Симплектическая геометрия

Фазовый портрет в Ван - дер - Поля, в одномерной системе. Фазовое пространство было первоначальным объектом изучения симплектической геометрии.

Симплектическая геометрия - это раздел дифференциальной геометрии и дифференциальной топологии, изучающий симплектические многообразия ; то есть, дифференцируемые многообразия, оснащенные замкнутой, невырожденной 2-формы. Симплектическая геометрия имеет свои истоки в гамильтоновой формулировке из классической механики, где фазовое пространство некоторых классических систем берет на структуру симплектического многообразия.

Название «сложная группа», которое я раньше пропагандировал как намек на линейные комплексы, поскольку они определяются исчезновением антисимметричных билинейных форм, становится все более и более смущающим из-за столкновения со словом «комплекс» в значении комплексного числа. Поэтому я предлагаю заменить его соответствующим греческим прилагательным «симплектический». Диксон назвал группу «абелевой линейной группой» в честь Абеля, который первым ее изучил.

Вейль (1939, с. 165)

Термин «симплектический», введенный Вейлем, является исчислением «комплекса»; раньше «симплектическая группа» называлась «линейной комплексной группой». «Комплекс» происходит от латинского com-plexus, что означает «сплетенный вместе» (co- + plexus), а симплектический происходит от соответствующего греческого sym-plektikos (συμπλεκτικός); в обоих случаях стебель происходит от индоевропейского корня * плек-. Название отражает глубокую связь между сложными и симплектическими структурами.

По теореме Дарбу симплектические многообразия изоморфны стандартному симплектическому векторному пространству локально, следовательно, имеют только глобальные (топологические) инварианты. Поэтому «симплектическая геометрия» часто используется как синоним термина «симплектическая топология».

СОДЕРЖАНИЕ

• 1 Введение
• 2 Сравнение с римановой геометрией
• 3 Примеры и конструкции
• 4 См. Также
• 5 Примечания
• 6 Ссылки
• 7 Внешние ссылки

Вступление

Симплектическая геометрия определяется на гладком четномерном пространстве, являющемся дифференцируемым многообразием. На этом пространстве определяется геометрический объект симплектической формы, который позволяет измерять размеры двумерных объектов в пространстве. Симплектическая форма в симплектической геометрии играет роль, аналогичную роли метрического тензора в римановой геометрии. Там, где метрический тензор измеряет длину и углы, симплектическая форма измеряет ориентированные области.

Симплектическая геометрия возникла из изучения классической механики, и примером симплектической структуры является движение объекта в одном измерении. Чтобы указать траекторию объекта, требуются как позиция q, так и импульс p, которые образуют точку ( p, q) в евклидовой плоскости ℝ ². В этом случае симплектическая форма имеет вид

${\ displaystyle \ omega = dp \ wedge dq}$

и представляет собой форму площади, которая измеряет площадь A области S на плоскости посредством интегрирования:

${\ displaystyle A = \ int _ {S} \ omega.}$

Эта область важна, потому что, поскольку консервативные динамические системы развиваются во времени, эта область остается неизменной.

Аналогично определяются многомерные симплектические геометрии. 2 n -мерная симплектическая геометрия состоит из пар направлений

${\ displaystyle ((x_ {1}, x_ {2}), (x_ {3}, x_ {4}), \ ldots (x_ {2n-1}, x_ {2n}))}$

в 2 n -мерном многообразии вместе с симплектической формой

${\ displaystyle \ omega = dx_ {1} \ wedge dx_ {2} + dx_ {3} \ wedge dx_ {4} + \ cdots + dx_ {2n-1} \ wedge dx_ {2n}.}$

Эта симплектическая форма дает размер 2 n -мерной области V в пространстве как сумму площадей проекций V на каждую из плоскостей, образованных парами направлений

${\ displaystyle A = \ int _ {V} \ omega = \ int _ {V} dx_ {1} \ wedge dx_ {2} + \ int _ {V} dx_ {3} \ wedge dx_ {4} + \ cdots + \ int _ {V} dx_ {2n-1} \ wedge dx_ {2n}.}$

Сравнение с римановой геометрией

Симплектическая геометрия имеет ряд сходств и отличий от римановой геометрии, которая представляет собой изучение дифференцируемых многообразий, снабженных невырожденными симметричными 2-тензорами (называемыми метрическими тензорами ). В отличие от риманова случая симплектические многообразия не имеют локальных инвариантов, таких как кривизна. Это следствие теоремы Дарбу, которая утверждает, что окрестность любой точки 2 n -мерного симплектического многообразия изоморфна стандартной симплектической структуре на открытом множестве ℝ ^{2 n}. Еще одно отличие римановой геометрии состоит в том, что не каждое дифференцируемое многообразие должно допускать симплектическую форму; есть определенные топологические ограничения. Например, всякое симплектическое многообразие четномерно и ориентируемо. Кроме того, если M - замкнутое симплектическое многообразие, то 2-я группа когомологий де Рама H ² ( M) нетривиальна; это означает, например, что единственная n- сфера, допускающая симплектическую форму, - это 2-сфера. Параллель, которую можно провести между этими двумя предметами, - это аналогия между геодезическими в римановой геометрии и псевдоголоморфными кривыми в симплектической геометрии: геодезические - это кривые наименьшей длины (локально), а псевдоголоморфные кривые - это поверхности минимальной площади. Обе концепции играют фундаментальную роль в своих дисциплинах.

Примеры и конструкции

Каждое кэлерово многообразие также является симплектическим многообразием. Еще в 1970-х годах эксперты по симплектике не были уверены, существуют ли какие-либо компактные некелеровы симплектические многообразия, но с тех пор было построено множество примеров (первый из них принадлежит Уильяму Терстону ); в частности, Роберт Гомпф показал, что каждая конечно представленная группа является фундаментальной группой некоторого симплектического 4-многообразия, что резко контрастирует с кэлеровым случаем.

Можно сказать, что большинство симплектических многообразий не кэлеровы; и поэтому не имеют интегрируемой комплексной структуры, совместимой с симплектической формой. Михаил Грома, однако, сделали важное замечание о том, что симплектические многообразия Признают обилие совместимых почти комплексные структуры, так что они удовлетворяют все аксиомы кэлеровы многообразие, за исключением требования о том, что переход сопоставляет быть голоморфны.

Громов использовал существование почти комплексных структур на симплектических многообразиях для развития теории псевдоголоморфных кривых, которая привела к ряду достижений в симплектической топологии, включая класс симплектических инвариантов, ныне известных как инварианты Громова – Виттена. Позже, используя технику псевдоголоморфных кривых, Андреас Флоер изобрел еще один важный инструмент симплектической геометрии, известный как гомологии Флоера.

Смотрите также

• Контактная геометрия
• Гамильтонова механика
• Геометрическая механика
• Карта моментов
• Геометрия Пуассона
• Симплектическая интеграция
• Симплектическое многообразие
• Симплектическое векторное пространство

Примечания

использованная литература

• Авраам, Ральф ; Марсден, Джеррольд Э. (1978). Основы механики. Лондон: Бенджамин-Каммингс. ISBN   978-0-8053-0102-1.
• Арнольд В.И. (1986). "Первые шаги симплектической топологии". Успехи математических наук. 41 (6 (252)): 3–18. DOI : 10.1070 / RM1986v041n06ABEH004221. ISSN   0036-0279 - с помощью России Успехи математических наук, 1986, 41: 6, 1-21.
• Макдафф, Дуса ; Саламон, Д. (1998). Введение в симплектическую топологию. Издательство Оксфордского университета. ISBN   978-0-19-850451-1.
• Фоменко АТ (1995). Симплектическая геометрия (2-е изд.). Гордон и Брич. ISBN   978-2-88124-901-3. (Введение на уровне бакалавриата.)
• де Госсон, Морис А. (2006). Симплектическая геометрия и квантовая механика. Базель: Birkhäuser Verlag. ISBN   978-3-7643-7574-4.
• Вайнштейн, Алан (1981). «Симплектическая геометрия» (PDF). Бюллетень Американского математического общества. 5 (1): 1–13. DOI : 10,1090 / s0273-0979-1981-14911-9.
• Вейль, Герман (1939). Классические группы. Их инварианты и представления.Перепечатано издательством Princeton University Press (1997). ISBN   0-691-05756-7. MR 0000255.

внешние ссылки

• СМИ, связанные с симплектической геометрией на Викискладе?
• "Симплектическая структура", Математическая энциклопедия, EMS Press, 2001 [1994]