0},}$

где является транспонированной спутником матрица из P. Мы решаем это уравнение, как объяснено выше, вычисляя экспоненты матрицы на основе наблюдения, сделанного в подразделе « Оценка», путем реализации формулы Сильвестра, приведенной выше.

В случае n = 2 получаем следующее утверждение. Решение

${\ displaystyle y '' - (\ alpha + \ beta) \ y '+ \ alpha \, \ beta \ y = f (t), \ quad y (t_ {0}) = y_ {0}, \ quad y '(t_ {0}) = y_ {1}}$

является

${\ Displaystyle у (т) = у_ {0} \ s_ {0} (т-т_ {0}) + у_ {1} \ s_ {1} (т-т_ {0}) + \ int _ {т_ { 0}} ^ {t} s_ {1} (tx) \, f (x) \ dx,}$

где функции s 0 и s 1 такие же, как в подразделе Оценка ряда Лорана выше.

Матрично-матричные экспоненты

Матричная экспонента другой матрицы (матрица-матрица экспонента) определяется как

${\ Displaystyle X ^ {Y} = е ^ {\ журнал (X) \ cdot Y}}$

${\ Displaystyle ^ {Y} X = е ^ {Y \ cdot \ log (X)}}$

для любой нормальной и невырожденной матрицы X размера n × n и любой комплексной матрицы Y размера n × n.

Для экспоненты матрица-матрица существует различие между левой экспонентой ^Y X и правой экспонентой X ^Y, потому что оператор умножения для матрицы-матрицы не коммутативен. Кроме того,

• Если X нормальный и неособый, то X ^Y и ^Y X имеют одинаковый набор собственных значений.
• Если Х является нормальным и не в единственном числе, Y является нормальным, и XY = YX, то Х ^Y = ^Y Х.
• Если Х является нормальным и не в единственном числе, и Х, Y, Z коммутируют друг с другом, то Х ^{Y + Z} = Х ^Y Х ^Z и ^{Y + Z}, Х = ^Y Х ^Z Х.

Смотрите также

• Матричная функция
• Матричный логарифм
• C 0 -полугруппа
• Экспоненциальная функция
• Экспоненциальное отображение (теория Ли)
• Расширение Магнуса
• Производная экспоненциального отображения
• Векторный поток
• Неравенство Голдена – Томпсона.
• Распределение фазового типа
• Формула произведения Ли
• Формула Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа
• Ковариант Фробениуса
• Формула Сильвестра
• Тригонометрические функции матриц

использованная литература

• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение, Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, ISBN   978-3-319-13466-6
• Хорн, Роджер А.; Джонсон, Чарльз Р. (1991). Темы матричного анализа. Издательство Кембриджского университета. ISBN   978-0-521-46713-1. .
• Молер, Клив ; Ван Лоан, Чарльз Ф. (2003). «Девятнадцать сомнительных способов вычисления экспоненты матрицы, двадцать пять лет спустя» (PDF). SIAM Обзор. 45 (1): 3–49. Bibcode : 2003SIAMR..45.... 3M. CiteSeerX   10.1.1.129.9283. DOI : 10.1137 / S00361445024180. ISSN   1095-7200. .
• Сузуки, Масуо (1985). «Формулы разложения экспоненциальных операторов и экспонент Ли с некоторыми приложениями к квантовой механике и статистической физике». Журнал математической физики. 26 (4): 601–612. Bibcode : 1985JMP.... 26..601S. DOI : 10.1063 / 1.526596.
• Кертрайт, TL ; Fairlie, DB ; Захос, СК (2014). «Компактная формула для вращений как спиновых матричных многочленов». Симметрия, интегрируемость и геометрия: методы и приложения. 10: 084. arXiv : 1402.3541. Bibcode : 2014SIGMA..10..084C. DOI : 10.3842 / SIGMA.2014.084. S2CID   18776942.
• Домохозяин, Олстон С. (2006). Теория матриц в численном анализе. Дуврские книги по математике. ISBN   978-0-486-44972-2.
• Ван Кортрик, Т.С. (2016). «Матричные экспоненты, элементы группы SU (N) и действительные полиномиальные корни». Журнал математической физики. 57 (2): 021701. arXiv : 1508.05859. Bibcode : 2016JMP.... 57b1701V. DOI : 10.1063 / 1.4938418. S2CID   119647937.

внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. "Матрица экспоненциального". MathWorld.