Войти
В математике, категория колец, обозначается Кольцо, это категория, объектами которой являются кольца (с идентичностью), а морфизмами являются гомоморфизмы колец (сохраняющие идентичность). Подобно многим категориям в математике, категория колец большая, что означает, что класс всех колец правильный.
Категория Кольцо является конкретная категория означает, что объекты - это наборы с дополнительной структурой (сложение и умножение), а морфизмы - это функции, которые сохраняют эту структуру. Существует естественный функтор забывчивости
для категории колец в категорию множеств, которая отправляет каждое кольцо в его базовый набор (таким образом, «забывая» операции сложения и умножения). Этот функтор имеет сопряженный слева
, который присваивает каждому набору X свободное кольцо, сгенерированное X.
Можно также рассматривать категорию колец как конкретную категорию над Ab (категория абелевых групп ) или над Mon (категория моноидов ). В частности, есть забывчивые функторы
, которые «забывают» умножение и сложение соответственно. Оба этих функтора имеют сопряженные слева. Левый сопряженный к A является функтором, который присваивает каждой абелевой группе X (рассматриваемой как Z-модуль ) тензорное кольцо T (X). Левый сопряженный к M функтор сопоставляет каждому моноиду X целое кольцо моноидов Z[X].
Категория Кольцо является одновременно полным и неполным, что означает, что все маленькие пределы и копределы существуют в Кольце . Как и многие другие алгебраические категории, забывчивый функтор U: Ring → Setсоздает (и сохраняет) пределы и фильтрованные копределы, но делает не сохранять ни копроизведения, ни соэквалайзеры. Забывчивые функторы для Ab и Mon также создают и сохраняют пределы.
Примеры пределов и копределов в Кольце включают:
В отличие от многих категорий изучается математика, не всегда существуют морфизмы между парами объектов в Кольце . Это следствие того факта, что гомоморфизмы колец должны сохранять тождество. Например, нет морфизмов из нулевого кольца 0в любое ненулевое кольцо. Необходимым условием морфизмов из R в S является то, что характеристика S делит характеристику R.
Обратите внимание, что даже если некоторые из hom-множеств пусты, категория Кольцо все еще подключено, поскольку оно имеет начальный объект.
Некоторые специальные классы морфизмов в Кольце включают:
Категория колец имеет ряд важных подкатегорий. К ним относятся полные подкатегории из коммутативных колец, области целостности, области главных идеалов и поля.
Категория коммутативных колец, обозначенная CRing, является полной подкатегорией Ring, объектами которой являются все коммутативные кольца. Эта категория является одним из центральных объектов изучения коммутативной алгебры.
. Любое кольцо можно сделать коммутативным, взяв фактор на идеал, порожденный всеми элементы формы (xy - yx). Это определяет функтор Ring → CRing, который сопряжен слева с функтором включения, так что CRing является отражающей подкатегорией из Кольцо . Свободное коммутативное кольцо на множестве образующих E - это кольцо многочленов Z[E], переменные которого берутся из E. Это дает сопряженный слева функтор к забывчивому функтору из CRing - Установить .
CRing закрывается по пределу в Ring, что означает, что ограничения в CRing такие же, как и в Кольцо . Однако коллимиты обычно разные. Их можно сформировать, взяв коммутативное частное копределов в Кольце . Копроизведение двух коммутативных колец дается тензорным произведением колец. Опять же, копроизведение двух ненулевых коммутативных колец может быть нулевым.
категория, противоположная CRing, эквивалентна категории аффинных схем. Эквивалентность задается контравариантным функтором Spec, который отправляет коммутативное кольцо в его спектр, аффинную схему .
категория полей, обозначенная Поле, является полной подкатегорией CRing, объектами которой являются поля. Категория полей не так хорошо развита, как другие алгебраические категории. В частности, свободных полей не существует (т.е. нет левого сопряженного с забывчивым функтором Поле → Установить ). Отсюда следует, что Поле не является рефлексивной подкатегорией CRing .
Категория полей не является ни конечно полной, ни конечно кополной. В частности, Поле не содержит ни продуктов, ни побочных продуктов.
Еще один любопытный аспект категории полей состоит в том, что каждый морфизм является мономорфизмом. Это следует из того факта, что единственными идеалами в поле F являются нулевой идеал и сам F. Затем можно просматривать морфизмы в Поле как расширения поля.
Категория полей не связана. Между полями с различной характеристикой нет морфизмов. Связные компоненты поля являются полными подкатегориями характеристики p, где p = 0 или простое число. Каждая такая подкатегория имеет начальный объект : простое поле характеристики p (которое равно Q, если p = 0, в противном случае конечное поле Fp).
Существует естественный функтор от Ring до категории групп, Grp, который отправляет каждое кольцо R в его группу единиц U (R) и каждый гомоморфизм кольца в ограничение на U (R). Этот функтор имеет левый сопряженный элемент, который отправляет каждую группу G в целочисленное групповое кольцо Z[G].
Другой функтор между этими категориями отправляет каждое кольцо R в группу единиц матричного кольца M2(R), которая действует на проективной прямой над кольцом P ( Р).
Для коммутативного кольца R можно определить категорию R-Alg, объектами которой являются все R-алгебры и чьи морфизмы являются гомоморфизмами R-алгебр.
Категорию колец можно считать частным случаем. Каждое кольцо можно рассматривать как Z -алгебра - это единственный способ. Гомоморфизмы колец - это в точности гомоморфизмы Z -алгебр. Категория колец, следовательно, изоморфна категории Z-Alg . Многие утверждения о категории колец можно обобщить до утверждений о категории R-алгебр.
Для каждого коммутативного кольца R существует функтор R-Alg → Кольцо, который забывает структуру R-модуля. У этого функтора есть левый сопряженный элемент, который переводит каждое кольцо A в тензорное произведение R⊗ZA, рассматриваемое как R-алгебру, если положить r · (s⊗a) = rs⊗a.
Многие авторы не требуют, чтобы кольца имели мультипликативный элемент идентичности и, соответственно, не требуют гомоморфизма колец для сохранения идентичности (если он существует). Это приводит к совершенно другой категории. Для различения мы называем такие алгебраические структуры rngs, а их морфизмы - гомоморфизмами. Категория всех звонков будет обозначена как Rng .
Категория колец, Ring, является неполной подкатегорией из Rng . Он неполный, потому что между кольцами существуют гомоморфизмы rng, которые не сохраняют идентичность и, следовательно, не являются морфизмами в Ring . Функтор включения Ring → Rng имеет левый сопряженный элемент, который формально присоединяет единицу к любому rng. Функтор включения Ring → Rng учитывает пределы, но не копределы.
нулевое кольцо служит как начальным, так и конечным объектами в Rng (то есть это нулевой объект ). Отсюда следует, что Rng, как и Grp, но в отличие от Ring, имеет нулевые морфизмы. Это просто гомоморфизмы rng, которые отображают все в 0. Несмотря на существование нулевых морфизмов, Rng по-прежнему не является предаддитивной категорией. Поточечная сумма двух rng-гомоморфизмов, вообще говоря, не является rng-гомоморфизмом.
Существует полностью точный функтор из категории абелевых групп до Rng, отправляющий абелеву группу в ассоциированный уровень квадрата нуля.
Бесплатно конструкции менее естественны в Rng, чем в Ring . Например, свободное кольцо, порожденное набором {x}, является кольцом всех целочисленных полиномов над x без постоянного члена, в то время как свободное кольцо, порожденное {x}, - это просто кольцо полиномов Z[x].
