Войти
Проволочная петля (черная), по которой проходит ток I, создает магнитное поле B(синее). Если положение и ток провода отражаются через плоскость, обозначенную пунктирной линией, создаваемое магнитное поле не будет отражаться: вместо этого оно будет отражено и перевернуто. Положение провода и его ток являются "истинными" векторами, но магнитное поле B является псевдовектором. В физике и математике a псевдовектор (или осевой вектор ) - это величина, которая преобразуется как вектор при правильном повороте, но в трех измерениях получает дополнительное перевернуть знак при неправильном повороте, таком как отражение. Геометрически отраженный псевдовектор указывает противоположное направление, но с равной величиной, его зеркальное отображение. Это в отличие от истинного (или полярного ) вектора, отражение которого точно такое же, как его зеркальное отображение.
В трех измерениях псевдовектор связан с curl полярного вектора или с перекрестным произведением двух полярных векторов:
Один Примером псевдовектора является нормаль к ориентированной плоскости . Ориентированная плоскость может быть определена двумя непараллельными векторами, a и b, которые охватывают плоскость. Вектор a× bявляется нормалью к плоскости (есть две нормали, по одной с каждой стороны - правило правой руки определит, какая) и является псевдовектором. Это имеет последствия в компьютерной графике, где это необходимо учитывать при преобразовании нормалей поверхности.
Ряд величин в физике ведут себя как псевдовекторы, а не полярные векторы, включая магнитное поле и угловое скорость. В математике псевдовекторы эквивалентны трехмерным бивекторам , из которых могут быть получены правила преобразования псевдовекторов. В более общем смысле в n-мерной геометрической алгебре псевдовекторами являются элементы алгебры с размерностью n - 1, записанные как ⋀ R . Метка «псевдо» может быть далее обобщена на псевдоскаляры и псевдотензоры, оба из которых получают дополнительное изменение знака при неправильном повороте по сравнению с истинным скаляром или тензор.
Физические примеры псевдовекторов включают крутящий момент, угловую скорость, угловой момент, магнитное поле и магнитное поле. дипольный момент.
Каждое колесо автомобиля слева, движущегося от наблюдателя, имеет псевдовектор углового момента, направленный влево. То же самое и с зеркальным отображением автомобиля. Тот факт, что стрелки указывают в одном направлении, а не являются зеркальным отображением друг друга, указывает на то, что они являются псевдовекторами. Рассмотрим псевдовектор угловой момент L= r× p. Когда вы едете в машине и смотрите вперед, каждое из колес имеет вектор углового момента, направленный влево. Если мир отражается в зеркале, которое переключает левую и правую стороны автомобиля, «отражение» этого «вектора» углового момента (рассматриваемого как обычный вектор) указывает вправо, но фактический вектор углового момента колесо (которое все еще вращается вперед в отражении) все еще указывает влево, что соответствует дополнительному перевороту знака в отражении псевдовектора.
Различие между полярными векторами и псевдовекторами становится важным для понимания влияния симметрии на решение физических систем. Рассмотрим петлю электрического тока в плоскости z = 0, которая внутри петли генерирует магнитное поле, ориентированное в направлении z. Эта система симметрична (инвариантна) относительно зеркальных отражений через эту плоскость, при этом магнитное поле не изменяется в результате отражения. Но можно ожидать, что отражение магнитного поля как вектора через эту плоскость обратит его; это ожидание корректируется за счет понимания того, что магнитное поле является псевдовектором, и дополнительная перемена знака оставляет его неизменным.
В физике псевдовекторы обычно являются результатом взятия перекрестного произведения двух полярных векторов или curl полярного векторного поля. Перекрестное произведение и локон определяются по соглашению в соответствии с правилом правой руки, но с тем же успехом могли быть определены в терминах правила левой руки. Вся физика, которая имеет дело с (правосторонними) псевдовекторами и правилом правой руки, может быть без проблем заменена использованием (левосторонних) псевдовекторов и правила левой руки. Определенные таким образом (левые) псевдовекторы будут противоположны по направлению тем, которые определены правилом правой руки.
В то время как векторные отношения в физике могут быть выражены безкоординатным образом, требуется система координат, чтобы выразить векторы и псевдовекторы в виде числовых величин. Векторы представлены как упорядоченные тройки чисел: например, 
Определение «вектора» в физике (включая как полярные векторы, так и псевдовекторы) более конкретное, чем математическое определение «вектора» (а именно, любой элемент абстрактного векторное пространство ). Согласно определению физики, «вектор» должен иметь компоненты, которые «преобразуются» определенным образом при правильном вращении : в частности, если все во вселенной было повернуто, вектор будет вращаться точно так же. (Система координат фиксируется в этом обсуждении; другими словами, это перспектива активных преобразований.) Математически, если все во вселенной подвергается вращению, описываемому матрицей вращения R, так что вектор смещения xпреобразуется в x ′ = R x, тогда любой «вектор» v должен быть аналогичным образом преобразован в v ′ = R v . Это важное требование - то, что отличает вектор (который может состоять, например, из x-, y- и z-компонентов скорости ) от любого другого триплета физических величин (например, длину, ширину и высоту прямоугольного прямоугольника нельзя рассматривать как три компонента вектора, поскольку вращение прямоугольника не приводит к надлежащему преобразованию этих трех компонентов.)
(На языке дифференциальная геометрия, это требование эквивалентно определению вектора как тензора контравариантного ранга 1. Вместо этого псевдовектор является ковариантным тензором ранга 1. В этой более общей структуре выше ранговые тензоры могут также иметь произвольное множество смешанных ковариантных и контравариантных рангов одновременно, что обозначается повышенными и пониженными индексами в рамках соглашения о суммировании Эйнштейна.
Базовым и довольно конкретным примером является пример векторов строк и столбцов в соответствии с обычный оператор матричного умножения: в одном порядке они дают d - скалярное произведение, которое является просто скаляром и как таковой тензор нулевого ранга, в то время как в другом они дают диадическое произведение , которое представляет собой матрицу, представляющую смешанный тензор второго ранга, с одним контрвариантным и ковариантный индекс. Таким образом, некоммутативность стандартной матричной алгебры может использоваться для отслеживания различия между ковариантными и контравариантными векторами. Фактически, именно так велась бухгалтерия до того, как появились более формальные и обобщенные тензорные обозначения. Он по-прежнему проявляется в том, как базисные векторы общих тензорных пространств выставляются для практического использования.)
Обсуждение до сих пор касается только правильных вращений, то есть вращений вокруг оси. Однако можно также рассматривать неправильные вращения, то есть зеркальное отражение, за которым, возможно, следует собственное вращение. (Одним из примеров неправильного вращения является инверсия через точку в 3-мерном пространстве.) Предположим, что все во вселенной подвергается неправильному вращению, описываемому неправильной матрицей вращения R, так что вектор положения x преобразуется в x ′ = R x . Если вектор v является полярным вектором, он будет преобразован в v ′ = R v . Если это псевдовектор, он будет преобразован в v ′ = −R v.
. Правила преобразования для полярных векторов и псевдовекторов могут быть компактно сформулированы как
где символы соответствуют описанным выше, и матрица вращения R может быть как собственной, так и несобственной. Символ det обозначает определитель ; эта формула работает, потому что определитель матрицы правильного и неправильного вращения равен +1 и −1 соответственно.
Предположим, v1и v2являются известными псевдовекторами, а v3определяется как их сумма, v3= v1+ v2. Если вселенная преобразуется с помощью матрицы вращения R, то v3преобразуется в
Итак, v3также является псевдовектором. Точно так же можно показать, что разница между двумя псевдовекторами является псевдовектором, что сумма или разность двух полярных векторов является полярным вектором, что умножение полярного вектора на любое действительное число дает другой полярный вектор и что умножение псевдовектора на любое действительное число число дает еще один псевдовектор.
С другой стороны, предположим, что v1известен как полярный вектор, v2известен как псевдовектор, а v3определяется как их сумма, v3= v1+ v2. Если Вселенная преобразована неправильной матрицей вращения R, то v3преобразуется в
Следовательно, v3не является полярный вектор и псевдовектор (хотя по определению физики он все еще вектор). В случае неправильного поворота v3, как правило, даже не сохраняет одинаковую величину:
.Если бы величина v3описывала измеримую физическую величину, это означало бы, что законы физики не казались бы такими же, если бы Вселенная рассматривалась в зеркале. Фактически, это именно то, что происходит в слабом взаимодействии : некоторые радиоактивные распады по-разному трактуют «левое» и «правое», явление, которое можно проследить как суммирование полярного вектора с псевдовектором в лежащая в основе теория. (См. нарушение четности.)
При инверсии два вектора меняют знак, но их перекрестное произведение инвариантно [черные - два исходных вектора, серый - инвертированные векторы, а красный - их взаимное векторное произведение]. Для матрицы вращения R, правильной или неправильной, всегда верно следующее математическое уравнение:
,где v1и v2- любые трехмерные векторы. (Это уравнение может быть доказано либо с помощью геометрического аргумента, либо с помощью алгебраических вычислений.)
Предположим, что v1и v2- известные полярные векторы, а v3определяется как их векторное произведение, v3= v1× v2. Если вселенная преобразуется матрицей вращения R, то v3преобразуется в
Итак, v3- псевдовектор. Точно так же можно показать:
Это изоморфно сложению по модулю 2, где «полярный» соответствует 1, а «псевдо» - 0.
Из определения ясно, что вектор смещения - это полярный вектор. Вектор скорости - это вектор смещения (полярный вектор), деленный на время (скаляр), так же как и полярный вектор. Точно так же вектор импульса - это вектор скорости (полярный вектор), умноженный на массу (скаляр), как и полярный вектор. Угловой момент - это произведение смещения (полярный вектор) и импульса (полярный вектор), и поэтому он является псевдовектором. Продолжая этот путь, легко классифицировать любой из общих векторов в физике либо как псевдовектор, либо как полярный вектор. (В теории слабых взаимодействий есть векторы, нарушающие четность, которые не являются ни полярными векторами, ни псевдовекторами. Однако в физике они встречаются очень редко.)
Выше были рассмотрены псевдовекторы с использованием активных преобразований. Альтернативный подход, более похожий на пассивных преобразований, состоит в том, чтобы оставить юниверс фиксированным, но заменить «правило правой руки » на «правило левой руки» везде в математике и физика, включая определение перекрестного произведения . Любой полярный вектор (например, вектор трансляции) не изменился бы, но псевдовекторы (например, вектор магнитного поля в точке) поменяли бы знаки. Тем не менее, не было бы никаких физических последствий, за исключением явлений с нарушением четности, таких как некоторые радиоактивные распады.
Один из способов формализации псевдовекторов заключается в следующем: если V является n- -мерным векторным пространством , тогда псевдовектор V является элементом (n - 1) -ой внешней мощности V: ⋀ (V). Псевдовекторы V образуют векторное пространство с той же размерностью, что и V.
Это определение не эквивалентно тому, что требует смены знака при неправильном повороте, но оно является общим для всех векторных пространств. В частности, когда n четно, такой псевдовектор не испытывает смены знака, а когда характеристика нижележащего поля V равна 2, изменение знака не имеет никакого эффекта. В остальном определения эквивалентны, хотя следует иметь в виду, что без дополнительной структуры (в частности, объемной формы или ориентации ) не существует естественной идентификации ⋀ ( V) с V.
В геометрической алгебре базовыми элементами являются векторы, и они используются для построения иерархии элементов с использованием определений продуктов в эта алгебра. В частности, алгебра строит псевдовекторы из векторов.
Базовое умножение в геометрической алгебре - это геометрическое произведение, которое обозначается простым сопоставлением двух векторов, как в ab . Этот продукт выражается как:
, где ведущий член - это обычное векторное скалярное произведение, а второй член называется произведение клина. Используя постулаты алгебры, можно оценить все комбинации точечных и клиновидных произведений. Предоставляется терминология для описания различных комбинаций. Например, мультивектор представляет собой сумму k-кратных произведений клина различных k-значений. Продукт k-образного клина также упоминается как k-лезвие.
. В данном контексте псевдовектор является одной из этих комбинаций. Этот термин присоединяется к другому многовектору в зависимости от размерностей пространства (то есть количества линейно независимых векторов в пространстве). В трех измерениях наиболее общий двухлопастной или бивектор может быть выражен как произведение клина двух векторов и является псевдовектором. Однако в четырех измерениях псевдовекторами являются тривекторы. В общем, это (n - 1) -клинок, где n - размерность пространства и алгебры. N-мерное пространство имеет n базисных векторов, а также n базисных псевдовекторов. Каждый базисный псевдовектор формируется из внешнего (клиновидного) произведения всех n базисных векторов, кроме одного. Например, в четырех измерениях, где базисные векторы приняты равными {e1, e2, e3, e4}, псевдовекторы могут быть записаны как: {e234, e134, e124, e123 }.
Свойства преобразования псевдовектора в трех измерениях были сравнены Бейлисом со свойствами векторного векторного произведения. Он говорит: «Термины аксиальный вектор и псевдовектор часто трактуются как синонимы, но очень полезно иметь возможность отличить бивектор от двойственного». Перефразируя Бейлиса: учитывая два полярных вектора (то есть истинные векторы) a и b в трех измерениях, перекрестное произведение составлено из a и b - вектор, нормальный к их плоскости, заданный как c= a× b. Учитывая набор правых ортонормированных базисных векторов { eℓ}, перекрестное произведение выражается в терминах его компонентов как:
где верхний индекс обозначает компоненты вектора. С другой стороны, плоскость двух векторов представлена внешним продуктом или продуктом клина, обозначенным a∧ b. В контексте геометрической алгебры этот бивектор называется псевдовектором и является двойственным по Ходжу кросс-произведением. Двойной элемент e1вводится как e23≡ e2e3= e2∧ e3и так далее. То есть, двойное к e1- это подпространство, перпендикулярное e1, а именно подпространство, охватываемое e2и e3. При таком понимании
Подробнее см. Звездный оператор Ходжа § Трехмерные. Перекрестное произведение и произведение клина связаны следующим образом:
, где i = e1∧ e2∧ e3называется псевдоскалярной единицей . Он имеет свойство:
Используя приведенные выше отношения, видно, что если векторы a и b инвертируются путем изменения знаков их компонентов, оставляя фиксированные базисные векторы, и псевдовектор, и кросс-произведение остаются неизменными. С другой стороны, если компоненты фиксированы, а базисные векторы eℓинвертированы, то псевдовектор инвариантен, но перекрестное произведение меняет знак. Такое поведение перекрестных произведений согласуется с их определением как векторных элементов, которые меняют знак при преобразовании из правой системы координат в левую, в отличие от полярных векторов.
В качестве отступления можно отметить, что не все авторы в области геометрической алгебры используют термин псевдовектор, и некоторые авторы следуют терминологии, которая не делает различий между псевдовектор и кросс-произведение. Однако, поскольку перекрестное произведение не распространяется на другие измерения, кроме трех, понятие псевдовектора, основанное на перекрестном произведении, также не может быть распространено на пространство любого другого числа измерений. Псевдовектор как (n - 1) -лезвие в n-мерном пространстве таким образом не ограничивается.
Еще одно важное замечание: псевдовекторы, несмотря на свое название, являются «векторами» в том смысле, что они являются элементами векторного пространства. Идея о том, что «псевдовектор отличается от вектора», верна только при другом и более конкретном определении термина «вектор», как обсуждалось выше.
