Форма объема

редактировать

В математике, форма объема на дифференцируемом коллекторе - многомерная форма (т. е. дифференциальная форма высшей степени). Таким образом, на коллекторе $M {\ displaystyle M}$ $M$ размерности $n {\ displaystyle n}$ $n$ форма объема представляет собой $n {\ displaystyle n }$ $n$ -форма, раздел линейного пакета $Ω n (M) = ⋀ n (T ∗ M) {\ displaystyle \ Omega ^ {n} (M) = \ bigwedge ^ {n} (T ^ {*} M)}$ ${\ displaystyle \ Omega ^ {n} (M) = \ bigwedge ^ {n} ( T ^ {*} M)}$ . Многообразие допускает нигде не исчезающую форму объема тогда и только тогда, когда оно ориентируемо. ориентируемое многообразие имеет бесконечно много форм объема, так как умножение формы объема на функцию дает другую форму объема. На неориентируемых многообразиях вместо этого можно определить более слабое понятие плотности.

. Форма объема предоставляет средства для определения интеграла от функции на дифференцируемой многообразие. Другими словами, объемная форма дает начало мере, относительно которой функции могут быть интегрированы с помощью соответствующего интеграла Лебега. Абсолютное значение формы тома - это элемент тома, который также известен как форма скрученного объема или форма псевдообъема. Он также определяет меру, но существует на любом дифференцируемом многообразии, ориентируемом или нет.

Кэлеровы многообразия, будучи комплексными многообразиями, естественно ориентированы и поэтому обладают формой объема. В более общем смысле, $n {\ displaystyle n}$ $n$ th внешняя мощность симплектической формы на симплектическом многообразии является формой объема. Многие классы многообразий имеют канонические формы объема: они имеют дополнительную структуру, которая позволяет выбирать предпочтительную форму объема. Ориентированные псевдоримановы многообразия имеют ассоциированную каноническую форму объема.

Содержание

1 Ориентация
2 Связь с мерами
3 Дивергенция
4 Частные случаи
- 4.1 Группы Ли
- 4.2 Симплектические многообразия
- 4.3 Риманова форма объема
5 Инварианты формы объема
- 5.1 Отсутствие локальной структуры
- 5.2 Глобальная структура: объем
6 См. Также
7 Ссылки

Ориентация

Следующее будет касаться только ориентируемости дифференцируемых многообразия (это более общее понятие, определенное на любом топологическом многообразии).

Многообразие является ориентируемым, если оно имеет координатный атлас, все функции перехода которого имеют положительные определители Якоби. Выбор максимального такого атласа - это ориентация на $M {\ displaystyle M}$ $M$ . Объемная форма $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\ omega$ на $M {\ displaystyle M}$ $M$ естественным образом дает начало ориентации, как атлас координатных диаграмм на $M {\ displaystyle M}$ $M$ , которые отправляют $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\ omega$ в положительное кратное евклидовой формы объема $dx 1 ∧ ⋯ ∧ dxn {\ displaystyle dx ^ {1} \ wedge \ cdots \ wedge dx ^ {n}}$ $dx ^ {1} \ wedge \ cdots \ wedge dx ^ {n}$ .

Форма тома также позволяет указать предпочтительный класс кадров на $M {\ Displaystyle M}$ $M$ . Базис касательных векторов $(X 1,…, X n) {\ displaystyle (X_ {1}, \ ldots, X_ {n})}$ $(X_ {1}, \ ldots, X_ {n})$ правосторонний, если

ω (X 1, X 2,…, X n)>0. {\ displaystyle \ omega (X_ {1}, X_ {2}, \ dots, X_ {n})>0.}

\omega (X_{1},X_{2},\dots,X_{n})>0.

Коллекция всех правых фреймов подвергается действиям группа $GL + (n) {\ displaystyle GL ^ {+} (n)}$ ${\ displaystyle GL ^ {+} (n)}$ из общих линейных отображений в $n {\ displaystyle n}$ $n$ измерения с положительным определителем. Они образуют главный $GL + (n) {\ displaystyle GL ^ {+} (n)}$ ${\ displaystyle GL ^ {+} (n)}$ подгруппу линейного пакета кадров из $M {\ displaystyle M}$ $M$ , поэтому ориентация, связанная с формой объема, дает каноническое сокращение пакета кадров $M {\ displaystyle M}$ $M$ в подгруппу со структурной группой $GL + (n) {\ displaystyle GL ^ {+} (n)}$ ${\ displaystyle GL ^ {+} (n)}$ . То есть чтобы сказать, что объемная форма приводит к $GL + (n) {\ displaystyle GL ^ {+} (n)}$ ${\ displaystyle GL ^ {+} (n)}$ -структура на $M {\ d isplaystyle M}$ $M$ . Очевидно, что большее сокращение возможно, если рассмотреть кадры с

ω (X 1, X 2,…, X n) = 1. {\ displaystyle \ omega (X_ {1}, X_ {2}, \ dots, X_ { n}) = 1.}

\ omega (X_ {1}, X_ {2}, \ dots, X_ {n}) = 1.

(1)

Таким образом, объемная форма также порождает $SL (n) {\ displaystyle SL (n)}$ ${\ displaystyle SL (n)}$ -структуру. И наоборот, учитывая структуру $SL (n) {\ displaystyle SL (n)}$ ${\ displaystyle SL (n)}$ , можно восстановить форму объема, наложив (1) для специальных линейных рамок, а затем решив для требуемая $n {\ displaystyle n}$ $n$ -form $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\ omega$ , требуя однородности аргументов.

Коллектор ориентируемый тогда и только тогда, когда он имеет форму объема. Действительно, $SL (n) → GL + (n) {\ displaystyle SL (n) \ to GL ^ {+} (n)}$ ${\ displaystyle SL (n) \ to GL ^ {+} (n)}$ - это деформационный ретракт, поскольку $GL + = SL × R + {\ displaystyle GL ^ {+} = SL \ times \ mathbb {R} ^ {+}}$ ${\ displaystyle GL ^ {+} = SL \ раз \ mathbb {R} ^ {+}}$ , где положительные числа вложены как скалярные матрицы. Таким образом, каждая $GL + (n) {\ displaystyle GL ^ {+} (n)}$ ${\ displaystyle GL ^ {+} (n)}$ -структура сводится к $SL (n) {\ displaystyle SL (n)}$ ${\ displaystyle SL (n)}$ -структура и $GL + (n) {\ displaystyle GL ^ {+} (n)}$ ${\ displaystyle GL ^ {+} (n)}$ -структуры совпадают с ориентациями на $M {\ displaystyle M}$ $M$ . Более конкретно, тривиальность детерминантного расслоения $Ω n (M) {\ displaystyle \ Omega ^ {n} (M)}$ $\ Omega ^ {n } (M)$ эквивалентна ориентируемости, а линейное расслоение тривиально тогда и только тогда, когда в нем есть никуда не исчезающий раздел. Таким образом, наличие объемной формы равносильно ориентируемости.

Связь с мерами

Учитывая форму объема $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\ omega$ на ориентированном многообразии, плотность $| ω | {\ displaystyle | \ omega |}$ $| \ omega |$ - это объемная псевдоформа на неориентированном многообразии, полученная забыванием ориентации. Плотности также могут быть определены в более общем виде на неориентируемых многообразиях.

Любая псевдоформа объема $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\ omega$ (и, следовательно, также любая форма объема) определяет меру в наборах Бореля как

μ ω (U) = ∫ U ω. {\ displaystyle \ mu _ {\ omega} (U) = \ int _ {U} \ omega.}

\ mu _ {\ omega} (U) = \ int _ {U} \ o мега.

Разница в том, что, хотя мера может быть интегрирована по (борелевскому) подмножеству, форма объема может быть интегрирована по ориентированной ячейке. В единственной переменной исчисление, запись $∫ bafdx = - ∫ abfdx {\ displaystyle \ int _ {b} ^ {a} f \, dx = - \ int _ {a} ^ {b} f \, dx}$ $\ int _ {b} ^ {a} f \, dx = - \ int _ {a} ^ {b} f \, dx$ рассматривает $dx {\ displaystyle dx}$ $dx$ как форму объема, а не просто меру, и $∫ ba {\ displaystyle \ int _ { b} ^ {a}}$ $\ int _ { b} ^ {a}$ указывает «интегрировать по ячейке $[a, b] {\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ с противоположной ориентацией, иногда обозначаемой $[a, b] ¯ {\ displaystyle {\ overline {[a, b]}}}$ ${\ overline {[a, b]}}$ ".

Кроме того, общие меры не обязательно должны быть непрерывными или гладкими: они не должны определяться формой объема или, более формально, их производной Радона – Никодима по отношению к данной форме объема. не быть абсолютно непрерывным.

Дивергенция

Учитывая форму объема ω на M, можно определить дивергенцию векторного поля X как единственное скалярная функция, обозначаемая div X, удовлетворяющая

(div ⁡ X) ω = LX ω = d (X ⌟ ω), {\ displaystyle (\ operatorname {div} X) \ omega = L_ {X} \ omega = d (X \; \ lrcorner \; \ omega),}

{\ displaystyle (\ operatorname {div} X) \ omega = L_ {X} \ omega = d (X \; \ lrcorner \; \ omega),}

где L X обозначает производную Ли по X и $X ⌟ ω {\ displaystyle X \; \ lrcorner \; \ omega}$ ${\ displaystyle X \; \ lrcorner \; \ omega}$ обозначает внутренний продукт или левое сжатие ω вдоль X. Если X - с компактной опорой векторное поле и M - многообразие с краем, тогда из теоремы Стокса следует

∫ M (div ⁡ X) ω = ∫ ∂ MX ⌟ ω, {\ displaystyle \ int _ {M} (\ OperatorName {div} X) \ omega = \ int _ {\ partial M} X \; \ lrcorner \; \ omega,}

\ int _ {M} (\ operatorname {div} X) \ omega = \ int _ {\ partial M} X \; \ lrcorner \; \ omega,

, которое является обобщением теоремы о расходимости.

соленоидальные векторные поля - это те с div X = 0. Из определения производной Ли следует, что форма объема сохраняется при потоке соленоидального векторного поля. Таким образом, соленоидальные векторные поля - это как раз те, которые имеют потоки, сохраняющие объем. Этот факт хорошо известен, например, в механике жидкости, где дивергенция поля скоростей измеряет сжимаемость жидкости, которая, в свою очередь, представляет степень, в которой сохраняется объем вдоль потоков жидкости.

Особые случаи

Группы Ли

Для любой группы Ли естественная форма объема может быть определена переводом. То есть, если ω e является элементом $⋀ n T e ∗ G {\ displaystyle {\ textstyle \ bigwedge} ^ {n} T_ {e} ^ {*} G}$ ${\ displaystyle {\ textstyle \ bigwedge} ^ {n} T_ {e} ^ {* } G}$ , то левоинвариантная форма может быть определена как $ω g = L g - 1 ∗ ω e {\ displaystyle \ omega _ {g} = L_ {g ^ {- 1}} ^ {* } \ omega _ {e}}$ $\ omega _ {g} = L_ {g ^ {- 1}} ^ {*} \ omega _ {e}$ , где L g - левый перевод. Как следствие, любая группа Ли ориентируема. Эта форма объема уникальна с точностью до скаляра, и соответствующая мера известна как мера Хаара.

Симплектические многообразия

Любое симплектическое многообразие (или действительно любое почти симплектическое многообразие ) имеет естественную форму объема. Если M - 2n-мерное многообразие с симплектической формой ω, то ω нигде не равно нулю как следствие невырожденности симплектической формы. Как следствие, любое симплектическое многообразие ориентируемо (действительно, ориентировано). Если многообразие одновременно симплектическое и риманово, то две формы объема согласуются, если многообразие кэлерова.

форма риманова объема

Любая ориентированная псевдориманова (включая риманово ) многообразие имеет форму естественного объема. В локальных координатах это может быть выражено как

ω = | г | dx 1 ∧ ⋯ ∧ dxn {\ displaystyle \ omega = {\ sqrt {| g |}} dx ^ {1} \ wedge \ dots \ wedge dx ^ {n}}

\ omega = {\ sqrt {| g |}} dx ^ {1} \ клин \ точки \ клин dx ^ {n}

где $dxi {\ displaystyle dx ^ {i}}$ $dx ^ {i}$ - это 1-формы, которые образуют положительно ориентированный базис для кокасательного расслоения многообразия. Здесь $| г | {\ displaystyle | g |}$ $| g |$ - это абсолютное значение детерминанта матричного представления метрического тензора на многообразии.

Форма объема по-разному обозначается

ω = v o l n = ε = ⋆ (1). {\ displaystyle \ omega = \ mathrm {vol} _ {n} = \ varepsilon = {\ star} (1).}

{\ displaystyle \ omega = \ mathrm {vol} _ {n} = \ varepsilon = {\ star} (1).}

Здесь $⋆ {\ displaystyle {\ star}}$ ${\ displaystyle {\ star}}$ - это звезда Ходжа, поэтому последняя форма, $⋆ (1) {\ displaystyle {\ star} (1)}$ ${\ displaystyle {\ star} (1) }$ , подчеркивает, что форма объема - это Двойственный по Ходжу к постоянному отображению на многообразии, равному тензору Леви-Чивиты ε.

Хотя греческая буква ω часто используется для обозначения формы тома, это обозначение не является универсальным; символ ω часто имеет много других значений в дифференциальной геометрии (например, симплектическая форма).

Инварианты формы тома

Формы тома не уникальны; они образуют торсор над ненулевыми функциями на многообразии следующим образом. Дана функция f, отличная от нуля на M, и форма объема $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\ omega$ , $f ω {\ displaystyle f \ omega}$ $f \ omega$ является формой объема на M. И наоборот, учитывая две формы объема $ω, ω ′ {\ displaystyle \ omega, \ omega '}$ $\omega,\omega '$ , их соотношение является ненулевой функцией (положительной, если они определяют одинаковую ориентацию, и отрицательной, если они определяют противоположные ориентации).

В координатах они оба являются просто ненулевой функцией, умноженной на мера Лебега, а их отношение - это отношение функций, которое не зависит от выбора координат. По сути, это производная Радона – Никодима от $ω ′ {\ displaystyle \ omega '}$ $\omega '$ по отношению к $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\ omega$ . На ориентированном многообразии пропорциональность любых двух форм объема можно рассматривать как геометрическую форму теоремы Радона – Никодима.

Нет локальной структуры

Форма объема на многообразии не имеет локальной структура в том смысле, что на небольших открытых множествах невозможно различить данную форму объема и форму тома в евклидовом пространстве (Кобаяши 1972). То есть для каждой точки p в M существует открытая окрестность U точки p и диффеоморфизм φ точки U на открытое множество в R такие, что форма объема на U является откат из $dx 1 ∧ ⋯ ∧ dxn {\ displaystyle dx ^ {1} \ wedge \ cdots \ wedge dx ^ {n}}$ $dx ^ {1} \ wedge \ cdots \ wedge dx ^ {n}$ вдоль φ.

Как следствие, если M и N - два многообразия, каждое из которых имеет форму объема $ω M, ω N {\ displaystyle \ omega _ {M}, \ omega _ {N}}$ $\ omega _ {M}, \ omega _ {N}$ , то для любых точек $m ∈ M, n ∈ N {\ displaystyle m \ in M, n \ in N}$ $m \ in M, n \ in N$ существуют открытые окрестности U точки m и V точки n и карта $f: U → V {\ displaystyle f \ двоеточие U \ to V}$ $f \ двоеточие U \ to V$ такая, что форма объема на N, ограниченная окрестностью V, возвращается к форме объема на M, ограниченной окрестностью U: $f ∗ ω N | V = ω M | U {\ displaystyle f ^ {*} \ omega _ {N} \ vert _ {V} = \ omega _ {M} \ vert _ {U}}$ $f ^ {*} \ omega _ {N} \ vert _ {V} = \ omega _ {M} \ vert _ {U}$ .

В одном измерении это можно доказать так: объемная форма $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\ omega$ на $R {\ displaystyle \ mathbf {R}}$ $\ mathbf {R}$ , определить

f (x): = ∫ 0 х ω. {\ displaystyle f (x): = \ int _ {0} ^ {x} \ omega.}

f (x): = \ int _ {0} ^ {x} \ omega.

Тогда стандартная мера Лебега $dx {\ displaystyle dx}$ $dx$ тянет назад в $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\ omega$ под f: $ω = f ∗ dx {\ displaystyle \ omega = f ^ {*} dx}$ $\ omega = f ^ {*} dx$ . В частности, $ω = f ′ d x {\ displaystyle \ omega = f '\, dx}$ $\omega =f'\,dx$ . В более высоких измерениях для любой точки $m ∈ M {\ displaystyle m \ in M}$ $m \ in M $ она имеет окрестность, локально гомеоморфную $R × R n - 1 {\ displaystyle \ mathbf { R} \ times \ mathbf {R} ^ {n-1}}$ $\ mathbf {R} \ times \ mathbf {R} ^ {n-1}$ , и можно применить ту же процедуру.

Глобальная структура: объем

Форма объема на связном многообразии M имеет единственный глобальный инвариант, а именно (общий) объем (обозначается $μ (M) {\ displaystyle \ mu (M)}$ $\ mu (M)$ ), который инвариантен относительно отображений, сохраняющих форму объема; это может быть бесконечное число, например, для меры Лебега на $R n {\ displaystyle \ mathbf {R} ^ {n}}$ $\ mathbf {R} ^ {n}$ . На несвязном многообразии объем каждой связной компоненты является инвариантом.

В символах, если $f: M → N {\ displaystyle f \ двоеточие M \ to N}$ $f \ двоеточие M \ to N$ является гомеоморфизмом многообразий, который оттягивает $ω N {\ displaystyle \ omega _ {N}}$ $\ omega _ {N }$ до $ω M {\ displaystyle \ omega _ {M}}$ $\ omega _ {M}$ , затем

μ (N) = ∫ N ω N Знак равно ∫ е (M) ω N знак равно ∫ M е * ω N = ∫ M ω M = μ (M) {\ Displaystyle \ mu (N) = \ int _ {N} \ omega _ {N} = \ int _ {f (M)} \ omega _ {N} = \ int _ {M} f ^ {*} \ omega _ {N} = \ int _ {M} \ omega _ {M} = \ mu (M) \,}

\ mu (N) = \ int _ {N} \ omega _ {N} = \ int _ {f (M)} \ omega _ {N} = \ int _ {M} f ^ {*} \ omega _ {N} = \ int _ {M} \ omega _ {M} = \ mu (M) \,

и коллекторы имеют одинаковый объем.

Объемные формы также могут быть вытянуты обратно в покрывающие карты, и в этом случае они умножают объем на мощность волокна (формально, путем интегрирования вдоль волокна). В случае бесконечного листового покрытия (например, $R → S 1 {\ displaystyle \ mathbf {R} \ to S ^ {1}}$ $\ mathbf {R} \ to S ^ {1}$ ) форма объема на многообразии конечного объема возвращается к форме объема на коллекторе бесконечного объема.

См. Также

Цилиндрическая система координат § Элементы линии и объема
Мера (математика)
Метрика Пуанкаре обеспечивает обзор формы объема на комплексной плоскости
Сферическая система координат § Интегрирование и дифференцирование в сферических координатах

Ссылки

Кобаяши, С. (1972), Группы преобразований в дифференциальной геометрии, Классика в математике, Springer, ISBN 3- 540-58659-8, OCLC 31374337.
Спивак, Майкл (1965), Calculus on Manifolds, Reading, Massachusetts: WA Benjamin, Inc., ISBN 0-8053-9021-9.