Внешний продукт

Не путать с продуктом Exterior.

В линейной алгебре, то внешнее произведение двух координатных векторов является матрицей. Если два вектора имеют размерности n и m, то их внешнее произведение представляет собой матрицу размера n × m. В более общем смысле, учитывая два тензора (многомерные массивы чисел), их внешний продукт является тензором. Внешнее произведение тензоров также называется их тензорным произведением и может использоваться для определения тензорной алгебры.

Внешний вид изделия контрастирует с:

• Скалярное произведение (также известный как «внутренний продукт»), который принимает пару координат векторов в качестве входных данных и производит скаляр
• Произведение Кронекера, которое принимает пару матриц в качестве входных данных и производит блочную матрицу
• Стандартное матричное умножение

• 1 Определение
  • 1.1 Контраст с евклидовым внутренним продуктом
  • 1.2 Внешнее произведение тензоров
  • 1.3 Связь с продуктом Кронекера
• 2 свойства
  • 2.1 Ранг внешнего продукта
• 3 Определение (аннотация)
• 4 В языках программирования
• 5 приложений
  • 5.1 Спиноры
  • 5.2 Концепции
• 6 См. Также
  • 6.1 Продукция
  • 6.2 Двойственность
• 7 ссылки
• 8 Дальнейшее чтение

Учитывая два вектора размера и соответственно ${\ displaystyle m \ times 1}$${\ Displaystyle п \ раз 1}$

${\ Displaystyle \ mathbf {u} = {\ begin {bmatrix} u_ {1} \\ u_ {2} \\\ vdots \\ u_ {m} \ end {bmatrix}}, \ quad \ mathbf {v} = {\ begin {bmatrix} v_ {1} \\ v_ {2} \\\ vdots \\ v_ {n} \ end {bmatrix}}}$

их внешний продукт, обозначаемый, определяется как матрица, полученная путем умножения каждого элемента на каждый элемент${\ displaystyle \ mathbf {u} \ otimes \ mathbf {v},}$${\ Displaystyle м \ раз п}$${\ displaystyle \ mathbf {A}}$${\ displaystyle \ mathbf {u}}$${\ displaystyle \ mathbf {v}:}$

${\ displaystyle \ mathbf {u} \ otimes \ mathbf {v} = \ mathbf {A} = {\ begin {bmatrix} u_ {1} v_ {1} amp; u_ {1} v_ {2} amp; \ dots amp; u_ {1 } v_ {n} \\ u_ {2} v_ {1} amp; u_ {2} v_ {2} amp; \ dots amp; u_ {2} v_ {n} \\\ vdots amp; \ vdots amp; \ ddots amp; \ vdots \\ u_ {m} v_ {1} amp; u_ {m} v_ {2} amp; \ dots amp; u_ {m} v_ {n} \ end {bmatrix}}}$

Или в индексной записи:

${\ displaystyle (\ mathbf {u} \ otimes \ mathbf {v}) _ {ij} = u_ {i} v_ {j}}$

Обозначая скалярное произведение, если задан вектор, то Если задан вектор, то${\ Displaystyle \, \ cdot, \,}$${\ Displaystyle п \ раз 1}$${\ displaystyle \ mathbf {w},}$${\ displaystyle (\ mathbf {u} \ otimes \ mathbf {v}) \ mathbf {w} = (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {w}) \ mathbf {u}.}$${\ displaystyle 1 \ times m}$${\ displaystyle \ mathbf {x},}$${\ displaystyle \ mathbf {x} (\ mathbf {u} \ otimes \ mathbf {v}) = (\ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {u}) \ mathbf {v} ^ {\ operatorname {T}}.}$

Если и - векторы одной размерности, то. ${\ displaystyle \ mathbf {u}}$${\ displaystyle \ mathbf {v}}$${\ Displaystyle \ Det (\ mathbf {u} \ otimes \ mathbf {v}) = 0}$

Внешний продукт эквивалентен умножению матриц при условии, что он представлен как вектор-столбец и как вектор-столбец (который составляет вектор-строку). Например, если и тогда ${\ displaystyle \ mathbf {u} \ otimes \ mathbf {v}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u} \ mathbf {v} ^ {\ operatorname {T}},}$${\ displaystyle \ mathbf {u}}$${\ displaystyle m \ times 1}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$${\ Displaystyle п \ раз 1}$${\ displaystyle \ mathbf {v} ^ {\ operatorname {T}}}$${\ displaystyle m = 4}$${\ Displaystyle п = 3,}$

${\ displaystyle \ mathbf {u} \ otimes \ mathbf {v} = \ mathbf {u} \ mathbf {v} ^ {\textf {T}} = {\ begin {bmatrix} u_ {1} \\ u_ {2 } \\ u_ {3} \\ u_ {4} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} v_ {1} amp; v_ {2} amp; v_ {3} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} u_ {1} v_ {1} amp; u_ {1} v_ {2} amp; u_ {1} v_ {3} \\ u_ {2} v_ {1} и u_ {2} v_ {2} amp; u_ {2} v_ {3} \\ u_ {3} v_ {1} amp; u_ {3} v_ {2} amp; u_ {3} v_ {3} \\ u_ {4} v_ {1} amp; u_ {4} v_ {2} amp; u_ {4} v_ { 3} \ end {bmatrix}}.}$

Для комплексных векторов, часто бывает полезно взять сопряженное транспонирование из обозначаться или: ${\ displaystyle \ mathbf {v},}$${\ displaystyle \ mathbf {v} ^ {\ dagger}}$${\ Displaystyle \ влево (\ mathbf {v} ^ {\textf {T}} \ right) ^ {*}}$

${\ displaystyle \ mathbf {u} \ otimes \ mathbf {v} = \ mathbf {u} \ mathbf {v} ^ {\ dagger} = \ mathbf {u} \ left (\ mathbf {v} ^ {\textf { T}} \ right) ^ {*}}$.

Контраст с евклидовым внутренним продуктом

Если тогда можно взять матричное произведение другим способом, получив скаляр (или матрицу): ${\ Displaystyle м = п,}$${\ Displaystyle 1 \ раз 1}$

${\ displaystyle \ left \ langle \ mathbf {u}, \ mathbf {v} \ right \ rangle = \ mathbf {u} ^ {\textf {T}} \ mathbf {v}}$

который является стандартным внутренним произведением для евклидовых векторных пространств, более известным как скалярное произведение. Внутренний продукт - это след внешнего продукта. В отличие от внутреннего продукта, внешний продукт не коммутативен.

Умножение вектора на матрицу можно записать в терминах внутреннего продукта, используя соотношение. ${\ displaystyle \ mathbf {w}}$${\ displaystyle \ mathbf {u} \ otimes \ mathbf {v}}$${\ displaystyle \ left (\ mathbf {u} \ otimes \ mathbf {v} \ right) \ mathbf {w} = \ mathbf {u} \ left \ langle \ mathbf {v}, \ mathbf {w} \ right \ rangle}$

Внешнее произведение тензоров

Даны два тензора с размерностями и, их внешнее произведение представляет собой тензор с размерностями и записями ${\ displaystyle \ mathbf {u}, \ mathbf {v}}$${\ displaystyle (k_ {1}, k_ {2}, \ dots, k_ {m})}$${\ displaystyle (l_ {1}, l_ {2}, \ dots, l_ {n})}$${\ displaystyle \ mathbf {u} \ otimes \ mathbf {v}}$${\ displaystyle (k_ {1}, k_ {2}, \ dots, k_ {m}, l_ {1}, l_ {2}, \ dots, l_ {n})}$

${\ displaystyle (\ mathbf {u} \ otimes \ mathbf {v}) _ {i_ {1}, i_ {2}, \ dots i_ {m}, j_ {1}, j_ {2}, \ dots, j_ {n}} = u_ {i_ {1}, i_ {2}, \ dots, i_ {m}} v_ {j_ {1}, j_ {2}, \ dots, j_ {n}}}$

Например, если он имеет порядок 3 с размерами и порядок 2 с размерами, то их внешний продукт имеет порядок 5 с размерами If имеет компонент A [2, 2, 4] = 11 и компонент B [8, 88 ] = 13, то составляющая, образованная внешним произведением, равна C [2, 2, 4, 8, 88] = 143. ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$${\ displaystyle (3,5,7)}$${\ displaystyle \ mathbf {B}}$${\ displaystyle (10 100),}$${\ displaystyle \ mathbf {C}}$${\ displaystyle (3,5,7,10,100).}$${\ displaystyle \ mathbf {A}}$${\ displaystyle \ mathbf {B}}$${\ displaystyle \ mathbf {C}}$

Связь с продуктом Кронекера

Внешний продукт и продукт Кронекера тесно связаны; фактически для обозначения обеих операций обычно используется один и тот же символ.

Если и, у нас есть: ${\ Displaystyle \ mathbf {u} = {\ begin {bmatrix} 1, 2 и 3 \ end {bmatrix}} ^ {\textf {T}}}$${\ Displaystyle \ mathbf {v} = {\ begin {bmatrix} 4 и 5 \ end {bmatrix}} ^ {\textf {T}}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {u} \ otimes _ {\ text {Kron}} \ mathbf {v} amp; = {\ begin {bmatrix} 4 \\ 5 \\ 8 \\ 10 \\ 12 \\ 15 \ end {bmatrix}}, amp; \ mathbf {u} \ otimes _ {\ text {outer}} \ mathbf {v} amp; = {\ begin {bmatrix} 4 amp; 5 \\ 8 amp; 10 \\ 12 amp; 15 \ end {bmatrix }} \ end {выровнены}}}$

В случае векторов-столбцов произведение Кронекера можно рассматривать как форму векторизации (или сглаживания) внешнего продукта. В частности, для двух векторов-столбцов и мы можем написать: ${\ displaystyle \ mathbf {u}}$${\ displaystyle \ mathbf {v}}$

${\ displaystyle \ mathbf {u} \ otimes _ {\ text {Kron}} \ mathbf {v} = \ operatorname {vec} (\ mathbf {v} \ otimes _ {\ text {outer}} \ mathbf {u})}$

Обратите внимание, что порядок векторов в правой части уравнения обратный.

Еще одна похожая идентичность, которая еще больше подчеркивает сходство между операциями, -

${\ displaystyle \ mathbf {u} \ otimes _ {\ text {Kron}} \ mathbf {v} ^ {\textf {T}} = \ mathbf {u} \ mathbf {v} ^ {\textf {T}} = \ mathbf {u} \ otimes _ {\ text {external}} \ mathbf {v}}$

где порядок векторов не нужно менять. Среднее выражение использует матричное умножение, где векторы рассматриваются как матрицы столбцов / строк.

Внешнее произведение векторов удовлетворяет следующим свойствам:

${\ displaystyle {\ begin {align} (\ mathbf {u} \ otimes \ mathbf {v}) ^ {\textf {T}} amp; = (\ mathbf {v} \ otimes \ mathbf {u}) \\ ( \ mathbf {v} + \ mathbf {w}) \ otimes \ mathbf {u} amp; = \ mathbf {v} \ otimes \ mathbf {u} + \ mathbf {w} \ otimes \ mathbf {u} \\\ mathbf {u} \ otimes (\ mathbf {v} + \ mathbf {w}) amp; = \ mathbf {u} \ otimes \ mathbf {v} + \ mathbf {u} \ otimes \ mathbf {w} \\ c (\ mathbf {v} \ otimes \ mathbf {u}) amp; = (c \ mathbf {v}) \ otimes \ mathbf {u} = \ mathbf {v} \ otimes (c \ mathbf {u}) \ end {выровнено} }}$

Внешнее произведение тензоров удовлетворяет дополнительному свойству ассоциативности :

${\ displaystyle (\ mathbf {u} \ otimes \ mathbf {v}) \ otimes \ mathbf {w} = \ mathbf {u} \ otimes (\ mathbf {v} \ otimes \ mathbf {w})}$

Ранг внешнего продукта

Если u и v оба ненулевые, то матрица внешнего произведения uv ^T всегда имеет ранг матрицы 1. В самом деле, все столбцы внешнего произведения пропорциональны первому столбцу. Таким образом, все они линейно зависят от этого столбца, следовательно, матрица имеет ранг один.

(«Матричный ранг» не следует путать с « тензорным порядком » или «тензорной степенью», которую иногда называют «рангом».)

Пусть V и W два векторных пространства. Внешний продукт и - это элемент. ${\ displaystyle \ mathbf {v} \ in V}$${\ displaystyle \ mathbf {w} \ in W}$${\ displaystyle \ mathbf {v} \ otimes \ mathbf {w} \ in V \ otimes W}$

Если V представляет собой внутреннее пространство продукта, то можно определить внешний продукт в виде линейного отображения V → W. В этом случае, линейное отображение является элементом сопряженного пространства в V. Тогда внешний продукт V → W имеет вид ${\ Displaystyle \ mathbf {x} \ mapsto \ langle \ mathbf {v}, \ mathbf {x} \ rangle}$

${\ displaystyle (\ mathbf {v} \ otimes \ mathbf {w}) (\ mathbf {x}) = \ left \ langle \ mathbf {v}, \ mathbf {x} \ right \ rangle \ mathbf {w}}$

Это показывает, почему в сложном случае обычно используется сопряженное транспонирование v.

В некоторых языках программирования для функции с двумя аргументами f(или бинарного оператора) внешнее произведение fдвух одномерных массивов Aи Bпредставляет собой двумерный массив, Cтакой что C[i, j] = f(A[i], B[j]). Это синтаксически представлено различными способами: в APL как инфиксный бинарный оператор ; в J как постфиксное наречие ; в R как функция или особый ; в Mathematica, as. В MATLAB функция используется для этого продукта. Они часто обобщаются на многомерные аргументы и более чем на два аргумента. ∘.f f/ outer(A, B, f)%o% Outer[f, A, B]kron(A, B)

В библиотеке Python NumPy внешний продукт можно вычислить с помощью function np.outer(). Напротив, np.kronполучается плоский массив. Внешний продукт многомерных массивов может быть вычислен с помощью np.multiply.outer.

Поскольку внешний продукт тесно связан с продуктом Kronecker, в некоторых приложениях продукта Kronecker используются внешние продукты. Эти приложения находятся в квантовой теории, обработке сигналов и сжатии изображений.

Спиноры

Предположим, что s, t, w, z ∈ C, так что ( s, t) и ( w, z) находятся в C ². Тогда внешнее произведение этих комплексных 2-векторов является элементом M (2, C), комплексных матриц 2 × 2:

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} sw amp; tw \\ sz amp; tz \ end {pmatrix}}.}$

Определитель этой матрицы swtz - sztw = 0 из-за свойство коммутативности из C.

В теории спиноров в трех измерениях эти матрицы связаны с изотропными векторами из-за этого нулевого свойства. Эли Картан описал эту конструкцию в 1937 году, но она была введена Вольфгангом Паули в 1927 году, так что M (2, C) стало называться алгеброй Паули.

Концепции

Блочная форма внешних продуктов полезна при классификации. Анализ концепции - это исследование, которое зависит от определенных внешних продуктов:

Когда вектор имеет только нули и единицы в качестве записей, он называется логическим вектором, частным случаем логической матрицы. Логическая операция и заменяет умножение. Внешнее произведение двух логических векторов ( u i) и ( v j) задается логической матрицей. Этот тип матрицы используется при изучении бинарных отношений и называется прямоугольным отношением или кросс-вектором. ${\ displaystyle \ left (a_ {ij} \ right) = \ left (u_ {i} \ land v_ {j} \ right)}$

• Диадики
• Преобразование домохозяина
• Норма (математика)
• Матрица разброса
• Исчисление Риччи

Продукты

• Декартово произведение
• Перекрестное произведение
• Внешний продукт
• Произведение Адамара

Двойственность

• Комплексное сопряжение
• Конъюгат транспонировать
• Транспонировать
• Обозначение бюстгальтера для внешнего продукта

• Карлен, Эрик; Кансикао Карвалью, Мария (2006). «Внешние продукты и ортогональные проекции». Линейная алгебра: с самого начала. Макмиллан. С. 217–218.