Предмет интерьера

редактировать

В математике предмет интерьера (также известный как производное интерьера, внутреннее умножение, внутреннее умножение, внутренняя производная, оператор вставки или внутреннее производное ) является степенью −1 (анти) производным на внешней алгебре дифференциальных форм на гладком многообразии. Внутренний продукт, названный в противоположность внешнему продукту, не следует путать с внутренним продуктом. Изделие для интерьера ι X ω иногда обозначается как X ⨼ ω.

Содержание

1 Определение
2 Свойства
3 См. Также
4 Примечания
5 Ссылки

Определение

Внутренний продукт определяется как сокращение дифференциальной формы с векторным полем. Таким образом, если X - векторное поле на многообразии M, то

ι X: Ω p (M) → Ω p - 1 (M) {\ displaystyle \ iota _ {X} \ двоеточие \ Omega ^ {p} (M) \ to \ Omega ^ {p-1} (M)}

\ iota_X \ двоеточие \ Omega ^ p (M) \ to \ Omega ^ {p-1} (M)

- это карта, которая отправляет p-форму ω в (p − 1) -форму ι X ω определяется тем свойством, что

(ι X ω) (X 1,…, X p - 1) = ω (X, X 1,…, X p - 1) {\ displaystyle (\ iota _ {X} \ omega) (X_ {1}, \ ldots, X_ {p-1}) = \ omega (X, X_ {1}, \ ldots, X_ {p-1})}

(\ iota_X \ omega) (X_1, \ ldots, X_ {p-1}) = \ omega (X, X_1, \ ldots, X_ {p-1})

для любых векторных полей X 1,..., X p − 1.

Внутреннее произведение - это уникальное первообразное степени -1 на внешняя алгебра такая, что на одной форме α

ι X α = α (X) = ⟨α, X⟩ {\ displaystyle \ displaystyle \ iota _ {X} \ alpha = \ alpha (X) = \ langle \ alpha, X \ rangle}

\ displaystyle \ iota_X \ alpha = \ alpha (X) = \ langle \ alpha, X \ rangle

где ⟨,⟩ - пара двойственности между α и вектором X. Явно, если β - p-форма, а γ - q-форма, тогда

ι X (β ∧ γ) = (ι X β) ∧ γ + (- 1) p β ∧ (ι X γ). {\ Displaystyle \ iota _ {X} (\ бета \ клин \ гамма) = (\ йота _ {X} \ бета) \ клин \ гамма + (- 1) ^ {p} \ бета \ клин (\ йота _ { X} \ gamma).}

\ iota_X (\ beta \ wedge \ gamma) = (\ iota_X \ beta) \ wedge \ gamma + (- 1) ^ p \ beta \ wedge (\ iota_X \ gamma).

Вышеупомянутое соотношение говорит, что интерьерный продукт подчиняется градуированному правилу Лейбница. Операция, удовлетворяющая линейности и правилу Лейбница, называется производной.

Свойства

По антисимметрии форм

ι X ι Y ω = - ι Y ι X ω {\ displaystyle \ iota _ {X} \ iota _ {Y} \ omega = - \ iota _ {Y} \ iota _ {X} \ omega}

\ iota _ {X} \ iota _ {Y} \ omega = - \ iota _ {Y} \ iota _ {X} \ omega

и поэтому $ι X ∘ ι X = 0 {\ displaystyle \ iota _ {X} \ circ \ iota _ {X} = 0}$ ${\ displaystyle \ iota _ {X} \ circ \ iota _ {X} = 0}$ . Это можно сравнить с внешней производной d, которая имеет свойство d ∘ d = 0.

Внутренний продукт связывает внешнюю производную и Lie производная дифференциальных форм по формуле Картана (также известная как тождество Картана, гомотопическая формула Картана или магическая формула Картана ):

LX ω = d (ι X ω) + ι X d ω = {d, ι X} ω. {\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} \ omega = d (\ iota _ {X} \ omega) + \ iota _ {X} d \ omega = \ left \ {d, \ iota _ {X } \ right \} \ omega.}

{\ displaystyle { \ mathcal {L}} _ {X} \ omega = d (\ iota _ {X} \ omega) + \ iota _ {X} d \ omega = \ left \ {d, \ iota _ {X} \ right \ } \ omega.}

Это тождество определяет двойственность между внешними и внутренними производными. Тождество Картана важно в симплектической геометрии и общей теории относительности : см. карту моментов. Формула гомотопии Картана названа в честь Эли Картана.

Внутреннее произведение относительно коммутатора двух векторных полей $X {\ displaystyle X}$ $X$ , $Y {\ displaystyle Y}$ $Y$ удовлетворяет тождеству

ι [X, Y] = [LX, ι Y]. {\ displaystyle \ iota _ {[X, Y]} = \ left [{\ mathcal {L}} _ {X}, \ iota _ {Y} \ right].}

\ iota _ {{[X, Y]}} = \ left [{\ mathcal {L}} _ {X}, \ iota _ {Y} \ right].

См. также

Примечания

Ссылки

Теодор Франкель, Геометрия физики: Введение; Издательство Кембриджского университета, 3-е изд. 2011
Лоринг В. Ту, Введение в многообразия, 2e, Springer. 2011. doi :10.1007/978-1-4419-7400-6