Экспоненциальная карта (риманова геометрия)

Экспоненциальная карта Земли, если смотреть с северного полюса, представляет собой полярную азимутальную эквидистантную проекцию в картографии.

В римановой геометрии, экспоненциальное отображение - это карта из подмножества касательного пространства TpM риманова многообразия (или псевдориманово многообразие ) от M к самому M. (Псевдо) риманова метрика определяет каноническую аффинную связность, а экспоненциальное отображение (псевдо) риманова многообразия задается экспоненциальным отображением этой связности.

• 1 Определение
• 2 Свойства
• 3 Связь с экспоненциальными отображениями в теории Ли
• 4 См. Также
• 5 Примечания
• 6 Ссылки

Пусть M - дифференцируемое многообразие и точка p на M. Аффинная связность на M позволяет определить понятие прямой, проходящей через точку p.

Пусть v ∈ T p M - касательный вектор к многообразию в p. Тогда существует единственная геодезическая γv, удовлетворяющая γ v (0) = p с начальным касательным вектором γ ′ v (0) = v. Соответствующий экспоненциальное отображение определяется выражением exp p (v) = γ v (1). В общем, экспоненциальное отображение определяется только локально, то есть оно переводит только небольшую окрестность начала координат в T p M в окрестность p на многообразии. Это потому, что он опирается на теорему существования и единственности для обыкновенных дифференциальных уравнений, которые являются локальными по своей природе. Аффинная связность называется полной, если экспоненциальное отображение четко определено в каждой точке касательного расслоения .

Интуитивно говоря, экспоненциальное отображение принимает данный касательный вектор к многообразию, выполняется вдоль геодезической, начинающейся в этой точке и идущей в этом направлении в течение единицы времени. Поскольку v соответствует вектору скорости геодезической, фактическое (риманово) пройденное расстояние будет зависеть от этого. Мы также можем изменить параметризацию геодезических так, чтобы они имели единичную скорость, так что эквивалентно мы можем определить exp p (v) = β (| v |), где β - геодезическая с единичной скоростью (геодезическая, параметризованная длиной дуги), идущая в направление v. Изменяя касательный вектор v, мы получим, применяя exp p, разные точки на M, которые находятся на некотором расстоянии от базовой точки p - это, пожалуй, одна из наиболее конкретных способы продемонстрировать, что касательное пространство к многообразию является своего рода «линеаризацией» многообразия.

Теорема Хопфа – Риноу утверждает, что можно определить экспоненциальное отображение на всем касательном пространстве тогда и только тогда, когда многообразие полно как метрическое пространство (что оправдывает обычный термин геодезически полное для многообразия, имеющего экспоненциальное отображение с этим свойством). В частности, компактные многообразия геодезически полны. Однако даже если exp p определено на всем касательном пространстве, он, как правило, не будет глобальным диффеоморфизмом. Однако его дифференциал в начале касательного пространства - это тождественное отображение, и поэтому по теореме об обратной функции мы можем найти окрестность начала координат T p M, на котором экспоненциальное отображение является вложением (т. Е. Экспоненциальное отображение является локальным диффеоморфизмом). Радиус самого большого шара вокруг начала координат в T p M, который может быть отображен диффеоморфно с помощью exp p, называется радиусом приемистости М на п. вырезать геометрическое место экспоненциального отображения, грубо говоря, множество всех точек, где экспоненциальное отображение не может иметь уникальный минимум.

Важным свойством экспоненциального отображения является следующая лемма Гаусса (еще одна лемма Гаусса ): для любого касательного вектора v в области определения exp p, и другой вектор w, основанный на вершине v (следовательно, w на самом деле находится в пространстве двойного касания Tv(TpM)) и ортогонален v, w остается ортогональным v при нажатии вперед через экспоненциальную карту. Это, в частности, означает, что граничная сфера небольшого шара вокруг начала координат в T p M ортогональна геодезическим в M, определяемым этими векторами (то есть геодезические являются радиальными). Это мотивирует определение геодезических нормальных координат на римановом многообразии.

Экспоненциальная карта также полезна для связи абстрактного определения кривизны с более конкретной его реализацией, первоначально задуманной самим Риманом - секционная кривизна определяется интуитивно. как гауссову кривизну некоторой поверхности (т. е. сечение многообразия двумерным подмногообразием) через рассматриваемую точку p. С помощью экспоненциального отображения его теперь можно точно определить как гауссову кривизну поверхности через p, определяемую изображением под exp p двумерного подпространства T p M.

В случае групп Ли с биинвариантной метрикой - псевдориманова метрика, инвариантная как относительно левого, так и правого сдвига - экспоненциальные отображения псевдоримановой структуры такие же, как экспоненциальные отображения группы Ли. В общем случае группы Ли не имеют биинвариантной метрики, хотя все связные полупростые (или редуктивные) группы Ли имеют. Существование биинвариантной римановой метрики сильнее, чем существование псевдоримановой метрики, и означает, что алгебра Ли является алгеброй Ли компактной группы Ли; наоборот, любая компактная (или абелева) группа Ли имеет такую ​​риманову метрику.

Возьмем пример, который дает "честную" экспоненциальную карту. Рассмотрим положительные действительные числа R, группу Ли относительно обычного умножения. Тогда каждое касательное пространство просто R . На каждой копии R в точке y мы вводим модифицированный внутренний продукт

$⟨u,\; v⟩\; y\; =\; uvy\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; u,\; v\; \backslash \; rangle\; \_\; \{y\}\; =\; \{\; \backslash \; frac\; \{uv\}\; \{y\; ^\; \{2\}\}\}\}$

(умножая их как обычные действительные числа, но масштабируя на y). (Это то, что делает метрику левоинвариантной, поскольку левое умножение на множитель просто выйдет из внутреннего произведения, дважды - с уменьшением квадрата в знаменателе).

Рассмотрим точку 1 ∈ R, а x ∈ R - элемент касательного пространства в точке 1. Обычная прямая линия, исходящая из 1, а именно y (t) = 1 + xt, конечно, покрывает тот же путь, что и геодезическая, за исключением того, что мы должны повторно параметризовать, чтобы получить кривую с постоянной скоростью (помните, «постоянная скорость» не будет обычной постоянной скоростью, потому что мы Используем эту забавную метрику). Для этого мы повторно параметризуем длину дуги (интеграл длины касательного вектора в норме $|\; \cdot \; |\; y\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; \backslash \; cdot\; |\; \_\; \{y\}\}$, индуцированный измененным метрика):

$s\; (t)\; =\; \int \; 0\; t\; |\; х\; |\; y\; (\tau )\; d\; \tau \; =\; \int \; 0\; t\; |\; х\; |\; 1\; +\; \tau \; x\; d\; \tau \; =\; |\; х\; |\; \int \; 0\; t\; d\; \tau \; 1\; +\; \tau \; x\; =\; |\; х\; |\; x\; ln\; \; |\; 1\; +\; t\; x\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; (t)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{t\}\; |\; x\; |\; \_\; \{y\; (\backslash \; tau)\}\; d\; \backslash \; tau\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{t\}\; \{\backslash \; frac\; \{|\; x\; |\; \}\; \{1+\; \backslash \; tau\; x\}\}\; d\; \backslash \; tau\; =\; |\; x\; |\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{t\}\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; tau\}\; \{1+\; \backslash \; tau\; x\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{|\; x\; |\; \}\; \{x\}\}\; \backslash \; ln\; |\; 1\; +\; tx\; |\}$

и после инвертирования функции для получения t как функции s, мы подставляем и получаем

$y\; (s)\; =\; esx\; /\; |\; х\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; (s)\; =\; e\; ^\; \{sx\; /\; |\; x\; |\}\}$

Теперь, используя определение единичной скорости, мы имеем

$exp\; 1\; \; (x)\; =\; y\; (|\; x\; |\; 1)\; =\; y\; (\; |\; x\; |)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; exp\; \_\; \{1\}\; (x)\; =\; y\; (|\; x\; |\; \_\; \{1\})\; =\; y\; (|\; x\; |)\}$,

, что дает ожидаемое е.

Риманово расстояние, определяемое этим, просто

$dist\; \; (a,\; b)\; =\; |\; ln\; \; (б\; /\; а)\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{dist\}\; (a,\; b)\; =\; |\; \backslash \; ln\; (b\; /\; a)\; |\}$,

метрика, которая должна быть знакома любому, кто рисовал графики на журнале.

• Список экспоненциальных тем

• ду Карму, Манфредо П. (1992), Риманова геометрия, Биркхойзер, ISBN 0 -8176-3490-8. См. Главу 3.
• Чигер, Джефф; Эбин, Дэвид Г. (1975), Теоремы сравнения в римановой геометрии, Elsevier. См. Главу 1, разделы 2 и 3.
• , Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Хельгасон, Сигурдур (2001), Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметричные пространства, Graduate Studies in Mathematics, 34, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2848-9, MR 1834454.
• Кобаяси, Шошичи ; Номидзу, Кацуми (1996), Основы дифференциальной геометрии, Vol. 1 (Новое издание), Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15733-3.