Диадика

В математике, в частности, полилинейной алгебре, диадической или диадический тензор - это второй порядок тензор, записанный в нотации, которая соответствует векторной алгебре.

Существует множество способов умножения двух Евклидовы векторы. скалярное произведение принимает два вектора и возвращает скаляр , а перекрестное произведение возвращает псевдовектор. Оба они имеют различные геометрические интерпретации и широко используются в математике, физике и инженерии. диадическое произведение принимает два вектора и возвращает тензор второго порядка, называемый в этом контексте диадическим. Диадика может использоваться для содержания физической или геометрической информации, хотя, как правило, нет прямого способа ее геометрической интерпретации.

Диадическое произведение является дистрибутивным над векторным сложением и ассоциативным с скалярным умножением. Следовательно, диадическое произведение является линейным в обоих своих операндах. В общем, можно сложить две диадики, чтобы получить другую диадику, и умножить на числа, чтобы масштабировать диадику. Однако продукт не является коммутативным ; изменение порядка векторов приводит к другой диадике.

Формализм диадической алгебры является расширением векторной алгебры для включения диадического произведения векторов. Диадическое произведение также ассоциативно со скалярным произведением, а скрестное произведение с другими векторами, что позволяет скомбинировать точечные, скрещенные и диадические произведения для получения других скаляров, векторов или диадических чисел.

Он также имеет некоторые аспекты матричной алгебры, поскольку числовые компоненты векторов могут быть расположены в векторах строк и столбцов, а компоненты тензоров второго порядка в квадратные матрицы. Кроме того, точечные, перекрестные и диадические произведения могут быть выражены в матричной форме. Диадические выражения могут сильно напоминать матричные эквиваленты.

Скалярное произведение диадики на вектор дает другой вектор, а взятие скалярного произведения этого результата дает скаляр, полученный из диадики. Влияние данной диадики на другие векторы может давать косвенные физические или геометрические интерпретации.

Диадическая нотация была впервые введена Джозайей Уиллардом Гиббсом в 1884 году. Нотация и терминология сегодня относительно устарели. Его использование в физике включает механику сплошной среды и электромагнетизм.

В этой статье жирным шрифтом верхнего регистра обозначены диадики (включая диады), тогда как переменные, выделенные жирным шрифтом нижнего регистра, обозначают векторы. Альтернативное обозначение использует соответственно двойные и одинарные символы подчеркивания или подчеркивания.

• 1 Определения и терминология
  • 1.1 Диадические, внешние и тензорные произведения
    • 1.1.1 Трехмерное евклидово пространство
    • 1.1.2 N-мерное евклидово пространство
  • 1.2 Классификация
  • 1.3 Тождества
• 2 Диадическая алгебра
  • 2.1 Произведение диадики и вектора
  • 2.2 Произведение диадики и диадики
    • 2.2.1 Двойное произведение точек
    • 2.2.2 Двойное перекрестное произведение
    • 2.2.3 Тензорное сжатие
• 3 Диадика единиц
  • 3.1 Свойства диадики единиц
• 4 Примеры
  • 4.1 Проекция и отклонение вектора
  • 4.2 Диадика вращения
    • 4.2.1 Двумерные вращения
    • 4.2.2 3D-вращения
  • 4.3 Преобразование Лоренца
• 5 Связанные термины
• 6 См. Также
• 7 Примечания
• 8 Ссылки
• 9 Внешние ссылки

Диадические, внешние и тензорные произведения

Диада - это тензор порядка два и ранга один, и является диадическим произведением два вектора (комплексных векторов в общем), тогда как диадика - это общий тензор порядка tw o (который может быть полным или нет).

Есть несколько эквивалентных терминов и обозначений для этого продукта:

• диадическое произведение двух векторов $a\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\}$и $b\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\}$обозначается $ab\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\}$(нет символ; без знаков умножения, крестиков, точек и т. д.)
• внешнее произведение двух векторов-столбцов $a\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\}$и $b\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\}$обозначается и определяется как $a\; \otimes \; b\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{a\; \}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\}$или $ab\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; ^\; \{\backslash \; mathsf\; \{T\}\}\}$, где $T\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathsf\; \{T\}\}\}$означает транспонирование,
• тензорного произведения двух векторов $a\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\}$и $b\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\}$обозначается $a\; \otimes \; b\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\}$,

В диадическом контексте все они имеют одно и то же определение и значение и используются как синонимы, хотя тензорное произведение является примером более общего и абстрактного использования этого термина.

бюстгальтерная нотация Дирака делает использование диад и диадиков интуитивно понятным, см. Cahill (2013).

Трехмерное евклидово пространство

To проиллюстрируйте эквивалентное использование, рассмотрите трехмерное евклидово пространство, позволяя:

$a\; =\; a\; 1\; i\; +\; a\; 2\; j\; +\; a\; 3\; kb\; =\; b\; 1\; i\; +\; b\; 2\; j\; +\; b\; 3\; К\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; =\; a\_\; \{1\}\; \backslash \; mathbf\; \{i\}\; +\; a\_\; \{2\}\; \backslash \; mathbf\; \{j\}\; +\; a\_\; \{3\}\; \backslash \; mathbf\; \{k\}\; \backslash \; \backslash \backslash \; mathbf\; \{b\}\; =\; b\_\; \{1\}\; \backslash \; mathbf\; \{i\}\; +\; b\_\; \{2\}\; \backslash \; mathbf\; \{j\}\; +\; b\_\; \{3\}\; \backslash \; mathbf\; \{k\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

быть двумя векторами где i, j, k(также обозначается e1, e2, e3) - стандартные базисные векторы в этом векторном пространстве (см. также декартовы координаты ). Тогда диадическое произведение a и b может быть представлено в виде суммы:

$ab\; =\; a\; 1\; b\; 1\; ii\; +\; a\; 1\; b\; 2\; ij\; +\; a\; 1\; b\; 3\; ik\; +\; a\; 2\; b\; 1\; ji\; +\; a\; 2\; b\; 2\; jj\; +\; a\; 2\; b\; 3\; jk\; +\; a\; 3\; b\; 1\; ki\; +\; a\; 3\; b\; 2\; kj\; +\; a\; 3\; b\; 3\; kk\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; mathbf\; \{ab\}\; =\; \backslash \; qquad\; a\_\; \{1\}\; b\_\; \{1\}\; \backslash \; mathbf\; \{ii\}\; +\; a\_\; \{1\}\; b\_\; \{2\}\; \backslash \; mathbf\; \{ij\}\; +\; a\_\; \{1\}\; b\_\; \{3\}\; \backslash \; mathbf\; \{ik\}\; \backslash \backslash \; \{\}\; +\; \{\}\; a\_\; \{2\}\; b\_\; \{1\}\; \backslash \; mathbf\; \{ji\}\; +\; a\_\; \{2\}\; b\_\; \{2\}\; \backslash \; mathbf\; \{jj\}\; +\; a\_\; \{2\}\; b\_\; \{3\}\; \backslash \; mathbf\; \{jk\}\; \backslash \backslash \; \{\}\; +\; \{\}\; a\_\; \{\; 3\}\; b\_\; \{1\}\; \backslash \; mathbf\; \{ki\}\; +\; a\_\; \{3\}\; b\_\; \{2\}\; \backslash \; mathbf\; \{kj\}\; +\; a\_\; \{3\}\; b\_\; \{3\}\; \backslash \; mathbf\; \{kk\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

или путем расширения из векторов строк и столбцов, матрица 3 × 3 (также результат внешнего произведения или тензорного произведения a и b ):

$ab\; \equiv \; a\; \otimes \; b\; \equiv \; ab\; T\; =\; (a\; 1\; a\; 2\; a\; 3)\; (b\; 1\; b\; 2\; b\; 3)\; =\; (a\; 1\; b\; 1\; a\; 1\; b\; 2\; a\; 1\; b\; 3\; a\; 2\; b\; 1\; a\; 2\; b\; 2\; a\; 2\; b\; 3\; a\; 3\; b\; 1\; а\; 3\; б\; 2\; а\; 3\; б\; 3).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{ab\}\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; mathbf\; \{ab\}\; ^\; \{\backslash \; mathsf\; \{T\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; a\_\; \{1\}\; \backslash \backslash \; a\_\; \{2\}\; \backslash \backslash \; a\_\; \{3\}\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; b\_\; \{1\}\; b\_\; \{2\}\; b\_\; \{3\}\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; a\_\; \{1\; \}\; b\_\; \{1\}\; a\_\; \{1\}\; b\_\; \{2\}\; a\_\; \{1\}\; b\_\; \{3\}\; \backslash \backslash \; a\_\; \{2\}\; b\_\; \{1\}\; a\_\; \{2\}\; b\_\; \{2\}\; a\_\; \{2\}\; b\_\; \{3\}\; \backslash \backslash \; a\_\; \{3\}\; b\_\; \{1\}\; a\_\; \{3\}\; b\_\; \{2\}\; a\_\; \{3\}\; b\_\; \{3\}\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}.\}$

Диада - это компонент диадики (моном суммы или, что эквивалентно, элемент матрицы) - диадическое произведение пары базисных векторов скаляр, умноженных на число.

Так же, как стандартные базисные (и единичные) векторы i, j, k, имеют представления:

$i\; =\; (1\; 0\; 0),\; j\; =\; (0\; 1\; 0),\; k\; =\; (0\; 0\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; mathbf\; \{i\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 1\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\},\; \backslash \; mathbf\; \{j\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 0\; \backslash \backslash \; 1\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\},\; \backslash \; mathbf\; \{k\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \backslash \; 1\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

(который можно транспонировать) стандартные базисные (и единичные) диады имеют представление:

$ii\; =\; (1\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0),\; ij\; =\; (0\; 1\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0),\; ik\; =\; (0\; 0\; 1\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0)\; ji\; =\; (0\; 0\; 0\; 1\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0),\; jj\; =\; (0\; 0\; 0\; 0\; 1\; 0\; 0\; 0\; 0),\; jk\; =\; (0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 1\; 0\; 0\; 0)\; ки\; знак\; равно\; (0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 1\; 0\; 0),\; kj\; =\; (0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 1\; 0),\; kk\; =\; (0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\; \backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; mathbf\; \{ii\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 1\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\},\; \backslash \; mathbf\; \{ij\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 0\; 1\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\},\; \backslash \; mathbf\; \{ik\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 0\; 0\; 1\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; \backslash \backslash \backslash \; mathbf\; \{ji\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{\; pmatrix\}\; 0\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 1\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\},\; \backslash \; mathbf\; \{jj\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 0\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 1\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\},\; \backslash \; mathbf\; \{jk\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 0\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 1\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; \backslash \backslash \backslash \; mathbf\; \{ki\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 0\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 1\; 0\; 0\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\},\; \backslash \; mathbf\; \{kj\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 0\; 0\; 0\; \backslash \; \backslash \; 0\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 1\; 0\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\},\; \backslash \; mathbf\; \{kk\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 0\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 1\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Для простой числовой пример в стандартном базисе:

$A\; =\; 2\; ij\; +\; 3\; 2\; ji\; -\; 8\; \pi \; jk\; +\; 2\; 2\; 3\; kk\; =\; 2\; (0\; 1\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0)\; +\; 3\; 2\; (0\; 0\; 0\; 1\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0)\; -\; 8\; \pi \; (0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 1\; 0\; 0\; 0)\; +\; 2\; 2\; 3\; (0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 1)\; =\; (0\; 2\; 0\; 3\; 2\; 0\; -\; 8\; \pi \; 0\; 0\; 2\; 2\; 3)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; =\; 2\; \backslash \; mathbf\; \{ij\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; \{2\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{ji\}\; -8\; \backslash \; pi\; \backslash \; mathbf\; \{jk\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\; \{3\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{kk\}\; \backslash \backslash \; [2pt]\; =\; 2\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 0\; 1\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; 0\; \backslash \; end\; \{\; pmatrix\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 0\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 1\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; -\; 8\; \backslash \; pi\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 0\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 1\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\; \{3\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 0\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 1\; \backslash \; en\; d\; \{pmatrix\}\}\; \backslash \backslash \; [2pt]\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 0\; 2\; 0\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; \{2\}\}\; 0\; -8\; \backslash \; pi\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\; \{3\}\}\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

N-мерное евклидово пространство

Если евклидово пространство N- размерное и

$a\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; N\; aiei\; =\; a\; 1\; e\; 1\; +\; a\; 2\; e\; 2\; +\dots \; +\; a\; N\; e\; N\; b\; =\; \sum \; j\; =\; 1\; N\; bjej\; =\; b\; 1\; e\; 1\; +\; b\; 2\; e\; 2\; +\; \dots \; +\; B\; N\; e\; N\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; a\_\; \{i\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{i\}\; =\; a\_\; \{\; 1\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{1\}\; +\; a\_\; \{2\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; ldots\}\; +\; a\_\; \{N\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{N\}\; \backslash \backslash \backslash \; mathbf\; \{b\; \}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; b\_\; \{j\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{j\}\; =\; b\_\; \{1\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{1\}\; +\; b\_\; \{2\}\; \backslash \; mathbf\; \{\; e\}\; \_\; \{2\}\; +\; \backslash \; ldots\; +\; b\_\; \{N\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{N\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

где eiи ej- стандартная основа векторов в N-измерениях (индекс i в eiвыбирает конкретный вектор, а не компонент вектора, как в i), то в алгебраической форме их диадическое произведение:

$ab\; =\; \sum \; j\; =\; 1\; N\; \sum \; i\; =\; 1\; N\; aibjeiej.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{ab\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; a\_\; \{i\}\; b\_\; \{j\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{j\}.\}$

Это известно как неионная форма диадики. Их внешнее / тензорное произведение в матричной форме:

$ab\; =\; ab\; T\; =\; (a\; 1\; a\; 2\; ⋮\; a\; N)\; (b\; 1\; b\; 2\; \cdots \; b\; N)\; =\; (a\; 1\; b\; 1\; a\; 1\; b\; 2\; \cdots \; a\; 1\; b\; N\; a\; 2\; b\; 1\; a\; 2\; b\; 2\; \cdots \; a\; 2\; b\; N\; ⋮\; ⋮\; \ddots \; ⋮\; a\; N\; b\; 1\; a\; N\; b\; 2\; \cdots \; a\; N\; b\; N).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{ab\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{ab\}\; ^\; \{\backslash \; mathsf\; \{T\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; a\_\; \{1\}\; \backslash \backslash \; a\_\; \{2\}\; \backslash \backslash \backslash \; vdots\; \backslash \backslash \; a\_\; \{N\}\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; b\_\; \{1\}\; b\_\; \{2\}\; \backslash \; cdots\; b\_\; \{N\}\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; a\_\; \{1\}\; b\_\; \{1\}\; a\_\; \{1\; \}\; b\_\; \{2\}\; \backslash \; cdots\; a\_\; \{1\}\; b\_\; \{N\}\; \backslash \backslash \; a\_\; \{2\}\; b\_\; \{1\}\; a\_\; \{2\}\; b\_\; \{2\}\; \backslash \; cdots\; a\_\; \{2\}\; b\_\; \{N\}\; \backslash \backslash \backslash \; vdots\; \backslash \; vdots\; \backslash \; ddots\; \backslash \; vdots\; \backslash \backslash \; a\_\; \{N\}\; b\_\; \{1\}\; a\_\; \{N\}\; b\_\; \{2\}\; \backslash \; cdots\; a\_\; \{N\}\; b\_\; \{N\}\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}.\}$

Диадическое многочлен A, иначе известный как диадический, формируется из нескольких векторов aiи bj:

$A\; =\; \sum \; iaibi\; =\; a\; 1\; b\; 1\; +\; a\; 2\; b\; 2\; +\; a\; 3\; b\; 3\; +\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; \_\; \{i\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; \_\; \{1\}\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; \_\; \{1\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; \_\; \{2\}\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; \_\; \{2\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; \_\; \{3\}\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; \_\; \{3\}\; +\; \backslash \; ldots\}$

Диадика, которая не может быть приведенная к сумме менее N диад, считается полной. В этом случае формирующие векторы не компланарны, см. Chen (1983).

Классификация

В следующей таблице классифицируются диадики:

	Детерминант	Примыкание	Матрица и его ранг
Ноль	= 0	= 0	= 0; ранг 0: все нули
Линейные	= 0	= 0	≠ 0; ранг 1: хотя бы один ненулевой элемент и все субдетерминанты 2 × 2 равны нулю (одинарный диадический)
Планарный	= 0	≠ 0 (одиночный диадический)	≠ 0 ; ранг 2: по крайней мере, один ненулевой субдетерминант 2 × 2
Complete	≠ 0	≠ 0	≠ 0; ранг 3: ненулевой определитель

Тождества

Следующие тождества являются прямым следствием определения тензорного произведения:

1. Совместимость с скалярным умножением :

   $(\alpha \; a)\; b\; знак\; равно\; a\; (\alpha \; b)\; знак\; равно\; \alpha \; (ab)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; alpha\; \backslash \; mathbf\; \{a\})\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; (\backslash \; alpha\; \backslash \; mathbf\; \{b\})\; =\; \backslash \; alpha\; (\backslash \; mathbf\; \{\; a\}\; \backslash \; mathbf\; \{b\})\}$

   для любого скаляра $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$.
2. Распределительный над векторным сложением :

   $a\; (b\; +\; c)\; =\; ab\; +\; ac\; (a\; +\; b)\; c\; =\; ac\; +\; bc\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; (\backslash \; mathbf\; \{b\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{c\})\; =\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; \backslash \; mathbf\; \{c\}\; \backslash \backslash \; (\backslash \; mathbf\; \{a\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{b\})\; \backslash \; mathbf\; \{c\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; \backslash \; mathbf\; \{c\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; \backslash \; mathbf\; \{c\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Произведение диадики и вектора

Есть четыре операции, определенные для вектора и диадики, построенные из произведений, определенных на векторы.

	Левый	Правый
Точечное произведение	$c\; \cdot \; (ab)\; =\; (c\; \cdot \; a)\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{c\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{a\}\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{c\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\}$	$(ab)\; \cdot \; c\; =\; a\; (b\; \cdot \; c)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{a\}\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{c\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{b\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{c\}\; \backslash \; right)\}$
Перекрестное произведение	$c\; \times \; (ab)\; =\; (c\; \times \; a)\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{c\}\; \backslash \; times\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{ab\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{c\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\}$	$(ab)\; \times \; c\; =\; a\; (b\; \times \; c)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{ab\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{c\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{b\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{c\}\; \backslash \; right)\}$

Произведение диадики и диадики

Есть пять операций между диадикой и другой диадикой. Пусть a, b, c, d- векторы. Тогда:

		Точка	Крест
Точка	Точечное произведение $(ab)\; \cdot \; (cd)\; =\; a\; (b\; \cdot \; c)\; d\; =\; (b\; \cdot \; в)\; объявление\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{a\}\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; cdot\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{c\}\; \backslash \; mathbf\; \{d\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{b\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{c\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; mathbf\; \{d\}\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{b\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{c\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; \backslash \; mathbf\; \{d\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$	Произведение с двумя точками $ab\; \cdot \; \cdot \; cd\; =\; (a\; \cdot \; d)\; (b\; \cdot \; c)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{ab\}\; \{\}\; \_\; \{\backslash ,\; \backslash \; centerdot\}\; ^\; \{\backslash ,\; \backslash \; centerdot\}\; \backslash \; mathbf\; \{cd\}\; =\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{a\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{d\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{b\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{c\}\; \backslash \; right)\}$ или $(ab)\; \cdot \; \cdot \; (cd)\; =\; c\; \cdot \; (ab)\; \cdot \; d\; =\; (a\; \cdot \; c)\; (b\; \cdot \; d)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{\; выровнено\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{ab\}\; \backslash \; right)\; \{\}\; \_\; \{\backslash ,\; \backslash \; centerdot\}\; ^\; \{\backslash ,\; \backslash \; centerdot\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{cd\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; mathbf\; \{c\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{ab\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{d\}\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{a\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{c\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{b\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{d\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$	Точка – крест-накрест uct $(ab)\; \cdot \; \times \; (cd)\; =\; (a\; \cdot \; c)\; (b\; \times \; d)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{ab\}\; \backslash \; right)\; \{\}\; \_\; \{\backslash ,\; \backslash \; centerdot\}\; ^\; \{\backslash \; times\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{c\}\; \backslash \; mathbf\; \{d\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{a\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{c\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{b\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{d\}\; \backslash \; right)\}$
Крест		Крест-точечное произведение $(ab)\; \times \; \cdot \; (cd)\; =\; (a\; \times \; c)\; (b\; \cdot \; d)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\; \backslash \; mathbf\; \{ab\}\; \backslash \; right)\; \{\}\; \_\; \{\backslash \; times\}\; ^\; \{\backslash ,\; \backslash \; centerdot\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{cd\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{a\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{c\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{b\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{d\}\; \backslash \; right)\}$	Двойное перекрестное произведение $(ab)\; \times \; \times \; (cd)\; =\; (a\; \times \; c)\; (b\; \times \; г)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{ab\}\; \backslash \; right)\; \{\}\; \_\; \{\backslash \; times\}\; ^\; \{\backslash \; times\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{cd\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{a\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{c\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{b\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{d\}\; \backslash \; right)\}$

Пусть

$A\; =\; \sum \; iaibi\; B\; =\; \sum \; jcjdj\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; quad\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\}\; \backslash \; mathbf\; \{c\}\; \_\; \{j\}\; \backslash \; mathbf\; \{d\}\; \_\; \{j\}\}$

две общие диадики, у нас есть:

		Точка	Крест
Точка	Точечное произведение $A\; \cdot \; B\; =\; \sum \; j\; \sum \; i\; (bi\; \cdot \; cj)\; aidj\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{A\; \}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{b\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{c\}\; \_\; \{j\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; mathbf\; \{\; a\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; mathbf\; \{d\}\; \_\; \{j\}\}$	Двойное точечное произведение $A\; \cdot \; \cdot \; B\; =\; \sum \; j\; \sum \; i\; (ai\; \cdot \; dj)\; (bi\; \cdot \; cj)\; =\; \sum \; j\; \sum \; я\; (ай\; \cdot \; cj)\; (би\; \cdot \; ди-джей)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; \{\}\; \_\; \{\backslash ,\; \backslash \; centerdot\}\; ^\; \{\backslash ,\; \backslash \; centerdot\}\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; =\; \backslash \; сумма\; \_\; \{j\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{a\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{d\}\; \_\; \{j\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{b\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{c\}\; \_\; \{j\}\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{a\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{c\}\; \_\; \{\; j\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{b\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{d\}\; \_\; \{j\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$	Точка – кросс-произведение $A\; \cdot \; \times \; B\; знак\; равно\; \sum \; J\; \sum \; я\; (ai\; \cdot \; cj)\; (bi\; \times \; dj)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; \{\}\; \_\; \{\backslash ,\; \backslash \; centerdot\}\; ^\; \{\backslash \; times\}\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{a\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{c\}\; \_\; \{j\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{b\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{d\}\; \_\; \{j\}\; \backslash \; right)\}$
Кро ss		Крест-точечное произведение $A\; \times \; \cdot \; B\; =\; \sum \; j\; \sum \; i\; (ai\; \times \; cj)\; (bi\; \cdot \; dj)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; \{\}\; \_\; \{\backslash \; times\}\; ^\; \{\; \backslash ,\; \backslash \; centerdot\}\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{a\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{c\}\; \_\; \{j\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{b\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{d\}\; \_\; \{j\}\; \backslash \; right)\}$	Двойное перекрестное произведение $A\; \times \; \times \; B\; =\; \sum \; i,\; j\; (ai\; \times \; cj)\; (bi\; \times \; dj)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; \{\}\; \_\; \{\backslash \; times\}\; ^\; \{\backslash \; times\}\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i,\; j\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{a\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{c\}\; \_\; \{j\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{b\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{d\}\; \_\; \{j\}\; \backslash \; right)\}$

Двойная точка product

Есть два способа определить произведение с двумя точками; нужно быть осторожным, решая, какое соглашение использовать. Поскольку для остальных диадических произведений нет аналогичных матричных операций, не возникает двусмысленности в их определениях:

Имеется специальное двойное точечное произведение с транспонированием

$A\; \cdot \; \cdot \; BT\; =\; AT\; \cdot \; \cdot \; В\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; \{\}\; \_\; \{\backslash \; centerdot\}\; ^\; \{\backslash \; centerdot\}\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; ^\; \{\backslash \; mathsf\; \{T\}\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; ^\; \{\backslash \; mathsf\; \{T\}\}\; \{\}\; \_\; \{\backslash \; centerdot\}\; ^\; \{\backslash \; centerdot\}\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\}$

Другой тождество:

$A\; \cdot \; \cdot \; B\; =\; (A\; \cdot \; BT)\; \cdot \; \cdot \; I\; =\; (B\; \cdot \; AT)\; \cdot \; \cdot \; I\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; \{\}\; \_\; \{\backslash \; centerdot\}\; ^\; \{\backslash \; centerdot\}\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; =\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; ^\; \{\backslash \; mathsf\; \{T\}\}\; \backslash \; right)\; \{\}\; \_\; \{\backslash \; centerdot\}\; ^\; \{\backslash \; centerdot\}\; \backslash \; mathbf\; \{I\}\; =\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{B\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; ^\; \{\backslash \; mathsf\; \{T\}\}\; \backslash \; right)\; \{\}\; \_\; \{\backslash \; centerdot\; \}\; ^\; \{\backslash \; centerdot\}\; \backslash \; mathbf\; \{I\}\}$

Двойное перекрестное произведение

Мы можем видеть, что для любой диады, образованной из двух векторов a и b, его двойное перекрестное произведение равно нулю.

$(ab)\; \times \; \times \; (ab)\; =\; (a\; \times \; a)\; (b\; \times \; b)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{ab\}\; \backslash \; right)\; \{\}\; \_\; \{\backslash \; times\}\; ^\; \{\backslash \; times\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{ab\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{a\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{b\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; \backslash \; right)\; =\; 0\; \}$

Однако, по определению, двойное двойное произведение на себя, как правило, не равно нулю. Например, диадическое число A, состоящее из шести разных векторов

$A\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; 3\; aibi\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{3\}\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; \_\; \{i\}\}$

имеет ненулевое самодвойное произведение

$A\; \times \; \times \; A\; =\; 2\; [(a\; 1\; \times \; a\; 2)\; (b\; 1\; \times \; b\; 2)\; +\; (a\; 2\; \times \; a\; 3)\; (b\; 2\; \times \; b\; 3)\; +\; (a\; 3\; \times \; a\; 1)\; (b\; 3\; \times \; b\; 1)]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; \{\}\; \_\; \{\; \backslash \; times\}\; ^\; \{\backslash \; times\}\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; =\; 2\; \backslash \; left\; [\backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{a\}\; \_\; \{1\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; \_\; \{2\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{\; b\}\; \_\; \{1\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; \_\; \{2\}\; \backslash \; right)\; +\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{a\}\; \_\; \{2\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; \_\; \{3\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; \_\; \{2\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; \_\; \{3\}\; \backslash \; right)\; +\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{a\}\; \_\; \{3\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; \_\; \{1\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{b\}\; \_\; \{3\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; \_\; \{1\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right]\}$

Тензорное сжатие

Шпора или фактор расширения возникает из формального расширение диадики в координатном базисе путем замены каждого диадического произведения скалярным произведением векторов:

$|\; А\; |\; =\; A\; 11\; i\; \cdot \; i\; +\; A\; 12\; i\; \cdot \; j\; +\; A\; 13\; i\; \cdot \; k\; +\; A\; 21\; j\; \cdot \; i\; +\; A\; 22\; j\; \cdot \; j\; +\; A\; 23\; j\; \cdot \; k\; +\; A\; 31\; k\; \cdot \; i\; +\; A\; 32\; k\; \cdot \; j\; +\; A\; 33\; К\; \cdot \; К\; знак\; равно\; A\; 11\; +\; A\; 22\; +\; A\; 33\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; |\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; |\; =\; \backslash \; qquad\; A\_\; \{11\}\; \backslash \; mathbf\; \{i\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{i\}\; +\; A\_\; \{12\}\; \backslash \; mathbf\; \{i\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{j\}\; +\; A\_\; \{13\}\; \backslash \; mathbf\; \{i\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{k\}\; \backslash \backslash \; \{\}\; +\; \{\}\; A\_\; \{21\}\; \backslash \; mathbf\; \{j\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{i\}\; +\; A\_\; \{22\}\; \backslash \; mathbf\; \{j\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{j\}\; +\; A\_\; \{23\}\; \backslash \; mathbf\; \{j\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{k\}\; \backslash \backslash \; \{\}\; +\; \{\}\; A\_\; \{31\}\; \backslash \; mathbf\; \{k\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{i\}\; +\; A\_\; \{32\}\; \backslash \; mathbf\; \{k\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{j\}\; +\; A\_\; \{33\}\; \backslash \; mathbf\; \{k\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{k\}\; \backslash \backslash \; [6pt\; ]\; =\; \backslash \; qquad\; A\_\; \{11\}\; +\; A\_\; \{22\}\; +\; A\_\; \{33\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

в обозначении индексов это сокращение индексов в диадике:

$|\; А\; |\; =\; \sum \; я\; A\; ii\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; |\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; A\_\; \{i\}\; \{\}\; ^\; \{i\}\}$

Только в трех измерениях коэффициент вращения возникает при замене каждого диадического произведения посредством перекрестного произведения

$⟨A⟩ = A 11 i × i + A 12 i × j + A 13 i × k + A 21 j × i + A 22 j × j + A 23 j × k + A 31 k × i + A 32 k × j + A 33 k × k = A 12 k - A 13 j - A 21 k + A 23 i + A 31 j - A 32 i = (A 23 - A 32) i + (A 31 - A 13) j + (A 12 - A 21) к {\ displaystyle {\ begin {align} \ langle \ mathbf {A} \ rangle = \ qquad A_ {11} \ mathbf {i} \ times \ mathbf {i} + A_ {12} \ mathbf {i} \ times \ mathbf {j} + A_ {13} \ mathbf {i} \ times \ mathbf {k} \\ {} + {} A_ {21} \ mathbf {j} \ times \ mathbf {i} + A_ {22} \ mathbf {j} \ times \ mathbf {j} + A_ {23} \ mathbf {j} \ times \ mathbf {k} \\ {} + {} A_ {31} \ mathbf {k} \ times \ mathbf {i} + A_ {32} \ mathbf {k} \ times \ mathbf {j} + A_ {33} \ mathbf {k} \ times \ mathbf {k} \\ [6pt] = \ qquad A_ {12} \ mathbf {k} -A_ {13} \ mathbf {j} -A_ {21} \ mathbf {k} \\ {} + {} A_ {23 } \ mathbf {i} + A_ {31} \ mathbf {j} -A_ {32} \ mathbf {i} \\ [6pt] = \ qquad \ lef t (A_ {23} -A_ {32} \ right) \ mathbf {i} + \ left (A_ {31} -A_ {13} \ right) \ mathbf {j} + \ left (A_ {12} -A_ {21} \ right) \ mathbf {k} \\\ end {align}}}$

В индексной нотации это сокращение A с тензором Леви-Чивиты

$⟨A⟩\; =\; \sum \; jk\; ϵ\; ijk\; A\; jk.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{jk\}\; \{\backslash \; epsilon\; \_\; \{i\}\}\; ^\; \{jk\}\; A\_\; \{jk\}.\}$

Существует единичная диадика, обозначаемая I, такая, что для любого вектора a,

$I\; \cdot \; a\; =\; a\; \cdot \; I\; =\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{I\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{I\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\}$

Дан базис из 3 векторов a, bи c с взаимным базисом $a\; ^,\; b\; ^,\; c\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{a\}\}\},\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{b\}\}\},\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{c\}\}\}\}$, диадика единиц выражается следующим образом:

$I\; =\; aa\; ^\; +\; bb\; ^\; +\; cc\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{I\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{a\}\}\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{b\}\}\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{c\}\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{c\}\}\}\}$

В стандартном базисе

$I\; =\; ii\; +\; jj\; +\; kk\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{I\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{ii\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{jj\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{kk\}\}$

Явно скалярное произведение справа от диадической единицы равно

$I\; \cdot \; a\; =\; (ii\; +\; jj\; +\; kk)\; \cdot \; a\; =\; i\; (i\; \cdot \; a)\; +\; j\; (j\; \cdot \; a)\; +\; k\; (k\; \cdot \; a)\; =\; iax\; +\; jay\; +\; kaz\; =\; a\; \{\backslash \; disp\; Laystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; mathbf\; \{I\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; =\; (\backslash \; mathbf\; \{i\}\; \backslash \; mathbf\; \{i\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{j\}\; \backslash \; mathbf\; \{j\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{k\}\; \backslash \; mathbf\; \{k\})\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; mathbf\; \{i\}\; (\backslash \; mathbf\; \{i\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{a\})\; +\; \backslash \; mathbf\; \{j\}\; (\backslash \; mathbf\; \{j\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{a\})\; +\; \backslash \; mathbf\; \{k\}\; (\backslash \; mathbf\; \{k\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{a\})\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; mathbf\; \{i\}\; a\_\; \{x\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{j\}\; a\_\; \{y\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{k\}\; a\_\; \{z\}\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

и слева

$a\; \cdot \; I\; =\; a\; \cdot \; (ii\; +\; jj\; +\; kk)\; =\; (a\; \cdot \; я)\; я\; +\; (a\; \cdot \; J)\; J\; +\; (a\; \cdot \; К)\; к\; знак\; равно\; акси\; +\; ayj\; +\; azk\; =\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{I\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; \backslash \; cdot\; (\backslash \; mathbf\; \{i\}\; \backslash \; mathbf\; \{i\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{j\}\; \backslash \; mathbf\; \{j\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{k\}\; \backslash \; mathbf\; \{k\})\; \backslash \backslash \; =\; (\backslash \; mathbf\; \{a\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{i\})\; \backslash \; mathbf\; \{i\}\; +\; (\backslash \; mathbf\; \{a\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{j\})\; \backslash \; mathbf\; \{j\}\; +\; (\backslash \; mathbf\; \{a\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{k\})\; \backslash \; mathbf\; \{k\}\; \backslash \backslash \; =\; a\_\; \{x\}\; \backslash \; mathbf\; \{i\}\; +\; a\_\; \{y\}\; \backslash \; mathbf\; \{j\}\; +\; a\_\; \{z\}\; \backslash \; mathbf\; \{k\}\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; \backslash \; end\; \{выровнено\}\; \}\}$

Соответствующая матрица:

$I\; =\; (1\; 0\; 0\; 0\; 1\; 0\; 0\; 0\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{I\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 1\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 1\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 1\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$

Это может быть положено на более тщательную основу (объясняя, что может означать логическое содержание «сопоставления нотации»), используя язык тензорных произведений. Если V - конечномерное векторное пространство, диадический тензор на V - это элементарный тензор в тензорном произведении V с его дуальным пространством.

Тензорное произведение V и двойственного к нему пространства изоморфно пространству линейных отображений из V в V: диадический тензор vf - это просто линейное отображение, переводящее любой w из V в f (w) v. Когда V является евклидовым n-пространством, мы можем использовать внутреннее произведение, чтобы идентифицировать двойственное пространство с самим V, делая диадический тензор элементарным тензорным произведением двух векторов в евклидовом пространстве.

В этом смысле диадическая единица ij - это функция от 3-го пробела к себе, отправляющая 1i+ a 2j+ a 3kв 2i, и jj отправляет эту сумму в 2j. Теперь выясняется, в каком (точном) смысле ii+ jj+ kkявляется тождеством: он отправляет себе 1i+ a 2j+ a 3k, потому что его эффект заключается в суммировании каждого единичного вектора в стандартном базисе, масштабируемого по коэффициент вектора в этом базисе.

Свойства диадики единиц

$(a\; \times \; I)\; \cdot \; (b\; \times \; I)\; =\; ba\; -\; (a\; \cdot \; b)\; II\; \times \; \cdot \; (ab)\; =\; b\; \times \; a\; I\; \times \; \times \; A\; =\; (A\; \cdot \; \cdot \; I)\; I\; -\; ATI\; \cdot \; \cdot \; (ab)\; =\; (I\; \cdot \; a)\; \cdot \; b\; =\; a\; \cdot \; b\; =\; tr\; (ab)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{a\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{\; I\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; cdot\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{b\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{I\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; mathbf\; \{ba\}\; -\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{a\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; mathbf\; \{I\}\; \backslash \backslash \backslash \; mathbf\; \{I\}\; \{\}\; \_\; \{\backslash \; times\}\; ^\; \{\backslash ,\; \backslash \; centerdot\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{ab\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{\; a\}\; \backslash \backslash \backslash \; mathbf\; \{I\}\; \{\}\; \_\; \{\backslash \; times\}\; ^\; \{\backslash \; times\}\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; =\; (\backslash \; mathbf\; \{A\}\; \{\}\; \_\; \{\backslash ,\; \backslash \; centerdot\}\; ^\; \{\backslash ,\; \backslash \; centerdot\}\; \backslash \; mathbf\; \{I\})\; \backslash \; mathbf\; \{I\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; ^\; \{\backslash \; mathsf\; \{T\}\}\; \backslash \backslash \backslash \; mathbf\; \{I\}\; \{\}\; \_\; \{\backslash ,\; \backslash \; centerdot\}\; ^\; \{\backslash ,\; \backslash \; centerdot\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{ab\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{I\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; =\; \backslash \; mathrm\; \{tr\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{ab\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

где «tr» обозначает след.

Проекция и отклонение вектора

Ненулевой вектор a всегда может быть разбитым на две перпендикулярные составляющие, одну параллельную (‖) направлению единичного вектора nи одну перпендикулярную (⊥) ему;

$a\; =\; a\; \parallel \; +\; a\; \perp \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; \_\; \{\backslash \; parallel\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; \_\; \{\backslash \; perp\}\}$

Параллельный компонент находится векторная проекция, что эквивалентно скалярному произведению a с диадическим nn,

$a\; \parallel \; =\; n\; (n\; \cdot \; a)\; =\; (nn)\; \cdot \; a\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; \_\; \{\backslash \; parallel\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{n\}\; (\backslash \; mathbf\; \{n\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{a\})\; =\; (\backslash \; mathbf\; \{nn\})\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\}$

и перпендикуляр компонент находится из отклонение вектора, что эквивалентно скалярному произведению a с диадическим I− nn,

$a\; \perp \; =\; a\; -\; n\; (n\; \cdot \; a)\; =\; (I\; -\; nn)\; \cdot \; a\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; \_\; \{\backslash \; perp\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{n\}\; (\backslash \; mathbf\; \{n\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{a\})\; =\; (\backslash \; mathbf\; \{I\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{nn\})\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\}$

Диадика вращения

2d вращения

Диадика

$J\; =\; ji\; -\; ij\; =\; (0\; -\; 1\; 1\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{J\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{ji\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{ij\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 0\; -1\; \backslash \backslash \; 1\; 0\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$

- это 90 ° против часовой стрелки оператор поворота в 2d. Его можно поставить с левой точкой с вектором r = x i + y j, чтобы получить вектор,

$(ji\; -\; ij)\; \cdot \; (xi\; +\; yj)\; знак\; равно\; xji\; \cdot \; я\; -\; xij\; \cdot \; я\; +\; yji\; \cdot \; j\; -\; yij\; \cdot \; j\; =\; -\; yi\; +\; xj,\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; mathbf\; \{ji\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{ij\})\; \backslash \; cdot\; (x\; \backslash \; mathbf\; \{i\}\; +\; y\; \backslash \; mathbf\; \{j\})\; =\; x\; \backslash \; mathbf\; \{ji\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{i\}\; -x\; \backslash \; mathbf\; \{ij\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{i\}\; +\; y\; \backslash \; mathbf\; \{ji\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{j\}\; -y\; \backslash \; mathbf\; \{ij\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{j\}\; =\; -y\; \backslash \; mathbf\; \{i\}\; +\; x\; \backslash \; mathbf\; \{j\},\}$

в общем

$J\; \cdot \; r\; =\; rrot\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{\; J\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{rot\}\}\}$

или в матричной записи

$(0\; -\; 1\; 1\; 0)\; (xy)\; =\; (-\; yx).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 0\; -1\; \backslash \backslash \; 1\; 0\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; x\; \backslash \backslash \; y\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; -y\; \backslash \backslash \; x\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}.\}$

Для любого угла θ диадика 2d вращения для вращения в плоскости против часовой стрелки равна

$R\; =\; I\; cos\; \; \theta \; +\; J\; sin\; \; \theta \; =\; (ii\; +\; jj)\; cos\; \; \theta \; +\; (ji\; -\; ij)\; грех\; \; \theta \; =\; (соз\; \; \theta \; -\; грех\; \; \theta \; sin\; \; \theta \; cos\; \; \theta )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{I\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; +\; \backslash \; mathbf\; \{J\; \}\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; =\; (\backslash \; mathbf\; \{ii\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{jj\})\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; +\; (\backslash \; mathbf\; \{ji\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{ij\})\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; -\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \backslash \backslash \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \backslash ;\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}$

где I и J такие же, как указано выше, а вращение любого двумерного вектора a = a xi+ ​​a yjравно

$arot\; =\; R\; \cdot \; a\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{rot\}\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\}$

3D-вращения

Общее трехмерное вращение вектора a вокруг оси в направлении a единичный вектор ωи угол θ против часовой стрелки, можно выполнить с помощью Rodrig Формула вращения UES в диадической форме

$arot\; =\; R\; \cdot \; a,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{rot\}\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; \backslash ,,\}$

где диадика вращения равна

$R\; =\; I\; cos\; \; \theta \; +\; sin\; \; \theta \; \Omega \; +\; (1\; -\; cos\; \; \theta )\; \omega \; \omega ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{I\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; +\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; Omega\}\}\; +\; (1-\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta)\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; omega\; \backslash \; omega\}\}\; \backslash ,,\}$

и декартовы записи ω также образуют диадические

$\Omega \; =\; \omega \; x\; (kj\; -\; jk)\; +\; \omega \; y\; (ik\; -\; ki)\; +\; \omega \; z\; (ji\; -\; ij),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; Omega\}\; \}\; =\; \backslash \; omega\; \_\; \{x\}\; (\backslash \; mathbf\; \{kj\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{jk\})\; +\; \backslash \; omega\; \_\; \{y\}\; (\backslash \; mathbf\; \{ik\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{ki\})\; +\; \backslash \; omega\; \_\; \{z\}\; (\backslash \; mathbf\; \{ji\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{ij\})\; \backslash ,,\}$

Влияние Ω на a - это перекрестное произведение

$\Omega \; \cdot \; a\; =\; \omega \; \times \; a\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; Omega\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; =\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; omega\}\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\}$

, которая является диадической формой матрицы перекрестного произведения с вектором-столбцом.

Преобразование Лоренца

В специальной теории относительности, усиление Лоренца со скоростью v в направлении единичного вектора n может быть выражено как

$t\; \prime \; =\; \gamma \; (t\; -\; vn\; \cdot \; rc\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; \text{'}=\; \backslash \; gamma\; \backslash \; left\; (t\; -\; \{\backslash \; frac\; \{v\; \backslash \; mathbf\; \{n\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\})\; \{c\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\}$

$r\; \prime \; =\; [I\; +\; (\gamma \; -\; 1)\; nn]\; \cdot \; r\; -\; \gamma \; vnt\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \text{'}=\; [\backslash \; mathbf\; \{I\}\; +\; (\backslash \; gamma\; -1)\; \backslash \; mathbf\; \{nn\}]\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; -\; \backslash \; gamma\; v\; \backslash \; mathbf\; \{n\}\; t\}$

где

$\gamma \; =\; 1\; 1\; -\; v\; 2\; c\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{1\; -\; \{\backslash \; dfrac\; \{v\; ^\; \{2\}\}\; \{c\; ^\; \{2\}\}\}\}\}\}\}$

- фактор Лоренца.

Некоторые авторы обобщают термин диадический на родственные термины триадический, тетрадический и полиадический.

• произведение Кронекера
• Полиадическая алгебра
• Единичный вектор
• Мультивектор
• Дифференциальная форма
• Кватернионы
• Поле (математика)

• Стр. Митигуй (2009). «Векторы и диадики» (PDF). Стэнфорд, США. Глава 2
• Spiegel, M.R.; Lipschutz, S.; Спеллман, Д. (2009). Векторный анализ, контуры Шаума. Макгроу Хилл. ISBN 978-0-07-161545-7.
• А.Дж.М. Спенсер (1992). Механика сплошной среды. Dover Publications. ISBN 0-486-43594-6..
• Morse, Philip M.; Фешбах, Герман (1953), «§1.6: Диадика и другие векторные операторы», Методы теоретической физики, Том 1, Нью-Йорк: McGraw-Hill, стр. 54–92, ISBN 978-0-07-043316-8, MR 0059774.
• Исмо В. Линделл (1996). Методы анализа электромагнитного поля. Вили-Блэквелл. ISBN 978-0-7803-6039-6..
• Холлис К. Чен (1983). Theory of Electromagnetic Wave - A Coordinate-free approach. Макгроу Хилл. ISBN 978-0-07-010688-8..
• K. Cahill (2013). Physical Mathematics. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1107005211.

• Vector Analysis, a Text-Book for the use of Students of Mathematics and Physics, Founded upon the Lectures of J. Willard Gibbs PhD LLD, Edwind Bidwell Wilson PhD
• Advanced Field Theory, I.V.Lindel
• Vector and Dyadic Analysis
• Introductory Tensor Analysis
• Nasa.gov, Foundations of Tensor Analysis for students of Physics and Engineering with an Introduction to the Theory of Relativity, J.C. Kolecki
• Nasa.gov, An introduction to Tensors for students of Physics and Engineering, J.C. Kolecki