Удобное векторное пространство

редактировать

В математике удобные векторные пространства - это локально выпуклые векторные пространства, удовлетворяющие очень мягкое условие полноты.

Традиционное дифференциальное исчисление эффективно при анализе конечномерных векторных пространств и для банаховых пространств. За пределами банаховых пространств начинают возникать трудности; в частности, композиция непрерывных линейных отображений перестает быть совместно непрерывной на уровне банаховых пространств для любой совместимой топологии на пространствах непрерывных линейных отображений.

Отображения между удобными векторными пространствами являются гладкими или $C ∞ {\ displaystyle C ^ {\ infty}}$ $C ^ {\ infty }$ , если они отображают гладкие кривые в гладкие кривые. Это приводит к декартовой замкнутой категории гладких отображений между $c ∞ {\ displaystyle c ^ {\ infty}}$ $c^{\infty }$ -открытыми подмножествами удобных векторных пространств (см. Свойство 6 ниже). Соответствующее исчисление гладких отображений называется удобным исчислением. Это более слабое, чем любое другое разумное понятие дифференцируемости, его легко применить, но есть гладкие отображения, которые не являются непрерывными (см. Примечание 1). Сам по себе этот тип исчисления бесполезен при решении уравнений.

Содержание

1 $c ∞ {\ displaystyle c ^ {\ infty}}$ $c^{\infty }$ -топология
2 Удобные векторные пространства
3 Сглаженные отображения
4 Основные свойства гладкого исчисления
5 Связанные удобные исчисления
6 Применение: многообразия отображений между конечномерными многообразиями
- 6.1 Регулярные группы Ли
- 6.2 Основное расслоение вложений
- 6.3 Дальнейшие приложения
7 Примечания
8 источников

c ∞ {\ displaystyle c ^ {\ infty}}

c^{\infty }

-topology

Пусть $E {\ displaystyle E}$ $E$ - локально выпуклое векторное пространство. Кривая $c: R → E {\ displaystyle c: \ mathbb {R} \ to E}$ ${\displays tyle c:\mathbb {R} \to E}$ называется гладкой или $C ∞ {\ displaystyle C ^ {\ infty}}$ $C ^ {\ infty }$ , если все производные существуют и непрерывны. Пусть $C ∞ (R, E) {\ displaystyle C ^ {\ infty} (\ mathbb {R}, E)}$ $C^{\infty }(\mathbb {R},E)$ будет пространством гладких кривых. Можно показать, что набор гладких кривых не зависит полностью от локально выпуклой топологии $E {\ displaystyle E}$ $E$ , а только от связанной с ним борнологии (системы ограниченные множества); см. [КМ], 2.11. Окончательные топологии в отношении следующих наборов отображений в $E {\ displaystyle E}$ $E$ совпадают; см. [KM], 2.13.

$C ∞ (R, E) {\ displaystyle C ^ {\ infty} (\ mathbb {R}, E)}$ $C^{\infty }(\mathbb {R},E)$ .
Набор всех кривых Липшица (так что ${c (t) - c (s) t - s: t ≠ s, | t |, | s | ≤ C} {\ displaystyle \ left \ {{\ dfrac {c (t) -c (s)} {ts}}: t \ neq s {,} | t |, | s | \ leq C \ right \}}$ ${\ displaystyle \ left \ {{\ dfrac {c (t) -c (s)} {ts}}: t \ neq s {,} | t |, | s | \ leq C \ right \}}$ ограничено в $E {\ displaystyle E}$ $E$ для каждого $C {\ displaystyle C}$ $C$ ).
Набор инъекций $EB → E {\ displaystyle E_ {B} \ to E}$ ${\ displaystyle E_ {B} \ to E}$ где $B {\ displaystyle B}$ $B$ проходит через все ограниченные абсолютно выпуклые подмножества в $E {\ displaystyle E}$ $E$ , а где $EB {\ displaystyle E_ {B}}$ $E_ {B}$ - линейный промежуток $B {\ displaystyle B}$ $B$ , снабженный функционалом Минковского $‖ x ‖ B: = inf {λ>0: x ∈ λ B} {\ displaystyle \ | x \ | _ {B}: = \ inf \ {\ lambda>0: x \ in \ lambda B \}}$ $\|x\|_{B}:=\inf\{\lambda>0: x \ in \ lambda B \ }$ .
Набор всех сходящихся по Макки последовательностей $xn → x {\ displaystyle x_ {n} \ to x}$ $x_{n}\to x$ (существует последовательность $0 < λ n → ∞ {\displaystyle 0<\lambda _{n}\to \infty }$ $0<\lambda _{n}\to \infty$ с $λ n (xn - x) {\ displaystyle \ lambda _ {n} (x_ {n} -x)}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {n} (x_ {n} -x)}$ bounded).

Эта топология называется $c ∞ {\ displaystyle c ^ {\ infty}}$ $c^{\infty }$ -топология на $E {\ displaystyle E}$ $E$ и мы пишем $c ∞ E {\ displaystyle c ^ {\ infty} E}$ ${\ displaystyle c ^ {\ infty} E}$ для результирующего топологического пространства. В общем случае (например, в пространстве $D {\ displaystyle D}$ $D$ гладких функций с компактным носителем на вещественной прямой) она тоньше данной локально выпуклой топологии, это не вектор топология пространства, поскольку сложение больше не является совместно непрерывным. А именно, даже $c ∞ (D × D) ≠ (c ∞ D) × (c ∞ D) {\ displaystyle c ^ {\ infty} (D \ times D) \ neq (c ^ {\ infty} D) \ times (c ^ {\ infty} D)}$ ${\ displaystyle c ^ {\ infty} (D \ times D) \ neq (c ^ {\ infty} D) \ times (c ^ {\ infty} D)}$ . Лучшая среди всех локально выпуклых топологий на $E {\ displaystyle E}$ $E$ , грубее, чем $c ∞ E {\ displaystyle c ^ {\ infty} E}$ ${\ displaystyle c ^ {\ infty} E}$ является борнологификацией данной локально выпуклой топологии. Если $E {\ displaystyle E}$ $E$ - пространство Фреше, то $c ∞ E = E {\ displaystyle c ^ {\ infty} E = E}$ ${\ displaystyle c ^ {\ infty} E = E}$ .

Удобные векторные пространства

Локально выпуклое векторное пространство $E {\ displaystyle E}$ $E$ называется удобным векторным пространством, если выполняется одно из следующих эквивалентных условий (называемых $c ∞ {\ displaystyle c ^ {\ infty}}$ $c^{\infty }$ -полнота); см. [KM], 2.14.

Для любого $c ∈ C ∞ (R, E) {\ displaystyle c \ in C ^ {\ infty} (\ mathbb {R}, E)}$ ${\ displaystyle c \ in C ^ {\ infty} (\ mathbb {R}, E)}$ (Riemann-) интеграл $∫ 0 1 c (t) dt {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} c (t) \, dt}$ $\int _{0}^{1}c(t)\,dt$ существует в $E {\ displaystyle E}$ $E$ .
Любая кривая Липшица в $E {\ displaystyle E}$ $E$ локально интегрируема по Риману.
Любая скалярная кривая C ∞ {\ displaystyle C ^ {\ infty} }кривая: C ∞ {\ displaystyle C ^ {\ infty}}: кривая c: R → E {\ displaystyle c: \ mathbb {R } \ to E}является гладким тогда и только тогда, когда композиция λ ∘ c: t ↦ λ (c (t)) {\ displaystyle \ lambda \ circ c: t \ mapsto \ lambda ( c (t))}находится в C ∞ (R, R) {\ displaystyle C ^ {\ infty} (\ mathbb {R}, \ mathbb {R})}для всех λ ∈ E ∗ {\ displaystyle \ lambda \ in E ^ {*}}где E ∗ {\ displaystyle E ^ {*}}является двойником всех непрерывных линейных функционалов на E {\ displaystyle E}.
- Эквивалентно для всех $λ ∈ E ′ {\ displaystyle \ lambda \ i n E '}$ $\lambda \in E'$ , двойственный ко всем ограниченным линейным функционалам.
- Эквивалентно для всех $λ ∈ V {\ displaystyle \ lambda \ in V}$ $\ lambda \ in V$ , где $V {\ displaystyle V}$ $V$ - это подмножество $E ′ {\ displaystyle E '}$ $E'$ , которое распознает ограниченные подмножества в $E {\ displaystyle E}$ $E$ ; см. [KM], 5.22.
Любая последовательность Макки-Коши (т. е. $tnm (x - xm) → 0 {\ displaystyle t_ {nm} (x-x_ {m}) \ to 0}$ ${\ displaystyle t_ {nm} (x-x_ {m}) \ to 0}$ для некоторых $tnm → ∞ {\ displaystyle t_ {nm} \ to \ infty}$ $t_{nm}\to \infty$ в $R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ сходится в $E {\ displaystyle E}$ $E$ . Очевидно, это требование умеренной полноты.
Если $B {\ displaystyle B}$ $B$ ограниченное замкнутое абсолютно выпуклое пространство, то $EB {\ displaystyle E_ {B}}$ $E_ {B}$ - банахово пространство.
Если $f: R → E {\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ to E}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ to E}$ скалярно $Lip k {\ displaystyle {\ text {Lip}} ^ {k}}$ ${\text{Lip}}^{k}$ , затем $f { \ displaystyle f}$ $f$ равно $Lip k {\ displaystyle {\ text {Lip}} ^ {k}}$ ${\text{Lip}}^{k}$ для $k>1 {\ displaystyle k>1}$ $k>1$
Если $f: R → E {\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ to E}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ to E}$ скалярно $C ∞ {\ displaystyle C ^ {\ infty}}$ $C ^ {\ infty }$ , тогда $f {\ displaystyle f}$ $f$ дифференцируемо в $0 {\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$ .

Здесь отображение $f: R → E {\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ to E}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ to E}$ называется $Lip k {\ displaystyle {\ text {Lip}} ^ {k}}$ ${\text{Lip}}^{k}$ , если все производные до порядка $k {\ displaystyle k}$ $k$ существуют и являются липшицевыми, локально на $R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ .

Гладкие отображения

Пусть $E {\ displaystyle E}$ $E$ и $F {\ displaystyle F}$ $F$ будут удобные векторные пространства, и пусть $U ⊆ E {\ displaystyle U \ substeq E}$ $U\subseteq E$ будет $c ∞ {\ displaystyle c ^ {\ infty}}$ $c^{\infty }$ -open. Отображение $f: U → F {\ displaystyle f: U \ to F}$ $f:U\to F$ называется гладким или $C ∞ {\ displaystyle C ^ {\ infty}}$ $C ^ {\ infty }$ , если композиция $f ∘ c ∈ C ∞ (R, F) {\ displaystyle f \ circ c \ in C ^ {\ infty} (\ mathbb {R}, F)}$ ${\ displaystyle f \ circ c \ in C ^ {\ infty} (\ mathbb {R}, F) }$ для всех $c ∈ C ∞ (R, U) {\ displaystyle c \ in C ^ {\ infty} (\ mathbb {R}, U)}$ ${\ displaystyle c \ in C ^ {\ infty} (\ mathbb {R}, U)}$ . См. [KM], 3.11.

Основные свойства гладкого исчисления

1. Для отображений на пространствах Фреше это понятие гладкости совпадает со всеми другими разумными определениями. На $R 2 {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\mathbb {R} ^{2}$ это нетривиальная теорема, доказанная Боманом, 1967. См. Также [KM], 3.4.

2. Полилинейные отображения являются гладкими тогда и только тогда, когда они ограничены ([KM], 5.5).

3. Если $f: E ⊇ U → F {\ displaystyle f: E \ supseteq U \ to F}$ ${\ displaystyle f: E \ supseteq U \ to F}$ гладко, то производная $df: U × E → F {\ displaystyle df: U \ times E \ to F}$ ${\ displaystyle df: U \ times E \ to F}$ гладко, а также $df: U → L (E, F) {\ displaystyle df: U \ to L (E, F)}$ ${\ displaystyle df: U \ к L (E, F)}$ является гладким, где $L (E, F) {\ displaystyle L (E, F)}$ $L(E,F)$ обозначает пространство всех ограниченных линейных отображений с топологией равномерной сходимости на ограниченных подмножествах; см. [KM], 3.18.

4. Цепное правило выполняется ([KM], 3.18).

5. Пространство $C ∞ (U, F) {\ displaystyle C ^ {\ infty} (U, F)}$ $C^{\infty }(U,F)$ всех гладких отображений $U → F {\ displaystyle U \ to F }$ ${\ displaystyle U \ to F}$ снова является удобным векторным пространством, структура которого задается следующей инъекцией, где $C ∞ (R, R) {\ displaystyle C ^ {\ infty} (\ mathbb {R}, \ mathbb {R})}$ $C^{\infty }(\mathbb {R},\mathbb {R})$ несет топологию компактной сходимости по каждой производной отдельно; см. [KM], 3.11 и 3.7.

C ∞ (U, F) → ∏ c ∈ C ∞ (R, U), ℓ ∈ F ∗ C ∞ (R, R), f ↦ (ℓ ∘ f c) c, ℓ. {\ displaystyle C ^ {\ infty} (U, F) \ to \ prod _ {c \ in C ^ {\ infty} (\ mathbb {R}, U), \ ell \ in F ^ {*}} C ^ {\ infty} (\ mathbb {R}, \ mathbb {R}), \ quad f \ mapsto (\ ell \ circ f \ circ c) _ {c, \ ell} \,.}

C ^ {\ infty} (U, F) \ to \ prod _ {{c \ in C ^ {\ infty} ({\ mathbb R}, U), \ ell \ в F ^ {*}}} C ^ {\ infty} ({\ mathbb R}, {\ mathbb R}), \ quad f \ mapsto (\ ell \ circ f \ circ c) _ {{c, \ ell} } \,.

6. Выполняется экспоненциальный закон ([KM], 3.12): для $c ∞ {\ displaystyle c ^ {\ infty}}$ $c^{\infty }$ -open $V ⊆ F {\ displaystyle V \ substeq F}$ $V\subseteq F$ следующее отображение является линейным диффеоморфизмом удобных векторных пространств.

C ∞ (U, C ∞ (V, G)) ≅ C ∞ (U × V, G), f g, f (u) (v) = g (u, v). {\ Displaystyle C ^ {\ infty} (U, C ^ {\ infty} (V, G)) \ cong C ^ {\ infty} (U \ times V, G), \ qquad f \ mapsto g, \ qquad f (u) (v) = g (u, v).}

C ^ {\ infty} (U, C ^ {\ infty} (V, G)) \ cong C ^ {\ infty} (U \ times V, G), \ qquad f \ mapsto g, \ qquad f ( u) (v) = g (u, v).

Это основное предположение вариационного исчисления. Вот это теорема. Это свойство является источником названия «удобный», которое было заимствовано из (Steenrod 1967).

7. Теорема о гладкой равномерной ограниченности ([KM], теорема 5.26). Линейное отображение $f: E → C ∞ (V, G) {\ displaystyle f: E \ to C ^ {\ infty} (V, G)}$ ${\ displaystyle f: E \ to C ^ {\ infty} (V, G)}$ является гладким (по (2) эквивалентно ограниченному) тогда и только тогда, когда $ev v ∘ f: V → G {\ displaystyle \ operatorname {ev} _ {v} \ circ f: V \ to G}$ $\operatorname {ev} _{v}\circ f:V\to G$ гладко для каждого $v ∈ V {\ displaystyle v \ in V}$ $v\in V$ .

8. Следующие канонические отображения являются гладкими. Это следует из экспоненциального закона простыми категоричными рассуждениями, см. [KM], 3.13.

ev: C ∞ (E, F) × E → F, ev (f, x) = f (x) ins: E → C ∞ (F, E × F), ins (x) (y) = (x, y) () ∧: C ∞ (E, C ∞ (F, G)) → C ∞ (E × F, G) () ∨: C ∞ (E × F, G) → C ∞ (E, C ∞ (F, G)) comp: C ∞ (F, G) × C ∞ (E, F) → C ∞ (E, G) C ∞ (,): C ∞ (F, F 1) × C ∞ (E 1, E) → C ∞ (C ∞ (E, F), C ∞ (E 1, F 1)), (f, g) ↦ (h ↦ f ∘ h ∘ g) ∏: ∏ C ∞ (E я, F я) → С ∞ (∏ E я, ∏ F я) {\ Displaystyle {\ begin {выровнено} \ operatorname {ev}: C ^ {\ infty} (E, F) \ times E \ в F, \ quad {\ text {ev}} (f, x) = f (x) \\ [6pt] \ operatorname {ins}: E \ to C ^ {\ infty} (F, E \ times F), \ quad {\ text {ins}} (x) (y) = (x, y) \\ [6pt] (\ quad) ^ {\ wedge}: C ^ {\ infty} (E, C ^ {\ infty} (F, G)) \ to C ^ {\ infty} (E \ times F, G) \\ [6pt] (\ quad) ^ {\ vee}: C ^ {\ infty} (E \ times F, G) \ to C ^ {\ infty} (E, C ^ {\ infty} (F, G)) \\ [6pt] \ operatorname {comp}: C ^ {\ infty} (F, G) \ times C ^ {\ infty} (E, F) \ to C ^ {\ infty} (E, G) \\ [6pt] C ^ {\ infty} (\ quad, \ quad): C ^ { \ infty} (F, F_ {1}) \ times C ^ {\ infty} (E_ {1}, E) \ to C ^ {\ infty} (C ^ {\ infty} (E, F), C ^ {\ infty} (E_ {1}, F_ {1})), \ quad (f, g) \ mapsto (h \ mapsto f \ circ h \ circ g) \\ [6pt] \ prod: \ prod C ^ {\ infty} (E_ {i}, F_ {i}) \ to C ^ {\ infty} \ left (\ prod E_ {i}, \ prod F_ {i} \ right) \ end {align}}}

{\ begin {выровнено} \ operatorname {ev}: C ^ {\ infty} (E, F) \ times E \ to F, \ quad {\ text {ev}} (f, x) = f (x) \\ [ 6pt] \ operatorname {ins}: E \ to C ^ {\ infty} (F, E \ times F), \ quad {\ text {ins}} (x) (y) = (x, y) \\ [6pt] (\ quad) ^ {\ wedge}: C ^ {\ infty} (E, C ^ {\ infty} (F, G)) \ to C ^ {\ infty} (E \ times F, G) \\ [6pt] (\ quad) ^ {\ vee}: C ^ {\ infty} (E \ times F, G) \ to C ^ {\ infty} (E, C ^ {\ infty} (F, G)) \\ [6pt] \ operatorname {comp}: C ^ {\ infty} (F, G) \ times C ^ {\ infty} (E, F) \ to C ^ {\ infty} (E, G) \\ [6pt] C ^ {\ infty} (\ quad, \ quad): C ^ {\ infty} (F, F_ {1}) \ times C ^ {\ infty} (E_ {1}, E) \ к C ^ {\ infty} (C ^ {\ infty} (E, F), C ^ {\ infty} (E_ {1}, F_ {1})), \ quad (f, g) \ mapsto (h \ mapsto f \ circ h \ circ g) \\ [6pt] \ prod: \ prod C ^ {\ infty} (E_ {i}, F_ {i}) \ to C ^ {\ infty} \ left(\prod E_{i},\prod F_{i}\right)\end{aligned}}

Связанные удобные исчисления

Удобное исчисление гладких отображений впервые появилось в [Frölicher, 1981], [Kriegl 1982, 1983]. Удобное исчисление (имеющее свойства 6 и 7) существует также для:

вещественных аналитических отображений (Kriegl, Michor, 1990; см. Также [KM], глава II).
голоморфных отображений (Kriegl, Nel, 1985) ; см. также [KM], глава II). Понятие голоморфности принадлежит [Fantappié, 1930-33].
Многие классы ультрадифференцируемых функций Данжуа Карлемана, как типа Берлинга, так и типа Румье [Kriegl, Michor, Rainer, 2009, 2011, 2015 ].
С некоторыми изменениями, $Lip k {\ displaystyle \ operatorname {Lip} ^ {k}}$ $\operatorname {Lip} ^{k}$ , [FK].
С другими адаптациями, даже $C k, α {\ displaystyle C ^ {k, \ alpha}}$ ${\ displaystyle C ^ {k, \ alpha}}$ (т. е. $k {\ displaystyle k}$ $k$ -я производная Непрерывная по Гёльдеру с индексом $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ ) ([Faure, 1989], [Faure, These Geneve, 1991]).

Соответствующее понятие удобного векторного пространства то же самое (для лежащего в их основе реального векторного пространства в комплексном случае) для всех этих теорий.

Применение: Многообразия отображений между конечномерными многообразиями

Экспоненциальный закон 6 удобного исчисления позволяет очень простые доказательства основных фактов о многообразиях отображений. Пусть $M {\ displaystyle M}$ $M$ и $N {\ displaystyle N}$ $N$ - конечномерные гладкие многообразия, где $M {\ displaystyle M}$ $M$ является компактным. Мы используем вспомогательную метрику Римана $g ¯ {\ displaystyle {\ bar {g}}}$ ${\bar g}$ на $N {\ displaystyle N}$ $N$ . Риманово экспоненциальное отображение элемента $g ¯ {\ displaystyle {\ bar {g}}}$ ${\bar g}$ описано на следующей диаграмме:

Оно создает атлас диаграмм на пространство $C ∞ (M, N) {\ displaystyle C ^ {\ infty} (M, N)}$ ${\ displaystyle C ^ {\ infty } (M, N)}$ всех гладких отображений $M → N {\ displaystyle M \ to N }$ $M \ to N$ следующим образом. Диаграмма с центром в $f ∈ C ∞ (M, N) {\ displaystyle f \ in C ^ {\ infty} (M, N)}$ $f\in C^{\infty }(M,N)$ , это:

uf: C ∞ (М, N) ⊃ U е знак равно {г: (е, г) (М) ⊂ VN × N} → U ~ е ⊂ Γ (f * TN), {\ displaystyle u_ {f}: C ^ {\ infty } (M, N) \ supset U_ {f} = \ {g: (f, g) (M) \ subset V ^ {N \ times N} \} \ to {\ tilde {U}} _ {f} \ subset \ Gamma (f ^ {*} TN),}

u_ {f}: C ^ {\ infty} (M, N) \ supset U_ { f} = \ {g: (f, g) (M) \ subset V ^ {{N \ times N}} \} \ to {\ tilde U} _ {f} \ subset \ Gamma (f ^ {*} TN),

uf (g) = (π N, exp g ¯) - 1 ∘ (f, g), uf (g) (x) = (exp f (х) г ¯) - 1 (г (х)), {\ displaystyle u_ {f} (g) = (\ pi _ {N}, \ exp ^ {\ bar {g}}) ^ {- 1} \ circ (f, g), \ quad u_ {f} (g) (x) = (\ exp _ {f (x)} ^ {\ bar {g}}) ^ {- 1} (g (x)),}

u_ {f} (g) = (\ pi _ {N}, \ exp ^ {{{\ bar g}}}) ^ {{- 1}} \ circ ( е, д), \ quad u_ {f} (g) (x) = (\ exp _ {{f (x)}} ^ {{{{\ bar g}}}) ^ {{- 1}} (g (х)),

(uf) - 1 (s) = exp fg ¯ ∘ s, (uf) - 1 (s) (x) = exp f (x) g ¯ ⁡ (s (x)). {\ displaystyle (u_ {f}) ^ {- 1} (s) = \ exp _ {f} ^ {\ bar {g}} \ circ s, \ qquad \ quad (u_ {f}) ^ {- 1 } (s) (x) = \ exp _ {f (x)} ^ {\ bar {g}} (s (x)).}

(u_ {f}) ^ {{- 1}} ( s) = \ exp _ {f} ^ {{{\ bar g}}} \ circ s, \ qquad \ quad (u_ {f}) ^ {{- 1}} (s) (x) = \ exp _ {{е (х)}} ^ {{{\ bar g}}} (s (x)).

Теперь основные факты легко усваиваются. Тривиализация векторного расслоения возврата $f ∗ TN {\ displaystyle f ^ {*} TN}$ $f^{*}TN$ и применение экспоненциального закона 6 приводит к диффеоморфизму

C ∞ (R, Γ (M; f ∗ TN)) = Γ (R × M; pr 2 ∗ ⁡ f ∗ TN). {\ displaystyle C ^ {\ infty} (\ mathbb {R}, \ Gamma (M; f ^ {*} TN)) = \ Gamma (\ mathbb {R} \ times M; \ operatorname {pr_ {2}} ^ {*} f ^ {*} TN).}

C^{\infty }({\mathbb R},\Gamma (M;f^{*}TN))=\Gamma ({\mathbb R}\times M;\operatorname {pr_{2}}^{*}f^{*}TN).

Все сопоставления изменений диаграммы гладкие ( $C ∞ {\ displaystyle C ^ {\ infty}}$ $C ^ {\ infty }$ ), поскольку они отображают плавные кривые для сглаживания кривых:

U ~ f 1 ∋ s ↦ (π N, exp g ¯) ∘ s ↦ (π N, exp g ¯) ∘ (f 2, exp f 1 g ¯ ∘ s). {\ displaystyle {\ tilde {U}} _ {f_ {1}} \ ni s \ mapsto (\ pi _ {N}, \ exp ^ {\ bar {g}}) \ circ s \ mapsto (\ pi _ {N}, \ exp ^ {\ bar {g}}) \ circ (f_ {2}, \ exp _ {f_ {1}} ^ {\ bar {g}} \ circ s).}

{\tilde U}_{{f_{1}}}\ni s\mapsto (\pi _{N},\exp ^{{{\bar g}}})\circ s\mapsto (\pi _{N},\exp ^{{{\bar g}}})\circ (f_{2},\exp _{{f_{1}}}^{{{\bar g}}}\circ s).

Таким образом $C ∞ (M, N) {\ displaystyle C ^ {\ infty} (M, N)}$ ${\ displaystyle C ^ {\ infty } (M, N)}$ - гладкое многообразие, смоделированное на пространствах Фреше. Пространство всех гладких кривых в этом многообразии задается формулой

C ∞ (R, C ∞ (M, N)) ≅ C ∞ (R × M, N). {\ displaystyle C ^ {\ infty} (\ mathbb {R}, C ^ {\ infty} (M, N)) \ cong C ^ {\ infty} (\ mathbb {R} \ times M, N).}

C ^ {\ infty} ({\ mathbb R}, C ^ {\ infty} (M, N)) \ co ng C ^ {\ infty} ({\ mathbb R} \ times M, N).

Поскольку он явно отображает гладкие кривые в гладкие, композиция

C ∞ (P, M) × C ∞ (M, N) → C ∞ (P, N), (f, g) ↦ g ∘ f, {\ displaystyle C ^ {\ infty} (P, M) \ times C ^ {\ infty} (M, N) \ к C ^ {\ infty} (P, N), \ qquad (f, g) \ mapsto g \ circ f,}

C ^ {\ infty} (P, M) \ times C ^ {\ infty} (M, N) \ to C ^ {\ infty } (P, N), \ qquad (f, g) \ mapsto g \ circ f,

гладкий. Как следствие структуры карты, касательное расслоение многообразия отображений имеет вид

π C ∞ (M, N) = C ∞ (M, π N): TC ∞ (M, N) = C ∞ (M, TN) → C ∞ (M, N). {\ displaystyle \ pi _ {C ^ {\ infty} (M, N)} = C ^ {\ infty} (M, \ pi _ {N}): TC ^ {\ infty} (M, N) = C ^ {\ infty} (M, TN) \ to C ^ {\ infty} (M, N).}

\pi _{{C^{\infty }(M,N)}}=C^{\infty }(M,\pi _{N}):TC^{\infty }(M,N)=C^{\infty }(M,TN)\to C^{\infty }(M,N).

Регулярные группы Ли

Пусть $G {\ displaystyle G}$ $G$ быть связной гладкой группой Ли, смоделированной на удобных векторных пространствах, с алгеброй Ли $g = T e G {\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = T_ {e} G}$ ${\mathfrak g}=T_{e}G$ . Умножение и инверсия обозначаются:

μ: G × G → G, μ (x, y) = x. y = μ x (y) = μ y (x), ν: G → G, ν (x) = x - 1. {\ displaystyle \ mu: G \ times G \ to G, \ quad \ mu (x, y) = xy = \ mu _ {x} (y) = \ mu ^ {y} (x), \ qquad \ nu : G \ to G, \ nu (x) = x ^ {- 1}.}

\ mu: G \ times G \ to G, \ quad \ mu (x, y) = xy = \ mu _ {x} (y) = \ mu ^ {y} (x), \ qquad \ nu: G \ к G, \ nu (x) = x ^ {{- 1}}.

Понятие регулярной группы Ли первоначально принадлежит Омори и др. для групп Фреше Ли была ослаблена и сделана более прозрачной Дж. Милнором, а затем перенесена на удобные группы Ли; см. [KM], 38.4.

Группа Ли $G {\ displaystyle G}$ $G$ называется регулярной, если выполняются следующие два условия:

Для каждой гладкой кривой $X ∈ C ∞ (R, g) {\ displaystyle X \ in C ^ {\ infty} (\ mathbb {R}, {\ mathfrak {g}})}$ $X \ in C ^ {{\ infty}} ({ \ mathbb R}, {\ mathfrak g})$ в алгебре Ли существует гладкая кривая $g ∈ C ∞ (R, G) {\ displaystyle g \ in C ^ {\ infty} (\ mathbb {R}, G)}$ $g\in C^{{\infty }}({\mathbb R},G)$ в группе Ли, правая логарифмическая производная которой равна $X { \ Displaystyle X}$ $X$ . Оказывается, $g {\ displaystyle g}$ $g$ однозначно определяется своим начальным значением $g (0) {\ displaystyle g (0)}$ ${\ displaystyle g (0)}$ , если оно существует. То есть

g (0) = e, ∂ t g (t) = T e (μ g (t)) X (t) = X (t). г (т). {\ Displaystyle г (0) = е, \ qquad \ partial _ {t} g (t) = T_ {e} (\ mu ^ {g (t)}) X (t) = X (t).g ( t).}

g (0) = e, \ qquad \ partial _ {t} g (t) = T_ {e} (\ mu ^ {{g (t)}}) X (t) = X (t).g (t).

Если $g {\ displaystyle g}$ $g$ является уникальным решением для кривой $X {\ displaystyle X}$ $X$ , требуемой выше, мы обозначаем

evol G r ⁡ (X) = g (1), Evol G r ⁡ (X) (t): = g (t) = evol G r ⁡ (t X). {\ displaystyle \ operatorname {evol} _ {G} ^ {r} (X) = g (1), \ quad \ operatorname {Evol} _ {G} ^ {r} (X) (t): = g ( t) = \ operatorname {evol} _ {G} ^ {r} (tX).}

\operatorname {evol}_{G}^{r}(X)=g(1),\quad \operatorname {Evol}_{G}^{r}(X)(t):=g(t)=\operatorname {evol}_{G} ^{r}(tX).

Следующее отображение должно быть гладким:

evol G r: C ∞ (R, g) → G. {\ displaystyle \ operatorname {evol} _ {G} ^ {r}: C ^ {\ infty} (\ mathbb {R}, {\ mathfrak {g}}) \ to G.}

\operatorname {evol}_{G}^{r}:C^{{\infty }}({\mathbb R},{\mathfrak g})\to G.

Если $X {\ displaystyle X}$ $X$ - постоянная кривая в алгебре Ли, тогда $evol G r ⁡ (X) = exp G ⁡ (X) {\ displaystyle \ operatorname {evol} _ {G } ^ {r} (X) = \ exp ^ {G} (X)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {evol} _ {G} ^ {r} (X) = \ exp ^ {G} (X)}$ - групповое экспоненциальное отображение.

Теорема. Для каждого компактного многообразия $M {\ displaystyle M}$ $M$ группа диффеоморфизмов $Diff ⁡ (M) {\ displaystyle \ operatorname {Diff} (M) }$ $\operatorname {Diff} (M)$ - регулярная группа Ли. Его алгебра Ли - это пространство $X (M) {\ displaystyle {\ mathfrak {X}} (M)}$ ${\ mathfrak X} (M)$ всех гладких векторных полей на $M {\ displaystyle M}$ $M$ , с минусом обычной скобки в виде скобки Ли.

Доказательство: группа диффеоморфизмов $Diff ⁡ (M) {\ displaystyle \ operatorname {Diff} (M)}$ $\operatorname {Diff} (M)$ является гладким многообразием, так как это открытое подмножество в $С ∞ (M, M) {\ Displaystyle C ^ {\ infty} (M, M)}$ ${\ displaystyle C ^ {\ infty} (M, M)}$ . Состав гладкий за счет ограничения. Инверсия гладкая: если $t → f (t,) {\ displaystyle t \ to f (t, \)}$ $t\to f(t,\)$ - это плавная кривая в $Diff ⁡ (M) {\ displaystyle \ operatorname {Diff} (M)}$ $\operatorname {Diff} (M)$ , затем f (t,). $f (t,) - 1 (x) {\ displaystyle f (t, \) ^ {- 1} ( x)}$ $f(t,\)^{-1}(x)$ удовлетворяет неявному уравнению $f (t, f (t,) - 1 (x)) = x {\ displaystyle f (t, f (t, \ quad) ^ {- 1} (x)) = x}$ $f (t, f (t, \ quad) ^ {{- 1}} (x)) = x$ , поэтому по теореме о конечномерной неявной функции $(t, x) ↦ f (t,) - 1 (x) {\ displaystyle (t, x) \ mapsto f (t, \) ^ {- 1} (x)}$ ${\ displaystyle (t, x) \ mapsto f (t, \) ^ {- 1} (x)}$ гладко. Таким образом, инверсия отображает гладкие кривые в гладкие кривые, и, таким образом, инверсия гладкая. Пусть $X (t, x) {\ displaystyle X (t, x)}$ $X(t,x)$ будет векторным полем, зависящим от времени на $M {\ displaystyle M}$ $M$ (in $C ∞ (R, X (M)) {\ displaystyle C ^ {\ infty} (\ mathbb {R}, {\ mathfrak {X}} (M))}$ $C ^ {\ infty} ({\ mathbb R}, {\ mathfrak X} (M))$ ). Тогда оператор потока $Fl {\ displaystyle \ operatorname {Fl}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Fl}}$ соответствующего автономного векторного поля $∂ t × X {\ displaystyle \ partial _ {t} \ times X}$ $\partial _{t}\times X$ на $R × M {\ displaystyle \ mathbb {R} \ times M}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} \ times M}$ индуцирует оператор эволюции через

Fl s ⁡ (t, x) = (t + s, Evol ⁡ (X) (t, x)) {\ displaystyle \ operatorname {Fl} _ {s} (t, x) = (t + s, \ operatorname {Evol} (X) (t, x)) }

\ operatorname {Fl} _ {s} (t, x) = (t + s, \ operatorname {Evol} (X) (t, x))

, которое удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению

∂ t Evol ⁡ (X) (t, x) = X (t, Evol ⁡ (X) (t, x)). {\ displaystyle \ partial _ {t} \ operatorname {Evol} (X) (t, x) = X (t, \ operatorname {Evol} (X) (t, x)).}

\partial _{t}\operatorname {Evol}(X)(t,x)=X(t,\operatorname {Evol}(X)(t,x)).

Дана гладкая кривая в алгебре Ли $Икс (s, t, x) ∈ C ∞ (R 2, X (M)) {\ displaystyle X (s, t, x) \ in C ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^ {2}, {\ mathfrak {X}} (M))}$ $X(s,t,x)\in C^{\infty }({\mathbb R}^{2},{\mathfrak X}(M))$ , тогда решение обыкновенного дифференциального уравнения плавно зависит также от следующей переменной $s {\ displaystyle s }$ $s$ , таким образом, $evol Diff ⁡ (M) r {\ displaystyle \ operatorname {evol} _ {\ operatorname {Diff} (M)} ^ {r}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {evol} _ {\ operatorname {Diff} (M)} ^ {r}}$ карты гладкие кривые зависящих от времени векторных полей в гладкие кривые диффеоморфизма. QED.

Основной набор вложений

Для конечномерных многообразий $M {\ displaystyle M}$ $M$ и $N {\ displaystyle N}$ $N$ с $M {\ displaystyle M}$ $M$ компактным, пространство $Emb ⁡ (M, N) {\ displaystyle \ operatorname {Emb} (M, N)}$ $\operatorname {Emb} (M,N)$ всех гладких вложений $M {\ displaystyle M}$ $M$ в $N {\ displaystyle N}$ $N$ , открыто в $C ∞ (M, N) {\ displaystyle C ^ {\ infty} (M, N)}$ ${\ displaystyle C ^ {\ infty } (M, N)}$ , так что это гладкое многообразие. Группа диффеоморфизмов $Diff ⁡ (M) {\ displaystyle \ operatorname {Diff} (M)}$ $\operatorname {Diff} (M)$ действует свободно и плавно справа на $Emb ⁡ (M, N) {\ displaystyle \ operatorname {Emb} (M, N)}$ $\operatorname {Emb} (M,N)$ .

Theorem: $Emb ⁡ (M, N) → Emb ⁡ (M, N) / Diff ⁡ (M) {\ displaystyle \ operatorname {Emb } (M, N) \ to \ operatorname {Emb} (M, N) / \ operatorname {Diff} (M)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Emb} (M, N) \ к \ operatorname {Emb} (M, N) / \ operatorname {Diff} (M)}$ - главное расслоение со структурной группой $Diff ⁡ (M) {\ displaystyle \ operatorname {Diff} (M)}$ $\operatorname {Diff} (M)$ .

Доказательство: снова используется вспомогательная риманова метрика $g ¯ {\ displaystyle {\ bar {g}}}$ ${\bar g}$ на $Н {\ Displaystyle N}$ $N$ . Для $f ∈ Emb ⁡ (M, N) {\ displaystyle f \ in \ operatorname {Emb} (M, N)}$ ${\ displaystyle f \ in \ operatorname {Emb} (M, N) }$ , вид $f (M) {\ displaystyle f ( M)}$ $f (M)$ как подмногообразие $N {\ displaystyle N}$ $N$ , и разделить ограничение касательного пучка $TN {\ displaystyle TN}$ ${\ displaystyle TN}$ до $f (M) {\ displaystyle f (M)}$ $f (M)$ в подгруппу, нормальную к $f (M) {\ displaystyle f (M)}$ $f (M)$ и по касательной к $f (M) {\ displaystyle f (M)}$ $f (M)$ as $TN | е (М) знак равно Нор ⁡ (е (М)) ⊕ Т е (М) {\ Displaystyle TN | _ {е (М)} = \ operatorname {Nor} (е (М)) \ oplus Tf (M)}$ $TN | _ {{е (M)}} = \ operatorname {Nor} (f (M)) \ oplus Tf (M)$ . Выберем трубчатую окрестность

p f (M): Nor ⁡ (f (M)) ⊃ W f (M) → f (M). {\ displaystyle p_ {f (M)}: \ operatorname {Nor} (f (M)) \ supset W_ {f (M)} \ to f (M).}

p_{{f(M)}}:\operatorname {Nor}(f(M))\supset W_{{f(M)}}\to f(M).

Если $g: M → N {\ displaystyle g: M \ to N}$ ${\ displaystyle g: M \ to N}$ равно $C 1 {\ displaystyle C ^ {1}}$ $C^{1}$ -вблизи $f {\ displaystyle f}$ $f$ , то

ϕ (g): = f - 1 ∘ pf (M) ∘ g ∈ Diff ⁡ (M) и g ∘ ϕ (g) - 1 ∈ Γ (f ∗ W f ( M)) ⊂ Γ (f ∗ Nor ⁡ (f (M))). {\ displaystyle \ phi (g): = е ^ {- 1} \ circ \, p_ {f (M)} \ circ \, g \ in \ operatorname {Diff} (M) \ quad {\ text {and} } \ quad g \ circ \, \ phi (g) ^ {- 1} \ in \ Gamma (f ^ {*} W_ {f (M)}) \ subset \ Gamma (f ^ {*} \ operatorname {Nor } (f (M))).}

\phi (g):=f^{{-1}}\circ \,p_{{f(M)}}\circ \,g\in \operatorname {Diff}(M)\quad {\text{and}}\quad g\circ \,\phi (g)^{{-1}}\in \Gamma (f^{*}W_{{f(M)}})\subset \Gamma (f^{*}\operatorname {Nor}(f(M))).

Это необходимое локальное разбиение. QED

Дополнительные приложения

Обзор приложений, использующих геометрию пространств форм и групп диффеоморфизмов, можно найти в [Bauer, Bruveris, Michor, 2014].

Примечания

Ссылки

Бауэр, М., Бруверис, М., Михор, П.У.: Обзор геометрий пространств форм и групп диффеоморфизмов. Journal of Mathematical Imaging and Vision, 50, 1-2, 60-97, 2014. (arXiv: 1305.11500)
Боман Дж.: Дифференцируемость функции и ее состава функцией одной переменной. Mathematica Scandinavia vol. 20 (1967), 249–268.
Faure, C.-A.: Sur un théorème de Boman, C.R. Acad. Sci., Paris}, т. 309 (1989), 1003–1006.
Faure, C.-A.: Théorie de la différentiation dans les espaces удобные, Эти, Université de Genève, 1991.
Frölicher, A. : Applications Lisses Entre Espaces et Varétés de Fréchet, CR Acad. Sci. Париж, т. 293 (1981), 125–127.
[FK] Frölicher, A., Kriegl, A.: Линейные пространства и теория дифференцирования. Чистая и прикладная математика, J. Wiley, Chichester, 1988.
Kriegl, A.: Die richtigen Räume für Analysis im Unendlich - Dimensionalen, Monatshefte für Mathematik vol. 94 (1982) 109–124.
Kriegl, A.: Eine kartesisch abgeschlossene Kategorie glatter Abbildungen zwischen trustbigen lokalkonvexen Vektorräumen, Monatshefte für Mathematik vol. 95 (1983) 287–309.
[KM] Kriegl, A., Michor, P.W.: Удобная настройка глобального анализа. Математические обзоры и монографии, том: 53, Американское математическое общество, Провиденс, 1997. (pdf)
Кригл, А., Михор, П.У., Райнер, А.: Удобная настройка для неквазианалитического анализа Данжуа – Карлемана дифференцируемые отображения, Журнал функционального анализа, т. 256 (2009), 3510–3544. (arXiv: 0804.2995)
Кригл, А., Мичор, П. В., Райнер, А.: Удобная настройка для квазианалитических дифференцируемых отображений Данжуа – Карлемана, Journal of Functional Analysis, vol. 261 (2011), 1799–1834. (arXiv: 0909.5632)
Кригл, А., Мичор, П. В., Райнер, А.: Удобная настройка для дифференцируемых отображений Данжуа-Карлемана типа Берлинга и Румье. Revista Matemática Complutense (2015). DOI: 10.1007 / s13163-014-0167-1. (arXiv: 1111.1819)
Мичор, П. У.: Многообразия отображений и форм. (arXiv: 1505.02359)
Стинрод, Н.Э.: Удобная категория для топологических пространств, Michigan Mathematical Journal, vol. 14 (1967), 133–152.