Группа автоморфизмов

редактировать

Математическая группа, образованная из автоморфизмов объекта

В математике, группа автоморфизмов объекта X - это группа, состоящая из автоморфизмов объекта X. Например, если X является конечномерным векторное пространство, то группа автоморфизмов X - это общая линейная группа X, группа обратимых линейных преобразований из X в себя.

Особенно в геометрическом контексте группа автоморфизмов также называется группой симметрии. Подгруппа группы автоморфизмов называется группой преобразований (особенно в старой литературе).

Содержание

1 Примеры
2 В теории категорий
3 Функтор группы автоморфизмов
4 См. Также
5 Ссылки
6 Внешние ссылки

Примеры

Группа автоморфизмов множества X является в точности симметрической группой группы X.
A гомоморфизм группы группе автоморфизмов множества X составляет действие группы на X: действительно, каждое левое действие G на множестве X определяет $G → Aut ⁡ (X), g ↦ σ g, σ g (x) = g ⋅ x {\ displaystyle G \ to \ operatorname { Aut} (X), \, g \ mapsto \ sigma _ {g}, \, \ sigma _ {g} (x) = g \ cdot x}$ ${\ displaystyle G \ to \ operatorname {Aut} (X), \, g \ mapsto \ sigma _ { g}, \, \ sigma _ {g} (x) = g \ cdot x}$ , и, наоборот, каждый гомоморфизм $φ: G → Aut ⁡ (X) {\ displaystyle \ varphi: G \ to \ operatorname {Aut} (X)}$ ${\ displaystyle \ varphi: G \ to \ operatorname {Aut} (X)}$ определяет действие по $g ⋅ x = φ (g) x {\ displaystyle g \ cdot x = \ varphi (g) x}$ ${\ displaystyle g \ cdot x = \ varphi (g) x}$ .
Пусть $A, B {\ displaystyle A, B}$ $A, B$ два конечных набора одинаковой мощности и $Iso ⁡ (A, B) {\ displaystyle \ operatorname {Iso} (A, B)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Iso} (A, B)}$ набор всех биений $A → ∼ Б {\ Displaystyle A \ {\ overset {\ sim} {\ to}} \ B}$ ${\ displaystyle A \ {\ overset {\ sim} {\ to}} \ B}$ . Тогда $Aut ⁡ (B) {\ displaystyle \ operatorname {Aut} (B)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Aut} (B)}$ , которая является симметричной группой (см. Выше), действует на $Iso ⁡ (A, B) {\ displaystyle \ operatorname {Iso} (A, B)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Iso} (A, B)}$ слева свободно и транзитивно ; то есть $Iso ⁡ (A, B) {\ displaystyle \ operatorname {Iso} (A, B)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Iso} (A, B)}$ - это торсор для $Aut ⁡ (B) {\ displaystyle \ operatorname {Aut} (B)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Aut} (B)}$ (см. # В теории категорий).
Группа автоморфизмов $G {\ displaystyle G}$ $G$ конечной циклической группы порядка n изоморфна $(Z / n Z) ∗ {\ displaystyle (\ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}) ^ {*}}$ $({\ mathbb {Z}} / n {\ mathbb {Z}}) ^ {*}$ с изоморфизмом, заданным формулой $a ¯ ↦ σ a ∈ G, σ a (x) = xa {\ displaystyle {\ overline {a }} \ mapsto \ sigma _ {a} \ in G, \, \ sigma _ {a} (x) = x ^ {a}}$ ${\ displaystyle {\ overline {a}} \ mapsto \ sigma _ {a} \ in G, \, \ sigma _ {a} (x) = x ^ {a}}$ . В частности, $G {\ displaystyle G }$ $G$ является абелевой группой.
Учитывая расширение поля $L / K {\ displaystyle L / K}$ $L / K$ , его группа автоморфизмов - это группа, состоящая из полевых автоморфизмов L, фиксирующих K: она более известна как группа Галуа группы $L / K {\ displaystyle L / K}$ $L / K$ .
Группа автоморфизмов проективного n-мерного пространства над полем k является проективная линейная группа $PGL n ⁡ (k). {\ displaystyle \ operatorname {PGL} _ {n} (k).}$ ${\ displaystyle \ operatorname {PGL} _ {n} (k).}$
Группа автоморфизмов конечномерной вещественной алгебры Ли $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g} }}$ ${\ mathfrak {g}}$ имеет структуру (действительной) группы Ли (фактически, это даже линейная алгебраическая группа : см. Ниже). Если G группа Ли с алгеброй Ли $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ , то группа автоморфизмов группы G имеет структуру группы Ли, индуцированной из группы Ли на автоморфизме группа $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ .
Пусть P будет конечно порожденным проективным модулем над кольцом R. Затем существует вложение $Aut ⁡ (P) ↪ GL n ⁡ (R) {\ displaystyle \ operatorname {Aut} (P) \ hookrightarrow \ operatorname {GL} _ {n} (R)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Aut} (P) \ hookrightarrow \ operatorname {GL} _ {n} (R)}$ , уникальные до внутренних автоморфизмов.

В теории категорий

группы автоморфизмов очень естественно появляются в теории категорий.

Если X является объект в категории, то группа автоморфизмов X - это группа, состоящая из всех обратимых морфизмов из X в себя. Это группа единиц из моноида эндоморфизма X. (Для некоторых примеров см. PROP.)

If $A, B {\ displaystyle A, B}$ $A, B$ - объекты в некоторой категории, тогда набор $Iso ⁡ (A, B) {\ displaystyle \ operatorname {Iso} (A, B)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Iso} (A, B)}$ из всех $A → ∼ B {\ displaystyle A {\ overset {\ sim} {\ to}} B}$ ${\ displaystyle A {\ overset {\ sim} {\ to}} B}$ левый $Aut ⁡ (B) {\ displaystyle \ operatorname {Aut} (B)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Aut} (B)}$ -торсор. На практике это означает, что другой выбор базовой точки $Iso ⁡ (A, B) {\ displaystyle \ operatorname {Iso} (A, B)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Iso} (A, B)}$ однозначно отличается на элемент из $Aut ⁡ (B) {\ displaystyle \ operatorname {Aut} (B)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Aut} (B)}$ , или что каждый выбор базовой точки в точности является выбором тривиализации торсора.

Если $X 1 {\ displaystyle X_ {1}}$ $X_ {1}$ и $X 2 {\ displaystyle X_ {2}}$ $X_ {2}$ являются объектами в категориях $C 1 {\ displaystyle C_ {1}}$ $C_ {1}$ и $C 2 {\ displaystyle C_ {2}}$ $C_ {2}$ , а если $F: C 1 → C 2 {\ displaystyle F: C_ {1} \ to C_ {2}}$ ${\ displaystyle F: C_ {1 } \ к C_ {2}}$ - это функтор отображение $X 1 {\ displaystyle X_ {1}}$ $X_ {1}$ до $X 2 {\ displaystyle X_ {2}}$ $X_ {2}$ , тогда $F {\ displaystyle F}$ $F$ индуцирует групповой гомоморфизм $Aut ⁡ ( X 1) → Aut ⁡ (X 2) {\ displaystyle \ operatorname {Aut} (X_ {1}) \ to \ operatorname {Aut} (X_ {2})}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Aut} (X_ {1}) \ to \ operatorname {Aut} (X_ {2})}$ , поскольку он отображает обратимые морфизмы обратимым морфизмам.

В частности, если G представляет собой группу, рассматриваемую как категория с одним объектом * или, в более общем смысле, если G является группоидом, то каждый функтор $G → C { \ displaystyle G \ to C}$ ${ \ displaystyle G \ to C}$ , C категория, называется действием или представлением G на объекте $F (∗) {\ displaystyle F (*)}$ ${\ dis playstyle F (*)}$ или объекты $F (Obj ⁡ (G)) {\ displaystyle F (\ operatorname {Obj} (G))}$ ${\ displaystyle F (\ operatorname {Obj} (G))}$ . Затем эти объекты называются $G {\ displaystyle G}$ $G$ -объектами (поскольку они действуют с помощью $G {\ displaystyle G}$ $G$ ); ср. $S {\ displaystyle \ mathbb {S}}$ $\ mathbb {S}$ -объект. Если $C {\ displaystyle C}$ $C$ является категорией модулей, например категорией конечномерных векторных пространств, то $G {\ displaystyle G}$ $G$ -объекты также являются называется $G {\ displaystyle G}$ $G$ -модулями.

Функтор группы автоморфизмов

Пусть $M {\ displaystyle M}$ $M$ - конечномерное векторное пространство над полем k, снабженное некоторой алгебраической структурой ( то есть M - конечномерная алгебра над k). Это может быть, например, ассоциативная алгебра или алгебра Ли.

. Теперь рассмотрим k- линейные отображения $M → M {\ displaystyle M \ к M}$ ${\ displaystyle M \ to M}$ , которые сохраняют алгебраическую структуру: они образуют векторное подпространство $End alg ⁡ (M) {\ displaystyle \ operatorname {End} _ {\ text {alg} } (M)}$ ${ \ displaystyle \ operatorname {End} _ {\ text {alg}} (M)}$ из $Конец ⁡ (M) {\ displaystyle \ operatorname {End} (M)}$ ${\ displaystyle \ имя оператора {Конец} (M)}$ . Группа единиц $End alg ⁡ (M) {\ displaystyle \ operatorname {End} _ {\ text {alg}} (M)}$ ${ \ displaystyle \ operatorname {End} _ {\ text {alg}} (M)}$ является группой автоморфизмов $Aut ⁡ (M) {\ Displaystyle \ OperatorName {Aut} (M)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Aut} (M)}$ . Когда выбран базис на M, $End ⁡ (M) {\ displaystyle \ operatorname {End} (M)}$ ${\ displaystyle \ имя оператора {Конец} (M)}$ - это пространство квадратных матриц и $End alg ⁡ (M) {\ displaystyle \ operatorname {End} _ {\ text {alg}} (M)}$ ${ \ displaystyle \ operatorname {End} _ {\ text {alg}} (M)}$ - это нулевой набор некоторых полиномиальных уравнений, и обратимость снова описывается полиномами. Следовательно, $Aut ⁡ (M) {\ displaystyle \ operatorname {Aut} (M)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Aut} (M)}$ является линейной алгебраической группой над k.

Теперь базовые расширения, примененные к вышеприведенному обсуждению, определяют функтор: а именно, для каждого коммутативного кольца R над k рассмотрим R-линейные отображения $M ⊗ R → M ⊗ R {\ displaystyle M \ otimes R \ to M \ otimes R}$ ${\ displaystyle M \ время R \ to M \ время R}$ с сохранением алгебраической структуры: обозначьте его $End alg ⁡ (M ⊗ R) {\ displaystyle \ operatorname {End} _ {\ text {alg}} (M \ otimes R)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {End } _ {\ text {alg}} (M \ otimes R)}$ . Тогда группа единиц кольца матрицы $End alg ⁡ (M ⊗ R) {\ displaystyle \ operatorname {End} _ {\ text {alg}} (M \ otimes R)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {End } _ {\ text {alg}} (M \ otimes R)}$ над R является группой автоморфизмов $Aut ⁡ (M ⊗ R) {\ displaystyle \ operatorname {Aut} (M \ otimes R)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Aut} (M \ otimes R)}$ и $R ↦ Aut ⁡ (M ⊗ R) {\ displaystyle R \ mapsto \ operatorname {Aut} (M \ otimes R)}$ ${\ displaystyle R \ mapsto \ operatorname {Aut} (M \ otimes R)}$ - это групповой функтор : функтор из категории коммутативных колец над k в категория групп. Более того, она представлена схемой (поскольку группы автоморфизмов определяются полиномами): эта схема называется схемой группы автоморфизмов и обозначается $Aut ⁡ (M) {\ displaystyle \ operatorname {Aut} (M)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Aut} (M)}$ .

Однако в общем случае функтор группы автоморфизмов не может быть представлен схемой.

См. Также

Внешняя группа автоморфизмов
Структура уровней, уловка для уничтожения группы автоморфизмов
Группа голономии

Ссылки

Dummit, David S.; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Уайли. ISBN 978-0-471-43334-7.
Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс. Тексты для выпускников по математике, Чтения по математике. 129 . Нью-Йорк: Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / 978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR 1153249. OCLC 246650103.
Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия, Тексты для выпускников по математике, 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157
Милнор, Джон Уиллард (1971). Введение в алгебраическую K-теорию. Летопись математических исследований. 72 . Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press. ISBN 9780691081014. MR 0349811. Zbl 0237.18005.
Уотерхаус, Уильям К. (2012) [1979]. Введение в схемы аффинных групп. Тексты для выпускников по математике. 66 . Springer Verlag. ISBN 9781461262176.

Внешние ссылки

https://mathoverflow.net/questions/55042/automorphism-group-of-a-scheme