Неправильное вращение

Вращение, составленное с помощью отражения

Пример многогранников с симметрией вращения

Группа	S4	S6	S8	S10	S12
Подгруппы	C2	C3, S 2 = C i	C4, C 2	C5, S 2 = C i	C6, S 4, C 3, C 2
Пример	. скошенная двуугольная антипризма	. треугольная антипризма	. квадратная антипризма	. пятиугольная антипризма	. шестиугольная антипризма
Антипризмы с направленными краями имеют симметрию вращения.. p-антипризмы для нечетных p содержат инверсионную симметрию, C i.

В геометрии, неправильное вращение, также называемое вращение-отражение,ротоотражение,вращательное отражение или ротоинверсия, в зависимости от контекста, линейное преобразование или аффинное преобразование, которое представляет собой комбинацию поворота вокруг оси и отражения в плоскости, перпендикулярной этой оси.

• 1 Три измерения
• 2 Как непрямая изометрия
• 3 Физические системы
• 4 См. Также
• 5 Ссылки

Подгруппы для групп Schoenflies S 2 to S 20

В 3D эквивалентно это комбинация вращения и инверсии в точке на оси. Поэтому его также называют ротоинверсией или ротационной инверсией . Трехмерная симметрия, имеющая только одну фиксированную точку, обязательно является неправильным вращением.

В обоих случаях операции переключаются. Ротоотражение и ротообращение одинаковы, если они отличаются углом поворота на 180 °, а точка инверсии находится в плоскости отражения.

Неправильное вращение объекта, таким образом, вызывает вращение его зеркального изображения. Ось называется осью вращения-отражения . Это называется неправильным вращением в n раз, если угол поворота составляет 360 ° / n. Существует несколько различных систем для обозначения отдельных неправильных поворотов:

• В нотации Шенфлиса используется символ Sn(немецкий, Spiegel, для зеркало ), обозначающий группу симметрии, генерируемую n-кратное неправильное вращение. Например, операция симметрии S 6 представляет собой комбинацию поворота на (360 ° / 6) = 60 ° и отражения в плоскости зеркала. (Это не следует путать с той же нотацией для симметричных групп ).
• В нотации Германа – Могена символ n используется для n-кратной ротообращенности ; т. Е. поворот на угол поворота 360 ° / n с инверсией. Обратите внимание, что 2 - это просто отражение и обычно обозначается m.
• Обозначение Кокстера для S 2n равно [2n, 2].
• Обозначение Орбифолда равно n ×, порядок 2n.

Прямая подгруппа в S 2n из индекса 2, представляет собой C n, [n] или (nn) порядка n, будучи дважды примененным генератором вращательного отражения.

S2nдля нечетного n содержит инверсия, обозначенная C i. Но для четного n S 2n не содержит инверсии. В общем, если нечетное p является делителем n, то S 2n / p является подгруппой S 2n. Например, S 4 является подгруппой S 12.

В более широком смысле неправильное вращение может быть определено как любая косвенная изометрия ; т. Е. Элемент E (3) \ E (3): таким образом, он также может быть чистым отражением в плоскости или иметь плоскость скольжения . Непрямая изометрия - это аффинное преобразование с ортогональной матрицей, имеющей определитель -1.

A правильное вращение - обычное вращение. В более широком смысле собственное вращение определяется как прямая изометрия ; т.е. элемент E (3): это также может быть тождество, вращение с переносом по оси или чистое перемещение. Прямая изометрия - это аффинное преобразование с ортогональной матрицей, имеющей определитель 1.

В более узком или более широком смысле композиция двух неправильных поворотов является собственным вращением, а композиция несобственных вращений а правильное вращение - неправильное вращение.

При изучении симметрии физической системы при неправильном вращении (например, если система имеет плоскость зеркальной симметрии), важно различать векторы и псевдовекторы (а также скаляры и псевдоскаляры, и вообще между тензорами и псевдотензорами ), поскольку последние преобразуются по-разному при правильном и неправильном поворотах (в трехмерном пространстве псевдовекторы инвариантны относительно инверсии).

• Изометрия
• Ортогональная группа