Теорема Хопфа – Ринова

Хопфа- Ринова теорема представляет собой набор утверждений о геодезической полноте в римановых многообразий. Он назван в честь Хайнца Хопфа и его ученика Вилли Риноу, опубликовавших его в 1931 году.

• 1 Заявление
• 2 Вариации и обобщения
• 3 Примечания
• 4 ссылки

Пусть ( M,  g ) - связное риманово многообразие. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1. В замкнутых и ограниченных подмножествах из M являются компактными ;
2. M - полное метрическое пространство ;
3. M геодезически полно; то есть, для каждого р в М, то экспоненциальное отображение ехр р определена на всей касательном пространстве Т р М.

Кроме того, любое из вышеперечисленного подразумевает, что для любых двух точек p и q в M существует минимизирующая длину геодезическая, соединяющая эти две точки (геодезические, как правило, являются критическими точками для функционала длины и могут быть или не быть минимальными).

• Теорема Хопфа – Ринова обобщается на пространственно-метрические пространства следующим образом:

  Если длина-метрическое пространство ( М,  д ) является полным и локально компактно, то любые две точки в М могут быть соединены с помощью минимизирующей геодезической, и любое ограниченное замкнутое множество в М является компактным.

• Теорема не верна в бесконечных измерениях: ( Аткин, 1975 ) показал, что две точки в бесконечномерном полном гильбертовом многообразии не обязательно должны быть соединены геодезической.
• Теорема также не обобщается на лоренцевы многообразия : тор Клифтона – Поля дает компактный, но неполный пример.

• Юрген Йост (28 июля 2011 г.). Риманова геометрия и геометрический анализ (6-е изд.). Universitext. Springer Science amp; Business Media. DOI : 10.1007 / 978-3-642-21298-7. ISBN   978-3-642-21298-7. См. Раздел 1.7.
• Войцеховский М.И. (2001) [1994], "Теорема Хопфа-Ринова", Энциклопедия математики, EMS Press