Ранг (линейная алгебра)

редактировать

В линейной алгебре, ранг матрицы $A {\ displaystyle A}$ $A$ - размер векторного пространства , сгенерированного (или растянутого ) его столбцы. Это соответствует максимальному количеству линейно независимых столбцов в $A {\ displaystyle A}$ $A$ . Это, в свою очередь, идентично размерности векторного пространства, охватываемого его строками. Таким образом, ранг является мерой «невырожденности » системы линейных уравнений и линейного преобразования, кодируемых $A {\ displaystyle A}$ $A$ . Существует несколько эквивалентных определений ранга. Ранг матрицы - одна из ее самых фундаментальных характеристик.

Ранг обычно обозначается как $ранг ⁡ (A) {\ displaystyle \ operatorname {rank} (A)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {rank} (A)}$ или $rk ⁡ (A) {\ displaystyle \ OperatorName {rk} (A)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {rk} (A)}$ ; иногда круглые скобки не записываются, например, в $rank ⁡ A {\ displaystyle \ operatorname {rank} A}$ ${\ displaystyle \ operatorname {rank} A}$ .

1 Основные определения
2 Примеры
3 Вычисление ранга матрицы
- 3.1 Ранг из форм эшелона строк
- 3.2 Вычисление
4 Доказательства того, что ранг столбца = ранг строки
- 4.1 Первое доказательство
- 4.2 Второе доказательство
- 4.3 Третье доказательство
5 Альтернативные определения
6 Свойства
7 Приложения
8 Обобщение
9 Матрицы как тензоры
10 См. Также
11 Примечания
12 Ссылки
13 Дополнительная литература

Основные определения

В этом разделе мы дадим некоторые определения ранга матрицы. Возможны многие определения; см. Альтернативные определения для некоторых из них.

ранг столбца $A {\ displaystyle A}$ $A$ - это измерение пространства столбца из $A {\ displaystyle A}$ $A$ , а ранг строки из $A {\ displaystyle A}$ $A$ - это размер пространство между строками из $A {\ displaystyle A}$ $A$ .

Фундаментальным результатом линейной алгебры является то, что ранг столбца и ранг строки всегда равны. (Два доказательства этого результата приведены в разделе § Доказательства того, что ранг столбца = ранг строки, ниже.) Это число (т. Е. Количество линейно независимых строк или столбцов) просто называется rank из $A {\ displaystyle A}$ $A$ .

Считается, что матрица имеет полный ранг, если ее ранг равен наибольшему возможному для матрицы той же размерности, что является меньшим из количество строк и столбцов. Матрица называется с недостаточным рангом, если она не имеет полного ранга. Дефицит ранга матрицы - это разница между меньшим количеством строк и столбцов и рангом.

Ранг также является размерностью изображения линейного преобразования , которое дается умножением на A. В более общем смысле, если линейный оператор в векторном пространстве (возможно, бесконечномерном) имеет конечномерное изображение (например, оператор конечного ранга ), тогда ранг оператора определяется как размерность изображения.

Примеры

Матрица

[1 0 1–2–3 1 3 3 0] {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 0 1 \\ - 2 -3 1 \\ 3 3 0 \ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 0 1 \\ - 2 -3 1 \\ 3 3 0 \ end {bmatrix}}}

имеет ранг 2: первые два столбца являются линейно независимыми, поэтому ранг не меньше 2, но поскольку третий является линейной комбинацией первых двух ( второй вычитается из первого), три столбца линейно зависимы, поэтому ранг должен быть меньше 3.

Матрица

A = [1 1 0 2 - 1 - 1 0 - 2] {\ displaystyle A = {\ begin {bmatrix} 1 1 0 2 \\ - 1 -1 0 -2 \ end {bmatrix}}}

A = \ begin {bmatrix} 1 1 0 2 \\ - 1 -1 0 -2 \ end {bmatrix}

имеет ранг 1: столбцы ненулевые, поэтому ранг положительный, но любая пара столбцов линейно зависимый. Аналогично, транспонирует

AT = [1 - 1 1 - 1 0 0 2 - 2] {\ displaystyle A ^ {\ mathrm {T}} = {\ begin {bmatrix} 1 -1 \\ 1 -1 \\ 0 0 \\ 2 -2 \ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle A ^ {\ mathrm {T}} = {\ begin {bmatrix} 1 -1 \\ 1 -1 \\ 0 0 \\ 2 -2 \ end {bmatrix}}}

из $A {\ displaystyle A}$ $A$ имеет ранг 1. Действительно, поскольку векторы-столбцы $A {\ displaystyle A}$ $A$ - это векторы-строки транспонирования из $A {\ displaystyle A}$ $A$ , утверждения, что ранг столбца матрица равна ее рангу строки эквивалентна утверждению, что ранг матрицы равен рангу ее транспонирования, т. е. $ранг ⁡ (A) = ранг ⁡ (AT) {\ displaystyle \ operatorname {rank} ( A) = \ operatorname {rank} \ left (A ^ {\ mathrm {T}} \ right)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {rank} (A) = \ operatorname {rank} \ left (A ^ {\ mathrm {T}} \ right)}$ .

Вычисление ранга матрицы

Ранжирование из форм эшелона строк

Обычный подход к нахождению ранга матрицы заключается в приведении ее к более простой форме, обычно форма эшелона строк, с помощью операций с элементарной строкой. Операции со строками не изменяют пространство строк (следовательно, не меняют ранг строки) и, будучи обратимыми, отображают пространство столбцов в изоморфное пространство (следовательно, не меняют ранг столбца). Находясь в форме эшелона строк, ранг явно одинаков как для ранга строки, так и для ранга столбца и равен количеству сводных (или базовых столбцов), а также количеству ненулевых строк.

Например, матрица $A {\ displaystyle A}$ $A$ , заданная как

A = [1 2 1 - 2 - 3 1 3 5 0] {\ displaystyle A = {\ begin {bmatrix} 1 2 1 \\ - 2 -3 1 \\ 3 5 0 \ end {bmatrix}}}

A=\begin{bmatrix}121\\-2-31\\350\end{bmatrix}

можно преобразовать в сокращенную форму строки-эшелона, используя следующие элементарные операции со строками:

[1 2 1 - 2 - 3 1 3 5 0] R 2 → 2 r 1 + r 2 [1 2 1 0 1 3 3 5 0] R 3 → - 3 r 1 + r 3 [1 2 1 0 1 3 0 - 1 - 3] R 3 → r 2 + r 3 [1 2 1 0 1 3 0 0 0] R 1 → - 2 r 2 + r 1 [1 0 - 5 0 1 3 0 0 0] {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 2 1 \\ - 2 -3 1 \\ 3 5 0 \ end {bmatrix}} R_ {2} \ rightarrow 2r_ {1} + r_ {2} {\ begin {bmatrix} 1 2 1 \\ 0 1 3 \\ 3 5 0 \ end { bmatrix}} R_ {3} \ rightarrow -3r_ {1} + r_ {3} {\ begin {bmatrix} 1 2 1 \\ 0 1 3 \\ 0 -1 -3 \ end {bmatrix}} R_ {3} \ rightarrow r_ { 2} + r_ {3} {\ begin {bmatrix} 1 2 1 \\ 0 1 3 \\ 0 0 0 \ end {bmatrix}} R_ {1} \ rightarrow -2r_ {2} + r_ {1} {\ begin {bmatrix} 1 0 - 5 \\ 0 1 3 \\ 0 0 0 \ end {bmatrix}}}

\ begin {bmatrix} 1 2 1 \\ - 2 -3 1 \\ 3 5 0 \ end {bmatrix} R_2 \ rightarrow 2r_1 + r_2 \ begin {bmatrix} 1 2 1 \\ 0 1 3 \\ 3 5 0 \ end {bmatrix} R_3 \ rightarrow -3r_1 + r_3 \ begin {bmatrix} 1 2 1 \\ 0 1 3 \\ 0 -1 -3 \ end {bmatrix} R_3 \ rightarrow r_2 + r_3 \ begin {bmatrix} 1 2 1 \\ 0 1 3 \\ 0 0 0 \ end {bmatrix} R_1 \ rightarrow -2r_2 + r_1 \ begin {bmatrix} 1 0 -5 \\ 0 1 3 \\ 0 0 0 \ end {bmatrix}

Окончательная матрица (в форме эшелона строк) имеет две ненулевые строки и, следовательно, ранг матрицы $A {\ displaystyle A}$ $A$ равно 2.

Вычисления

При применении к вычислениям с плавающей запятой на компьютерах базовое исключение Гаусса (LU-разложение ) может быть ненадежным, и следует использовать разложение с выявлением ранга вместо. Эффективной альтернативой является разложение по сингулярным значениям (SVD), но есть и другие менее дорогие варианты, такие как QR-разложение с поворотом (так называемая QR-факторизация с выявлением ранга ), которые все же численно более устойчивы, чем метод исключения Гаусса. Для численного определения ранга требуется критерий для принятия решения, когда значение, такое как сингулярное значение из SVD, следует рассматривать как нулевое, практический выбор, который зависит как от матрицы, так и от приложения.

Доказательства того, что ранг столбца = ранг строки

Тот факт, что ранги столбца и строки любой матрицы равны, является фундаментальным в линейной алгебре. Приведем три доказательства этого результата. Первый короткий, использует только основные свойства линейных комбинаций векторов и действителен для любого поля . Доказательство основано на Wardlaw (2005). Второй - элегантный аргумент, использующий ортогональность, и действителен для матриц с действительными числами ; он основан на Mackiw (1995). Все три доказательства можно найти в книге Банерджи и Роя (2014).

Первое доказательство

Пусть A - матрица размера m × n. Пусть ранг столбца A равен r, и пусть c 1,..., c r будет любой базой для пространства столбцов A. Поместите их как столбцы m × r матрица C. Каждый столбец A может быть выражен как линейная комбинация r столбцов в C. Это означает, что существует матрица R размером r × n такая, что A = CR. R - это матрица, i-й столбец которой сформирован из коэффициентов, дающих i-й столбец A в виде линейной комбинации r столбцов C. Другими словами, R - матрица, которая содержит кратные для оснований пространства столбцов из A (то есть C), которые затем используются для формирования A в целом. Теперь каждая строка матрицы A задается линейной комбинацией r строк матрицы R. Следовательно, строки матрицы R образуют остовное множество пространства строк матрицы A и, согласно лемме об обмене Стейница, ранг строки A не может превышать r. Это доказывает, что ранг строки A меньше или равен рангу столбца A. Этот результат может быть применен к любой матрице, поэтому примените результат к транспонированию A. Поскольку ранг строки транспонированного A является ранг столбца A и ранг столбца транспонированного A - это ранг строки A, это устанавливает обратное неравенство, и мы получаем равенство ранга строки и ранга столбца A. (См. также Факторизация ранга.)

Второе доказательство

Пусть A будет матрицей размера m × n с элементами действительных чисел, ранг строки которой равен r. Следовательно, размерность пространства строк матрицы A равна r. Пусть $x 1, x 2,…, xr {\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {r}}$ $x_1, x_2, \ ldots, x_r$ будет базисом пространство строки A. Мы утверждаем, что векторы $A x 1, A x 2,…, A xr {\ displaystyle Ax_ {1}, Ax_ {2}, \ ldots, Ax_ {r}}$ $Ax_1, Ax_2, \ ldots, Ax_r$ являются линейно независимыми. Чтобы понять, почему, рассмотрим линейное однородное отношение, включающее эти векторы со скалярными коэффициентами $c 1, c 2,…, cr {\ displaystyle c_ {1}, c_ {2}, \ ldots, c_ {r}}$ $c_1, c_2, \ ldots, c_r$ :

0 = c 1 A x 1 + c 2 A x 2 + ⋯ + cr A xr = A (c 1 x 1 + c 2 x 2 + ⋯ + crxr) = A v, {\ displaystyle 0 = c_ {1} Ax_ {1} + c_ {2} Ax_ {2} + \ cdots + c_ {r} Ax_ {r} = A (c_ {1} x_ {1} + c_ {2} x_ {2} + \ cdots + c_ {r} x_ {r}) = Av,}

0 = c_1 Ax_1 + c_2 Ax_2 + \ cdots + c_r Ax_r = A (c_1x_1 + c_2x_2 + \ cdots + c_rx_r) = Av,

где $v = c 1 x 1 + c 2 x 2 + ⋯ + crxr {\ displaystyle v = c_ {1} x_ {1} + c_ { 2} x_ {2} + \ cdots + c_ {r} x_ {r}}$ $v = c_1x_1 + c_2x_2 + \ cdots + c_r x_r$ . Сделаем два наблюдения: (a) v является линейной комбинацией векторов в пространстве строк A, что означает, что v принадлежит пространству строк A, и (b) поскольку A v = 0, вектор v ортогонален каждому вектору-строке A и, следовательно, ортогонален каждому вектору в пространстве строк A. Факты (a) и (b) вместе означают, что v ортогонален сам себе, что доказывает, что v = 0 или, по определению v,

c 1 x 1 + c 2 x 2 + ⋯ + crxr = 0. {\ displaystyle c_ {1} x_ {1} + c_ {2} x_ {2} + \ cdots + c_ {r} x_ {r} = 0.}

c_1x_1 + c_2x_2 + \ cdots + c_r x_r = 0.

Но помните, что $xi {\ displaystyle x_ {i}}$ $x_{i}$ были выбраны в качестве основы для пространства строк A и поэтому линейно независимы. Это означает, что $c 1 = c 2 = ⋯ = c r = 0 {\ displaystyle c_ {1} = c_ {2} = \ cdots = c_ {r} = 0}$ $c_1 = c_2 = \ cdots = c_r = 0$ . Отсюда следует, что $A x 1, A x 2,…, A x r {\ displaystyle Ax_ {1}, Ax_ {2}, \ ldots, Ax_ {r}}$ $Ax_1, Ax_2, \ ldots, Ax_r$ линейно независимы.

Теперь каждый $A xi {\ displaystyle Ax_ {i}}$ $Ax_ { i}$ , очевидно, является вектором в пространстве столбцов A. Итак, $A x 1, A x 2,…, A xr {\ displaystyle Ax_ {1}, Ax_ {2}, \ ldots, Ax_ {r}}$ $Ax_1, Ax_2, \ ldots, Ax_r$ - это набор из r линейно независимых векторов в пространстве столбцов A и, следовательно,, размерность пространства столбцов A (т. е. ранг столбца A) должна быть не меньше r. Это доказывает, что ранг строки A не больше ранга столбца A. Теперь примените этот результат к транспонированию A, чтобы получить обратное неравенство, и сделайте вывод, как в предыдущем доказательстве.

Третье доказательство

Наконец, мы обеспечиваем доказательство связанного результата, rk (A) = rk (A), где A - сопряженное транспонирование или эрмитово транспонирование из A. Когда элементы A являются действительными числами, этот результат становится rk (A) = rk (A) и может представлять собой еще одно доказательство того, что ранг строки равен рангу столбца. В противном случае для комплексных матриц rk (A) = rk (A) не эквивалентно row rank = column rank, и следует использовать первое доказательство, приведенное выше. Это короткое, элегантное доказательство использует пустое пространство .

Сначала обратите внимание, что $A ∗ A x = 0 {\ displaystyle A ^ {*} Ax = 0}$ ${\ displaystyle A ^ {*} Ax = 0}$ , если и только если $A x = 0 {\ displaystyle Ax = 0}$ $Ax = 0$ . Действительно, одно направление тривиально, а другое следует из следующей цепочки рассуждений:

$A ∗ A x = 0 ⇒ x ∗ A ∗ A x = 0 ⇒ (A x) ∗ (A x) = 0 ⇒ ‖ A х ‖ 2 = 0 ⇒ A x = 0 {\ displaystyle A ^ {*} Ax = 0 \ Rightarrow x ^ {*} A ^ {*} Ax = 0 \ Rightarrow (Ax) ^ {*} (Ax) = 0 \ Rightarrow \ | Ax \ | ^ {2} = 0 \ Rightarrow Ax = 0}$ ${\ displaystyle A ^ {*} Ax = 0 \ Стрелка вправо x ^ {*} A ^ {*} Ax = 0 \ Rightarrow (Ax) ^ {*} (Ax) = 0 \ Rightarrow \ | Ax \ | ^ {2} = 0 \ Rightarrow Ax = 0}$

, где $‖ ⋅ ‖ {\ displaystyle \ | \ cdot \ |}$ $\ | \ cdot \ |$ - это Евклидова норма. Это доказывает, что пустое пространство из $A {\ displaystyle A}$ $A$ равно пустому пространству из $A ∗ A {\ displaystyle A ^ {*} A}$ $A ^ {*} A$ . Из теоремы ранг – недействительность получаем $rk (A) = rk (A ∗ A) {\ displaystyle \ mathrm {rk} (A) = \ mathrm {rk} (A ^ { *} А)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {rk} (A) = \ mathrm {rk} (A ^ {*} A)}$ . Каждый столбец $A ∗ A {\ displaystyle A ^ {*} A}$ $A ^ {*} A$ представляет собой линейную комбинацию столбцов $A ∗ {\ displaystyle A ^ {*}}$ $A^{*}$ . Следовательно, пространство столбцов $A ∗ A {\ displaystyle A ^ {*} A}$ $A ^ {*} A$ является подпространством пространства столбцов $A ∗ {\ displaystyle A ^ {*}}$ $A^{*}$ . Это означает, что $rk (A ∗ A) ≤ rk (A ∗) {\ displaystyle \ mathrm {rk} (A ^ {*} A) \ leq \ mathrm {rk} (A ^ {*})}$ ${\ displaystyle \ mathrm {rk} (A ^ {* } A) \ leq \ mathrm {rk} (A ^ {*})}$ . Мы доказали: $rk (A) = rk (A ∗ A) ≤ rk (A ∗) {\ displaystyle \ mathrm {rk} (A) = \ mathrm {rk} (A ^ {*} A) \ leq \ mathrm {rk} (A ^ {*})}$ ${\ displaystyle \ mathrm {rk} ( A) = \ mathrm {rk} (A ^ {*} A) \ leq \ mathrm {rk} (A ^ {*})}$ . Теперь примените этот результат к $A ∗ {\ displaystyle A ^ {*}}$ $A^{*}$ , чтобы получить обратное неравенство и заключить, что ранги равны.

Когда элементы $A {\ displaystyle A}$ $A$ являются действительными, сопряженное транспонирование является транспонированием, и мы получаем $rk (A) = rk (AT) {\ displaystyle \ mathrm {rk} (A) = \ mathrm {rk} (A ^ {T})}$ ${\ displaystyle \ mathrm {rk} (A) = \ mathrm {rk} (A ^ {T})}$ по желанию.

Альтернативные определения

Во всех определениях в этом разделе матрица A считается матрицей m × n над произвольным полем F.

Размер изображения

Учитывая матрицу $A {\ displaystyle A}$ $A$ , существует связанное с ним линейное отображение

f: F n ↦ F m {\ displaystyle f: F ^ {n} \ mapsto F ^ {m}}

{\ displaystyle f: F ^ {n} \ mapsto F ^ {m}}

определяется как

f (x) = A x {\ displaystyle f (x) = Ax}

{\ displaystyle f (x) = Ax}

Ранг $A {\ displaystyle A}$ $A$ - размер изображения $f {\ displaystyle f}$ $f$ . Это определение имеет то преимущество, что его можно применить к любой линейной карте без необходимости в конкретной матрице.

Ранг с точки зрения ничтожности

Учитывая то же линейное отображение f, что и выше, ранг равен n минус размерность ядра f. Теорема ранг – недействительность утверждает, что это определение эквивалентно предыдущему.

Ранг столбца - размер пространства столбца

Ранг A - это максимальное количество линейно независимых столбцов $c 1, c 2,…, ck {\ displaystyle c_ {1}, c_ {2}, \ dots, c_ {k}}$ $c_1, c_2, \ dots, c_k$ из A; это измерение пространства столбцов A (пространство столбцов является подпространством F, порожденным столбцами A, которое на самом деле является просто изображением линейной карты f связанный с A).

Row rank - размерность пространства строк

Ранг A - это максимальное количество линейно независимых строк A; это размер пространства строк A.

Разложение ранга

Ранг A - это наименьшее целое число k, такое что A может быть разложено на множители как $A = CR {\ displaystyle A = CR}$ $A = CR$ , где C - матрица размера m × k, а R - матрица размера k × n. Фактически, для всех целых k следующие значения эквивалентны:

ранг столбца A меньше или равен k,
существует k столбцов $c 1,…, ck {\ displaystyle c_ {1}, \ ldots, c_ {k}}$ $c_1, \ ldots, c_k$ размера m, так что каждый столбец A представляет собой линейную комбинацию $c 1,…, ck {\ displaystyle c_ {1}, \ ldots, c_ {k}}$ $c_1, \ ldots, c_k$ ,
существует $m × k {\ displaystyle m \ times k}$ $m \ times k$ матрица C и a $k × n {\ displaystyle k \ умноженное на n}$ $k \ times n$ матрица R такая, что $A = CR {\ displaystyle A = CR}$ $A = CR$ (когда k - ранг, это разложение ранга из A),
существует k строк $r 1,…, rk {\ displaystyle r_ {1}, \ ldots, r_ {k}}$ $r_1, \ ldots, r_k$ размера n таких, что каждая строка A является линейной комбинацией $r 1,…, rk {\ displaystyle r_ {1}, \ ldots, r_ {k}}$ $r_1, \ ldots, r_k$ ,
ранг строки A меньше или равен k.

Действительно, следующие эквивалентности очевидны: $(1) ⇔ (2) ⇔ (3) ⇔ (4) ⇔ (5) {\ displaystyle (1) \ Leftrightarrow (2) \ Leftrightarrow (3) \ Le ftrightarrow (4) \ Leftrightarrow (5)}$ $(1)\Leftrightarrow(2)\LeftRight(3)\Leftrightarrow(4)\Leftrightarrow(5)$ . Например, чтобы доказать (3) из (2), возьмем C в качестве матрицы, столбцы которой равны $c 1,…, ck {\ displaystyle c_ {1}, \ ldots, c_ {k}}$ $c_1, \ ldots, c_k$ из (2). Чтобы доказать (2) из (3), возьмем $c 1,…, ck {\ displaystyle c_ {1}, \ ldots, c_ {k}}$ $c_1, \ ldots, c_k$ в качестве столбцов C.

Из эквивалентности $(1) ⇔ (5) {\ displaystyle (1) \ Leftrightarrow (5)}$ $(1) \ Leftrightarrow (5)$ следует, что ранг строки равен рангу столбца.

Как и в случае характеристики «размерности изображения», это можно обобщить до определения ранга любой линейной карты: ранг линейной карты f: V → W - это минимальная размерность k промежуточного пространства X такое, что f может быть записано как композиция отображения V → X и отображения X → W. К сожалению, это определение не предлагает эффективного способа вычисления ранга (для которого лучше использовать одно альтернативных определений). Подробнее см. разложение на множители.

Ранг по сингулярным значениям

Ранг A равен количеству ненулевых сингулярных значений, что совпадает с количеством ненулевых диагональных элементов в Σ в разложение по сингулярным числам $A = U Σ V ∗ {\ displaystyle A = U \ Sigma V ^ {*}}$ ${\ displaystyle A = U \ Sigma V ^ {*}}$ .

Детерминантный ранг - размер наибольшего не исчезающего второстепенного значения

Ранг A - это наибольший порядок любого ненулевого второстепенного в A. (Порядок второстепенного - это длина стороны квадратной подматрицы, в которой он является определителем.) Как и характеристика ранга разложения., это не дает эффективного способа вычисления ранга, но это полезно теоретически: единственный ненулевой минор свидетельствует о нижней границе (а именно ее порядке) для ранга матрицы, что может быть полезно (например) для доказать, что некоторые операции не понижают ранг матрицы.

Ненулевой p-минор (подматрица p × p с ненулевым определителем) показывает, что строки и столбцы этой подматрицы линейно независимы, и, следовательно, эти строки и столбцы полной матрицы линейно независимы (в полной матрице), так что ранг строки и столбца по крайней мере равен детерминантному рангу; однако обратное менее однозначно. Эквивалентность детерминантного ранга и ранга столбца является усилением утверждения о том, что если промежуток из n векторов имеет размерность p, то p этих векторов покрывают пространство (эквивалентно, что можно выбрать остовное множество, которое является подмножеством векторов): эквивалентность означает, что подмножество строк и подмножество столбцов одновременно определяют обратимую подматрицу (эквивалентно, если промежуток из n векторов имеет размерность p, то p этих векторов покрывают пространство и существует набор p координаты, на которых они линейно независимы).

Тензорный ранг - минимальное количество простых тензоров

Рангом A является наименьшее число k такое, что A может быть записано как сумма k матриц ранга 1, где матрица определена как имеющая ранг 1 тогда и только тогда если его можно записать как ненулевое произведение $c ⋅ r {\ displaystyle c \ cdot r}$ $c \ cdot r$ вектора-столбца c и вектора-строки r. Это понятие ранга называется тензорным рангом ; его можно обобщить в разделимых моделях интерпретации разложения по сингулярным значениям.

Свойства

Мы предполагаем, что A является матрицей размера m × n, и мы определяем линейное отображение f на f (x ) = A x, как указано выше.

Ранг матрицы m × n является неотрицательным целым числом и не может быть больше, чем m или n. То есть

ранг ⁡ (A) ≤ min (m, n). {\ displaystyle \ operatorname {rank} (A) \ leq \ min (m, n).}

\ operatorname {rank} (A) \ le \ min (m, n).

Матрица с рангом min (m, n) называется имеющей полный ранг; в противном случае матрица имеет недостаточный ранг.

Только нулевая матрица имеет ранг ноль.
f является инъективным (или «один к одному») тогда и только тогда, когда A имеет ранг n (в этом случае мы говорим, что A имеет полный ранг столбца).
f является сюръективным (или "на") тогда и только тогда, когда A имеет ранг m (в этом случае мы говорим, что A имеет полный ранг строки).
Если A - квадратная матрица (т. е. m = n), то A обратима тогда и только тогда если A имеет ранг n (то есть A имеет полный ранг).
Если B - любая матрица размера n × k, то

rank ⁡ (AB) ≤ min (rank ⁡ (A), rank ⁡ (B)). {\ displaystyle \ operatorname {rank} (AB) \ leq \ min (\ operatorname {rank} (A), \ operatorname {rank} (B)).}

{\ displaystyle \ operatorname {rank} (AB) \ leq \ min (\ operatorname {rank} (A), \ operatorname {rank} (B)).}

Если B - матрица размера n × k с рангом n, то

rank ⁡ (AB) = rank ⁡ (A). {\ displaystyle \ operatorname {rank} (AB) = \ operatorname {rank} (A).}

\ operatorname {rank} (AB) = \ operatorname {rank} (A).

Если C - матрица размера l × m с рангом m, то

rank ⁡ (CA) = rank ⁡ ( А). {\ displaystyle \ operatorname {rank} (CA) = \ operatorname {rank} (A).}

\ operatorname {rank} (CA) = \ operatorname {rank} (A).

Ранг матрицы A равен r тогда и только тогда, когда существует обратимая матрица X размера m × m и обратимая n × n матрица Y такая, что

XAY = [I r 0 0 0], {\ displaystyle XAY = {\ begin {bmatrix} I_ {r} 0 \\ 0 0 \\\ end {bmatrix}},}

XAY = \ begin {bmatrix} I_r 0 \\ 0 0 \\ \ end {bmatrix},

где I r обозначает единичную матрицу размера r × r .

ранговое неравенство Сильвестра : если A - матрица m × n, а B - n × k, тогда

rank ⁡ (A) + rank ⁡ (B) - n ≤ rank rank (AB). {\ displaystyle \ operatorname {rank} (A) + \ operatorname {rank} (B) -n \ leq \ operatorname {rank} (AB).}

\ operatorname {rank} (A) + \ operatorname {rank} (B) - п \ leq \ OperatorName {rank} (AB).

Это частный случай следующего неравенства.

Неравенство из-за Фробениуса : если AB, ABC и BC определены, то

rank ⁡ (AB) + rank ⁡ (BC) ≤ rank ⁡ (B) + rank ⁡ (ABC). {\ displaystyle \ operatorname {rank} (AB) + \ Operatorname {rank} (BC) \ leq \ operatorname {rank} (B) + \ operatorname {rank} (ABC).}

\ operatorname {rank} (AB) + \ operatorname {rank} (BC) \ le \ operatorname {rank} (B) + \ operatorname {rank} (ABC).

Субаддитивность:

rank ⁡ (A + B) ≤ ранг ⁡ (A) + ранг ⁡ (B) {\ Displaystyle \ OperatorName {rank} (A + B) \ Leq \ Operatorname {rank} (A) + \ Operatorname {rank} (B) }

\ operatorname {rank} (A + B) \ le \ operatorname {rank} (A) + \ operatorname {rank} (B)

когда A и B имеют одинаковую размерность. Как следствие, матрица ранга k может быть записана как сумма k матриц ранга 1, но не меньше.

Ранг матрицы плюс нулевое значение матрицы равняется количеству столбцы матрицы. (Это теорема ранг-недействительность.)
Если A - матрица над действительными числами, то ранг A и ранг соответствующей матрицы Грама равны. Таким образом, для вещественных матриц

ранг ⁡ (ATA) = ранг ⁡ (AAT) = ранг ⁡ (A) = ранг ⁡ (AT). {\ Displaystyle \ operatorname {rank} (A ^ {\ mathrm {T} } A) = \ operatorname {rank} (AA ^ {\ mathrm {T}}) = \ operatorname {rank} (A) = \ operatorname {rank} (A ^ {\ mathrm {T}}).}

\ operatorname {ранг} (A ^ \ mathrm {T} A) = \ operatorname {rank} (AA ^ \ mathrm {T}) = \ operatorname {rank} (A) = \ operatorname {rank} (A ^ \ mathrm {T}).

Это можно показать, доказав равенство их нулевых пространств. Нулевое пространство матрицы Грама задается векторами x, для которых

ATA x = 0. {\ displaystyle A ^ {\ mathrm { T}} Ax = 0.}

A ^ \ mathrm {T} A x = 0.

Если это условие выполнено, мы также имеем

0 = x TATA x = | A x | 2. {\ Displaystyle 0 = x ^ {\ mathrm {T }} A ^ {\ mathrm {T}} Ax = \ left | Ax \ right | ^ {2}.}

0 = x ^ \ mathrm {T} A ^ \ mathrm {T} A x = \ left | A x \ right | ^ 2.

Если A - матрица по комплексным числам и $A ¯ {\ displaystyle {\ overline {A}}}$ ${\ overline {A}}$ обозначает комплексное сопряжение A и A, сопряженное транспонирование A (т. е. adjo int из A), то

rank ⁡ (A) = rank ⁡ (A ¯) = rank ⁡ (AT) = rank ⁡ (A ∗) = rank ⁡ (A ∗ A) = rank ⁡ (AA ∗). {\ displaystyle \ operatorname {rank} (A) = \ operatorname {rank} ({\ overline {A}}) = \ operatorname {rank} (A ^ {\ mathrm {T}}) = \ operatorname {rank} ( A ^ {*}) = \ operatorname {rank} (A ^ {*} A) = \ operatorname {rank} (AA ^ {*}).}

{\ displaystyle \ operatorname {rank} (A) = \ operatorname {rank} ({\ overline {A}}) = \ operatorname {rank} (A ^ {\ mathrm {T}}) = \ operatorname {rank} (A ^ {*}) = \ operatorname {rank} (A ^ {*} A) = \ operatorname {rank} (AA ^ {*}).}

Приложения

Одно полезное приложение для вычисления ранг матрицы - это вычисление количества решений системы линейных уравнений. Согласно теореме Руше – Капелли, система несовместима, если ранг расширенной матрицы больше ранга матрицы коэффициентов. Если, с другой стороны, ранги этих двух матриц равны, то система должна иметь хотя бы одно решение. Решение уникально тогда и только тогда, когда ранг равен количеству переменных. В противном случае общее решение имеет k свободных параметров, где k - разница между количеством переменных и рангом. В этом случае (и если предположить, что система уравнений состоит из действительных или комплексных чисел) система уравнений имеет бесконечно много решений.

В теории управления ранг матрицы может использоваться для определения того, является ли линейная система управляемой или наблюдаемой..

В поле коммуникационная сложность ранг коммуникационной матрицы функции дает границы объема коммуникации, необходимой двум сторонам для вычисления функции.

Обобщение

Существуют различные обобщения концепции ранга на матрицы над произвольными кольцами , где ранг столбца, ранг строки, размерность пространства столбца и размерность строки пространство матрицы может отличаться от других или не существовать.

Если рассматривать матрицы как тензоры, тензорный ранг обобщается на произвольные тензоры; для тензоров порядка больше 2 (матрицы - это тензоры порядка 2), ранг очень трудно вычислить, в отличие от матриц.

Существует понятие ранга для гладких отображений между гладкими многообразиями. Он равен линейному рангу матрицы производной.

как тензора

Ранг матрицы не следует путать с порядком тензора, который называется тензорным рангом. Тензорный порядок - это количество индексов, необходимых для записи тензора , и, таким образом, все матрицы имеют тензорный порядок 2. Точнее, матрицы - это тензоры типа (1,1), имеющие один индекс строки и один индекс столбца., также называемый ковариантным порядком 1 и контравариантным порядком 1; подробнее см. Тензор (внутреннее определение).

Тензорный ранг матрицы также может означать минимальное количество простых тензоров, необходимых для выражения матрицы как линейной комбинации, и что это определение действительно согласуется с рангом матрицы, как здесь обсуждается.

См. Также

Примечания

Ссылки

Дополнительная литература

Роджер А. Хорн и Чарльз Р. Джонсон (1985). Матричный анализ. ISBN 978-0-521-38632-6.
Кау, Аутар К. Две главы из книги Введение в матричную алгебру: 1. Векторы [1] и Система уравнений [2]
Майк Брукс: Справочное руководство по матрице. [3 ]