Войти
В математике, особенно в теории категорий, морфизм - это сохраняющее структуру отображение одной математической структуры на другую того же типа. Понятие морфизма часто встречается в современной математике. В теории множеств морфизмы - это функции ; в линейной алгебре - линейные преобразования ; в теории групп, группа гомоморфизмам ; в топологии, непрерывных функциях и т. д.
В теории категорий, морфизм является широко похожа идеей: математические объекты вовлечены не должен быть множество, и отношения между ними могут быть чем - то иным, чем карты, хотя морфизмы между объектами данной категории должны вести себя так же, как карты в том, что они должны допускать ассоциативную операцию, аналогичную композиции функций. Морфизм в теории категорий - это абстракция гомоморфизма.
Изучение морфизмов и структур (называемых «объектами»), над которыми они определены, занимает центральное место в теории категорий. Большая часть терминологии морфизмов, а также лежащая в их основе интуиция происходит из конкретных категорий, где объекты - это просто множества с некоторой дополнительной структурой, а морфизмы - это функции, сохраняющие структуру. В теории категорий морфизмы иногда также называют стрелками.
Категория C состоит из двух классов, один из объектов, а другие из морфизмов. С каждым морфизмом связаны два объекта: источник и цель. Морфизмом е с источником X и целевой Y записывается F : X → Y, и представлена схематически с помощью стрелки от X к Y.
Для многих общих категорий объекты - это наборы (часто с некоторой дополнительной структурой), а морфизмы - это функции от одного объекта к другому. Поэтому источник и цель морфизма часто называют домен иcodomain соответственно.
Морфизмы снабжены частичной бинарной операцией, называемой композицией. Композиция двух морфизмов f и g определяется точно, когда цель f является источником g, и обозначается g ∘ f (или иногда просто gf). Источник g ∘ f является источником f, а цель g ∘ f является целью g. Композиция удовлетворяет двум аксиомам :
Для конкретной категории (категории, в которой объекты являются наборами, возможно, с дополнительной структурой, а морфизмы являются функциями, сохраняющими структуру), тождественный морфизм - это просто функция идентичности, а композиция - это просто обычная композиция функций.
Композицию морфизмов часто представляют коммутативной диаграммой. Например,
Совокупность всех морфизмов из X в Y обозначается Hom C ( X, Y) или просто Hom ( X, Y) и называется Хом-набор между X и Y. Некоторые авторы пишут Mor C ( X, Y), Mor ( X, Y) или C ( X, Y). Обратите внимание, что термин hom-set употребляется неправильно, поскольку не обязательно, чтобы набор морфизмов был набором; Категория, в которой Hom ( X, Y) - множество для всех объектов X и Y, называется локально малой. Поскольку hom-наборы не могут быть наборами, некоторые люди предпочитают использовать термин «hom-class».
Обратите внимание, что домен и кодомен фактически являются частью информации, определяющей морфизм. Например, в категории наборов, где морфизмы являются функциями, две функции могут быть идентичны как наборы упорядоченных пар (могут иметь один и тот же диапазон ), но иметь разные кодомены. Эти две функции различны с точки зрения теории категорий. Таким образом, многие авторы требуют, чтобы hom-классы Hom ( X, Y) не пересекались. На практике это не проблема, потому что, если эта дизъюнктность не выполняется, ее можно гарантировать, добавляя домен и кодомен к морфизмам (скажем, как второй и третий компоненты упорядоченной тройки).
Морфизмом F: X → Y называется мономорфизмом, если е ∘ г 1 = е ∘ г 2 следует, г 1 = г 2 для всех морфизмов г 1, г 2: Z → X. Мономорфизм можно для краткости называть mono, и мы можем использовать monic как прилагательное. Морфизмом е имеет левый обратный или является разделение -мономорфизм, если существует морфизм г: Y → X такой, что г ∘ ф = Id X. Таким образом, F ∘ г: Y → Y является идемпотентным ; то есть ( f ∘ g) 2 = f ∘ ( g ∘ f) ∘ g = f ∘ g. Левый обратный г также называется ретракцией из F.
Морфизмы с обратными слева всегда являются мономорфизмами, но обратное, вообще говоря, неверно; у мономорфизма может не быть левого обратного. В конкретных категориях функция, имеющая обратный слева, инъективна. Таким образом, в конкретных категориях мономорфизмы часто, но не всегда, инъективны. Условие инъекции сильнее, чем состояние мономорфизма, но слабее, чем условие расщепленного мономорфизма.
Двойственно к мономорфизмам, морфизм F: X → Y называется эпиморфизмом, если г - ∘ е = г - ∘ е означает, г 1 = г 2 для всех морфизмов г 1, г 2: Y → Z. Эпиморфизм можно для краткости называть epi, и мы можем использовать epic как прилагательное. Морфизмом е имеет правый обратный или является расщепляющим эпиморфизмом, если существует морфизм г: Y → X такое, что F ∘ г = Id Y. Правый обратный г также называется раздел из F. Морфизмы, имеющие правый обратный, всегда являются эпиморфизмами, но в целом обратное неверно, поскольку эпиморфизм может не иметь правого обратного.
Если мономорфизм f расщепляется с левым обратным g, то g является расщепляемым эпиморфизмом с правым обратным f. В конкретных категориях функция, имеющая правый обратный, сюръективна. Таким образом, в конкретных категориях эпиморфизмы часто, но не всегда, сюръективны. Состояние сюръекции сильнее, чем состояние эпиморфизма, но слабее, чем состояние расщепленного эпиморфизма. В категории множеств утверждение, что каждая сюръекция имеет секцию, эквивалентно аксиоме выбора.
Морфизм, который одновременно является эпиморфизмом и мономорфизмом, называется биморфизмом.
Морфизмом F: X → Y называется изоморфизмом, если существует морфизм г: Y → X такое, что F ∘ г = идентификатор Y и г ∘ е = идентификатор Х. Если морфизм имеет и левообратный, и правый обратный, то два обратных равны, поэтому f является изоморфизмом, а g называется просто обратным к f. Обратные морфизмы, если они существуют, уникальны. Обратный g также является изоморфизмом с обратным f. Два объекта, между которыми имеется изоморфизм, называются изоморфными или эквивалентными.
Хотя каждый изоморфизм является биморфизмом, биморфизм не обязательно является изоморфизмом. Например, в категории коммутативных колец включение Z → Q является биморфизмом, который не является изоморфизмом. Однако любой морфизм, который одновременно является эпиморфизмом и расщепляемым мономорфизмом, или одновременно мономорфизмом и расщепленным эпиморфизмом, должен быть изоморфизмом. Категория, такая как Set, в которой каждый биморфизм является изоморфизмом, называется сбалансированной категорией.
Морфизм е: Х → Х (то есть, морфизм с одинаковым источником и мишенью) является эндоморфизмом из X. Сплит эндоморфизм является идемпотентным эндоморфизм F, если F допускает разложение п = ч ∘ г с г ∘ ч = ID. В частности, оболочка Каруби категории разбивает любой идемпотентный морфизм.
Автоморфизм морфизм, который является одновременно эндоморфизмом и изоморфизм. В каждой категории автоморфизмы объекта всегда образуют группу, называемую группой автоморфизмов объекта.
Дополнительные примеры см. В теории входных категорий.
