Механика сплошной среды

Раздел механики, который занимается анализом кинематики и механического поведения материалов, моделируемых как непрерывная масса, а не как дискретные частицы

Механика сплошной среды - это раздел механики, который занимается механическим поведением материалов, моделируемых как сплошная масса, а не как отдельные частицы. Французский математик Огюстен-Луи Коши был первым, кто сформулировал такие модели в XIX веке.

Содержание

• 1 Объяснение
• 2 Концепция континуума
• 3 Автомобильное движение в качестве вводного примера
  • 3.1 Сохранение выводит PDE (уравнение в частных производных)
  • 3.2 Наблюдение закрывает проблему
• 4 Основные области
• 5 Построение моделей
• 6 Силы в континууме
  • 6.1 Поверхностные силы
  • 6.2 Телесные силы
• 7 Кинематика: движение и деформация
  • 7.1 Лагранжево описание
  • 7.2 Описание Эйлера
  • 7.3 Поле с ущербом
• 8 Управляющие уравнения
  • 8.1 Законы равновесия
  • 8.2 Неравенство Клаузиуса-Дюгема
• 9 Приложения
• 10 См. Также
• 11 Примечания
• 12 Ссылки
  • 12.1 Процитированные работы
  • 12.2 Общие ссылки
• 13 Внешние ссылки

Пояснение

Моделирование объекта как континуума предполагает, что субстанция объекта полностью заполняет пространство, которое он занимает. При моделировании объектов таким образом игнорируется тот факт, что материя из элементов и поэтому является не непрерывной; однако на масштабах длины, превышающих масштаб межатомных расстояний, такие модели обладают высокой точностью. Основные законы физические, такие как сохранение описывающей массы, сохранение импульса и Сохранение энергии, условия к таким моделям для достижения дифференциала уравнения, поведение таких объектов, и некоторая информация исследуемом материале используется посредством имеет определяющих материалов.

Механика сплошной среды дело с физическими свойствами твердых тел и жидкостей, которые не зависят от какой-либо конкретной координаты система, в которой они наблюдаются. Эти свойства свой представлены тензорами , которые предоставляют собой математические объекты, которые обладают требуемым независимостью от системы координат. Эти тензоры могут быть выражены в системе координат для удобства вычислений.

Концепция континуума

Материалы, такие как твердые тела, жидкости и газы, состоят из молекул, разделенных пространством. В микроскопическом масштабе материалы имеют трещины и неоднородности. Однако некоторые физические физические физические можно моделировать, предполагаемая, что материалы существуют в виде континуума, то есть материя в теле непрерывно распределена и заполняет всю область пространства, которое она занимает. Континуум - это тело, которое может быть непрерывно разделено на бесконечно малые элементы, свойства которых соответствуют свойствам объемного материала.

Справедливое предположение о континууме может быть подтверждено теоретическим анализом, в котором выявляется либо некоторая четкая периодичность, либо статистическая однородность и эргодичность микроструктура. В частности, гипотеза / предположение континуума зависит от концепции репрезентативного элементарного объема и разделения шкал на основе. Это условие обеспечивает связь между взглядами экспериментатора и теоретика на определяющие уравнения (линейные и нелинейные упругие / неупругие или связанные поля), а также пространственное и статистическое усреднения микроструктуры.

Когда разделение масштабов не выполняется, или когда кто-то хочет установить континуум с более высоким разрешением, чем у размера представительного элемента объема (RVE), он использует статистический элемент объема (SVE), который, в свою очередь, приводит к случайным полям континуума. Последние затем основу микромеханики для стохастических конечных элементов (SFE). Уровни SVE и RVE связывают механику сплошной среды с статистической механикой. RVE можно оценить только ограниченным образом посредством экспериментального тестирования: когда конститутивный ответ становится пространственно однородным.

В частности, для флюидов, число Кнудсена используется для оценки того, в какой степени может быть выполнено приближение непрерывности.

Автомобильное движение в качестве начального автомобильного примера

Рассмотримое движение по шоссе с одной полосой для простоты. Несколько удивительно, и в знак уважения к своей эффективности, механика сплошной среды эффективно моделирует движение автомобилей с помощью уравнения в частных производных (PDE) для плотности автомобилей. Знакомство с этой ситуацией позволяет нам немного понять дихотомию континуума и дискретности, лежащую в основе моделирования континуума в целом.

Для начала моделирования определите, что: $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$измеряет расстояние (в км) вдоль шоссе; $t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$- время (в минутах); $\rho \; (x,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; (x,\; t)\}$- плотность автомобилей на шоссе (в машинах / км по полосе); и $u\; (x,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; (x,\; t)\}$- скорость потока (средняя скорость) этих автомобилей, находящихся в положении $x\; \{\; \backslash \; displaystyle\; x\}$.

Сохранение выводит PDE (Уравнение в частных производных )

Автомобили не появляются и не исчезают. Рассмотрим любую группу автомобилей: от конкретного автомобиля в задней части группы, расположенной в $x\; =\; a\; (\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; a\; (t)\}$к конкретному автомобилю спереди, расположенному в $x\; =\; b\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; b\; (t)\}$. Общее количество автомобилей в этой группе $N\; =\; \int \; a\; (t)\; b\; (t)\; \rho \; (x,\; t)\; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{a\; (t)\}\; ^\; \{b\; (t)\}\; \backslash \; rho\; (x,\; t)\; \backslash ,\; dx\}$. Города автомобили законсервированы (если есть обгон, то "автомобиль впереди \ сзади" может стать другим автомобилем) $d\; N\; /\; dt\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; dN\; /\; dt\; =\; 0\}$. Но с помощью интегрального правила Лейбница

$d\; N\; dt\; =\; ddt\; \int \; a\; (t)\; b\; (t)\; \rho \; (x,\; t)\; dx\; =\; \int \; ab\; \partial \; \rho \; \partial \; tdx\; +\; \rho \; (b,\; t)\; dbdt\; -\; \rho \; (a,\; t)\; dadt\; =\; \int \; ab\; \partial \; \rho \; \partial \; tdx\; +\; \rho \; (b,\; t)\; u\; (b,\; t)\; -\; \rho \; (a,\; t)\; u\; (a,\; t)\; =\; \int \; ab\; [\partial \; \rho \; \partial \; t\; +\; \partial \; \partial \; x\; (\rho \; u)]\; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\}\; \{\backslash \; frac\; \{dN\}\; \{dt\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dt\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{a\; (t)\}\; ^\; \{b\; (\; t)\}\; \backslash \; rho\; (x,\; t)\; \backslash ,\; dx\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; rho\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; \backslash ,\; dx\; +\; \backslash \; rho\; (b,\; t)\; \{\backslash \; frac\; \{db\}\; \{dt\}\}\; -\; \backslash \; rho\; (a,\; t)\; \{\backslash \; frac\; \{da\}\; \{dt\}\}\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; частичное\; \backslash \; rho\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; \backslash ,\; dx\; +\; \backslash \; rho\; (b,\; t)\; u\; (b,\; t)\; -\; \backslash \; rho\; (a,\; t)\; u\; (a,\; t)\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; int\; \_\; \{a\; \}\; ^\; \{b\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; rho\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; (\backslash \; rho\; u)\; \backslash \; right]\; dx\; \backslash \; end\; \{align\; \}\}\}$

Этот интеграл, равный нулю, выполняет для всех групп, то есть для всех интервалов $[a,\; b]\; \{\backslash \; displaystyle\; [a,\; b]\}$. Единственный способ, которым интеграл может быть равен нулю для всех интервалов, - это если подынтегральное выражение равно нулю для всех $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$. Следовательно, сохранение выводит нелинейное сохранение первого порядка PDE

$\partial \; \rho \; \partial \; t\; +\; \partial \; \partial \; x\; (\rho \; u)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; rho\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; (\backslash \; rho\; u)\; =\; 0\}$

для всех позиций на шоссе.

Этот PDE по сохранению не только к жидкостям, твердым веществам, толпам, животным, растениям, лесным пожарам, финансовым торговцам и так далее.

Наблюдение закрывает проблему

Предыдущее уравнение в частных производных представляет собой одно уравнение с двумя неизвестными, поэтому для формирования корректно поставленной задачи требуется другое уравнение. Такое дополнительное уравнение обычно требуется в механике сплошных сред и обычно получается из экспериментов. Для автомобильного движения хорошо известно, что автомобили обычно движутся со скоростью, зависящей от плотности, $u\; =\; V\; (\rho )\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; =\; V\; (\backslash \; rho)\}$для некоторой экспериментально определенные функции $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$, которая является убывающей функцией плотности. Например, эксперименты в туннеле Линкольна показали, что хорошее соответствие (за исключением низкой плотности) достигается при $u\; =\; V\; (\rho )\; =\; 27,5\; ln\; \; (142\; /\; \rho )\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; =\; V\; (\backslash \; rho)\; =\; 27,5\; \backslash \; ln\; (142\; /\; \backslash \; rho)\}$(км / ч для плотности автомобилей / км).

Таким образом, основная модель континуума для автомобильного движения PDE

$\partial \; \rho \; \partial \; t\; +\; \partial \; \partial \; x\; [\rho \; V\; (\rho )]\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; rho\}\; \{\backslash \; частичный\; t\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; частичный\; x\}\}\; [\backslash \; rho\; V\; (\backslash \; rho)]\; =\; 0\}$

для плотности автомобилей $\rho \; (x,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; (x,\; t)\}$на шоссе.

Основные области

Механика сплошной среды . Изучение физики сплошных материалов	Механика твердого тела. Изучение физики сплошных материалов с типом покоя.	Эластичность. Описывает материалы, которые возвращаются в своей остальной форме после снятия приложенных напряжений.
		Пластичность. Описывает материалы, которые необратимо деформируются после достаточного приложенного напряжения.	Реология. Исследование материалов с твердыми и текучими характеристиками.
	Механика жидкости. Исследование физики сплошных материалов, которые деформируются под действием силы.	Неньютоновские жидкости не подвергаются скоростям деформации, пропорциональным приложенное напряжение сдвига.
		Ньютоновские жидкости подвергаются деформации со скоростью, пропорциональной приложенному напряжению сдвига.

Дополнительная область механики сплошных сред включает эластомерные пены, демонстрирующие любопытную гиперболическую связь между напряжением и деформацией. Эластомер представляет собой истинный континуум, но однородное распределение пустот придает ему необычные свойства.

Формулировка моделей

Рис. 1. Конфигурация сплошного тела

Модели механики сплошной среды начинаются с задания области трехмерного евклидово пространство для моделируемого материального тела $B\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{B\}\}\}$. Точки в этой области называются частицами или материальными точками. Разные конфигурации или состояния тела соответствуют разным областям евклидова пространства. Область, соответствующая конфигурации тела во время $t\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; t\}$, помечена $\kappa \; t\; (B)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \backslash \; kappa\; \_\; \{t\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{B\}\; \})\}$.

Определенная частица в теле в образе характеризуется вектором положения.

$x\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; 3\; xiei,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{я\; =\; 1\}\; ^\; \{3\}\; x\_\; \{i\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{i\},\}$

где $ei\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{i\}\}$- это цель координат в некоторой системе отсчета, выбранной для задачи (см. Рисунок 1). Этот вектор может быть выражен как функция положения частиц $X\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{X\}\}$в некоторой эталонной конфигурации, например, конфигурации в начальный момент времени., так что

$x\; =\; \kappa \; t\; (X).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; =\; \backslash \; kappa\; \_\; \{t\}\; (\backslash \; mathbf\; \{X\}).\}$

Эти функции должны быть различными свойствами, чтобы модель физический смысл. $\kappa \; t\; (\cdot )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\; \_\; \{t\}\; (\backslash \; cdot)\}$должен быть:

• непрерывным во времени, чтобы тело изменялось которое является реалистичным,
• глобально обратимым в любое время, так что тело не может пересекаться с самим собой,
• сохраняя ориентацию, поскольку преобразования, которые вызывают зеркальные отражения, невозможны в

для математической формулировки модели $\kappa \; t\; (\cdot )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \backslash \; kappa\; \_\; \{t\}\; (\backslash \; cdot)\}$также строго равным постоянно непрерывно дифференцируемые, так что можно использовать дифференциальные уравнения, описывающие движение.

Силы в континууме

Механика сплошной среды имеет дело с деформируемыми телами, в отличие от твердого тел. Твердое тело - это деформируемое тело, обладающее прочностью на сдвиг sc. твердое тело может выдерживать поперечные силы (силы, параллельные поверхности материала, на которые они они выступают). С другой стороны, жидкости не выдерживают поперечный сил. При изучении механического поведения твердых тел и жидкостей, они представляют собой сплошные тела, что означает, что материя заполняет всю область пространства, которое она занимает, несмотря на то, что материя состоит из состояний, имеет пустоты и дискретна. Следовательно, когда механика сплошной среды относится к точке или частице в непрерывном теле, она не входит в точку в межатомном пространстве или атомную частицу, а скорее идеализированную часть тела, занимающую эту точку.

Следуя классической динамике Ньютона и Эйлера, материального тела вызывается приложенных извне сил, движение, как обязанных, бывают двух видов. : поверхностные силы $FC\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; \_\; \{C\}\}$и телесные силы $FB\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; \_\; \{B\}\}$. Таким образом, общая сила $F\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\}$, приложенная к телу или части тела, может быть выражена как:

$F\; =\; FC\; +\; FB\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; \_\; \{C\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; \_\; \{B\}\}$

Поверхностные силы

Поверхностные силы или контактные силы, выраженные как сила на единицу площади, может действовать либо на ограничивающую поверхность тела в результате механического взаимодействия с другими телами, либо на воображаемые внутренние поверхности, которые ограничивают части тела, в результате механического взаимодействия между частями тела. тело по обе стороны от поверхности (принцип напряжений Эйлера-Коши ). Когда на тело внешние контактные силы, внутренние контактные силы передаются от точки к точке внутри тела, чтобы уравновесить их действие, в соответствии с третьим законом движения Ньютона сохранение количества движения. и угловой момент (для сплошных тел эти называются законы уравнениями движения Эйлера ). Внутренние контактные силы связаны с деформацией тела посредством основных уравнений. Внутренние контактные силы могут быть математически связаны, как они связаны с движением тела, независимо от материала тела.

Распределение внутренних контактных сил по объему тела непрерывным. Следовательно, существует плотность контактной силы или поле тяги Коши $T\; (n,\; x,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{T\}\; (\backslash \; mathbf\; \{n\},\; \backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\}$, который представляет собой конфигурацию в конкретной конфигурации тела в данный момент времени $t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; \backslash ,\; \backslash !\}$. Это не только поле, потому что оно зависит не только от положения $x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\}$специфическая материальная точка, но и от локальной ориентации элемента, которая определяется его вектором нормали $n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{n\}\}$.

Любая разностная область $d\; S\; \{\backslash \; displaystyle\; dS\; \backslash ,\; \backslash !\}$с вектором нормали $n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{\; n\}\}$данной области внутренней поверхности $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; \backslash ,\; \backslash !\}$, ограничивающая часть тела, испытывает контактную силу $d\; FC\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; \_\; \{C\}\; \backslash ,\; \backslash !\}$, вызывает в результате контакта между обеими частями тела на каждой стороне $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; \backslash ,\; \backslash !\}$, и он задается как

$d\; FC\; =\; T\; (n)\; d\; S\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; \_\; \{C\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{T\}\; ^\; \{(\backslash \; mathbf\; \{n\})\}\; \backslash ,\; dS\}$

где $T\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{T\}\; ^\; \{(\backslash \; mathbf\; \{n\})\}\}$- поверхностное сцепление, также называемое вектором напряжения, сцеплением или вектором сцепления. Вектор напряжения - это вектор, не зависящий от кадра (см. напряжений Эйлера-Коши ).

Общая сила контакта на конкретной внутренней поверхности $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; \backslash ,\; \backslash !\}$затем выражается сумма как (интеграл поверхности ) контактных сил на всех дифференциальных поверхностях $d\; S\; \{\backslash \; displaystyle\; dS\; \backslash ,\; \backslash !\}$:

$FC\; =\; \int \; ST\; (n)\; d\; S\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; \_\; \{C\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{S\}\; \backslash \; mathbf\; \{\; T\}\; ^\; \{(\backslash \; mathbf\; \{n\})\}\; \backslash ,\; dS\}$

В механике сплошной среды тело считается свободным от напряжений, если единственные присутствующие силы - это межатомные силы (ионные, металлические и силы-дер-Ваальса ), необходимые для удержания тела вместе и сохранение его формы при наличии всех внешних воздействий, включая гравитационное притяжение. Напряжения, испытывающие при изготовлении корпуса до конфигурации, также исключаются при рассмотрении напряжений в тележки. Следовательно, в механике сплошной среды возникают только напряжения, возникающие в результате деформации тела sc. Учитываются только относительные изменения напряжения, а не абсолютные значения напряжения.

Силы тела

Силы тела - это силы, исходящие от источников вне тела, которые имеют объем (или массу) тела. Утверждение, что телесные силы используются из-за внешних источников, означает, что взаимодействие между частями тела (внутренние силы) проявляются только через контактные силы. Эти силы возникают из-за присутствия тела в силовых полях, например гравитационное поле (гравитационные силы ) или электромагнитное поле (электромагнитные силы ) или от силы инерции, когда тела находятся в движении. Нормально, что масса сплошного тела распределена непрерывно, любая сила, исходящая от массы, также непрерывно распределена. Таким образом, объемные силы задаются векторными полями, которые непрерывными по всему объему тела, то есть действующими на каждую его точку. Силы тела представленной плотностью силы тела $b\; (x,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\}$(на единицу массы), является безразличным кру векторным полем.

В случае гравитационных сил сила зависит от плотности или пропорциональна ей $\rho \; (x,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; rho\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\; \backslash ,\; \backslash !\; \}$материала, и он указывается в единицах силы на единицу массы ($bi\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{i\}\; \backslash ,\; \backslash !\}$) или на единицу объема ($пи\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{i\}\; \backslash ,\; \backslash !\}$). Эти две характеристики связаны через плотность материала уравнением $\rho \; b\; i\; =\; p\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; b\_\; \{i\}\; =\; p\_\; \{i\}\; \backslash ,\; \backslash !\}$. Точно так же интенсивность электромагнитных сил зависит от силы (электрического заряда ) электромагнитного поля.

Общая сила тела, приложенная к сплошному телу, выражается как

$FB\; =\; \int \; V\; bdm\; =\; \int \; V\; \rho \; bd\; V\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; \_\; \{B\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{V\; \}\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; \backslash ,\; dm\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{V\}\; \backslash \; rho\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; \backslash ,\; dV\}$

Силы тела и силы контакта, действующие на тело, приводят к соответствующим моментам силы (крутящие моменты ) относительно заданной точки. Таким образом, общий приложенный крутящий момент $M\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\}$относительно начала координат задается как

$M\; =\; MC\; +\; MB\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\; \}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; \_\; \{C\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; \_\; \{B\}\}$

В определенных ситуациях, которые обычно не рассматриваются при анализе механического поведения материалов, возникает необходимость включить два других типа сил: это парные напряжения (поверхностные пары, контактные моменты) и моменты тела. Парные напряжения - это моменты на единицу площади, приложенные к поверхности. Моменты тела или пары тел - это моменты на единицу объема или на единицу массы, приложенные к объему тела. Оба важны при анализе напряжений для поляризованного диэлектрического твердого тела под действием электрического поля, материалов, в которых принимается во внимание молекулярная структура (например, костей), твердых тел под действием внешнего магнитного поля и теории дислокаций металлы.

Материалы, которые в дополнение к моменту, создаваемым исключительно силами, проявляются пары тел и связанные напряжения, называются полярными материалами. Неполярные материалы - это те материалы, которые обладают только моментми сил. В классических разделах механики сплошных сред развития теории напряжений основано на неполярных материалах.

Таким образом, сумма всех приложенных сил и моментов (относительно начала системы координат) в теле может быть задана как

$F\; =\; \int \; V\; adm\; =\; \int \; ST\; d\; S\; +\; \int \; V\; \rho \; бд\; В\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\; \backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{V\}\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; \backslash ,\; dm\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{S\}\; \backslash \; mathbf\; \{T\}\; \backslash ,\; dS\; +\; \backslash \; int\; \_\; \{V\}\; \backslash \; rho\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; \backslash ,\; dV\}$

$M\; =\; \int \; S\; r\; \times \; T\; d\; S\; +\; \int \; V\; r\; \times \; \rho \; bd\; V\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{S\}\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{T\}\; \backslash ,\; dS\; +\; \backslash \; int\; \_\; \{V\}\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \backslash \; times\; \backslash \; rho\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; \backslash ,\; dV\}$

Кинематика: движение и деформация

Рисунок 2. Движение непрерывного тела.

Изменение конфигурации непрерывного тела приводит к смещению. Смещение тела имеет две составляющие: смещение твердого тела и деформацию . Смещение твердого тела состоит из одновременного перемещения и вращения тела без изменений его формы или размера. Деформация или подразумевает изменение формы и / или размера тела по сравнению с исходной конфигурацией $\kappa \; 0\; (B)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \backslash \; kappa\; \_\; \{0\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{B\}\})\}$в текущей или деформированной конфигурации $\kappa \; t\; (B)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \backslash \; kappa\; \_\; \{t\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{B\}\})\}$(рисунок 2).

Движение сплошного тела представляет собой непрерывную временную последовательность перемещений. Таким образом, материальное тело будет занимать разные конфигурации в разное время, что частица занимает ряд в пространстве, которые описывают линию пути.

Во время движения или деформации сплошного тела существует непрерывность в том смысле, что:

• материальные точки, образующие замкнутую кривую в любой момент времени, всегда будут образовывать замкнутую кривую в любой последующий момент.
• Материальные точки, образующие замкнутую поверхность в любой момент времени, всегда будут образовывать замкнутую поверхность в любое последующее время, и материя внутри замкнутой поверхности всегда будет оставаться внутри.

Удобно определить исходную конфигурацию или начальное состояние, которое все последующие конфигурации указаны из. Эталонная конфигурация не обязательно должна быть такой, которую когда-либо займет тело. Часто конфигурация $t\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; t\; =\; 0\}$считается эталонной конфигурацией, $\kappa \; 0\; (B)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \backslash \; kappa\; \_\; \{0\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{B\; \}\})\}$. Компоненты $X\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; X\_\; \{i\}\}$положения положения $X\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \backslash \; mathbf\; \{X\}\}$частицы, взятые относительно эталонной конфигурации, называются материальными или эталонными координатами.

При анализе потока или деформации твердый или текучей среды необходимо описать последовательность или эволюцию конфигурации во времени. Одно описание движения сделано в терминах материальных или ссылочных координат, что называется описанием материала или лагранжевым описанием.

Лагранжевое описание

В лагранжевом описании положение и физические свойства частиц в терминах материальных или ссылочных координат и времени. В этом случае эталонная конфигурация используется в $t\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; t\; =\; 0\}$. Наблюдатель, находящийся в системе отсчета, наблюдает за изменениями положения и физических свойств по мере того, как материальное тело перемещается в пространстве с течением времени. Полученные результаты не зависят от выбора начального времени и эталонной конфигурации, $\kappa \; 0\; (B)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\; \_\; \{0\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{B\}\})\}$. Это описание обычно используется в механике твердого тела.

В лагранжевомании движение сплошного тела выражается функция отображения $\chi \; (\cdot )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \backslash \; chi\; (\backslash \; cdot)\}$(рис. 2),

$x\; =\; \chi \; (X,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; =\; \backslash \; chi\; (\backslash \; mathbf\; \{X\},\; t)\}$

, которое является отображением исходной конфигурации $\kappa \; 0\; (B)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\; \_\; \{0\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{B\}\})\}$в текущей конфигурации $\kappa \; t\; (B)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\; \_\; \{t\}\; (\{\; \backslash \; mathcal\; \{B\}\})\}$вектор задает геометрическое соответствие между ними, то есть задающее положение $x\; =\; xiei\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; =\; x\_\; \{i\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\; \}\; \_\; \{i\}\}$, что частица $X\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; X\}$, с вектором положения $X\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \backslash \; mathbf\; \{X\}\}$в недеформированной или эталонной конфигурации $\kappa \; 0\; (B)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\; \_\; \{0\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{B\}\})\}$, будет занимать в текущей или деформированной конфигурация $\kappa \; t\; (\; В)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\; \_\; \{t\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{B\}\})\}$в момент $t\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; t\}$. Компоненты $x\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; x\_\; \{i\}\}$называются пространственными координатами.

Физические и кинематические свойства $P\; ij\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; P\_\; \{ij\; \backslash \; ldots\}\}$, т.е. термодинамические свойства и скорость потока, которые описывают или характеризуют особенности материального тела., выражаются как непрерывные функции положения и времени, т. е. $P\; ij\dots \; =\; P\; ij\dots \; (X,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; P\_\; \{ij\; \backslash \; ldots\}\; =\; P\_\; \{ij\; \backslash \; ldots\}\; (\backslash \; mathbf\; \{X\},\; t)\}$.

Материальная производная любого свойства $P\; ij\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; P\_\; \{ij\; \backslash \; ldots\}\}$континуума, которое может быть скаляром, вектором или тензором, - скорость изменения этого свойства для конкретной группы частиц движущегося сплошного тела. Материальная производная также известна как существенная производная, или сопутствующая производная, или конвективная производная. Это можно представить как скорость, это свойство изменяется при измерении наблюдателем, путешествующим с этой группой частиц.

В лагранжевом описании материальной производной от $P\; ij\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; P\_\; \{ij\; \backslash \; ldots\}\}$является просто частной производной по времени, а вектор положения $X\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; \backslash \; mathbf\; \{X\}\}$остается постоянным, поскольку он не изменяется со временем. Таким образом, мы имеем

$ddt\; [P\; ij\dots \; (X,\; t)]\; =\; \partial \; \partial \; t\; [P\; ij\dots \; (X,\; t)]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dt\}\}\; [P\_\; \{\; ij\; \backslash \; ldots\}\; (\backslash \; mathbf\; \{X\},\; t)]\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; [P\_\; \{ij\; \backslash \; ldots\}\; (\backslash \; mathbf\; \{X\},\; t)]\}$

Мгновенное позиция $x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \backslash \; mathbf\; \{x\}\}$- это свойство частиц, а ее материальная производная - мгновенная скорость потока $v\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \backslash \; mathbf\; \{v\}\}$частиц. Следовательно, поле скорости потока континуума задается формулой

$v\; =\; x\; \dot{}\; =\; dxdt\; =\; \partial \; \chi \; (X,\; t)\; \partial \; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; =\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\}\; =\; \{\; \backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\}\; \{dt\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; chi\; (\backslash \; mathbf\; \{X\},\; t)\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\}$

Аналогично поле ускорения задается следующим образом:

$a\; знак\; равно\; v\; \dot{}\; знак\; равно\; x\; ¨\; знак\; равно\; d\; 2\; xdt\; 2\; =\; \partial \; 2\; \chi \; (X,\; t)\; \partial \; T\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; =\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; mathbf\; \{v)\}\}\}\; =\; \{\backslash \; ddot\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{2\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\}\; \{dt\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; \backslash \; chi\; (\backslash \; mathbf\; \{X\},\; t)\}\; \{\backslash \; partial\; t\; ^\; \{2\}\}\}\}$

Непрерывность в лагранжевом описании пространственной и временной непрерывности отображения эталонной конфигурации текущей конфигурации материальных точек. Так описываются все физические величины, характеризующие континуум. В этом смысле функция $\chi \; (\cdot )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; (\backslash \; cdot)\}$и $P\; ij\dots \; (\cdot )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; P\_\; \{ij\; \backslash \; ldots\}\; (\backslash \; cdot)\}$однозначны и непрерывны, с непрерывными производными пространству и времени в любом необходимом порядке, обычно во втором третьем.

Эйлерово описание

Непрерывность позволяет обратному $\chi \; (\cdot )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; (\backslash \; cdot)\}$проследить назад, где находится частица в данный момент. расположенный в $x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\}$находится в исходной или установленной конфигурации $\kappa \; 0\; (B)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\; \_\; \{0\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{\; B\}\})\}$. В этом случае происходит описание пространственного описанием, т.е. текущая конфигурация принимается как эталонная конфигурация .

Эйлерово описание, введенное Даламбер, фокусируется на текущей конфигурации $\kappa \; t\; (B)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\; \_\; \{t\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{\; B\}\})\}$, что дает внимание к тому, что происходит в фиксированной точке пространства с течением времени, вместо того, чтобы уделять внимание частицам, движущимся в пространстве и времени. Этот подход удобно использовать при исследовании потока жидкости, где наиболее интересным кинематическим процессом является скорость, с которой происходит изменение, а не форма тела жидкости в исходный момент времени.

Математическое движение континуума с использованием эйлерова описания выражается функции отображения

$X\; =\; \chi \; -\; 1\; (x,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{X\}\; =\; \backslash \; chi\; ^\; \{-\; 1\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\; \},\; t)\}$

, который обеспечивает трассировку частиц, которая теперь занимает позицию $x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\}$в текущей конфигурации $\kappa \; t\; (B)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\; \_\; \{t\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{B\}\})\}$в исходном положении $X\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{X\}\}$в исходной конфигурации $\kappa \; 0\; (B)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\; \_\; \{0\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{B\}\})\}$.

Необходимым и достаточным условием существования этой обратной функции является определитель матрицы Якоби, часто называемый просто якобианом, должен быть отличается от нуля. Таким образом,

$J\; =\; |\; \partial \; \chi \; i\; \partial \; X\; J\; |\; =\; |\; \partial \; x\; i\; \partial \; X\; J\; |\; \ne \; 0\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; J\; =\; \backslash \; влево\; |\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; chi\; \_\; \{i\}\}\; \{\backslash \; partial\; X\_\; \{J\}\}\}\; \backslash \; right\; |\; =\; \backslash \; left\; |\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{i\}\}\; \{\backslash \; partial\; X\_\; \{J\}\}\}\; \backslash \; right\; |\; \backslash \; neq\; 0\}$

В описании Эйлера физические свойства $P\; ij\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; P\_\; \{ij\; \backslash \; ldots\}\}$выражаются как

$P\; ij\dots \; =\; P\; ij\dots \; (X,\; t)\; знак\; равно\; п\; ij\dots \; [\chi \; -\; 1\; (x,\; t),\; t]\; =\; pij\dots \; (x,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; P\_\; \{ij\; \backslash \; ldots\}\; =\; P\_\; \{ij\; \backslash \; ldots\}\; (\backslash \; mathbf\; \{X\},\; t)\; =\; P\_\; \{ij\; \backslash \; ldots\}\; [\backslash \; chi\; ^\; \{-\; 1\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t),\; t]\; =\; p\_\; \{ij\; \backslash \; ldots\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\}$

где функциональная форма $P\; ij\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; P\_\; \{ij\; \backslash \; ldots\}\}$в лагранжевом описании не то же, что и форма $pij\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; p\_\; \{ij\; \backslash \; ldots\}\; \}$в описании Эйлера.

Материальная производная от $pij\dots \; (x,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; p\_\; \{ij\; \backslash \; ldots\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\}$с использованием цепочки правило, тогда

$ddt\; [pij\dots \; (x,\; t)]\; =\; \partial \; \partial \; t\; [pij\dots \; (x,\; t)]\; +\; \partial \; \partial \; xk\; [pij\dots \; (x,\; t)]\; dxkdt\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{d\; \}\; \{dt\}\}\; [p\_\; \{ij\; \backslash \; ldots\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)]\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; [p\_\; \{ij\; \backslash \; ldots\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)]\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{k\}\}\}\; [p\_\; \{ij\; \backslash \; ldots\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)]\; \{\backslash \; frac\; \{dx\_\; \{k\}\}\; \{dt\}\}\; \}$

Первый член в правой части этого уравнения дает локальную скорость изменения свойства $pij\dots \; (x,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; p\_\; \{ij\; \backslash \; ldots\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\}$встречается в позиции $x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \backslash \; mathbf\; \{x\}\}$. Второй член правой части представляет собой скорость конвективного изменения и выражает изменения положения частиц в пространстве (движения).

Непрерывность в эйлеровом описании выражается пространственной и временной непрерывностью и непрерывной дифференцируемостью поля скорости потока. Все физические величины определяются таким образом в каждый момент времени в текущей конфигурации как функция положения вектора $x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \backslash \; mathbf\; \{x\}\}$.

Поле смещения

Вектор, соединяющий положения частицы $P\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; P\}$в недеформированной конфигурации и деформированной конфигурации, называется вектором смещения $u\; (X,\; t)\; =\; uiei\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; (\backslash \; mathbf\; \{X\},\; t)\; =\; u\_\; \{i\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{i\}\}$, в лагранжевом описании, или $U\; (x,\; t)\; =\; UJEJ\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \backslash \; mathbf\; \{U\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\; =\; U\_\; \{J\}\; \backslash \; mathbf\; \{E\}\; \_\; \{J\}\}$, в эйлеровом описании.

Поле смещения - это векторное поле всех векторов смещения для всех частиц в теле, которое связывает деформированную конфигурацию с недеформированной конфигурацией. Анализ деформации или движения сплошного тела удобно проводить в терминах поля смещения. В общем, поле смещения выражается в материальных координатах как

$u\; (X,\; t)\; =\; b\; +\; x\; (Икс,\; t)\; -\; Икс\; или\; ui\; знак\; равно\; \alpha \; я\; J\; б\; J\; +\; Икс\; -\; \alpha \; я\; JXJ\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; (\backslash \; mathbf\; \{X\},\; t)\; =\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{x\; \}\; (\backslash \; mathbf\; \{X\},\; t)\; -\; \backslash \; mathbf\; \{X\}\; \backslash \; qquad\; \{\backslash \; text\; \{или\}\}\; \backslash \; qquad\; u\_\; \{i\}\; =\; \backslash \; alpha\; \_\; \{iJ\}\; b\_\; \{J\}\; +\; x\_\; \{i\}\; -\; \backslash \; alpha\; \_\; \{iJ\}\; X\_\; \{J\}\}$

или в терминах пространственных координат как

$U\; (x,\; t)\; =\; b\; +\; x\; -\; X\; (x,\; t)\; или\; UJ\; =\; b\; J\; +\; \alpha \; J\; ixi\; -\; XJ\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \backslash \; mathbf\; \{U\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\; =\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{X\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\; \backslash \; qquad\; \{\backslash \; текст\; \{или\}\}\; \backslash \; qquad\; U\_\; \{J\}\; =\; b\_\; \{J\}\; +\; \backslash \; alpha\; \_\; \{Ji\}\; x\_\; \{i\}\; -X\_\; \{J\}\; \backslash ,\}$

где $\alpha \; J\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \backslash \; alpha\; \_\; \{Ji\}\}$- направляющие косинусы между материальной и пространственной системами координат с единичными векторами $EJ\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \backslash \; mathbf\; \{E\}\; \_\; \{J\}\}$и $ei\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{i\}\}$соответственно. Таким образом,

$EJ\; \cdot \; ei\; =\; \alpha \; J\; i\; =\; \alpha \; i\; J\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \backslash \; mathbf\; \{E\}\; \_\; \{J\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{i\}\; =\; \backslash \; alpha\; \_\; \{Ji\}\; =\; \backslash \; alpha\; \_\; \{iJ\}\}$

и связь между $ui\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; u\_\; \{i\}\}$и $UJ\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; U\_\; \{J\}\}$затем задается выражением

$ui\; =\; \alpha \; i\; JUJ\; или\; UJ\; =\; \alpha \; J\; iui\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; u\_\; \{i\}\; =\; \backslash \; alpha\; \_\; \{iJ\}\; U\_\; \{J\}\; \backslash \; qquad\; \{\backslash \; text\; \{или\}\}\; \backslash \; qquad\; U\_\; \{\; J\}\; =\; \backslash \; alpha\; \_\; \{Ji\}\; u\_\; \{i\}\}$

Зная, что

$ei\; =\; \alpha \; i\; JEJ\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{i\}\; =\; \backslash \; alpha\; \_\; \{iJ\}\; \backslash \; mathbf\; \{\; E\}\; \_\; \{J\}\}$

, затем

$u\; (X,\; t)\; =\; uiei\; =\; ui\; (\alpha \; i\; JEJ)\; =\; UJEJ\; =\; U\; (x,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; (\backslash \; mathbf\; \{\; X\},\; t)\; =\; u\_\; \{i\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{i\}\; =\; u\_\; \{i\}\; (\backslash \; alpha\; \_\; \{iJ\}\; \backslash \; mathbf\; \{E\}\; \_\; \{J\})\; =\; U\_\; \{J\}\; \backslash \; mathbf\; \{E\; \}\; \_\; \{J\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{U\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\}$

Обычно системы координат для недеформированной и деформированной конфигураций накладываются друг на друга, что приводит к $b\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; =\; 0\}$, а направляющие косинусы становятся дельты Кронекера, то есть

$EJ\; \cdot \; ei\; =\; \delta \; J\; i\; =\; \delta \; i\; J\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \backslash \; mathbf\; \{E\}\; \_\; \{J\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{i\}\; =\; \backslash \; delta\; \_\; \{Ji\}\; =\; \backslash \; delta\; \_\; \{iJ\}\}$

Таким образом, мы имеем

$U\; (Икс,\; T)\; знак\; равно\; Икс\; (Икс,\; T)\; -\; Икс\; или\; ui\; =\; Xi\; -\; \delta \; я\; JXJ\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; (\backslash \; math\; bf\; \{X\},\; t)\; =\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; (\backslash \; mathbf\; \{X\},\; t)\; -\; \backslash \; mathbf\; \{X\}\; \backslash \; qquad\; \{\backslash \; text\; \{или\}\}\; \backslash \; qquad\; u\_\; \{i\}\; =\; x\_\; \{i\}\; -\; \backslash \; дельта\; \_\; \{iJ\}\; X\_\; \{J\}\}$

или в терминах пространственных координат как

$U\; (x,\; t)\; =\; x\; -\; X\; (x,\; t)\; или\; UJ\; =\; \delta \; J\; ixi\; -\; XJ\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \backslash \; mathbf\; \{U\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\; =\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{X\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\; \backslash \; qquad\; \{\backslash \; text\; \{или\}\}\; \backslash \; qquad\; U\_\; \{J\}\; =\; \backslash \; delta\; \_\; \{Ji\}\; x\_\; \{i\}\; -X\_\; \{J\}\; \}$

Управляющие уравнения

Механика сплошной среды имеет дело с поведением материалов, которое может быть аппроксимировано непрерывным измерением параметров длины и времени. Уравнения, управляют механикой таких материалов, включая законы баланса для массы, импульса и энергии. Кинематические соотношения и определяющие уравнения необходимы для завершения основных систем уравнений. Физические ограничения на формулирующие правила, требуя, чтобы второй закон термодинамики соблюдался при всех условиях. В сплошной механике твердого тела выполняется второй закон термодинамики, если удовлетворяется форма Клаузиуса - Дюгема энтропийного неравенства.

Законы баланса выражают идею о том, что скорость изменения величины (массы, импульса, энергии) возникла по трем причинам:

1. сама физическая величина выражается через поверхность, ограничивающую объем,
2. существует источник физической величины на поверхности, или / и,
3. существует источник физической величины внутри объема.

Пусть $\Omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\}$будет телом (открытое подмножество евклидова пространства) и пусть $\partial \; \Omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \backslash \; Omega\}$будет его поверхность (граница $\Omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\}$).

Пусть движение материальных точек в теле описывается картой

$x\; =\; \chi \; (X)\; =\; x\; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; =\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; chi\}\}\; (\backslash \; mathbf\; \{X\; \})\; =\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; (\backslash \; mathbf\; \{X\})\}$

где $X\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{X\}\}$- позиция точка в исходной конфигурации, а $x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\}$- расположение той же точки в деформированной конфигурации.

Градиент деформации определяется как

$F\; =\; \partial \; x\; \partial \; X\; =\; \nabla \; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{F\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{X\}\}\}\; =\; \backslash \; nabla\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\}\; ~.\}$

Законы равновесия

Пусть $f\; (x,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\}$будет физической величиной, протекающей через тело. Пусть $g\; (x,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\}$- источники на поверхности тела, и пусть $h\; (x,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\}$быть новыми людьми внутри тела. Пусть $N\; (x,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{n\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\}$будет внешней нормали к поверхности $\partial \; \Omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \backslash \; Омега\}$. Пусть $v\; (x,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\}$будет скоростью потоков физических частиц, которые несут физическую часть, которая течет.. Кроме того, пусть скорость, с которой движется ограничивающая поверхность $\partial \; \Omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \backslash \; Omega\}$, будет $un\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{n\}\}$(в направлении $n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{n\}\}$).

Тогда законы баланса можно выразить в общем виде

$ddt\; [\int \; \Omega \; f\; (x,\; t)\; dV]\; =\; \int \; \partial \; \Omega \; f\; (x,\; t)\; [un\; (x,\; t)\; -\; v\; (x,\; t)\; n\; (x,\; t)]\; dA\; +\; \int \; \partial \; \Omega \; g\; (x,\; t)\; dA\; +\; \Omega \; h\; (x,\; t)\; dV.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; cfrac\; \{d\}\; \{dt\}\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; Omega\}\; f\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\; ~\; \{\backslash \; text\; \{dV\}\}\; \backslash \; right]\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; частичное\; \backslash \; Omega\}\; f\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\; [u\_\; \{n\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\; -\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{n\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)]\; ~\; \{\backslash \; text\; \{dA\}\}\; +\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; Omega\}\; g\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\; ~\; \{\backslash \; text\; \{dA\}\}\; +\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; Omega\}\; час\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\; ~\; \{\backslash \; text\; \{dV\}\}\; ~.\}$

Функции $f\; (x,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\}$, $g\; (x,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\}$и $h\; (x,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; (\backslash \; mathbf\; \{x\; \},\; t)\}$может быть скалярным, векторным или тензорным - в зависимости от физической величины, с которой имеет дело уравнение баланса. Если в теле есть внутренние границы, скачкообразные разрывы также должны быть указаны в законах баланса.

Если мы примем эйлерову точку зрения, можно показать, что законы баланса массы, движения и энергии для твердого тела должны быть записаны как (при условии, что исходный член равен нулю для уравнения массы и углового момента)

$\rho \; \dot{}\; +\; \rho \; \nabla \; \cdot \; v\; =\; 0\; Баланс\; масс\; \rho \; v\; \dot{}\; -\; \nabla \; \cdot \; \sigma \; -\; \rho \; b\; =\; 0\; Баланс\; линейного\; импульса\; (первый\; закон\; движения\; Коши)\; \sigma \; =\; \sigma \; T\; Баланс\; углового\; момента\; (второй\; закон\; движения\; Коши))\; \rho \; e\; \dot{}\; -\; \sigma :\; (\nabla \; v)\; +\; \nabla \; \cdot \; q\; -\; \rho \; s\; =\; 0\; Баланс\; энергии.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; rho\}\}\; +\; \backslash \; rho\; ~\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; =\; 0\; \backslash \; qquad\; \{\backslash \; text\; \{Баланс\; массы\}\}\; \backslash \backslash \backslash \; rho\; ~\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; mathbf\; \{v\}\}\}\; -\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; sigma\}\}\; -\; \backslash \; rho\; ~\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; =\; 0\; \backslash \; qquad\; \{\backslash \; text\; \{Баланс\; линейного\; импульса\; (первый\; закон\; движения\; Коши)\}\}\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; sigma\}\}\; =\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; sigma\}\}\; ^\; \{T\}\; \backslash \; qquad\; \{\backslash \; text\; \{Угловой\; баланс\; Импульс\; (\; второй\; закон\; движения\; Коши)\}\}\; \backslash \backslash \backslash \; rho\; ~\; \{\backslash \; dot\; \{e\}\}\; -\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; sigma\}\}:\; (\{\backslash \; boldsym\; bol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{v\})\; +\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{q\}\; -\; \backslash \; rho\; ~\; s\; =\; 0\; \backslash \; qquad\; \{\backslash \; text\; \{Баланс\; энергии.\}\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

В приведенных выше уравнениях $\rho \; (x,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\}$- массовая плотность (ток), $\rho \; \dot{}\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; rho\}\}\}$- материальная производная по времени от $\rho \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\}$, $v\; (x,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\}$- скорость частиц, $v\; \dot{}\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; mathbf\; \{v\}\}\}\}$- материальная производная по времени от $v\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\}$, $\sigma \; (x,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; sigma\}\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\}$- тензор напряжений Коши, $b\; (x,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\}$- плотность силы тела, $e\; (x,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\}$- внутренняя энергия на единицу массы, $e\; \dot{}\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{e\}\}\}$- материальная производная по времени от $e\; \{\backslash \; displaystyle\; e\}$, $q\; (x,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{q\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\}$- вектор теплового потока, а $s\; (x,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\}$- источник энергии на единицу массы.

Что касается эталонной конфигурации (лагранжевой точки зрения), баланс баланса можно записать как

$\rho \; det\; (F)\; -\; \rho \; 0\; =\; 0\; Баланс\; масс\; \rho \; 0\; x\; ¨\; -\; \nabla \; \circ \; \cdot \; PT\; -\; \rho \; 0\; b\; =\; 0\; Баланс\; линейного\; момента\; F\; \cdot \; PT\; =\; P\; \cdot \; FT\; Баланс\; углового\; момента\; \rho \; 0\; e\; \dot{}\; -\; PT:\; F\; \dot{}\; +\; \nabla \; \circ \; \cdot \; q\; -\; \rho \; 0\; s\; =\; 0\; Баланс\; энергии.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; rho\; ~\; \backslash \; det\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{F\}\})\; -\; \backslash \; rho\; \_\; \{0\}\; =\; 0\; \backslash \; qquad\; \{\backslash \; text\; \{Balance\; of\; Mass\}\}\; \backslash \backslash \backslash \; rho\; \_\; \{0\}\; ~\; \{\backslash \; ddot\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\}\; -\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; \_\; \{\backslash \; circ\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{P\}\}\; ^\; \{T\}\; -\; \backslash \; rho\; \_\; \{0\}\; ~\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; =\; 0\; \backslash \; qquad\; \{\backslash \; text\; \{Баланс\; линейного\; импульса\}\}\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; boldsymbol\; \{F\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{P\}\}\; ^\; \{T\}\; =\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{P\}\; \}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{F\}\}\; ^\; \{T\}\; \backslash \; qquad\; \{\backslash \; text\; \{Баланс\; углового\; момента\}\}\; \backslash \backslash \backslash \; rho\; \_\; \{0\}\; ~\; \{\backslash \; dot\; \{e\}\}\; -\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{P\}\}\; ^\; \{T\}:\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{F\}\}\}\; +\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; \_\; \{\backslash \; circ\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{q\}\; -\; \backslash \; rho\; \_\; \{0\}\; ~\; s\; =\; 0\; \backslash \; qquad\; \{\backslash \; text\; \{Баланс\; энергии.\}\}\; \backslash \; end\; \{выравнивается\}\}\}$

В приведенном выше примере $P\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{P\}\}\}$является первым Тензор напряжений Пиолы-Кирхгофа, и $\rho \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; \_\; \{0\}\}$- массовая плотность в эталонной конфигурации. Первый тензор напряжений Пиолы-Кирхгофа связан с тензором напряжений Коши с помощью

$P\; =\; J\; \sigma \; \cdot \; F\; -\; T,\; где\; J\; =\; det\; (F)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{P\}\}\; =\; J\; ~\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; sigma\; \}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{F\}\}\; ^\; \{-\; T\}\; ~\; \{\backslash \; text\; \{where\}\}\; ~\; J\; =\; \backslash \; det\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{F\}\})\}$

В качестве альтернативы мы можем определить номинальную тензор напряжений $N\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{N\}\}\}$, является транспонированным первым тензором напряжений Пиолы-Кирхгофа, такой что

$N\; =\; PT\; =\; JF\; -\; 1\; \cdot \; \sigma .\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{N\}\}\; =\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{P\}\}\; ^\; \{T\}\; =\; J\; ~\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{F\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; sigma\}\}\; ~.\}$

Тогда законы баланса становятся

$\rho \; det\; (F)\; -\; \rho \; 0\; =\; 0\; Баланс\; масс\; \rho \; 0\; x\; ¨\; -\; \nabla \; \circ \; \cdot \; N\; -\; \rho \; 0\; b\; =\; 0\; Балансного\; импульса\; F\; \cdot \; N\; =\; NT\; \cdot \; FT\; Баланс\; углового\; момента\; \rho \; 0\; e\; \dot{}\; -\; N:\; F\; \dot{}\; +\; \nabla \; \circ \; \cdot \; q\; -\; \rho \; 0\; s\; =\; 0\; Баланс\; энергии.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; rho\; ~\; \backslash \; det\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{F\}\})\; -\; \backslash \; rho\; \_\; \{0\}\; =\; 0\; \backslash \; qquad\; \{\backslash \; text\; \{Balance\; of\; Mass\}\}\; \backslash \backslash \backslash \; rho\; \_\; \{0\}\; ~\; \{\backslash \; ddot\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\}\; -\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; \_\; \{\backslash \; circ\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{N\}\}\; -\; \backslash \; rho\; \_\; \{0\}\; ~\; \backslash \; mathbf\; \{b\; \}\; =\; 0\; \backslash \; qquad\; \{\backslash \; text\; \{Баланс\; линейного\; импульса\}\}\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; boldsymbol\; \{F\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{N\}\}\; =\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{N\}\}\; ^\; \{T\}\; \backslash \; cdot\; \{\; \backslash \; boldsymbol\; \{F\}\}\; ^\; \{T\}\; \backslash \; qquad\; \{\backslash \; text\; \{Баланс\; углового\; момента\}\}\; \backslash \backslash \backslash \; rho\; \_\; \{0\}\; ~\; \{\backslash \; dot\; \{e\}\}\; -\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{N\}\}:\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{F\}\}\}\; +\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; \_\; \{\backslash \; circ\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{q\}\; -\; \backslash \; rho\; \_\; \{0\}\; ~\; s\; =\; 0\; \backslash \; qquad\; \{\backslash \; text\; \{Баланс\; энергии.\; \}\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}$

Операторы в приведенных выше уравненных условиях, что

$v\; =\; \sum \; i,\; j\; =\; 1\; 3\; \partial \; vi\; \partial \; \partial \; \partial ii\; \otimes \; ej\; =\; vi,\; jei\; \otimes \; ej;\; \nabla \; \cdot \; v\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; 3\; \partial \; v\; i\; \partial \; x\; i\; =\; v\; i,\; i;\; \nabla \; \cdot \; S\; знак\; равно\; \sum \; i,\; j\; =\; 1\; 3\; \partial \; S\; i\; j\; \partial \; x\; j\; e\; i\; =\; \sigma \; i\; j,\; j\; e\; i.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i,\; j\; =\; 1\}\; ^\; \{3\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; v\_\; \{i\}\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{j\}\}\; \}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{j\}\; =\; v\_\; \{i,\; j\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{j\}\; ~;\; ~~\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{3\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; v\_\; \{i\}\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{i\}\}\}\; =\; v\_\; \{i,\; i\}\; ~;\; ~~\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i,\; j\; =\; 1\}\; ^\; \{3\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; S\_\; \{ij\}\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{\; j\}\}\}\; ~\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{i\}\; =\; \backslash \; sigma\; \_\; \{ij,\; j\}\; ~\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{i\}\; ~.\}$

где $v\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{\; v\}\}$- векторное поле, $S\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\}\}$- тензор второго порядка поле, а $ei\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{i\}\}$- компоненты ортонормированного базиса в текущей комплектации. Кроме того,

$\nabla \; \circ \; v\; =\; \sum \; i,\; j\; =\; 1\; 3\; \partial \; v\; i\; \partial \; X\; j\; E\; i\; \otimes \; E\; j\; =\; v\; i,\; j\; E\; i\; \otimes \; E\; j;\; \nabla \; \circ \; \cdot \; v\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; 3\; \partial \; v\; i\; \partial \; X\; i\; =\; v\; i,\; i;\; \nabla \; \circ \; \cdot \; S\; знак\; равно\; \sum \; я,\; j\; знак\; равно\; 1\; 3\; \partial \; S\; ij\; \partial \; Икс\; JE\; я\; =\; S\; ij,\; j\; E\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; \_\; \{\backslash \; circ\}\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i,\; j\; =\; 1\}\; ^\; \{3\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; v\_\; \{i\}\}\; \{\backslash \; partial\; X\_\; \{j\}\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{E\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbf\; \{E\}\; \_\; \{j\}\; =\; v\_\; \{i,\; j\}\; \backslash \; mathbf\; \{E\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbf\; \{E\}\; \_\; \{j\}\; ~;\; ~~\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; \_\; \{\backslash \; circ\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{3\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; v\_\; \{i\}\}\; \{\backslash \; partial\; X\_\; \{i\}\}\}\; =\; v\_\; \{i,\; i\}\; ~;\; ~~\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; \_\; \{\backslash \; circ\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i,\; j\; =\; 1\}\; ^\; \{3\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; S\_\; \{ij\}\}\; \{\backslash \; partial\; X\_\; \{j\}\}\}\; ~\; \backslash \; mathbf\; \{E\}\; \_\; \{i\}\; =\; S\_\; \{ij,\; j\}\; ~\; \backslash \; mathbf\; \{E\}\; \_\; \{i\}\}$

где $v\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\}$- векторное поле, $S\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\}\}$- тензорное поле второго порядка, а $E\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{E\}\; \_\; \{i\}\}$- это компоненты ортонормированного базиса в эталонной конфигурации.

Внутренний продукт определяется как

$A:\; B\; =\; \sum \; i,\; j\; =\; 1\; 3\; A\; i\; j\; B\; i\; j\; =\; trace\; \; (A\; B\; T).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}:\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{B\}\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i,\; j\; =\; 1\}\; ^\; \{3\}\; A\_\; \{ij\}\; ~\; B\_\; \{ij\}\; =\; \backslash \; operatorname\; \{trace\}\; (\{\; \backslash \; boldsymbol\; \{A\}\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{B\}\}\; ^\; \{T\})\; ~.\}$

Неравенство Клаузиуса-Дюгема

Неравенство Клаузиуса-Дюгема можно использовать для выражения второго закона термодинамики для упругопластических материалов. Это неравенство заявлений о необратимости природных процессов, особенно когда речь идет о диссипации энергии.

Как и в законах оптимального количества в предыдущем разделе, предполагаем, что существует поток величины, источник количества и внутренняя плотность количества на единицу массы. В данном случае интерес представляет энтропия. Таким образом, мы предполагаем, что существует поток энтропии, источник энтропии, внутренняя массовая плотность $\rho \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\}$и внутренняя удельная энтропия (т.е. энтропия на единицу массы) $\eta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\}$в интересующей области.

Пусть $\Omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\}$будет такой областью, а $\partial \; \Omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \backslash \; Omega\}$будет ее граница. Тогда второй закон термодинамики гласит, что скорость увеличения $\eta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\}$в этой области больше или равна сумме значений, предоставленных для $\Omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\}$(как поток или из внутренних источников) и изменение плотности внутренней энтропии $\rho \; \eta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; \backslash \; eta\}$из-за течения материала в и из региона.

Пусть $\partial \; \Omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \backslash \; Omega\}$движется со скоростью потока $un\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{n\}\}$и пусть частицы внутри $\Omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\}$имеют скорость $v\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\}$. Пусть $n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{n\}\}$будет единиц измерения внешней нормали к поверхности $\partial \; \Omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \backslash \; Omega\}$. Пусть $\rho \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\}$будет плотностью вещества в регионе, $q\; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{q\}\}\}$будет поток энтропии на поверхности, а $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$- источник энтропии на единицу массы. Тогда энтропийное неравенство можно записать как

$d\; d\; t\; (\int \; \Omega \; \rho \; \eta \; dV)\; \ge \; \int \; \partial \; \Omega \; \rho \; \eta \; (u\; n\; -\; v\; \cdot \; n)\; dA\; +\; \int \; \partial \; \Omega \; q\; ¯\; dA\; +\; \int \; \Omega \; \rho \; r\; dV.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; cfrac\; \{d\}\; \{dt\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; Omega\}\; \backslash \; rho\; ~\; \backslash \; eta\; ~\; \{\backslash \; text\; \{dV\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; geq\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; Omega\}\; \backslash \; rho\; ~\; \backslash \; eta\; ~\; (u\_\; \{n\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{n\})\; ~\; \{\backslash \; text\; \{dA\}\}\; +\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; Omega\}\; \{\backslash \; bar\; \{q\}\}\; ~\; \{\backslash \; text\; \{dA\}\}\; +\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; Omega\}\; \backslash \; rho\; ~\; r\; ~\; \{\backslash \; text\; \{dV\}\}.\}$

Скалярный поток энтропии может быть связан с векторным потоком на поверхности $q\; ¯\; знак\; равно\; -\; \psi \; (x)\; \cdot \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{q\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; psi\}\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\})\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{n\}\}$. В предположении постепенно изотермических условий имеем

$\psi \; (x)\; =\; q\; (x)\; T;\; р\; знак\; равно\; s\; Т\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; psi\}\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\})\; =\; \{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; mathbf\; \{q\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\})\}\; \{T\}\}\; ~;\; ~~\; r\; =\; \{\backslash \; cfrac\; \{s\}\; \{T\}\}\}$

где $q\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{q\}\}$- вектор теплового потока, $s\; \{\backslash \; displaystyle\; s\}$- источник энергии на единицу массы, а $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$- абсолютная температура материальной точки в $x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\}$в момент $t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$.

Тогда мы имеем неравенство Клаузиуса-Дюгема в интегральной форме:

$ddt\; (\int \; \Omega \; \rho \; \eta \; dV)\; \ge \; \int \; \partial \; \Omega \; \rho \; \eta \; (un\; -\; v\; \cdot \; n)\; dA\; -\; \partial \; \Omega \; q\; \cdot \; n\; T\; dA\; +\; \int \; \Omega \; \rho \; s\; T\; dV.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\{\backslash \; cfrac\; \{d\}\; \{dt\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; Omega\}\; \backslash \; rho\; ~\; \backslash \; eta\; ~\; \{\backslash \; text\; \{dV\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; geq\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; Omega\; \}\; \backslash \; rho\; ~\; \backslash \; eta\; ~\; (u\_\; \{n\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{n\})\; ~\; \{\backslash \; text\; \{dA\}\}\; -\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; Omega\}\; \{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; mathbf\; \{q\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{n\}\}\; \{T\}\}\; ~\; \{\backslash \; text\; \{dA\}\}\; +\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; Omega\}\; \{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; rho\; ~\; s\}\; \{T\}\}\; ~\; \{\backslash \; text\; \{dV\; \}\}.\}\}$

Мы можем показать, что энтропийное неравенство может быть записано в дифференциальной форме как

$\rho \; \eta \; \dot{}\; \ge \; -\; \nabla \; \cdot \; (q\; T)\; +\; \rho \; s\; T.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; rho\; ~\; \{\backslash \; точка\; \{\backslash \; eta\}\}\; \backslash \; geq\; -\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; mathbf\; \{q\}\}\; \{T\}\}\; \backslash \; right)\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; rho\; ~\; s\}\; \{\; T\}\}.\}\}$

В терминах напряжения Коши и внутренней энергии неравенство Клаузиуса - Дюгема может быть записано как

$\rho \; (e\; \dot{}\; -\; T\; \eta \; \dot{})\; -\; \sigma :\; \nabla \; v\; \le \; -\; q\; \cdot \; \nabla \; TT.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; rho\; ~\; (\{\backslash \; dot\; \{e\}\}\; -\; T\; ~\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; eta\}\})\; -\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; sigma\}\}:\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \backslash \; leq\; -\; \{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; mathbf\; \{q\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; T\}\; \{T\}\}.\}\}$

Приложения

• Механика сплошной среды
  • Механика твердого тела
  • Механика жидкости
• Инжиниринг
  • Гражданское строительство
  • Машиностроение
  • Аэрокосмическая техника
  • Биомедицинская инженерия
  • Химическая инженерия

См. Также

• Принцип Бернулли
• Эластичный материал Коши
• Конфигурационная механика
• Криволинейные координаты
• Уравнение
• Тензоры конечных деформаций
• Теория конечных деформаций
• Гипеупругий материал
• Лагранжева и эйлерова спецификация поля течения
• Подвижный клеточный автомат
• Перидинамика (нелокальная теория континуума, приводящая к интегральным уравнениям)
• Напряжение (физика)
• Измерение напряжения
• Тензорное исчисление
• Тензорная производная (механика) сплошной среды)
• Теория упругости

Примечания

Источники

Цитированные работы

• Dienes, J.K.; Солем, Дж. К. (1999). «Нелинейное поведение некоторых гидростатически напряженных изотропных эластомерных пен». Acta Mechanica. 138 (3–4): 155–162. DOI : 10.1007 / BF01291841. S2CID 120320672.
• Фанг, Ю.С. (1977). Первый курс механики сплошной среды (2-е изд.). Прентис-Холл, Инк. ISBN 978-0-13-318311-5.
• Люблинер, Джейкоб (2008). Теория пластичности (PDF) (Пересмотренное издание). Dover Publications. ISBN 978-0-486-46290-5. Архивировано 31 марта 2010 г. из оригинала (PDF).
• Остоя-Старзевский, М. (2008). "7-10". Микроструктурная случайность и масштабирование в механике материалов. CRC Press. ISBN 978-1-58488-417-0.
• Спенсер, А.Дж.М. (1980). Механика сплошной среды. Longman Group Limited (Лондон). п. 83. ISBN 978-0-582-44282-5.
• Робертс А. Дж. (1994). Одномерное введение в механику сплошной среды. World Scientific.

Общие ссылки

• Batra, R.C. (2006). Элементы механики сплошной среды. Рестон, Вирджиния: AIAA.

• Бертрам, Альбрехт (2012). Упругость и пластичность больших деформаций - Введение (Третье изд.). Springer. DOI : 10.1007 / 978-3-642-24615-9. ISBN 978-3-642-24615-9.

• Чандрамули, П.Н. (2014). Механика сплошной среды. Да, Dee Publishing Pvt Ltd. ISBN 9789380381398.

• Эринген, А. Джемаль (1980). Механика Continua (2-е изд.). Krieger Pub Co. ISBN 978-0-88275-663-9.

• Чен, Юпин; Джеймс Д. Ли; Азим Эскандарян (2009). Бессеточные методы в механике твердого тела (Первое изд.). Springer Нью-Йорк. ISBN 978-1-4419-2148-2.

• Дилл, Эллис Гарольд (2006). Механика сплошной среды: упругость, пластичность, вязкоупругость. Германия: CRC Press. ISBN 978-0-8493-9779-0.

• Димитриенко, Юрий (2011). Нелинейная механика сплошной среды и большие неупругие деформации. Германия: Springer. ISBN 978-94-007-0033-8.

• Хаттер, Колумбан; Клаус Йёнк (2004). Континуальные методы физического моделирования. Германия: Springer. ISBN 978-3-540-20619-4.

• Гуртин, М. Э. (1981). Введение в механику сплошной среды. Нью-Йорк: Academic Press.
• Лай, У. Майкл; Дэвид Рубин; Эрхард Кремпль (1996). Введение в механику сплошной среды (3-е изд.). Elsevier, Inc. ISBN 978-0-7506-2894-5. Архивировано из оригинала 6 февраля 2009 года.

• Любарда, Владо А. (2001). Теория упругопластичности. CRC Press. ISBN 978-0-8493-1138-3.

• Малверн, Лоуренс Э. (1969). Введение в механику сплошной среды. Нью-Джерси: Prentice-Hall, Inc.

• Мейс, Джордж Э. (1970). Механика сплошной среды. McGraw-Hill Professional. ISBN 978-0-07-040663-6.

• Мейс, Дж. Томас; Джордж Э. Мейс (1999). Механика сплошной среды для инженеров (Второе изд.). CRC Press. ISBN 978-0-8493-1855-9.

• Маугин, Г. А. (1999). Термомеханика нелинейного необратимого поведения: Введение. Сингапур: World Scientific.
• Немат-Насер, Сиа (2006). Пластичность: трактат о конечной деформации гетерогенных неупругих материалов. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-83979-2.

• Остоя-Старзевский, Мартин (2008). Микроструктурная случайность и масштабирование в механике материалов. Бока-Ратон, Флорида: Chapman Hall / CRC Press. ISBN 978-1-58488-417-0.

• Рис, Дэвид (2006). Базовая инженерная пластичность - Введение в инженерные и производственные приложения. Баттерворт-Хайнеманн. ISBN 978-0-7506-8025-7.

• Райт, Т. У. (2002). Физико-математические аспекты полос адиабатического сдвига. Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета.

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с механикой сплошной среды на Wikimedia Commons