Войти
Стандартная структура контактов на R . Каждая точка в R имеет плоскость, связанную с ней контактной структурой, в данном случае как ядро одной формы dz - y dx. Эти плоскости, кажется, скручиваются вдоль оси Y. В математике, контактная геометрия - это исследование геометрической структуры на гладких многообразиях, заданных гиперплоскость распределение в касательном пучке, удовлетворяющее условию, называемому «полная неинтегрируемость». Эквивалентно такое распределение может быть задано (по крайней мере, локально) как ядро дифференциальной одной формы, а условие неинтегрируемости преобразуется в условие максимальной невырожденности формы. Эти условия противоположны двум эквивалентным условиям «полной интегрируемости » гиперплоскостного распределения, т. Е. Того, что оно касается слоения коразмерности один на многообразии, эквивалентность которого является содержанием теорема Фробениуса.
Контактная геометрия во многих отношениях является нечетномерным аналогом симплектической геометрии, структуры на некоторых четномерных многообразиях. Как контактная, так и симплектическая геометрия мотивированы математическим формализмом классической механики, где можно рассматривать либо четномерное фазовое пространство механической системы, либо гиперповерхность с постоянной энергией, которая, будучи коразмерностью один, имеет нечетное измерение.
Подобно симплектической геометрии, контактная геометрия имеет широкое применение в физике, например геометрическая оптика, классическая механика, термодинамика, геометрическое квантование, интегрируемые системы и теория управления. Контактная геометрия также имеет приложения к низкоразмерной топологии ; например, его использовали Кронхеймер и Мровка для доказательства гипотезы свойства P, Майкл Хатчингс для определения инварианта гладкие трехмерные многообразия, и Ленхардом Нг для определения инвариантов узлов. Он также использовался Яковом Элиашбергом для получения топологической характеристики многообразий Штейна размерности не менее шести.
Контактная структура на многообразии нечетной размерности - это плавно меняющееся семейство подпространств коразмерности один каждого касательного пространства многообразия, удовлетворяющее условию неинтегрируемости. Семейство можно описать как часть связки следующим образом:
Для n-мерного гладкого многообразия M и точки p ∈ M, контактный элемент M с точкой контакта p является (n - 1) -мерным линейным подпространством касательного пространства к M в точке p. Контактный элемент может быть задан ядром линейной функции на касательном пространстве к M в точке p. Однако, если подпространство задается ядром линейной функции ω, то оно также будет задаваться нулями функции λω, где λ ≠ 0 - любое ненулевое действительное число. Таким образом, все ядра {λω: λ ≠ 0} дают один и тот же контактный элемент. Отсюда следует, что пространство всех контактных элементов M можно идентифицировать с помощью частного от пучка котангенса T * M (с нулевым сечением 
A контактная структура на многообразии M нечетной размерности размерности 2k + 1 является гладкой распределение контактных элементов, обозначенное ξ, которое является общим в каждой точке. Условие общности состоит в том, что ξ неинтегрируем.
Предположим, что у нас есть гладкое распределение контактных элементов ξ, локально заданное дифференциальной 1-формой α; т.е. гладкое сечение котангенсного пучка. Условие неинтегрируемости может быть задано явно как:
Обратите внимание, что если ξ задается дифференциальной 1-формой α, то то же самое распределение задается локально формулой β = ƒ⋅α, где ƒ - ненулевая гладкая функция. Если ξ коориентируем, то α определено глобально.
Из теоремы Фробениуса об интегрируемости следует, что контактное поле ξ полностью неинтегрируемо. Это свойство контактного поля примерно противоположно тому, чтобы быть полем, образованным касательными плоскостями к семейству неперекрывающихся гиперповерхностей в M. В частности, вы не можете найти гиперповерхность в M, касательные пространства которой совпадают с ξ, даже локально. Фактически не существует подмногообразия размерности больше k, касательные пространства которого лежат в ξ.
Следствием определения является то, что ограничение 2-формы ω = dα на гиперплоскость в ξ является невырожденной 2-формой. Эта конструкция обеспечивает любое контактное многообразие M естественным числом ранга на единицу меньшим, чем размерность M. Отметим, что симплектическое векторное пространство всегда четномерно, а контактные многообразия должны быть нечетномерными.
кокасательное расслоение T * N любого n-мерного многообразия N само является многообразием (размерности 2n) и естественным образом поддерживает точную симплектическую структуру ω = dλ. (Эту 1-форму λ иногда называют формой Лиувилля ). Существует несколько способов построения ассоциированного контактного многообразия: одно размерности 2n - 1, другое размерности 2n + 1.
Пусть M будет проективизацией кокасательного расслоения N: таким образом, M является расслоением над M, слой которого в точке x является пространством прямых в T * N или, что то же самое, пространством гиперплоскостей в TN. 1-форма λ не спускается до настоящей 1-формы на M. Однако она однородна степени 1, поэтому она определяет 1-форму со значениями в линейном расслоении O (1), которое является двойственным к послойное тавтологическое линейное расслоение матрицы M. Ядро этой 1-формы определяет контактное распределение.
Предположим, что H - гладкая функция на T * N, что E - регулярное значение для H, так что множество уровней 
Тогда ограничение 
Эта конструкция берет начало в гамильтоновой механике, где H - гамильтониан механической системы с конфигурационным пространством N и фазовым пространством T * N, а E - значение энергии.
Выберите риманову метрику на многообразии N и пусть H будет ассоциированной кинетической энергией. Тогда множество уровня H = 1/2 является единичным кокасательным расслоением N, гладким многообразием размерности 2n-1, расслаивающим над N слоями, являющимися сферами. Тогда форма Лиувилля, ограниченная на единичное кокасательное расслоение, является контактной структурой. Это соответствует частному случаю второй конструкции, где поток векторного поля Эйлера Y соответствует линейному масштабированию импульсов p, оставляя q неизменными. Векторное поле R, определяемое равенствами
, называется Векторное поле Риба, и оно генерирует геодезический поток римановой метрики. Точнее, используя риманову метрику, можно отождествить каждую точку кокасательного расслоения к N с точкой касательного расслоения к N, и тогда значение R в этой точке (единичного) кокасательного расслоения является соответствующим (единичным) вектор, параллельный N.
С другой стороны, можно построить контактное многообразие M размерности 2n + 1, рассматривая первое расслоение струй вещественнозначных функций на N. Этот набор изоморфен T * N × R с использованием внешней производной функции. С координатами (x, t) M имеет контактную структуру
И наоборот, для любого контактного многообразия M произведение M × R имеет естественную структуру симплектическое многообразие. Если α - контактная форма на M, то
- симплектическая форма на M × R, где t обозначает переменную в R -направление. Это новое многообразие называется симплектизацией (иногда в литературе) контактного многообразия M.
В качестве основного примера рассмотрим R, наделенный координатами (x, y, z) и однозначной dz - y dx. Плоскость контакта ξ в точке (x, y, z) натянута на векторы X 1= ∂yи X 2= ∂x+ y ∂z.
Путем замены отдельных переменных x и y на многомерные x 1,..., x n, y 1,..., y n, этот пример можно обобщить на любой R . Согласно теореме Дарбу, каждая контактная структура на многообразии локально выглядит как эта конкретная контактная структура на (2n + 1) -мерном векторном пространстве.
Важный класс контактных многообразий составляют сасакиевы многообразия.
Наиболее интересными подпространствами контактного многообразия являются его лежандровые подмногообразия. Неинтегрируемость поля контактных гиперплоскостей на (2n + 1) -мерном многообразии означает, что никакое 2n-мерное подмногообразие не имеет его в качестве касательного расслоения, даже локально. Однако в общем случае можно найти n-мерные (вложенные или погруженные) подмногообразия, касательные пространства которых лежат внутри контактного поля. Лежандровые подмногообразия аналогичны лагранжевым подмногообразиям симплектических многообразий. Имеется точное соотношение: подъем лежандрова подмногообразия в симплектизации контактного многообразия является лагранжевым подмногообразием. Простейшим примером лежандровых подмногообразий являются лежандровы узлы внутри контактного трехмерного многообразия. Неэквивалентные лежандровые узлы могут быть эквивалентны гладким узлам; то есть есть узлы, которые являются гладко изотопными, в которых изотопия не может быть выбрана как путь лежандровых узлов.
Лежандровые подмногообразия - очень жесткие объекты; обычно существует бесконечно много лежандровых изотопических классов вложений, которые все гладко изотопны. Симплектическая теория поля предоставляет инварианты лежандровых подмногообразий, называемых относительными контактными гомологиями, которые иногда могут различать различные лежандрова подмногообразия, которые топологически идентичны (т. Е. Гладко изотопны).
Если α является контактной формой для данной структуры контакта, векторное поле Reeb R может быть определено как уникальный элемент (одно- размерное) ядро dα такое, что α (R) = 1. Если контактное многообразие возникает как гиперповерхность постоянной энергии внутри симплектического многообразия, то векторное поле Риба является ограничением на подмногообразие гамильтонова векторного поля, связанного с энергией функция. (Ограничение дает векторное поле на контактной гиперповерхности, поскольку гамильтоново векторное поле сохраняет уровни энергии.)
Динамика поля Риба может быть использована для изучения структуры контактного многообразия или даже лежащего под ним многообразия, используя методы гомологии Флоера, такие как теория симплектического поля и, в трех измерениях, встроенная контактная гомология. Различные контактные формы, ядра которых дают одинаковую контактную структуру, будут давать разные векторные поля Риба, динамика которых, как правило, очень различна. Различные разновидности контактных гомологий априори зависят от выбора контактной формы и строят алгебраические структуры замкнутых траекторий их векторных полей Риба; однако эти алгебраические структуры оказываются независимыми от контактной формы, то есть они являются инвариантами основной контактной структуры, так что, в конце концов, контактная форма может рассматриваться как вспомогательный выбор. В случае вложенных контактных гомологий получается инвариант лежащего в основе трехмерного многообразия, т.е. вложенные контактные гомологии не зависят от контактной структуры; это позволяет получить результаты, справедливые для любого векторного поля Риба на многообразии.
Поле Reeb названо в честь Georges Reeb.
Корни контактной геометрии появляются в работах Christiaan Huygens, Исаак Барроу и Исаак Ньютон. Теория контактных преобразований (т.е. преобразований, сохраняющих контактную структуру) была разработана Софусом Ли с двойной целью изучения дифференциальных уравнений (например, преобразование Лежандра или каноническое преобразование ) и описывающее «изменение элемента пространства», знакомое по проективной двойственности.
