В математике, в частности дифференциальной геометрии, бесконечно малая геометрия римановых многообразий с размерностью больше 2 слишком сложна, чтобы описывать ее одним числом в данной точке. Риман представил абстрактный и строгий способ определения кривизны для этих многообразий, теперь известный как тензор кривизны Римана. Подобные понятия повсюду нашли применение в дифференциальной геометрии.
Для более элементарного обсуждения см. Статью о кривизне, в которой обсуждается кривизна кривых и поверхностей в двух и трех измерениях, а также дифференциальная геометрия поверхностей.
Кривизна псевдориманова многообразия может быть выражена таким же образом с небольшими изменениями.
Кривизна риманова многообразия может быть описана различными способами; наиболее стандартным является тензор кривизны, заданный в терминах связи Леви-Чивиты (или ковариантного дифференцирования ) и скобка Ли по следующей формуле:
Здесь - линейное преобразование касательного пространства многообразия; он линейен по каждому аргументу. Если и являются координатными векторными полями, тогда и поэтому формула упрощается до
т.е. тензор кривизны измеряет некоммутативность ковариантной производной.
Линейное преобразование также называется преобразованием кривизны. или эндоморфизм .
NB. Есть несколько книг, в которых тензор кривизны определяется с противоположным знаком.
Тензор кривизны имеет следующие симметрии:
Последняя идентичность была обнаружена Риччи, но его часто называют первой идентичностью Бьянки, просто потому, что она похожа на идентичность Бьянки ниже. Первые два должны рассматриваться как свойство антисимметрии и алгебры Ли соответственно, поскольку второе означает, что R (u, v) для всех u, v являются элементами псевдоортогональной алгебры Ли. Все три вместе следует назвать структурой псевдоортогональной кривизны. Они порождают тензор только путем отождествления с объектами тензорной алгебры - но точно так же существуют отождествления с понятиями в алгебре Клиффорда. Отметим, что эти три аксиомы структуры кривизны порождают хорошо разработанную структурную теорию, сформулированную в терминах проекторов (проектор Вейля, порождающий кривизну Вейля, и проектор Эйнштейна, необходимый для установки теории Эйнштейна гравитационного поля). уравнения). Эта структурная теория совместима с действием псевдоортогональных групп плюс растяжений. Он имеет тесные связи с теорией групп и алгебр Ли, троек Ли и йордановых алгебр. См. Ссылки, приведенные в обсуждении.
Эти три тождества образуют полный список симметрий тензора кривизны, т.е. для любого тензора, который удовлетворяет указанным выше тождествам, в какой-то точке можно было бы найти риманово многообразие с таким тензором кривизны. Простые вычисления показывают, что такой тензор имеет независимых компонентов. Еще одно полезное тождество следует из этих трех:
Тождество Бьянки (часто второе тождество Бьянки ) включает ковариантную производные:
Секционная кривизна - это еще одно эквивалентное, но более геометрическое описание кривизны римановых многообразий. Это функция , которая зависит от раздела (т.е. 2-плоскость в касательных пространствах). Это кривизна Гаусса сечения в точке p; здесь -section - это локально определенный кусок поверхности, имеющий плоскость в качестве касательной. в p, полученный из геодезических, которые начинаются в p в направлениях изображения под экспоненциальной картой в p.
Если - два линейно независимых вектора в , то
Следующая формула показывает, что секционная кривизна полностью описывает тензор кривизны:
Или в более простой формуле:
Форма соединения дает альтернативный способ описания кривизны. Он больше используется для общих векторных пакетов и для основных связок, но он также хорошо работает для касательного пучка со связью Леви-Чивита. Кривизна n-мерного риманова многообразия задается антисимметричной n × n-матрицей из 2-форм (или эквивалентно 2-формы со значениями в , алгебра Ли из ортогональной группы , которая является структурной группой касательного расслоения риманова многообразия).
Пусть будет локальным разделом ортонормированных баз. Затем можно определить форму связи, антисимметричную матрицу 1-форм , которые удовлетворяют из следующее тождество
Тогда форма кривизны равна определяется как
Обратите внимание, что выражение «"- это сокращение от и, следовательно, не обязательно исчезает. Следующее описывает связь между формой кривизны и тензором кривизны:
Этот подход строится на всех симметриях тензора кривизны, кроме первого тождества Бьянки, которое принимает форму
где - n-вектор из 1 -формы, определенные как . Второе тождество Бьянки принимает форму
D обозначает внешнюю ковариантную производную
Иногда удобно рассматривать кривизну как оператор на касательной бивекторов (элементы ), который однозначно определяется следующим тождеством:
Это возможно именно благодаря симметрии тензор кривизны (а именно антисимметрия в первой и последней парах индексов и блочная симметрия этих пар).
В общем, следующие тензоры и функции не описывают тензор кривизны полностью, однако они играют важную роль.
Скалярная кривизна - это функция на любом римановом многообразии, обычно обозначаемая Sc. Это полная трасса тензора кривизны; учитывая ортонормированный базис в касательном пространстве в точке p, мы имеем
где Ric означает тензор Риччи. Результат не зависит от выбора ортонормированного базиса. Начиная с размерности 3, скалярная кривизна не полностью описывает тензор кривизны.
Кривизна Риччи - это линейный оператор на касательном пространстве в точке, обычно обозначаемый Ric. Учитывая ортонормированный базис в касательном пространстве в точке p, мы имеем
Результат не зависит от выбора ортонормированного базиса. При четырех или более измерениях кривизна Риччи не полностью описывает тензор кривизны.
Явные выражения для тензора Риччи в терминах связи Леви-Чивита приведены в статье о символах Кристоффеля.
Тензор кривизны Вейля имеет те же симметрии, что и тензор кривизны, плюс одна дополнительная: его след (используемый для определения кривизны Риччи) должен исчезнуть. В размерностях 2 и 3 кривизна Вейля равна нулю, но если размерность n>3, то вторая часть может быть ненулевой.
Хотя по отдельности тензор Вейля и тензор Риччи в общем случае не определяют тензор полной кривизны, тензор кривизны Римана можно разложить на часть Вейля и часть Риччи. Это разложение известно как разложение Риччи и играет важную роль в конформной геометрии римановых многообразий. В частности, его можно использовать, чтобы показать, что если метрика масштабируется с помощью конформного коэффициента , то тензор кривизны Римана изменяется на ( рассматривается как (0, 4) -тензор):
где обозначает произведение Кулькарни – Номидзу, а Гесс - Гессен.
Для расчета кривизны
.