Теорема Сарда

В математике, теорема Сарда, также известная как леммы Сарда или теорема Морса-Сард, является результатом в математическом анализе, который утверждает, что множество критических значений (то есть, изображение множества критических точек ) из гладкой функции F от одного евклидова пространства или многообразия к другому - это нулевое множество, т. е. оно имеет меру Лебега 0. Это делает набор критических значений «маленьким» в смысле общего свойства. Теорема названа в честь Энтони Морса и Артура Сарда.

• 1 Заявление
• 2 варианта
• 3 См. Также
• 4 ссылки
• 5 Дальнейшее чтение

Более конкретно, пусть

${\ Displaystyle е \ двоеточие \ mathbb {R} ^ {n} \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {m}}$

быть, (то есть раз непрерывно дифференцируемыми ), где. Пусть обозначает критическое множество из которых является множество точек, на котором матрица Якоби из имеет ранг. Тогда образ имеет меру Лебега 0 в. ${\ displaystyle C ^ {k}}$${\ displaystyle k}$ ${\ Displaystyle к \ geq \ макс \ {п-м + 1,1 \}}$${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle f,}$${\ Displaystyle х \ в \ mathbb {R} ^ {п}}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle lt;m}$ ${\ displaystyle f (X)}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {m}}$

Интуитивно говоря, это означает, что, хотя его изображение может быть большим, его изображение должно быть маленьким в смысле меры Лебега: хотя он может иметь много критических точек в области, он должен иметь несколько критических значений в изображении. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {m}}$

В более общем смысле результат также верен для отображений между дифференцируемыми многообразиями и размерностей и соответственно. Критическое множество из функции ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle C ^ {k}}$

${\ displaystyle f: N \ rightarrow M}$

состоит из тех точек, в которых дифференциал

${\ displaystyle df: TN \ rightarrow TM}$

имеет ранг меньше, чем линейное преобразование. Если, то теорема Сарда утверждает, что образ имеет нулевую меру как подмножество. Такая формулировка результата следует из версии для евклидовых пространств, взяв счетное множество координатных пятен. Заключение теоремы является локальным утверждением, поскольку счетное объединение множеств нулевой меры является множеством нулевой меры, а свойство подмножества координатного пятна, имеющего нулевую меру, инвариантно относительно диффеоморфизма. ${\ displaystyle m}$${\ Displaystyle к \ geq \ макс \ {п-м + 1,1 \}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle M}$

Есть много вариантов этой леммы, которая играет основную роль в теории особенностей среди других областей. Этот случай был доказан Энтони П. Морсом в 1939 году, а общий случай - Артуром Сардом в 1942 году. ${\ displaystyle m = 1}$

Версия для бесконечномерных банаховых многообразий была доказана Стивеном Смейлом.

Утверждение весьма убедительно, и его доказательство требует анализа. В топологии это часто цитируется - как в теореме Брауэра о неподвижной точке и некоторых приложениях в теории Морса - для доказательства более слабого следствия, что «непостоянное гладкое отображение имеет по крайней мере одно регулярное значение».

В 1965 Сарде далее обобщена своей теорему для государства, если это для и, если есть множество точек таких, что имеет ранг строго меньше, то г - мерная мера Хаусдорфа из равена нуля. В частности, размерность Хаусдорфа из не превосходит г. Предостережение: размерность Хаусдорфа может быть сколь угодно близкой к r. ${\ displaystyle f: N \ rightarrow M}$${\ displaystyle C ^ {k}}$${\ Displaystyle к \ geq \ макс \ {п-м + 1,1 \}}$${\ displaystyle A_ {r} \ substeq N}$${\ displaystyle x \ in N}$${\ displaystyle df_ {x}}$${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle f (A_ {r})}$ ${\ displaystyle f (A_ {r})}$${\ displaystyle f (A_ {r})}$

• Родовое имущество

• Хирш, Моррис В. (1976), Дифференциальная топология, Нью-Йорк: Springer, стр. 67–84, ISBN   0-387-90148-5.
• Штернберг, Шломо (1964), Лекции по дифференциальной геометрии, Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, MR   0193578, Zbl   0129.13102.